第18章矩形、菱形与正方形题型突破（三十三题型）2025-2026学年华东师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦矩形、菱形、正方形三大图形，以33类题型构建从性质判断到综合应用的递进训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形|10类题型|性质判断、长度/角度/面积计算、折叠与坐标系综合|从概念辨析到数量关系推导，结合直角三角形斜边中线性质递进| |菱形|12类题型|性质判断、角度/线段/周长/面积计算、折叠与最值综合|以对角线性质为核心，衔接判定证明与动态问题分析| |正方形|11类题型|性质判断、角度/长度/面积计算、折叠与坐标系综合|融合矩形与菱形特性，强化多结论辨析与综合证明|

第18章矩形、菱形与正方形题型突破2025-2026 华东师大版八年级下册（三十三题型） 题型一：矩形的性质的判断 1.下列命题正确的是（　　） A．矩形的四个角都相等 B．矩形的四条边都相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．矩形的对角线平分内角 2.矩形不一定具有的性质是（      ） A．对角线垂直 B．四个角都是直角 C．是轴对称图形 D．对角线相等 3．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行 题型二：由矩形的性质求长度 1．已知矩形的对角线，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形ABCD中，AB＝1，E是AC的中点，∠AED＝120°，则AD长为（　　） A． B．2 C． D．3 3.如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 题型三：由矩形的性质求角的度数 1．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，�则两条对角线所夹的锐角的度数为（  ） A．80° B．60° C．45° D．40° 2.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．67.5° 3.如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 题型四：由矩形的性质求面积 1.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．3 C．2 D．1 2.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，DF∥AC，CF∥BD，DF，CF相交于点F，DF＝4，则矩形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 3.我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为　 　cm2． 题型五：矩形的性质与坐标轴的综合运用 1．长方形ABCD的三个顶点的坐标是A（1,1）、B（3,1）、C（3,5），那么D点坐标是（ ） A．（1,3） B．（1,5） C．（5,3） D．（5,1） 2.如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC长为（　　） A． B． C．5 D．4 3.在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为 　 　． 题型六：矩形与折叠问题 1.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得∠EDF＝22°，则∠FDB的大小是（　　） A．22° B．34° C．24° D．68° 2.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD上一点，把△ADE沿直线AE翻折，D点恰好落在BC边上的F点处，则CE＝　 　． 题型七：矩形判定的条件 1.依据所标数据，下列一定为矩形的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．③ 2.在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD 3．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD 题型八：证明四边形是矩形 1.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连接BE．求证：四边形BFDE是矩形． 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为BC、AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接AD、AF、CF，求证：四边形ADCF为矩形． 3.如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD的延长线相交于点F，连接AF、BD． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）若∠BEA+2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形． 题型九：矩形的判定与性质综合 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 2.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝6，BF＝8，AF平分∠DAB，求DF的长． 3.如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求平行四边形ABCD的面积． 题型十：直角三角形斜边的中线 1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝4，则BC＝（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 2.如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的中点，则MN的最小值为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点．若BD＝8，则AD＝　 　． 题型十一：菱形的性质的判断 1．在菱形ABCD中，下列结论错误的是（　　） A．BO=DO B．∠DAC=∠BAC C．AC⊥BD D．AO=DO 2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 3.下列选项中，菱形不具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 题型十二：利用菱形的性质求角度 1.如图，BD为菱形ABCD的对角线，已知∠A＝50°，则∠BDC的度数为（　　） A．130° B．50° C．55° D．65° 2．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，若，则度数为 ． 题型十三：利用菱形的性质求线段长 1．已知菱形的对角线，则该菱形的边长是（   ） A． B． C． D． 2.如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C． D． 3．如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为 ．    题型十四：利用菱形的性质求周长 1.已知菱形的面积为24，其中一条对角线长为8，则菱形的周长为（   ） A．20 B．25 C． D．40 2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．30 C． D． 3.如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，重叠部分构成四边形，且，则四边形的周长为 ． 题型十五：利用菱形的性质求面积 1．一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是（　　） A．40 B．20 C．10 D．25 2．如图，四边形是周长为的菱形，其中对角线长为，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 3.如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为 ． 题型十六：菱形的判定条件判断 1.已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件可以使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 3.如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在基础上添加） 题型十七：菱形与平面直角坐标系 1．在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），点C在第一象限，且AC＝BC＝6，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　 　． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以为边向右作菱形，点D在x轴上，则点C的坐标是 ． 3．如图，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．已知点，，则点C的坐标为 　　． 题型十八：菱形与折叠问题 1．如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为 ． 2．如图，菱形的边长为1，，将菱形折叠使点A，C都落在对角线上点G处，折痕分别为，，则阴影部分的周长为 ． 3．如图，在菱形中，，点是的中点，点为边上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 题型十九：菱形与最值问题 1.如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 2．如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为 ． 3．如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为 ． 题型二十：菱形中多结论问题 1．如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，连接．则下列结论：①；②；③；④由点构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E、F分别在边上，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，与交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（    ） ①菱形的面积是；②始终为等边三角形；③线段长的最小值为；④点G所走过的路径长为1． A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知边长为2cm的菱形AFEO，∠AFE＝120°，过点O作两条夹角为60°的射线，分别交边AF，边FE于点M，N，连接MN，则下列命题正确的是（　　） ①S四边形OMFN＝cm2； ②MN的长度为定值； ③△OMN的形状为等边三角形； ④的最小值为3． A．①③ B．①②③④ C．③④ D．①③④ 题型二十一：菱形判定的证明 1．如图，在中，点是对角线上的一点，，，垂足分别为点，且．求证：是菱形． 2．如图，在四边形中，，，平分． 求证：四边形是菱形． 3.如图，点E为的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，．求证：四边形为菱形． 题型二十二：菱形的判定与性质综合 1.如图，在中，点D，E分别是边的中点，取的中点O，连接并延长交于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，，求的度数． 2．如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 3.如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 题型二十三：正方形性质的判断 1.正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 2.菱形，矩形，正方形都具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．都是轴对称图形 C．对角线互相垂直且互相平分 D．对角线相等且互相平分 3.下列关于正方形的说法错误的是（    ） A．正方形的四条边都相等，四个角都是直角 B．正方形有四条对称轴 C．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 D．正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离不一定相等 题型二十四：利用正方形的性质求角度 1．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（    ） A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 2.如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 3.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    题型二十五：利用正方形的性质求长度 1.如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，，延长至E，使，连接平分交于点F，连接，则的长为（　　）    A． B． C． D． 3.如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 题型二十六：利用正方形的性质求面积 1．如图，在正方形中，点E，F分别在上，已知，，的面积为11，则正方形的面积为（   ） A．25 B．28 C．33 D．36 2．如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 3.如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是 ． 题型二十七：正方形与折叠问题 1．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后，折痕分别交于点E、G，连结．下列结论错误的是（　　） A． B．四边形是菱形 C． D． 3．如图，正方形的边长为4，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为 ． 题型二十八：正方形与平面直角坐标系 1.如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点C的坐标为（　　） A．（3，1） B．（3，2） C．（2，1） D．（1，3） 2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 3.正方形如图放在平面直角坐标系中，已知，，则顶点D的坐标为 ． 题型二十九：正方形与最值问题 1．如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，的最小值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．11 2．如图，在正方形中，对角线，交于点，为边上一动点（不与点，重合），过点作于点于点，连接，若，则的最小值为 ． 3．如图，E是正方形中边上一点，连接，点P、Q分别是上的一动点，若， ，则的最小值是 ． 题型三十：正方形的判定 1.下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2.下列命题为真命题的个数有（   ） ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②顺次连接对角线相等的四边形的四边中点，得到的四边形是矩形； ③对角线互相垂直的四边形是菱形； ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件： ，可使它成为正方形． 题型三十一：正方形的判定与性质多结论问题 1．如图，以等边的一边为边，向形外作正方形，连接、、，则（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的个数是（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，正方形的边长为，延长至点，使得，平分交于点，连接，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 3．如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤；⑥若，，则．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型三十二：正方形判定的证明 1.如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形． 2.如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形． 3.已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为，，的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 题型三十三：正方形的判定与性质综合 1.如图，在矩形中，平分交边于点E，过点E作交边于点F，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 2.如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 3．如图，已知正方形ABCD，点E在对角线AC上，连接DE，作EF⊥DE，EF交BC边于点F，以DE，EF为边作矩形DEFG． （1）判断矩形DEFG是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． （2）若线段DE与正方形ABCD的边的夹角为40°，求∠EFC的度数． 【答案】 第18章矩形、菱形与正方形题型突破2025-2026 华东师大版八年级下册（三十三题型） 题型一：矩形的性质的判断 1.下列命题正确的是（　　） A．矩形的四个角都相等 B．矩形的四条边都相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．矩形的对角线平分内角 【答案】A 2.矩形不一定具有的性质是（      ） A．对角线垂直 B．四个角都是直角 C．是轴对称图形 D．对角线相等 【答案】A 3．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行 【答案】C． 题型二：由矩形的性质求长度 1．已知矩形的对角线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．如图，矩形ABCD中，AB＝1，E是AC的中点，∠AED＝120°，则AD长为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】C． 3.如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】6.5// 题型三：由矩形的性质求角的度数 1．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，�则两条对角线所夹的锐角的度数为（  ） A．80° B．60° C．45° D．40° 【答案】A 2.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．67.5° 【答案】C． 3.如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 【答案】/34度 题型四：由矩形的性质求面积 1.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 2.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，DF∥AC，CF∥BD，DF，CF相交于点F，DF＝4，则矩形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 3.我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为　 　cm2． 【答案】25． 题型五：矩形的性质与坐标轴的综合运用 1．长方形ABCD的三个顶点的坐标是A（1,1）、B（3,1）、C（3,5），那么D点坐标是（ ） A．（1,3） B．（1,5） C．（5,3） D．（5,1） 【答案】B 2.如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC长为（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】A 3.在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为 　 　． 【答案】（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4） 题型六：矩形与折叠问题 1.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得∠EDF＝22°，则∠FDB的大小是（　　） A．22° B．34° C．24° D．68° 【答案】B． 2.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD上一点，把△ADE沿直线AE翻折，D点恰好落在BC边上的F点处，则CE＝　 　． 【答案】3． 题型七：矩形判定的条件 1.依据所标数据，下列一定为矩形的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．③ 【答案】C 2.在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD 【答案】C． 3．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD 【答案】C． 题型八：证明四边形是矩形 1.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连接BE．求证：四边形BFDE是矩形． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，AE＝CF， ∴ED＝BF， ∴四边形BFDE是平行四边形， 又∵DF⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∴平行四边形BFDE是矩形． 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为BC、AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接AD、AF、CF，求证：四边形ADCF为矩形． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵点D、E分别为BC、AC中点， ∴AE＝EC，BD＝DC， ∵EF＝DE， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴▱ADCF是矩形． 3.如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD的延长线相交于点F，连接AF、BD． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）若∠BEA+2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠FDE， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△BEA和△FED中， ， ∴△BEA≌△FED（ASA）， ∴AB＝DF， 又∵AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAE＝∠C， ∵∠BEA+∠BAE+∠ABE＝180°，∠BEA+2∠C＝180°， ∴∠BAE＝∠ABE， ∴BE＝AE， 由（1）知，四边形ABDF是平行四边形， ∴BE＝BF， ∵AE＝AD， ∴BF＝AD， ∴平行四边形ABDF是矩形． 题型九：矩形的判定与性质综合 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 【答案】（1）略 （2）8 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC， ∵CE＝BC， ∴AD＝CE，AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵AB＝DC，AE＝AB， ∴AE＝DC， ∴四边形ACED是矩形； （2）解：∵四边形ACED是矩形， ∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD， ∴OA＝OC， ∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴OC＝AC＝4， ∴CD＝8． 2.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝6，BF＝8，AF平分∠DAB，求DF的长． 【答案】（1） 略（2）10 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∵DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）解：∵四边形BFDE是矩形， ∴∠BFD＝90°， ∴∠BFC＝90°， 在Rt△BCF中，CF＝6，BF＝8， ∴BC＝＝＝10， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵AB∥DC， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝DF， ∵AD＝BC， ∴DF＝BC， ∴DF＝10． 3.如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）略 （2）12 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，BC∥AD， 又∵BE＝DF， ∴BC﹣BE＝AD﹣DF， 即EC＝AF， ∴四边形AECF为平行四边形， 又∵∠AEC＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形； （2）解：∵∠AEB＝90°，∠ABE＝60°， ∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°， ∴BE＝AB＝2， ∴AE＝＝＝2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AFB＝∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AF＝AB＝4， ∵四边形AECF是矩形， ∴EC＝AF＝4， ∴BC＝BE+EC＝2+4＝6， ∵∠AEC＝90°， ∴AE⊥BC， ∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AE＝6×2＝12． 题型十：直角三角形斜边的中线 1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝4，则BC＝（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 2.如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的中点，则MN的最小值为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点．若BD＝8，则AD＝　 　． 【答案】8． 题型十一：菱形的性质的判断 1．在菱形ABCD中，下列结论错误的是（　　） A．BO=DO B．∠DAC=∠BAC C．AC⊥BD D．AO=DO 【答案】D 2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 3.下列选项中，菱形不具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 【答案】C 题型十二：利用菱形的性质求角度 1.如图，BD为菱形ABCD的对角线，已知∠A＝50°，则∠BDC的度数为（　　） A．130° B．50° C．55° D．65° 【答案】D 2．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3．如图，在菱形中，若，则度数为 ． 【答案】/度 题型十三：利用菱形的性质求线段长 1．已知菱形的对角线，则该菱形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 3．如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为 ．    【答案】 题型十四：利用菱形的性质求周长 1.已知菱形的面积为24，其中一条对角线长为8，则菱形的周长为（   ） A．20 B．25 C． D．40 【答案】A 2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．30 C． D． 【答案】A 3.如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，重叠部分构成四边形，且，则四边形的周长为 ． 【答案】 题型十五：利用菱形的性质求面积 1．一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是（　　） A．40 B．20 C．10 D．25 【答案】B 2．如图，四边形是周长为的菱形，其中对角线长为，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为 ． 【答案】 题型十六：菱形的判定条件判断 1.已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件可以使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 【答案】D． 3.如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在基础上添加） 【答案】 题型十七：菱形与平面直角坐标系 1．在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），点C在第一象限，且AC＝BC＝6，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　 　． 【答案】（9，3）或（﹣3，3）或（3，﹣3）． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以为边向右作菱形，点D在x轴上，则点C的坐标是 ． 【答案】 3．如图，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．已知点，，则点C的坐标为 　　． 【答案】． 题型十八：菱形与折叠问题 1．如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为 ． 【答案】45° 2．如图，菱形的边长为1，，将菱形折叠使点A，C都落在对角线上点G处，折痕分别为，，则阴影部分的周长为 ． 【答案】 3．如图，在菱形中，，点是的中点，点为边上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 【答案】或 题型十九：菱形与最值问题 1.如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 2．如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 3．如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为 ． 【答案】 题型二十：菱形中多结论问题 1．如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，连接．则下列结论：①；②；③；④由点构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2．如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E、F分别在边上，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，与交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（    ） ①菱形的面积是；②始终为等边三角形；③线段长的最小值为；④点G所走过的路径长为1． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 3．已知边长为2cm的菱形AFEO，∠AFE＝120°，过点O作两条夹角为60°的射线，分别交边AF，边FE于点M，N，连接MN，则下列命题正确的是（　　） ①S四边形OMFN＝cm2； ②MN的长度为定值； ③△OMN的形状为等边三角形； ④的最小值为3． A．①③ B．①②③④ C．③④ D．①③④ 【答案】D 题型二十一：菱形判定的证明 1．如图，在中，点是对角线上的一点，，，垂足分别为点，且．求证：是菱形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：，，垂足分别为点E、F，且， 点在的角平分线上， 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形． 2．如图，在四边形中，，，平分． 求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 3.如图，点E为的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 题型二十二：菱形的判定与性质综合 1.如图，在中，点D，E分别是边的中点，取的中点O，连接并延长交于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）详见分析；（2） 解：（1）证明：点D，E分别是边的中点， ，， ， ∵点O是边的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 平行四边形BEFC是菱形， ，， ． 2．如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． （2）解：如图：设相交于点O， ∵是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 3.如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 解：（1）证明∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴四边形是矩形， ∴． 题型二十三：正方形性质的判断 1.正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 【答案】B 2.菱形，矩形，正方形都具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．都是轴对称图形 C．对角线互相垂直且互相平分 D．对角线相等且互相平分 【答案】B 3.下列关于正方形的说法错误的是（    ） A．正方形的四条边都相等，四个角都是直角 B．正方形有四条对称轴 C．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 D．正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离不一定相等 【答案】D 题型二十四：利用正方形的性质求角度 1．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（    ） A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 【答案】C 2.如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    【答案】 题型二十五：利用正方形的性质求长度 1.如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2．如图，在正方形中，，延长至E，使，连接平分交于点F，连接，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 【答案】 题型二十六：利用正方形的性质求面积 1．如图，在正方形中，点E，F分别在上，已知，，的面积为11，则正方形的面积为（   ） A．25 B．28 C．33 D．36 【答案】B 2．如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是 ． 【答案】16 题型二十七：正方形与折叠问题 1．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 2．如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后，折痕分别交于点E、G，连结．下列结论错误的是（　　） A． B．四边形是菱形 C． D． 【答案】D 3．如图，正方形的边长为4，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为 ． 【答案】 题型二十八：正方形与平面直角坐标系 1.如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点C的坐标为（　　） A．（3，1） B．（3，2） C．（2，1） D．（1，3） 【答案】A 2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 3.正方形如图放在平面直角坐标系中，已知，，则顶点D的坐标为 ． 【答案】 题型二十九：正方形与最值问题 1．如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，的最小值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．11 【答案】C 2．如图，在正方形中，对角线，交于点，为边上一动点（不与点，重合），过点作于点于点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】5 3．如图，E是正方形中边上一点，连接，点P、Q分别是上的一动点，若， ，则的最小值是 ． 【答案】3 题型三十：正方形的判定 1.下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 2.下列命题为真命题的个数有（   ） ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②顺次连接对角线相等的四边形的四边中点，得到的四边形是矩形； ③对角线互相垂直的四边形是菱形； ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 3.如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件： ，可使它成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 题型三十一：正方形的判定与性质多结论问题 1．如图，以等边的一边为边，向形外作正方形，连接、、，则（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的个数是（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 2．如图，正方形的边长为，延长至点，使得，平分交于点，连接，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 3．如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤；⑥若，，则．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 题型三十二：正方形判定的证明 1.如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形． 【答案】证明：∵，． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． ∴， ∵平分， ∴， ∴四边形为正方形． 2.如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 3.已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为，，的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为，，的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为，，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 题型三十三：正方形的判定与性质综合 1.如图，在矩形中，平分交边于点E，过点E作交边于点F，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵    ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵平分， ∴，   ∵， ∴， ∴，    ∴， ∴矩形是正方形． （2）在中，，， ∴， ∴， ∴在中，． 2.如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 3．如图，已知正方形ABCD，点E在对角线AC上，连接DE，作EF⊥DE，EF交BC边于点F，以DE，EF为边作矩形DEFG． （1）判断矩形DEFG是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． （2）若线段DE与正方形ABCD的边的夹角为40°，求∠EFC的度数． 【答案】（1）解析 (2)130° 【解答】（1）证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∠CEN＝90°﹣∠ECN＝45°， ∴四边形EMCN为矩形，∠CEN＝∠ECN， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∴EM＝EN，∠MEN＝90°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形； （2）解：∵∠ADE＝40°，AD∥EN， ∴∠DEN＝∠ADE＝40°， 由（1）知△DEN≌△FEM， 得∠MEF＝∠DEN＝40°， ∴∠EFC＝∠EMF+∠MEF＝90°+40°＝130°． 学科网（北京）股份有限公司 $