第18章 矩形、菱形与正方形 学业质量评价-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

与BD相交于点O,∴AB=CD,DA=BC,OA=OC.:□ABCD的周长为 20,.2AB+2BC=20.∴.AB+BC=10..△AOB的周长比△BOC的周 长小4，.BC+OB+OC-(AB+OB+OA)=4..BC=AB+4..AB+ AB+4=10.∴.AB=3,BC=7.∴.边AB和BC的长分 别为3和7. (2)作CF⊥AB于点F,在△BAD和 AB=CD, △DCB中，DA=BC,'.△BAD≌△DCB(SSS) BD-DB. :BD=8,CELBD于点E,且CE=2,Sa-=Sm=号BD·CE=号X 8X2-8..SoAWCD=AB.CF-2SADCB-16.3CF=16..CF-16 3 22.解：1)：2：6-1(2)由题意可知，AP-1,CQ=21,CE=2BC-7, ,AD∥BC,∴.当PD=EQ时，以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边 形，当0<21<7，即0<1<2时，点Q在CE 之间，如图1所示，此时，PD=AD一AP=6 1,EQ=CE-CQ=7-2t,.∴.6-t=7-2t,解得E 1=1.当7<21<14，即<1<7时，点Q在B, 图 图2 E之间，如图2所示，此时，PD=AD一AP=6一t,EQ=CQ一CE=2t一7，，. 6-1=21-7,解得=号.：当1=1或时，以点P,Q,E,D为顶点的四边形 是平行四边形.23.(1)证明：①△ABC和△ADE都是等边三角形， AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°，∠EAD-∠BAD=∠BAC ∠BAD,即∠EAB=∠DAC..△AEB≌△ADC(SAS).②四边形BCGE是 平行四边形.理由如下：由①得△AEB≌△ADC,∴.∠ABE=∠ACD=60° 又∠BAC=∠ACD=60°，.'.∠ABE=∠BAC..EB∥GC.又EG∥BC,.四 边形BCGE是平行四边形.(2)①②都成立.理由：，△ABC和△ADE都是 等边三角形，.AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.∴.∠EAD- ∠EAC=∠BAC-∠EAC,即∠DAC=∠EAB..△AEB≌△ADC(SAS) ∴.∠ABE=∠ACD=120°.又∠BAC=60°，.∠ABE+∠BAC=180°.∴.EB ∥GC.又EG∥BC,∴四边形BCGE是平行四边形 第18章学业质量评价 1.B2.C3.A4.A5.C6.B7.C8.A9.A10.C11.8 12.∠A=90°（答案不唯一）13.1214.115.(3,10）16.证明：四边 形ABCD是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D.∠AEB=∠AFD,.△ABE≌ △ADF(AAS).∴BE=DF.17.证明：.M是BC的中点，BM=CM. 四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AB∥CD.∴.∠1=∠AMB,∠2 ∠DMC.·∠1=∠2，∴.∠AMB=∠DMC,AM=DM.∴.△ABM≌△DCM (SAS).∴.∠B=∠C..AB∥CD,∠B+∠C=180°..∠B=∠C=90°. 平行四边形ABCD是矩形.18.证明：(1)，BF∥AC,CF∥BD,.四边形 BECF是平行四边形.∴.∠F=∠BEC.BF⊥CF,∴.∠BEC=∠F=90°，即 BD⊥AC..□ABCD是菱形；(2)四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥ BC..∠ADB=∠CBD.,BD平分∠ABC,·∠CBD=∠ABD..∠ADB =∠ABD.AB=AD..□ABCD是菱形..BD⊥AC..∠BEC=90°.由 (I)得四边形BECF是平行四边形，∴.四边形BECF是矩形. 19.解：(1)如图所示，即为所求；(2)①∠OFC=∠OEA;②D OA=OC:③OF=OE:④四边形AECF是菱形. 20.解：(1)在矩形纸片ABCD中，.AB=4,BC=3,故由勾股 定理可得AC=5,由折叠知：FC=BC=3,∠EFC=∠B=90°， BE=FE,..AF=AC一FC=5-3=2,设AE=x,则BE=4 x=FE,在Rt△AFE中，2+(4-x)2=2,解得x=号.…AE= 6 2 (2)如图，矩形纸片ABCD中，，DC∥AB,∴.∠DCE=∠BEC 由折叠知：∠BEC=∠FEC,.∠DCE=∠FEC,·∴.DC=DE.又 点D,F,E在同一条直线上，∠EFC=∠B,.∠DFC=90°， ∴·∠DFC=∠DAE=90°.而CF=CB=DA,在Rt△CDF和RtA △DEA中，OFB:R△CDFaR△DEA(HL.AE=DF-2 21.(1)证明：.四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB=AD,AE= AG./DAB=/B=/EAG=90...EAD+DAG=90,/BAE+ ∠EAD=90°..∠BAE=∠DAG.在△BAE和△DAG中， AE-AG /BAE=∠DAG,.△BAE2△DAG(SAS)..∠ADG=∠B=90°； AB-AD. (2)解：BE+DH=HE,理由如下：△BAE≌△DAG,∴.BE=DG.,四边 形AEFG是正方形，，∴.∠EAH=∠GAH=45°，AE=AG.在△EAH和 AE-AG, △GAH中，∠EAH=∠GAH,.∴.△EAH≌△GAH(SAS).,∴.EH=GH AH-AH. ,DG+DH=GH,.BE+DH=EH.22.解：(1)四边形OCED是菱形 :四边形ABCD是矩形，OA=OC=2AC,OB=OD=号BD,AC=BD OD=OC=号AC.:DE=号AC∴DE=OC.:DE∥AC,四边形 OCED是平行四边形.：OC=OD,∴.平行四边形OCED是菱形.(2)设OE 与DC交于点F.,平行四边形OCED是菱形，.OE⊥DC,OE与DC互相 平分，OC=DE..OC=AO,.AO=DE..AC∥DE,..四边形AOED是平 行四边形.∴.AD=OE.设OE=a,DC=b,.矩形ABCD的面积是48，.ab =48.“菱形OCED的边长OC=5,F0+FC=OC,即(%)+() 52. ..a2+b2=100..∴.(a+b)2=a+b2+2ab=196..a+b=14.即OE1 DC=14.23.证明：(1)延长MF,交BC延长线于H,四边 D M 形ABCD为正方形，∴.∠BAM=∠B=90°.FM⊥AD, ∠AMF=90°..四边形ABHM是矩形，AM=BH. △AEF是等腰直角三角形，.AE=EF,∠AEF=90°，∴ ∠AEB+∠FEH=90°..∠B=90°，.∠AEB+∠BAE= 90°.∴.∠FEH=∠BAE.∠B=∠EHF=90°，.△ABE≌△EHF (AAS).,∴.AB=EH.,∴.AM=BH=BE+EH=BE+AB:(2)如图2，AB BE十AM,如图3，BE=AB十AM,理由是：如图2，，△AEF是等腰直角三 角形，.∴.AE=EF,∠AEF=90°.，.∠AEB十∠FEH=90°.，∠ABE=90°， ∴.∠AEB+∠EAB=90°.∴.∠FEH=∠EAB.∠ABE=∠EHF=90°， △AEB≌△EFH(AAS)..∴.AB=EH..∠MAB=∠ABH=∠BHM 90°，.四边形ABHM为矩形.，.AM=BH.∴.AB=EH=BE+BH=BE十AM 第19章学业质量评价 1.C2.C3.C4.B5.A6.D7.C8.C9.B10.C11.90 12.9013.80,12014.①②15.4.916.解：甲的平均成绩为 81+85+86=84(分)：乙的平均成绩为92+80+74=82（分），因为甲的平均 3 成绩高于乙的平均成绩，所以甲被录用.17.解：90×50%+80×30%+85 ×20%=86(分).答：王强最终的成绩是86分.18.解：(1)93(2)a是最 低分，由题意可知a93,否则就不满足平均数是93.75，且去掉的是94分和 a分.19.解：(1)64.561.2(2)选甲公司，理由如下：因为平均数相 同，中位数、众数甲公司均大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定，所以选甲 )中位数：2三5（万元，众数：4万元，平 ×(3+4×3十5×2+6+8+9十13)=6.1（万元）；(2)选择中位数的比较合 适.理由如下：如果选择中位数，那么没有完成定额任务的销售员有4人；如 果选择众数，那么没有完成定额任务的销售员有1人；如果选择平均数，那么 没有完成定额任务的销售员有7人，所以选择中位数比较合适.21.(1)88 90(2)乙 (3)解：甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众 数比乙种的高.乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比 甲种的高.22.解：(1)20%(2)第100名、第101名成绩的平均值为该 校本次测试成绩的中位数，中位数为228，则2×228一230=226cm.答：乙同 学的测试成绩是226cm;(3)本校测试成绩的平均数为222.5，本校所在区县 测试成绩平均数为218.7，本校测试成绩的优秀率为20%，本校所在区县测 试成绩优秀率为23%，.222.5>218.7,20%<23%，从平均数角度看，该 校九年级全体男生立定跳远的平均成绩高于区县水平，整体水平较好；从优 秀率角度看，该校九年级全体男生立定跳远成绩中等水平偏上的学生比例 低于区县水平，该校测试成绩的优秀率低于区县水平；建议：该校在保持学 校整体水平的同时，多关注接近优秀的学生，提高优秀成绩的人数.●●C 0●● ●●0 八年级数学·下册·HS ●●0 ●●● ●●● ●●● 第18章学业质量评价 ●●● ●●● ●●● 时间：100分钟 满分：120分 ●●● ●●● ●●● ●●● ●●● 题号 二 三 合计 ●●● ●●● ●●● 得分 ●●● ●●● ●●● ●●● ●●● 、选择题（每小题3分，共30分） 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∠AOB= 60°，AB=3,则AC的长是 () A.8 B.6 C.4 D.3 尔 第1题图 第3题图 第4题图 2.菱形ABCD的两条对角线长分别为6和10，则该菱形的面积为 () 製 A.12 B.24 C.30 D.36 3.如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC=60°，则点A到BD的 距离等于 () A.5 B.6 C.8 D.10 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,若∠AOB= 60°，则∠OCB的度数为 A.30 B.35° C.40 D.459 5.如图，已知四边形ACBD是矩形，点B在直线 MN上，若BD平分∠ABN,则下列结论不正确 的是 A.BC平分∠ABM B.CD∥MN M E 批 C.△BOC是等边三角形 D.∠COB=2∠ABD ●●g 6.如图，菱形ABCD的边长为5，过点A、C 0 作对角线AC的垂线，分别交CB和AD ●0 的延长线于点E,F,AE=6,则四边形 AECF的周长为 A.30 B.32 C.34 D.36 7.如图，点E,F分别是正方形ABCD的边CD,BC 上的点，且CE=BF,AF、BE相交于点G,下列结 论不正确的是 A.AF=BE B.AF⊥BE C.AG=GE D.S△ABG=S四边形CEGF 第18章第1页（共6页） 8.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,P为AD上一点，PE⊥ AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF的值为 () A号 B C.2 D. B 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，矩形ABCD中，P是CD的中点，点Q为AB上的动点（不 与A、B重合)，过Q作QM⊥PA,垂足为M,QN⊥PB,垂足为 N,BC=3,CD=8,MQ=x,QN=y,则y与x之间的函数关系 为 () A.y=4.8-B.y C.y=11-xD.y=24 10.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于 点E,PF⊥CD于点F,连结EF,给出下列四个结论：①AP= EF;②AP⊥EF;③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE= ∠BAP.其中不正确的是 () A.① B.② C.③ D.④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.在菱形ABCD中，AB=2,则菱形的周长是 12.【新中考·结论开放】如图，在四边形ABCD中， AB∥DC,AB=DC,在不添加任何辅助线的前提 下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加 的一个条件是 AO Bx 第13题图 第14题图 第15题图 13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=8, BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE= 14.如图，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线的交点重 合放置，若正方形A的面积为4，则阴影部分面积为 15.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上， 点A的坐标为（一2,0），点E在边CD上，将△BCE沿BE折 叠，点C落在点F处，若点F的坐标为(0,6)，则点E的坐标为 第18章第2页（共6页） 三、解答题（共75分） 16.(9分)如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在BC,CD边上， ∠AEB=∠AFD,求证：BE=DF. 17.(9分)如图，在平行四边形ABCD中，M是BC中点，且∠1= ∠2，求证：平行四边形ABCD是矩形. 18.(9分)如图，在□ABCD中，对角线AC,BD交于点E,BF∥ AC,CF∥BD. (1)当BF⊥CF时，求证：□ABCD是菱形； (2)当BD平分∠ABC时，求证：四边形BECF是矩形. 第18章第3页（共6页） 9 19.(9分)在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更 深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角 线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构 成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据 他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，用尺规 过点O作AC的垂线，分别交AB,CD于点E,F,连结AF, CE;(不写作法，保留作图痕迹) (2)已知：矩形ABCD,点E,F分别在AB,CD上，EF经过对角 线AC的中点O,且EF⊥AC.求证：四边形AECF是菱形. 证明：，四边形ABCD是矩形， D ∴.AB∥CD. .① ,∠OCF=∠OAE .点O是AC的中点， .② ∴.△CFO≌△AEO(AAS). .③ 又OA=OC, ∴.四边形AECF是平行四边形. .EF⊥AC, .四边形AECF是菱形 进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿 题中表述，写出你猜想的结论：④ 20.(9分)如图，一张矩形纸片ABCD,点E在边AB上，将△BCE 沿直线CE对折，点B落在对角线AC上，记为点F. (1)若AB=4,BC=3,求AE的长； (2)连结DF,若D,F,E在同一条直线上，且DF=2,求AE 的长， 10 第18章第4页（共6页） 21.(10分)如图①，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点， 连结AE,以AE为一边作正方形AEFG,连结DG. (1)求证：∠ADG=90°； (2)如图②，连结AF交CD于点H,连结EH,请探究EH、 BE、DH三条线段之间的数量关系，并说明理由， G 1 ② 22.(10分)如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥ AC,DE=2AC,连结CE. (1)判断四边形OCED的形状，并说明理由； (2)连结OE,若矩形ABCD的面积等于48，OC=5,求OE+ DC的值. 第18章第5页（共6页） 23.(10分)已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角 顶点E在直线BC上（不与点B,C重合），FM⊥AD,交射线 AD于点M. 图1 图2 图3 (1)当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图1， 求证：AB+BE=AM; (2)当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图2； 当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图3， 其他条件不变，猜想线段AB,BE,AM之间有怎样的数量 关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予 证明. 第18章第6页（共6页）