精品解析：辽宁大连嘉汇中学2025-2026学年度第二学期综合素养中期评价 八年级数学

2025－2026学年度第二学期综合素养中期评价八年级数学 本试卷共2页，三大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果估计在（　　） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 5. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（    ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（ ） A. 12千米 B. 16千米 C. 20千米 D. 24千米 10. 如图，圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：＝___； 12. 如图，有一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的处，那么此时轮船与灯塔的距离为_________海里（结果用含根号的式子表示）． 13. 古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，竹子折断处的高度是______． 14. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线，交于点，交于点，连接．若，则的周长为_________． 15. 如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____． 三、解答题（本题共8小题，其中16题10分，17题8分，18题8分，19题8分，20题8分，21题8分，22题12分，23题13分，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 在Rt中，，、、的边分别为、、． （1）若，求 （2）若，求的值． 18. 如图，点E、F在的对角线上，且．求证：． 19. 如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 20. 项目化学习 项目主题：测量学校旗杆的高度 项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目学习． 项目步骤： 测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子 模型抽象 测量方案及相关数据 如图，线段表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，小乐同学用皮尺测出的长为米；如图，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，小雷同学用皮尺测出的长为米；小新的身高为米． 问题解决： 根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点作于点，则米． 请根据“智慧”小组的思路完成下列问题： （1）直接写出线段与之间的数量关系：_____； （2）求出学校旗杆的高度． 21. 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）如图2，在四边形中，，四边形是垂美四边形吗？______（是、否） （2）如图1，四边形是垂美四边形，请证明． （3）如图3，在中，，点F为斜边的中点，分别以为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，分别交于点．试猜想四边形的形状，并说明理由． 22. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（每位同学的矩形纸片规格不同）．老师规定矩形纸片按如下方式操作（如图1）． 操作一：在矩形纸片的边上找一点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点为点； 操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕为． （1）根据以上操作可知的度数为______． （2）如图2，小嘉折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状，并说明理由． （3）如图3，在经过折叠后，矩形纸片中，，求的长． 23. 在中，，，点是线段上的一动点（不与点，重合）连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． （1）【问题发现】如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是______．与的位置关系是_____． （2）【猜想论证】当点在边上且不是的中点时，试猜想与的数量关系和位置关系．小汇通过深入思考，从几何变换角度出发构建辅助线，类比问题（1）中所用知识，仍可得到（1）中的结论，请根据小汇的思路就图（2）中的情况完成解答过程． （3）【拓展应用】连接，若时，，其他条件不变，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期综合素养中期评价八年级数学 本试卷共2页，三大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行解答即可． 【详解】A、2是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、，不是最简二次根式； 故选A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数． 3. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由已知条件得到，则． 【详解】解；∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选；D． 4. 计算的结果估计在（　　） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：原式=4×+2 =4+2， 2= ∵4＜＜5， ∴8＜4+2＜9． 故选C． 5. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（    ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明四边形是菱形，得出，，，利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：连接，设与交于点，如图， 平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ∵由作图可得， ∴， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为菱形是解决问题的关键． 6. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】要使该代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，分别列式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，， 解得，， ∴实数的取值范围是且． 7. 如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数与数轴，勾股定理． 根据勾股定理求出的长，进而作答即可． 【详解】解：由图可知， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数为． ∴点D表示的数为． 故选：D． 8. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C 9. 如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（ ） A. 12千米 B. 16千米 C. 20千米 D. 24千米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 10. 如图，圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．要求蚂蚁爬行的最小长度，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示， 此时蚂蚁爬行的最小长度为， ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴在中，由勾股定理得：， 则， 即：这只蚂蚁爬行的最小长度为． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：＝___； 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则：（a≥0，b≥0）计算． 【详解】解：原式==， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则，最后的化简是解题关键． 12. 如图，有一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的处，那么此时轮船与灯塔的距离为_________海里（结果用含根号的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是与方向角有关的计算题、含角的直角三角形特征、勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理． 先根据方向角的知识得出、，再结合含角的直角三角形特征及勾股定理即可得解． 【详解】解：依题得，，海里， 中海里， 海里， 即此时轮船与灯塔的距离为海里． 故答案为：． 13. 古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，竹子折断处的高度是______． 【答案】12尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理列出方程求解x即可． 【详解】解：设尺，则尺， 由勾股定理得，， 解得， ∴尺， 故答案为：12尺． 14. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线，交于点，交于点，连接．若，则的周长为_________． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，勾股定理，灵活应用线段的转换是关键．根据垂直平分线的性质，得，，在中，根据勾股定理求出，得出，，再根据平行四边形的性质求周长即可． 【详解】解：由作图步骤可知，直线是的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质，得，， 在中，， ， ， 的周长为． 故答案为：26． 15. 如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要涉及平行四边形的性质与判定以及三角形中位线定理，取的中点，连接构造中位线，利用中位线性质和平行四边形性质得到新的平行四边形，进而得出线段之间的关系，最后根据已知线段长度求出． 【详解】解：取的中点，连接，如图， 是的中点，是的中点， 是的中位线， 平行于，， ∵四边形是平行四边形， ，平行于， 是的中点， ， 平行于，， ∴四边形是平行四边形， ， ，是的中点， ， ． 故答案为：3． 三、解答题（本题共8小题，其中16题10分，17题8分，18题8分，19题8分，20题8分，21题8分，22题12分，23题13分，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 在Rt中，，、、的边分别为、、． （1）若，求 （2）若，求的值． 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理. （1）根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理可得，，的数量关系，再把已知条件代入即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：中，，、、的对边分别为、、，且， 设，则． ，即， 解得（负值舍去）， ，. 18. 如图，点E、F在的对角线上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质得出，再证明，进而可得出答案． 【详解】证明：四边形为平行四边形． ， ， 又， ， ． 19. 如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用长加宽乘以2即可求解； （2）将大矩形面积减去阴影面积即可求解． 【小问1详解】 长方形ABCD的周长为：； 【小问2详解】 种植青菜部分的面积为： ． 答：种植青菜部分的面积是． 【点睛】本题考查了二次根式的加减和乘法的实际应用，解题关键是正确列出算式． 20. 项目化学习 项目主题：测量学校旗杆的高度 项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目学习． 项目步骤： 测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子 模型抽象 测量方案及相关数据 如图，线段表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，小乐同学用皮尺测出的长为米；如图，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，小雷同学用皮尺测出的长为米；小新的身高为米． 问题解决： 根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点作于点，则米． 请根据“智慧”小组的思路完成下列问题： （1）直接写出线段与之间的数量关系：_____； （2）求出学校旗杆的高度． 【答案】（1） （2）学校旗杆的高度为米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理解应用题，涉及矩形的判定与性质、勾股定理及解方程等知识，读懂题意，构造直角三角形由勾股定理求解是解决问题的关键． （1）根据题意，旗杆的绳子长度始终保持不变，由图与图中的描述即可得到答案； （2）由题意，得到相关线段长度及关系，过点作于点，如图所示，设米，则米，米，在中，由勾股定理可得，列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图可知，旗杆的绳子长为， 由图可知，旗杆的绳子长为， 绳子垂到地面多出部分米， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得米，米，，， ， 过点作于点，如图所示： ， ， 四边形为矩形， 米，米， 设米，则米，米， 在中，由勾股定理可得， 则， 解得， 答：学校旗杆的高度为米． 21. 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）如图2，在四边形中，，四边形是垂美四边形吗？______（是、否） （2）如图1，四边形是垂美四边形，请证明． （3）如图3，在中，，点F为斜边的中点，分别以为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，分别交于点．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）是 （2）证明见解析 （3）四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接、，根据垂美四边形的判定定理证明即可； （2）根据垂美四边形的定义和勾股定理证明即可； （3）根据点为斜边的中点，可得，再根据和是等腰三角形，可得，，再由（1）可得，，从而判定四边形是矩形． 【小问1详解】 解：连接、，如图： ， ∴点在线段的垂直平分线上， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ， ∴四边形是垂美四边形； 【小问2详解】 证明：， ， ，， ； 【小问3详解】 解：四边形是矩形，理由如下： 如图，连接， ∵点为斜边的中点， ， 和是等腰三角形， ，， 由（1）可得，，， ， ， ∴四边形是矩形． 22. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（每位同学的矩形纸片规格不同）．老师规定矩形纸片按如下方式操作（如图1）． 操作一：在矩形纸片的边上找一点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点为点； 操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕为． （1）根据以上操作可知的度数为______． （2）如图2，小嘉折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状，并说明理由． （3）如图3，在经过折叠后，矩形纸片中，，求的长． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形；理由见解析 （3）的长为 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，，，矩形中，可得，代入计算得； （2）连接，结合矩形与折叠性质，先证，推导出相关角度；再通过边角关系证明，得，结合，证得是等腰直角三角形； （3）过作，由勾股定理求得，设，分别在与中用勾股定理表示，建立方程解得，最终求出． 【小问1详解】 解：由折叠可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ，，， ． 由折叠的性质得：，， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，， 又， ， ∵， ∴， ， 由折叠可得，， ， ， ∵， ∴， ， 又∵，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：如图，过点作交的延长线于点， ， 由折叠的性质可知，， 四边形为矩形， ，． ∵矩形，，， ； 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 设， ；；； 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 解得， ． 在中，由勾股定理得：， ∴， ． 【点睛】本题核心是利用折叠前后边角不变的性质，结合全等三角形、勾股定理求解；通过角度推导、方程思想，将几何关系转化为代数计算，是矩形折叠类问题的典型思路． 23. 在中，，，点是线段上的一动点（不与点，重合）连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． （1）【问题发现】如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是______．与的位置关系是_____． （2）【猜想论证】当点在边上且不是的中点时，试猜想与的数量关系和位置关系．小汇通过深入思考，从几何变换角度出发构建辅助线，类比问题（1）中所用知识，仍可得到（1）中的结论，请根据小汇的思路就图（2）中的情况完成解答过程． （3）【拓展应用】连接，若时，，其他条件不变，直接写出的面积． 【答案】（1）， （2），，解答过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）第一问根据等腰直角三角形的判定和性质进行解答即可； （2）第二问需要作辅助线，构造全等三角形（见详解图），把线段与的数量关系转化为线段与的数量关系，再利用三角形中位线的性质即可解答； （3）第三问是考察特殊角的计算，利用含的直角三角形的短边是斜边的一半这个性质解出的长度，从而解出长度，利用第二问的答案解出的高的长度即可求得的面积． 【小问1详解】 解：，， 是等腰直角三角形， ， 是的中点， ， 即是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， 是的中点， ， 是等腰直角三角形， ， 即且． 【小问2详解】 解：，，理由如下： 延长到，使得，连接，． ，， 是的垂直平分线， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是的中点， 是的中位线， ，, ，． 【小问3详解】 解：连接，过点作于点K， , , ， ， ， ∴， ∴， 由（2）可得，，且， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，手拉手模型，解直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $