专题04 正方形中的模型、长度关系、路径问题（举一反三专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题04 正方形中的模型、长度关系、路径问题（举一反三专项训练） 【新教材华东师大版】 【题型1 正方形中的十字架模型】 1 【题型2 正方形中的夹半角模型】 4 【题型3 正方形中的型问题】 6 【题型4 正方形中的型问题】 8 【题型5 正方形的折叠】 9 【题型6 正方形中的动点】 10 【题型7 正方形中的最值】 11 【题型8 正方形中的定值】 13 【题型9 构造正方形解题】 14 【题型10 正方形中的路径长】 15 模型一 正方形中的十字架模型 模型1：端点为顶点 模型2：端点不为顶点 条件：正方形ABCD． 结论：且． 条件：正方形ABCD． 结论：，． 模型二 正方形中的夹半角模型 条件：正方形ABCD，． 结论：①； ②EA平分，FA平分． 思路：（SAS）， ，， （SAS）． 【题型1 正方形中的十字架模型】 【例1】阅读与思考 下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务： 由一道习题引发的思考−−“十字架模型”的拓展研究 在我们教材上，有这样一道习题：如图1，四边形是一个正方形花园，E，F是它的两个门，要修建两条路和，且使得，那么这两条路等长吗？为什么？ 对于上面问题，我是这样思考的： ∵四边形是正方形，∴，．   又∵，∴ ∴，（依据*） ∴，∴． 有趣的是对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，是否这两条线段仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究： 如图2，在正方形中，若点M、N、P、Q分别是、、、上的任意四点，且，垂足为O，则仍然与相等．理由如下： 过点M作，垂足为E，过点P作，垂足为F．则容易证明四边形和均为矩形， ∴，．∵，∴ 在四边形QOND中，∵， … 任务：任务：根据上面小论文的分析过程，解答下列问题： (1)画横线部分的“依据*”是__________________________． (2)在小论文的分析过程，主要运用的数学思想有：_______．（从下面选项中填出两项）． A．转化思想 B．方程思想 C．由特殊到一般的思想 D．函数思想 (3)请根据小论文提供的思路，补全图2剩余的证明过程． 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）在正方形中： (1)如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等吗？请证明你的结论； (2)如图2，如果点是边的中点，是上的点，过点作，分别交、与点、，若，，求线段的长； (3)如图3，在等边三角形中．点、分别在、上，且，若与交于点，且， ①求的度数． ②判断线段与的数量关系，并说明理由． 【变式1-2】感知： 如图①，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，过点作，交于点，易证：．（不需要证明） 探究： 如图②，在正方形中，，分别为边，上的点（点，不与正方形的顶点重合），连接，作的垂线分别交边，于点，，垂足为．若为中点，，，求的长． 应用： 应用：如图③，在正方形中，点，分别在，上，，，相交于点．若，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的面积为　　　，的周长为　　　． 【变式1-3】数学活动：探究正方形中的十字架 （1）猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF之间的数量关系： ． （2）探究：如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，此时线段HF与EG相等吗?如果相等请给出证明，如果不相等请说明理由． （3）应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为 ． 【题型2 正方形中的夹半角模型】 【例2】（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【变式2-1】如图，正方形中，是上的点，是上的点，且．求证：． 【变式2-2】半角模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． (1)求证：； (2)当时，求的长． (3)探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 【变式2-3】（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【题型3 正方形中的型问题】 【例3】如图，在正方形中，点E，F分别在，的延长线上，且，的延长线交于点G． (1)求的度数； (2)在线段EG上取点H，使得，连接，． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【变式3-1】在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），点关于射线的对称点为点，连接，连接并延长交于点． (1)求出的度数； (2)过点A作于点，点作交延长线于点，连接． ①补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【变式3-2】综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】 （1）如图①，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证得．请写出证明过程． 【深入思考】 （2）在（1）的条件下，如图②，延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图③，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【变式3-3】如图，正方形，点在边上，为等腰直角三角形. （1）如图1，当，求证； （2）如图2，当，取的中点，连接，求证： 【题型4 正方形中的型问题】 【例4】（24-25八年级下·全国·期末）如图，四边形是正方形，点在的延长线上，且，是上一点，连接，作交射线于点． (1)如图①，连接，当时，判断的形状，并说明理由； (2)如图②，当时，写出线段之间的数量关系，并证明． 【变式4-1】（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． (1)判断与的位置关系并证明； (2)连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【变式4-2】如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上任意一点，连接AE，过点D作交AB于F，垂足为G． (1)求证：； (2)若点E是BC的中点，连接BG，请探究线段FG，BG，EG之间的数量关系． 【变式4-3】（24-25八年级下·北京昌平·期末）正方形，点E是线段上一点，作射线，交于点F，．点A关于射线的对称点为点G，连接，，线段与，分别交于点P，Q． (1)①补全图形； ②求的度数； (2)延长交射线于点H，连接，若，用等式表示，，的数量关系，并证明． 【题型5 正方形的折叠】 【例5】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形中，点 M 是边的中点，连接，将沿直线向正方形内翻折，点 B 的对应点为点 N，连接，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，正方形的边长为4，点G是边的中点，点E是边上的动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长为 ． 【变式5-2】如图，已知正方形纸片，M、N分别是、的中点，把边向上翻折，使点C恰好落在上的P点处，为折痕，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-3】综合与实践 活动课上，老师让同学们翻折正方形进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】如图1，过点引射线，交边于点（点与点不重合）．通过翻折，使点落在射线上的点处，折痕交于，延长交于． 【问题探究】 （1）如图2，当点与点重合时，与的大小关系是________；是________三角形． （2）如图3，当点为边上任意一点时（与与点不重合），连接，猜想与的数量关系，并说明理由． 【题型6 正方形中的动点】 【例6】（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，正方形的边长为8，M为线段上一动点，于点于点，关于结论1和2，下列判断正确的是（   ） 结论1：四边形是姖形： 结论2：当的长最小时，四边形的面积为12 A．只有结论1正确 B．只有结论2正确 C．结论1和2都正确 D．结论1和2都不正确 【变式6-1】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，，，点E以每秒2个单位长度的速度从点D出发向点C运动（不与点C重合），连接，以为边向右侧作正方形，连接．若t秒后的面积恰好为，则t的值为 ． 【变式6-2】（2025·浙江丽水·二模）在正方形中，是对角线上一动点，作于点，于点．若四边形的面积为6，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【变式6-3】（24-25九年级上·江西抚州·期末）如图，在正方形中，，点是线段上一点，且，点是正方形边上一动点，运动路线为，速度为每秒，运动时间为，是等腰三角形，则的值为 ． 【题型7 正方形中的最值】 【例7】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，动点E从点A运动到点D，以为边在的右侧构造正方形，连接，则的最小值为 ，点F运动的路径长为 ． 【变式7-1】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，点D是y轴正半轴上的动点，点A在x轴正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为 ． 【变式7-2】（2025·辽宁沈阳·二模）如图，正方形边长为3，点是边的中点，点在边上，且，动点从点沿运动到点，过点作于点，作于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【变式7-3】如图，正方形边长为，为正方形对角线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、． (1)判断的形状，并说明理由； (2)取中点，连接，，则的面积是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是定值，请说明理由． (3)点是点关于直线的对称点，直接写出线段的最小值． 【题型8 正方形中的定值】 【例8】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）【新知】在中，若，则，即是等腰三角形． 【解决问题】如图，已知正方形中点E为边上异于点A、B的一动点，，交于点，连接．点为延长线上一定点，满足．的延长线与交于点，连接．（备注：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） (1)判断的形状； (2)试说明：； (3)探究是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由． 【变式8-1】（2025·浙江绍兴·一模）如图，在中，，分别以的三边向外作正方形，正方形，正方形．连结，若，，（a为常数），则下列各式为定值的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在边长为8的正方形中，是对角线上一点，且，点是上一动点，则点到边的距离之和的值（    ）    A．是定值 B．是定值8 C．有最小值 D．有最大值8 【变式8-3】如图，正方形ABCD的边长为定值，E是边CD上的动点（不与点C，D重合），AE交对角线BD于点F，FG⊥AE交BC于点G，GH⊥BD于点H．现给出下列命题：①AF＝FG；②FH的长度为定值．则（　　） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【题型9 构造正方形解题】 【例9】（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，已知四边形为正方形，为对角线上一动点（不与点，重合），连接，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)如图2，已知正方形的边长为2，当时， ①求的长； ②记的面积为，的面积为，则_________． 【变式9-1】（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则 ． 【变式9-2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接，则在下列说法中：①；②四边形是正方形；③的大小随着点的运动不断改变；④的值是定值；正确的有 ． 【变式9-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，均为等腰直角三角形， (1)如图1，求证：； (2)如图2，在图1的基础上延长和相交于点，过点作于点，若，，求的长； (3)如图3，点，分别在上，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，求证：． 【题型10 正方形中的路径长】 【例10】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形的边长为3，E为边上的动点，过点E作，且，在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径长为（   ） A． B． C．6 D． 【变式10-1】（2025·河北唐山·二模）如图，在正方形中，是边上的一个动点，由点开始运动，运动到停止．连接，以为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为．则点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ． 【变式10-2】矩形中，，，E、F分别是边、上的动点，且，连接，以为边构造正方形．当点F从C运动到B点的过程中，H运动的路径长为 ． 【变式10-3】如图，正方形中，为上一动点，过点作交边于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 正方形中的模型、长度关系、路径问题（举一反三专项训练） 【新教材华东师大版】 【题型1 正方形中的十字架模型】 1 【题型2 正方形中的夹半角模型】 13 【题型3 正方形中的型问题】 24 【题型4 正方形中的型问题】 33 【题型5 正方形的折叠】 41 【题型6 正方形中的动点】 47 【题型7 正方形中的最值】 53 【题型8 正方形中的定值】 58 【题型9 构造正方形解题】 65 【题型10 正方形中的路径长】 73 模型一 正方形中的十字架模型 模型1：端点为顶点 模型2：端点不为顶点 条件：正方形ABCD． 结论：且． 条件：正方形ABCD． 结论：，． 模型二 正方形中的夹半角模型 条件：正方形ABCD，． 结论：①； ②EA平分，FA平分． 思路：（SAS）， ，， （SAS）． 【题型1 正方形中的十字架模型】 【例1】阅读与思考 下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务： 由一道习题引发的思考−−“十字架模型”的拓展研究 在我们教材上，有这样一道习题：如图1，四边形是一个正方形花园，E，F是它的两个门，要修建两条路和，且使得，那么这两条路等长吗？为什么？ 对于上面问题，我是这样思考的： ∵四边形是正方形，∴，．   又∵，∴ ∴，（依据*） ∴，∴． 有趣的是对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，是否这两条线段仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究： 如图2，在正方形中，若点M、N、P、Q分别是、、、上的任意四点，且，垂足为O，则仍然与相等．理由如下： 过点M作，垂足为E，过点P作，垂足为F．则容易证明四边形和均为矩形， ∴，．∵，∴ 在四边形QOND中，∵， … 任务：任务：根据上面小论文的分析过程，解答下列问题： (1)画横线部分的“依据*”是__________________________． (2)在小论文的分析过程，主要运用的数学思想有：_______．（从下面选项中填出两项）． A．转化思想 B．方程思想 C．由特殊到一般的思想 D．函数思想 (3)请根据小论文提供的思路，补全图2剩余的证明过程． 【答案】(1)同角的余角相等 (2)A、C (3)见解析 【分析】（1）根据证明过程分析即可； （2）在小论文的分析过程，体现了转化思想和由特殊到一般的思想； （3）通过等量代换和全等三角形的判定得到，即可得到． 【详解】（1）∵ ∴ ∴， ∴ 根据同角的余角相等即可得到 故答案为：同角的余角相等． （2）在小论文的分析过程，体现了转化思想和由特殊到一般的思想 故答案为：A、C． （3）∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了同角的余角相等，基本的数学思想，全等三角形的判定和性质，正确理解题意是解题的关键． 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）在正方形中： (1)如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等吗？请证明你的结论； (2)如图2，如果点是边的中点，是上的点，过点作，分别交、与点、，若，，求线段的长； (3)如图3，在等边三角形中．点、分别在、上，且，若与交于点，且， ①求的度数． ②判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)①；②，见解析 【分析】（1）证明，即可证明结论成立； （2）证明，，证明，则，由为中点得到，则，即可求出答案． （3）①证明，由即可得到答案；② 证明为等边三角形，得到，证明为直角三角形，求出，，则，由即可得到答案． 【详解】（1） 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ，， ， （2）如图，过作，则四边形为矩形， ，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ，， ， ， 为中点． ， （3）①：为等边三角形， ， 在与中， ，，， 又 又 ② 理由： 如图，将绕点顺时针旋转， 为等边三角形， 与重合，即得到 ．， 为等边三角形， 又 由①得 为直角三角形 又， 又 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、正方形的性质等等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、旋转的性质是关键． 【变式1-2】感知： 如图①，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，过点作，交于点，易证：．（不需要证明） 探究： 如图②，在正方形中，，分别为边，上的点（点，不与正方形的顶点重合），连接，作的垂线分别交边，于点，，垂足为．若为中点，，，求的长． 应用： 应用：如图③，在正方形中，点，分别在，上，，，相交于点．若，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的面积为　　　，的周长为　　　． 【答案】感知：见详解探究：；应用：， 【分析】感知：由正方形的性质得出，，证得，由证得，即可得出结论； 探究：分别过点、作，，分别交、于点、，由正方形的性质得出，，，推出四边形是平行四边形，，，证出，同理，四边形是平行四边形，，，证得，由证得，得出，推出，由为中点，得出，则，由勾股定理得出，即可得出结果； 应用：，由阴影部分的面积与正方形的面积之比为，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，由证得，得出，，则，，则，，设，，则，，由勾股定理得出，，即，得出，即可得出结果． 【详解】感知： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 探究： 解：分别过点、作，，分别交、于点、，如图②所示： 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 同理，四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ； 应用： 解：， ， 阴影部分的面积与正方形的面积之比为， 阴影部分的面积为：， 空白部分的面积为：， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， 则， ， ， ， 即， ，即， 的周长为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积与正方形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关键． 【变式1-3】数学活动：探究正方形中的十字架 （1）猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF之间的数量关系： ． （2）探究：如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，此时线段HF与EG相等吗?如果相等请给出证明，如果不相等请说明理由． （3）应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为 ． 【答案】（1）AE=BF；（2）HF=EG，证明见解析；（3） 【分析】（1）利用AAS证明△ABF≌△DAE，即可得到结论； （2）过点E作EM⊥CD，垂足为M，过点H作HN⊥BC，垂足为N，利用ASA证明△HFN≌△EGM，即可得到结论； （3）连接NE，作NP⊥AD交AD于点P，根据折叠的性质，利用勾股定理就可以列出方程，从而解出DM的长，在Rt△EFN和Rt△NEC中，得到EF2+FN2=CE2+CN2，求出FN，再利用勾股定理即可求出MN． 【详解】解：（1）AE=BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠BAF=∠ADE=90°， ∴∠DAE+∠AED=90°， ∵BF⊥AE， ∴∠AFB+∠DAE=90°， ∴∠AED=∠AFB， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF=AE； （2）EG=HF，理由是： 如图，过点E作EM⊥CD，垂足为M，过点H作HN⊥BC，垂足为N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴EM=HN， ∵∠EPQ=90°， ∴∠PEQ+∠PQE=90°，又EM∥BC， ∴∠PQE=∠HFN， ∴∠PEQ+∠HFN=90°，又∠HFN+∠FHN=90°， ∴∠PEQ=∠FHN， 在△HFN和△EGM中， ， ∴△HFN≌△EGM（ASA）， ∴HF=EG； （3）如图，连接NE，作NP⊥AD交AD于点P， 由四边形ABCD是正方形及折叠知，FN=BN，EM=AM，EF=AB，∠EFN=∠B=90°， 在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2， ∵AB=BC=CD=DA=4，E为BC的中点， ∴DE=2， ∴DM2+22=（4-DM）2， 解得DM=， 在Rt△EFN中，EF2+FN2=EN2， 在Rt△NEC中，CE2+CN2=EN2， ∴EF2+FN2=CE2+CN2， ∴42+FN2=22+（4-FN）2， 解得，FN=， ∴BN=AP=， ∴MP=AD-DM-AP=4--=2， 在Rt△MPN中，MN==． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，翻折变换的问题，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键． 【题型2 正方形中的夹半角模型】 【例2】（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 【变式2-1】如图，正方形中，是上的点，是上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，如图，在的延长线上截取，根据正方形的性质可证，，，进一步说明，易证，即可证明结论．熟记并灵活应用它们的性质，并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【详解】证明：如图，在的延长线上截取， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，． ∵，则 ∴． ∴． 在和中 ， ∴ ∴． 即 ∴． 【变式2-2】半角模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． (1)求证：； (2)当时，求的长． (3)探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 【答案】(1)见详解 (2) (3)8 【分析】（1）由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出； （2）由（1）的全等得到，正方形的边长为3，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长． （3）拓展延伸：如图，在正方形中，、分别在边、上，且，连接，同（2）可得结论仍然成立，再结合，即可作答． 【详解】（1）证明：逆时针旋转得到， ，， 、、三点共线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：设， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 则． ∴； （3）解：如图②，将绕点顺时针旋转角度为的度数，得到， 由旋转可得，，，，， ， ， ， ， 点、、三点共线， 在和中， ， ， ， ， ； ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 则的周长为． 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 【变式2-3】（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【答案】（1）；见解析：（2）；（3）17 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，即可． （1）绕点旋转得到，则，推出，，，根据，，全等三角形的判定和性质，则，即可； （2）在上取点，使得，根据四边形的内角和，则，得到，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，再根据全等三角形的判定和性质，则，设，得到，，，根据勾股定理解出即可； （3）在上取点，使得，根据四边形的内角和，与互补，得到，根据等量代换，推出，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，，再根据角之间的运算，得到，再根据全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在四边形中，，， ∴绕点旋转得到， ∴， ∴，，，，，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）在上取点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； （3）在上取点，使得， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 【题型3 正方形中的型问题】 【例3】如图，在正方形中，点E，F分别在，的延长线上，且，的延长线交于点G． (1)求的度数； (2)在线段EG上取点H，使得，连接，． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，三角形的全等判定，等腰直角三角形的性质，熟练的掌握它们的性质和判定，作出合理的辅助线是解决问题的关键． （1）根据题意可得，，，，由此可证，得到，再根据，，即可得到． （2）依据题意补充图形后，过点作交于点，根据，，可得到、为等腰直角三角形，再证，即可得到线段与的数量关系． 【详解】（1）解：如图所示， 为正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． ． （2）解：① 如图所示，在线段上取点H，使得，连接，， ② 过点作交于点，如图所示， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ，即， （第一问已证）， ， 又 ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【变式3-1】在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），点关于射线的对称点为点，连接，连接并延长交于点． (1)求出的度数； (2)过点A作于点，点作交延长线于点，连接． ①补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①图见详解；②，证明见详解 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）①根据题意画出图形即可；②先求，由“”可证，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形是正方形， ， 点关于射线的对称点为点， ，， 又， ， ； （2）解：①如图所示： ②，理由如下： 连接，过点作，交的延长线于， ，， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ，   ， ， ，， ，， 又， ， ，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式3-2】综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】 （1）如图①，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证得．请写出证明过程． 【深入思考】 （2）在（1）的条件下，如图②，延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图③，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析（3），证明见解析 【分析】（1）可推出，从而，根据即可得证； （2）根据，，进而可推出矩形是正方形，从而，进一步得出结果； （3）在上截取，证明得，，进而得出，从而，进一步得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：， 证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， 即； （3）解：． 证明：如图，在上截取， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式3-3】如图，正方形，点在边上，为等腰直角三角形. （1）如图1，当，求证； （2）如图2，当，取的中点，连接，求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）可证，易知三角形FCG为等腰直角三角形，即，再求出； （2）添加辅助线，连接，在上截取，使得，连接，先求证，继而可证，在中，利用勾股定理即可求证. 【详解】解：作 四边形是正方形 是等腰直角三角形 连接，在上截取，使得，连接 为等腰直角三角形， 四边形是正方形 三点共线 为的中点， 在中， 即 【点睛】本题是正方形与三角形的综合，主要考查了三角形全等、正方形的性质、勾股定理，辅助线的添加难度较大. 【题型4 正方形中的型问题】 【例4】（24-25八年级下·全国·期末）如图，四边形是正方形，点在的延长线上，且，是上一点，连接，作交射线于点． (1)如图①，连接，当时，判断的形状，并说明理由； (2)如图②，当时，写出线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)等腰直角三角形，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据题意得到，可证明，即可得到结论； （2），过点作，交于点，得到， 可证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：（1）是等腰直角三角形．理由如下： 如图，连接． 四边形是正方形， ， ， ，， ，，， ，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：， 如图，过点作，交于点，则， 由（1）得， ， ，， 在中，． 由（1）得， ， 同（1）得， 在和中， ， ， ， ． 【变式4-1】（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． (1)判断与的位置关系并证明； (2)连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，见解析 (2)①图见解析；②，见解析 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线． （1）通过证明，得出，再由各角之间的关系即可求解； （2）①根据题意补全图形即可； ②取的中点T，连接，过点O作，根据全等三角形的判定和性质得出，再由正方形的判定和性质得出四边形为正方形，确定，再由勾股定理确定，然后结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①根据题意补全图形如图所示： ②取的中点T，连接，过点O作，如图所示： 根据题意得：， ∵的中点T，的中点O， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式4-2】如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上任意一点，连接AE，过点D作交AB于F，垂足为G． (1)求证：； (2)若点E是BC的中点，连接BG，请探究线段FG，BG，EG之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)FG＋EG＝BG，理由见解析 【分析】（1）证明△ABE≌△DAF（ASA），可得AF＝BE； （2）过点B作BG的垂线交AE的延长线于点H．证明△BFG≌△BEH（ASA），推出BG＝BH， FG＝EH，然后利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠DAF＝90°，AD＝AB， ∵DF⊥AE， ∴∠AGD＝90°， ∴∠DAG＋∠ADF＝90°，∠DAG＋∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠ADF， ∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴AF＝BE； （2）FG＋EG＝BG； 理由：过点B作BG的垂线交AE的延长线于点H， ∵E是BC的中点， ∵BE＝EC， ∵AB＝CB，AF＝BE， ∴AF＝BF＝BE＝CE， ∵BH⊥BG， ∴∠GBH＝90°， ∵∠ABC＝∠GBH＝90°， ∴∠FBG＝∠EBH， ∵DF⊥AE， ∴∠FGE＝∠EBF＝90°， ∴∠BFG＋∠BEG＝180°， ∵∠BEG＋∠BEH＝180°， ∴∠BFG＝∠BEH， ∴△BFG≌△BEH（ASA）， ∴BG＝BH，FG＝EH， ∴GH＝BG， ∴FG＋EG＝GH， ∴FG＋EG＝BG． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【变式4-3】（24-25八年级下·北京昌平·期末）正方形，点E是线段上一点，作射线，交于点F，．点A关于射线的对称点为点G，连接，，线段与，分别交于点P，Q． (1)①补全图形； ②求的度数； (2)延长交射线于点H，连接，若，用等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)，见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，轴对称的性质，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）①根据题意补全图形即可； ②由点，关于射线对称，得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，推出，于是得到； （2）连接交于点，连接，求得，，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：①补全图形如下； ②点，关于射线对称， ，， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：如图，连接交于点，连接， ，， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 【题型5 正方形的折叠】 【例5】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形中，点 M 是边的中点，连接，将沿直线向正方形内翻折，点 B 的对应点为点 N，连接，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，连接，利用正方形性质，折叠的性质证明，推出，，结合等腰三角形性质得到，设，，结合勾股定理推出，，进而得到，再利用等面积法求出，即可解题． 【详解】解：延长交于点，连接， 四边形为正方形， ，， 由折叠的性质可知，，， ，， ， ， ，， 即平分， ， ， 设，， ， 点 M 是边的中点， ， ，即， ， 即， 整理得， ， ， ， 解得， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形性质，折叠的性质，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，勾股定理，解题的关键在于利用等面积法求出． 【变式5-1】如图，正方形的边长为4，点G是边的中点，点E是边上的动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点G、F、B三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，由可知当点G、F、B三点共线时，最小，结合梯形面积、三角形面积求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵点G是边的中点， ∴， 连接， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴当点G、F、B三点共线时，最小， 连接，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式5-2】如图，已知正方形纸片，M、N分别是、的中点，把边向上翻折，使点C恰好落在上的P点处，为折痕，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，折叠问题；取的中点E，连接，证明四边形为矩形，得出，根据直角三角形性质得出，证明为等边三角形，得出，即可得出结果． 【详解】解：取的中点E，连接，如图所示：    ∵四边形为正方形， ∴，，， 根据折叠的性质知：，， ∵M、N分别是、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：C． 【变式5-3】综合与实践 活动课上，老师让同学们翻折正方形进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】如图1，过点引射线，交边于点（点与点不重合）．通过翻折，使点落在射线上的点处，折痕交于，延长交于． 【问题探究】 （1）如图2，当点与点重合时，与的大小关系是________；是________三角形． （2）如图3，当点为边上任意一点时（与与点不重合），连接，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；等腰直角；（2），理由见解析 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，翻折变换，等角对等边，全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键． （1）连接，根据正方形的性质，利用证明，推出，，即可解决问题； （2）根据正方形的性质，利用证明，即可得出． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由翻折可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：；等腰直角； （2），理由如下， ∵四边形是正方形， ∴，， 由翻折可知，， ∵， ∴， ∴． 【题型6 正方形中的动点】 【例6】（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，正方形的边长为8，M为线段上一动点，于点于点，关于结论1和2，下列判断正确的是（   ） 结论1：四边形是姖形： 结论2：当的长最小时，四边形的面积为12 A．只有结论1正确 B．只有结论2正确 C．结论1和2都正确 D．结论1和2都不正确 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，垂线段最短，矩形的判定与性质，连接与交于点O，连接，由正方形的边长为8，可得再结合，即可证明四边形是矩形，则，当O与M重合时的长最小，此时，，求出，可得四边形的面积为． 【详解】解：正方形的边长为8，如图，连接与交于点O，连接， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，故结论1正确； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴当O与M重合时的长最小，此时，， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， ∴结论2错误， 综上所述，只有结论1正确， 故选：A． 【变式6-1】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，，，点E以每秒2个单位长度的速度从点D出发向点C运动（不与点C重合），连接，以为边向右侧作正方形，连接．若t秒后的面积恰好为，则t的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，过点C作于M，延长交于N，可证明四边形是矩形，则，则可证明，即；由矩形的性质得到，，则，，由勾股定理得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解；如图所示，过点C作于M，延长交于N， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式6-2】（2025·浙江丽水·二模）在正方形中，是对角线上一动点，作于点，于点．若四边形的面积为6，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，连接，，由正方形的性质得出，得出，由矩形的性质得出，进而得出，利用，，求出，继而得出．熟练掌握上述知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是正方形，， ，，，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 矩形的面积， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ， 故选：C． 【变式6-3】（24-25九年级上·江西抚州·期末）如图，在正方形中，，点是线段上一点，且，点是正方形边上一动点，运动路线为，速度为每秒，运动时间为，是等腰三角形，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】求出，根据点E的位置分三种情况进行解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ∵， ∴ ①当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴ 此时 ②当时，如图， 设则 则 ∴， 即， 解得 ∴ ∴ ③当时，如图， 设则 则 即， 解得 ∴ 综上可知，的值为或或． 故答案为：或或． 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的定义、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键． 【题型7 正方形中的最值】 【例7】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，动点E从点A运动到点D，以为边在的右侧构造正方形，连接，则的最小值为 ，点F运动的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形及正方形的性质、全等三角形的判定与性质，延长到点P，使，连接，过点F作的垂线，垂足为H，先证，证出，得出点在以P为顶点，为一边的的的另一边上运动，求出最小值；证明 ，得出当动点E从点A运动到点D时，的长从变化到0，进而求出结论． 【详解】解：延长到点P，使，连接，过点F作的垂线，垂足为H．      在矩形中，， 在正方形中，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 点在以P为顶点，为一边的的的另一边上运动， 当时最小，最小值 ． ∵， ∴ ． 当动点E从点A运动到点D时，的长从变化到0， ∴点F运动的路径长为 ． 【变式7-1】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，点D是y轴正半轴上的动点，点A在x轴正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 取的中点H，连接，根据正方形的性质及直角三角形斜边中线的性质得出，再由勾股定理确定，再由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，取的中点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴当点H在上时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 【变式7-2】（2025·辽宁沈阳·二模）如图，正方形边长为3，点是边的中点，点在边上，且，动点从点沿运动到点，过点作于点，作于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短， 先说明四边形是矩形，根据矩形的性质得，当时，最短，即最短，连接，再根据勾股定理求出，然后根据可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最短，即最短． 连接， 由题意得， 根据勾股定理，得， ∴ ， 解得． 所以长度的最小值是3． 故答案为：3． 【变式7-3】如图，正方形边长为，为正方形对角线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、． (1)判断的形状，并说明理由； (2)取中点，连接，，则的面积是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是定值，请说明理由． (3)点是点关于直线的对称点，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)是定值，为 (3) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据正方形的性质可得，，再根据旋转的性质可得，，从而证得，得到，即可求得； （2）连接，作于点，可得，由，点为的中点，可得，则，从而求得； （3）根据轴对称的性质与正方形的性质，证明得出，根据（2）的结论得出 ，即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 四边形是正方形，为对角线， ，，， 线段绕点顺时针旋转得到， ，， 又，， ， 在和中： ， ， ， ， 是直角三角形； （2）是定值，如图，连接，作于点，则， ， 与的边上的高相等， ，点为的中点， ， ， ， （3）解：如图， ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， 当时，取得最小值，即取得最小值， 由（2）可得 ， ∴的最小值为． 【题型8 正方形中的定值】 【例8】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）【新知】在中，若，则，即是等腰三角形． 【解决问题】如图，已知正方形中点E为边上异于点A、B的一动点，，交于点，连接．点为延长线上一定点，满足．的延长线与交于点，连接．（备注：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） (1)判断的形状； (2)试说明：； (3)探究是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)是等腰直角三角形 (2)见解析 (3)是定值，为，理由见解析 【分析】（1）先求出，再根据平行线的性质可得，从而得到，即可解答； （2）根据，，可得，再由，可得，即可解答； （3）在取点M使，连接，证明，可得，从而得到，进而得到为等腰直角三角形，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （3）解：是定值，为，理由如下： 如图，在取点M使，连接， 由（2）得：， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解题的关键． 【变式8-1】（2025·浙江绍兴·一模）如图，在中，，分别以的三边向外作正方形，正方形，正方形．连结，若，，（a为常数），则下列各式为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键.过点N作，交的延长线于点H，由题意易得，然后可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点N作，交的延长线于点H，如图所示： ∵正方形，正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 即， ∴是定值； 故选D． 【变式8-2】如图，在边长为8的正方形中，是对角线上一点，且，点是上一动点，则点到边的距离之和的值（    ）    A．是定值 B．是定值8 C．有最小值 D．有最大值8 【答案】A 【分析】如图，连接，过点E作于点F，则，求解，再利用等面积法可得答案． 【详解】如图，连接，过点E作于点F，则，    ∵正方形的性质可知， ∴为等腰直角三角形， ∵正方形的边长为8， ∴， ∴， ∵，，而， ∴， ∵， ∴． 则点到边，的距离之和的值是定值． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、三角形的面积等知识，根据面积得到是解答本题的关键． 【变式8-3】如图，正方形ABCD的边长为定值，E是边CD上的动点（不与点C，D重合），AE交对角线BD于点F，FG⊥AE交BC于点G，GH⊥BD于点H．现给出下列命题：①AF＝FG；②FH的长度为定值．则（　　） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等判定定理与性质得出，再根据四边形的内角和定理、邻补角定义、等量代换得出，然后根据等腰三角形的性质得出，从而得出，即可判断①正确；先根据直角三角形的性质得出，再结合题（1）的结论，根据三角形的判定定理与性质可得，然后根据正方形ABCD的边长为定值即可判断②正确． 【详解】（1）证明：连接CF 在正方形ABCD中， 在△ABF和△CBF中， ∴在四边形ABGF中， 又 ； （2）连接AC交BD于O ∵四边形ABCD是正方形， 由（1）知， 正方形ABCD的边长为定值 正方形ABCD的对角线AC也为定值，从而为定值 的长度为定值 综上，①②正确 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【题型9 构造正方形解题】 【例9】（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，已知四边形为正方形，为对角线上一动点（不与点，重合），连接，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)如图2，已知正方形的边长为2，当时， ①求的长； ②记的面积为，的面积为，则_________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由正方形的性质可得，，作于，于，证明四边形为正方形，得出，，再证明，得出，即可得证； （2）①证明，得出，作于，则为等腰直角三角形，设，则，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，结合，求出，即可得解；②作交的延长线于，作于，证明四边形为正方形，得出，求出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， 如图，作于，于， 则， ∴四边形为矩形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：①由（1）可得矩形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，作于， 则为等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，作交的延长线于，作于， 则， ∴四边形为矩形， 由①可得，，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式9-1】（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系、正方形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作轴于点，轴于点，连接，证明，得到，拆分线段即可求解． 【详解】解：作轴于点，轴于点，连接，如图， ∵， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式9-2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接，则在下列说法中：①；②四边形是正方形；③的大小随着点的运动不断改变；④的值是定值；正确的有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，如图，作于M，于N，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据正方形的判定定理得到矩形是正方形，故②正确；根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，得到是定值，故③错误；根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得是定值，故④正确． 【详解】解：如图，作于M，于N， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点E是正方形对角线上的点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形，故②正确； ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵是正方形对角线， ∴，， ∴是定值，故③错误； ∵， ∴， ∴是定值．故④正确； 故答案为：①②④． 【变式9-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，均为等腰直角三角形， (1)如图1，求证：； (2)如图2，在图1的基础上延长和相交于点，过点作于点，若，，求的长； (3)如图3，点，分别在上，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）证明，得出； （2）连接，作于点N，由（1）知，，证明，得，，，证出，证明四边形为正方形，得，同理，得，设，则，列方程则可得出答案； （3）在上取点M，使得，连接，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，均为等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴； （2）解：连接，作于点N， 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 同理， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：在上取点M，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 【题型10 正方形中的路径长】 【例10】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形的边长为3，E为边上的动点，过点E作，且，在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径长为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】过点作交的延长线于点，连接，证明，则，证明是等腰直角三角形，得到，即点在的角平分线上运动，以为边，在右侧作正方形，连接，则，在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径为正方形的对角线,求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴平分， 即点在的角平分线上运动， 以为边，在右侧作正方形，连接，则 在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径为正方形的对角线, ∵正方形的边长为3， ∴ ∴ 即点F运动的路径长为， 故选：B 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明点在的角平分线上运动是解题的关键． 【变式10-1】（2025·河北唐山·二模）如图，在正方形中，是边上的一个动点，由点开始运动，运动到停止．连接，以为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为．则点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理．如图，延长到M，使得，连接，则点Q运动轨迹是线段，证明，利用点Q的运动轨迹是线段，结合勾股定理，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到M，使得，连接，则点Q运动轨迹是线段， ∵在正方形中，， ∴， 作于N， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点Q在线段上， 且点Q的运动轨迹是线段，，， ∵． 故答案为：． 【变式10-2】矩形中，，，E、F分别是边、上的动点，且，连接，以为边构造正方形．当点F从C运动到B点的过程中，H运动的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，适当建立直角坐标系，利用数形结合的思想解决问题是关键． 以B为原点，、所在的直线分别为轴、轴建立坐标系，设，则，过点作于M，过点作于N，根据正方形的性质，易证，得出，即H的运动轨迹为直线，再由得到两个端点坐标，根据坐标两点的距离公式求解即可． 【详解】解：如图，以B为原点，、所在的直线分别为轴、轴建立坐标系， 则，，， 设，则， 过点作于M，过点作于N， 则，四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ， ∴H的运动轨迹为直线， ∵， ∴当时，，当时，， ∴H运动的路径长为， 故答案为： 【变式10-3】如图，正方形中，为上一动点，过点作交边于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理以及勾股定理，综合掌握以上性质和判定，并能熟练运用是解题关键．根据题意，画出运动后的M点位置，再根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：连接，交于点O，连接，过P点作 垂足分别为E、F，延长FP，交于G， ∵正方形， ， ， ， 则四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； ∵正方形， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵正方形， ， O是中点， ， ， 在等腰三角形 中， ， ， ∵O是中点，M是中点， ． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $