期末复习专题08 空间直线、平面的平行与垂直【6大题型+强化训练】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题08 空间直线、平面的平行与垂直 知识点1：平面的概念、画法及表示 1．几何里所说的“平面”，就是从生活中一些物体中抽象出来的．平面是向四周 无限延展 的． 2．平面的画法及表示 画法 平面水平放置 平面竖直放置 表示 ①平行四边形的四个顶点：平面 ABCD ； ②对角顶点：平面 AC 或平面 BD ； ③希腊字母：平面 α ，平面 β ，平面γ 【注意】“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据． 知识点2：平面的基本事实及推论 1．三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有 一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的 两个点 在一个平面内，那么这条直线在 这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒ l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2．三个推论 推论 内容 图形 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 共线、共点问题 (1)证明三点共线的方法 (2)证明三线共点的步骤 知识点3：空间中两直线的位置关系 1．异面直线 (1)定义：把不同在 任何一个 平面内的两条直线叫做异面直线； (2)画法：(通常用平面衬托) 2．空间两条直线的三种位置关系 判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内． (2)重要结论：与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线． 知识点4：直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有 无数个 公共点 有且只有一个 公共点 没有 公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 知识点5：平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有 公共点 有 无数 个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 知识点6：基本事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直 线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒ a∥c 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的 传递性 知识点7：空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 【注意】如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． 知识点8：直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与 此平面内的一条直线平行 ，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 知识点9：直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面 平行 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 交线平行 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b ⇒a∥b 图形语言 知识点10：平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的 两条相交直线 与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 知识点11：平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交 线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒ a∥b 图形语言 直线与直线垂直 (1)定义：如果两条异面直线所成的角是 直角 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直． (2)表示：直线a与直线b垂直，记作 a⊥b ． 知识点12：直线与平面垂直的定义 定义 一般地，如果直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的 垂线 ，平面α叫做直线l的 垂面 ．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做 垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 【注意】(1)定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”． (2)若l⊥α，c⊂α，则l⊥c． 知识点13：直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线 垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，m∩n ＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 知识点14：直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直 线平行 符号语言 ⇒ a∥b 图形语言 知识点15：面面垂直的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果一个平面过另一个平面的 垂线 ，那么这两个平面垂直 b⊥α ，b⊂β⇒β⊥α 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直” 知识点16：平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 交线 ，那么这条直线与另一个平面 垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 考点一 空间中共点、共线的问题 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点三 线面平行的判定与性质定理 考点四 面面平行的判定与性质定理 考点五 线面垂直的判定与垂直定理 考点六 面面垂直的判定与性质定理 考点一 空间中共点、共线的问题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【答案】证明见解析 【分析】先证明，可推得相交于点，再证明即可. 【详解】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出可得； （2）利用基本事实3可证三线共点. 【详解】（1）连接，到平面的距离为， 因为，故. 故，故. （2）在平面中，不平行，设，      则且，故平面 且平面， 故平面平面， 所以三线共点. 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，空间四边形中，，分别是，的中点，，分别在，上，且. (1)求证：，，，四点共面； (2)设与交于点，求证：，，三点共线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线定理，以及由比例式可证，进而可得，可得结论； （2）证明平面，平面，利用基本事实，即可证得结论. 【详解】（1），分别为，的中点，. 在中，，，. ，，，四点共面. （2），，平面，平面. 同理平面. 为平面与平面的公共点. 又平面平面， ，，，三点共线. 4．（25-26高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先证明两直线平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面； （2）结合面面交线证明三点共线； （3）根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点； 【详解】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 5．（25-26高一下·广西南宁·期中）如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（   ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．，，，四点中可以有三点共线 D．，，，四点中不存在三点共线 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质逐项分析判断即可. 【详解】若直线与平行，则空间四点A，B，C，D共面，故A不正确； 若直线与相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确； 若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故C错误，D正确. 6．（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求证：四点共面. 【答案】(1)16 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出侧面与底面三角形的面积即可得解； （2）根据棱锥的体积公式求解； （3）利用两条平行线确定一个平面，证明四点共面即可. 【详解】（1）由题意，， 在三角形中，， 所以， 所以. （2）, 因为三棱锥的高， 所以. （3）连接， 因为分别为的中点，所以且. 因为是直四棱柱，且底面是正方形， 所以，且，即四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以四点共面. 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 7．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（   ） A．E、F、G、H四点共面 B．与是异面直线 C．、、三线共点 D． 【答案】D 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形，则不平行，所以D不正确. 8．（25-26高一下·云南普洱·期中）一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正方体的展开图还原，即可根据正方体的性质逐一求解. 【详解】以所在平面作为下底面还原，还原成如图所示的正方体， 由图可得与异面，A错误． 显然B正确． 与异面，C错误． 连接，则为等边三角形，D错误．    9．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）（多选）如图，在直三棱柱中，，，､分别为，的中点，过点､､作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（      ）    A．三棱柱的体积为36 B． C．若交于，则与是异面直线 D．若交于，则 【答案】CD 【分析】对于A，根据棱柱的体积公式求解即可；对于B，判断出平面即为截面，结合直线与平面的位置关系判断即可；对于C，根据异面直线的概念判断即可；对于D，结合勾股定理求解即可. 【详解】如图所示，将该三棱柱补全为边长为6的正方体.    对于A，直三棱柱的体积，故A项错误； 对于B，延长与交于点，连接交于，连接，则平面即为截面. 因为，是中点，所以是的中点， 由与相似，得，所以， 而是的中点，所以与必相交，所以与截面不平行，故B项错误； 对于C，，，，则与是异面直线， 故C项正确； 对于D，，，在中，，故D项正确. 10．（25-26高一下·河北石家庄·期中）若是异面直线，下列四个命题中正确的是（   ） A．过不在上任一点，必可作直线与都平行 B．过不在上任一点，必可作直线与都相交 C．过不在上任一点，必可作平面与都平行 D．过可以并且只可以作一个平面与平行 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义、平面的基本性质及线面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】如图， ，是异面直线，设不在，上的任意一点为． 假设过点可作直线，，则．这与已知，是异面直线相矛盾．所以假设不成立，即不存在过点的直线与，都平行．故A错误； 若点或（P不在直线上），则不能够作直线与，都相交，故B错误； 若点或，则不能够作平面与，都平行，故C错误； 在直线上取，点，过，分别作直线，与直线平行，，可确定平面， 即平行于，此时在平面上，故D正确． 11．（2026·海南儋州·二模）已知直线，与平面，，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】若，，则或相交（墙角模型），故A错误； 若，，则，故B正确； 若，，则或异面，故C错误； 若，，则或相交，故D错误. 12．（25-26高二上·云南昆明·期中）（多选）设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据空间中的平行和垂直关系可判断选项. 【详解】A选项：根据线面平行的判定定理，可知A正确； B选项：若，则直线垂直于平面的一条直线，不满足线面垂直的判定定理，不能得出线面垂直，故B错误； C选项：根据线面平行的性质定理，可知C正确； D选项：若，因为，所以，则，故D正确． 考点三 线面平行的判定与性质定理 13．（25-26高一下·四川宜宾·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定结合中位线的条件即可求证； （2）使用等体积法结合条件中到平面的距离即可求解. 【详解】（1）在中，分别是和的中点， ， 又平面平面 平面． （2）由题意得点到平面的距离为2 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ， 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为． 14．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在正四棱台中，，，为边上一点，且，为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)在边上求一点，使得平面，并说明理由； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)为边上满足的点，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件得到上下底面正方形的边长，再结合侧棱长求出正四棱台的高，最后代入棱台体积公式计算体积即可. （2）当时满足要求，先可证得，再结合线面平行的判定定理即可推出平面. （3）将侧面和侧面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，可知的最小值就是展开平面中线段的长度，用余弦定理即可计算得结果. 【详解】（1）由题意可知，下底边长 ，上底边长， 上下底面均为正方形，故，， 上下底面中心与同底面各顶点的距离差为： ， 设棱台高为，由勾股定理：，得， 由棱台体积公式可得： . （2）由，,可得， 因为且，故得，则， 如图，若在边上取点，满足，连接, 则因且,故得，则, 故,又因不在平面内，平面,故得平面. 即在边上存在点满足，使得平面. （3）如图将平面沿展开，使平面与平面共面， 因为棱上的动点，的最小值即图中的线段之长. 因，，可得， 则，由余弦定理， 即，故的最小值为. 15．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，在正方体中，分别为中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用等体积法求解即可； （2）由线面平行的判定定理可得平面,平面,从而可得平面平面,根据面面平行的性质定理，即可得证. 【详解】（1）因为； （2）证明：连接, 由题意可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 又因为平面,平面, 所以平面, 同理可证平面, 又因为平面，， 所以平面平面, 又因为平面， 所以平面. 16．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线证得平面. （2）通过证明平面平面，证得平面. 【详解】（1）如图： 连接，交于，连接， 由于分别是的中点，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）连接，由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于平面,平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 17．（25-26高一下·江苏盐城·期中）如图，在长方体中，，，点为棱上一点. (1)试确定点的位置，使得平面，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)点为棱的中点，理由见解析 (2) 【分析】（1）点为的中点，连接中点与点，则为中位线，则，根据线面平行判定即可求解； （2）根据线线平行找到异面直线的所成角，即可结合三角形边角关系求解. 【详解】（1） 点为的中点，设与相交于点，连接，则为中位线，则， 平面，平面 所以，平面 （2）由（1）知，，所以即为异面直线与所成角或其补角. 因为，所以，， 且， 所以，在中，. 又，所以. 故异面直线与所成角的大小为. 18．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，则需要证明线线平行即可得到线面平行. （2）在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点，根据线面平行的判定证明即可. 【详解】（1）因为分别是，的中点，所以. 因为平面，而不在平面内， 所以平面. （2）设交于点，在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点. 连接，在中，因为， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面，符合题意，此时. 19．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明线线平行，从而证明线面平行； （2）通过相似三角形从而确定动点的位置，进而根据体积之间的比例进行求解； 【详解】（1），平面， 平面，面， 面，面面，， 面，面，面. （2）如下图所示，连接交于点，连接，作交于， 设，平面，平面， 平面平面，， 在梯形中，，， ，，，即， 可得 ，故. 20．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______． 【答案】 【分析】设，连接，利用线面平行的性质得，从而得为中点，再利用棱锥的体积公式和转换底面法，即可求解. 【详解】如图，设，连接，因为四棱锥为正四棱锥，则为的中点， 因为平面，又平面，平面平面， 所以，则为中点，所以， 又，则，所以，则. 21．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连、，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）先通过线面平行的判定证得面，再利用线面平行的性质证得. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连、 ，又， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面；    （2）在梯形中，， 又平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，，. 22．（25-26高一下·吉林·期中）在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】依据空间中线面平行、面面平行的判定定理与性质定理，逐一分析各选项的正误. 【详解】对A：若，，，则与的位置关系为平行或异面，故A错误； 对B：若，，则或，故B错误； 对C：若，，，由线面平行的性质定理可得，故C正确； 对D：若，，则与的位置关系为平行或相交，故D错误. 23．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据线、面的位置关系有关的概念和定理，对四个选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，由 ，得直线与可能平行、也可能是异面直线，A错误； 对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误； 对于C，由线面平行的判定定理可知C错误； 对于D，过直线作平面，且， 因为，所以， 过直线作平面，且， 同理可得， 所以， 因为，（若，则与重合） 所以， 因为，且， 所以，，故D正确.    24．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. （2）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. （2）在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. 25．（25-26高一下·吉林·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析． 【分析】(1)根据线面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，进行证明； (2)根据中位线和平行四边形中的平行性质，利用线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，通过线线平行，证明线面平行； (3)根据面面平行的判定定理，找动直线与面内直线平行时的位置，进行证明判断即可． 【详解】（1）证明：平面，且平面； 又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，； （2） 证明：取PA的中点G，连接EG，BG； 因为E，G，为PD，PA中点，所以，且； 又因为，，所以，且； 所以为平行四边形；所以； 又因为平面，平面， 所以平面； （3） 在上存在的中点使得平面平面，证明如下： 取的中点，连接CF，EF； 因为E，F，为PD，AD中点，所以； 又因为平面，平面， 所以平面； 又因为平面，且，平面； 所以平面平面； 在上存在点使得平面平面． 考点四 面面平行的判定与性质定理 26．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明； （2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可； （3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果. 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. （3）线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． 27．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）法一：连接，首先证明四边形是平行四边形，再根据已知及线面平行的判定即可证；法二：连接分别交于点，连接，利用等比例的性质得，再根据线面平行的判定即可证； （2）根据给定条件证明平面，法一：取中点P，连接，根据已知证明，再由线面平行、面面平行的判定证明结论，即可得；法二：延长交于，延长交于，连接，利用相似关系、平行四边形的性质及线面平行的判定证明平面，最后由面面平行的判定证明结论，即可得； 【详解】（1）法一：连接，在正方体中，分别是中点， 且，则四边形是平行四边形， ∴，平面平面，所以平面， 法二：连接分别交于点，连接， 如图在正方体中，且， 所以，则，同理得， 所以，则，而平面平面， 所以平面； （2）存在，且，理由如下： 因为，所以， ，而 ， 由平面平面， 所以平面， 法一：取中点P，连接，如图 ，是中点， 是的中位线，则， ∵F为中点，则且， ∴四边形是平行四边形， ， 综上，，平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 法二：延长交于，延长交于，连接，如图： 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，又，即， ∴四边形为平行四边形， 平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 所以时，平面平面. 28．（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知正方体，下列结论中，正确的结论是（    ） A． B．平面平面 C． D．平面 【答案】ABD 【分析】根据正方体的性质，以及线面平行，面面平行的判定定理,异面直线的判定方法逐一判断即可. 【详解】对于A，因,可得四边形时平行四边形，故，即A正确； 对于B和D,由A得，因平面，平面，则平面，故D正确； 同理可得平面,又平面，故平面平面，即B正确； 对于C，因平面,而平面，但平面，则与为异面直线，故C错误. 29．（25-26高一下·四川遂宁·期中）已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（ ） A．若，，则； B．若，，，，则； C．若，，则； D．若，，，则或与异面 【答案】D 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系及相关判定、性质定理，逐一判断即可. 【详解】对选项A：根据线面平行的判定定理，平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，才可推出该直线与此平面平行， 该选项未说明，当时也满足且，故A错误； 对选项B：根据面面平行的判定定理，一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，才可推出两平面平行， 该选项未说明与为相交直线，若，则与可能相交，故B错误； 对选项C：若，则与内的直线无公共点，位置关系为平行或异面，不一定平行，故C错误； 对选项D：若，则与无公共点，因此分别在两平面内的直线、也无公共点，无公共点的两条直线位置关系为平行或异面，故D正确. 30．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点使得平面平面，求的值． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面平行的判定定理，构造三角形中位线得到平行于平面内的直线，即可推出线面平行； （2）依据面面平行的性质，平面平面可得对应交线平行，据此确定为中点，即可算出的值. 【详解】（1） 取的中点，连接、. 因为是的中点，所以是的中位线， 故，且. 又正方形中，是中点，且， 因此 ，，即且. 所以四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，根据线面平行判定定理，得 平面. （2）已知平面平面，平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理，得. 在中，是中点，， 因此是的中点， 可得. 31．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点. (1)求证：直线平面； (2)若是的中点.试探究为何值时，直线平面？并给出你的证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，直线平面. 【分析】（1）先证明，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）过点作交于点，连接，证得，，由面面平行的判定定理证得平面平面，再由面面平行的性质定理证明即可. 【详解】（1）由三棱柱的性质可得：， 平面，平面， 所以平面. （2） 当时，直线平面，证明如下： 过点作交于点，连接，所以， 因为是的中点，所以为的中点，是的中点， 所以在中，，平面，平面， 所以平面，同理平面，， 平面，所以平面平面， 又平面，所以直线平面. 即当时，直线平面. 32．（22-23高三下·湖南岳阳·开学考试）a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题： ①，，则；②若，，则； ③，，则；④若，，则； ⑤若，，则；⑥若，，则. 其中真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据空间中线线平行、线面平行、面面平行的判定定理和性质定理判断即可. 【详解】，，为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面， ①，，则，满足直线与直线平行的传递性，所以①正确； ②，，则，可能平行，可能相交，也可能异面，所以②不正确； ③，，则，可能平行，也可能相交，所以③不正确； ④，，则，满足平面与平面平行的性质，所以④正确； ⑤，，则或，所以⑤不正确； ⑥，，则或，所以⑥不正确； 故选：C. 考点五 线面垂直的判定与垂直定理 33．（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． (1)求证：平面． (2)求异面直线与所成的角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用四棱锥的几何形状，结合已知条件，运用线面垂直判定定理证明结论； （2）连接交于点，连接，利用几何法得出即为异面直线与所成的角，再利用勾股定理求出的各边边长，进而求出角． 【详解】（1）四棱锥的底面是正方形，， 底面，底面，， ，平面， 平面． （2）连接交于点，连接， 在中，分别是中点，则， 因此异面直线与所成的角即为或其补角， ，， ， ，故是等边三角形， ， 异面直线与所成的角为． 34．（25-26高一下·天津南开·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．    (1)若为中点，求证：平面； (2)若，求证； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面平行判定定理证明结论； （2）取的中点，连接，再由线面垂直判定定理可证平面，从而得证； （3）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面；    （2）取的中点，连接， 因为为正三角形，所以， 又，则， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以； （3）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得， 又，所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 35．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点. (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离. 【答案】(1) 证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，利用三角形中位线定理证明，再结合线面平行的判定定理即可得证. （2）利用等体积法，通过计算三棱锥的体积和底面积求解点到平面的距离. 【详解】（1）连接交于点，连接. 因为三棱柱为正三棱柱，所以侧面为矩形， 所以为的中点. 又因为点为的中点，所以在中，为中位线，故. 因为平面，平面，所以平面. （2）设点到平面的距离为. 因为为正三角形，为的中点，所以，且. 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面. 又平面，所以.因为，平面，所以平面. 又平面，所以. 在中，. 所以的面积. 又的面积. 由可得，即， 解得.所以点到平面的距离为. 36．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 【答案】的中点 【分析】连接，证明当点是的中点时，平面. 【详解】如图，连接，则， 因为平面，又平面，所以. 又，平面. 所以平面，又平面，所以. 于是若平面，平面，则， 平面，又平面，所以. 又，平面，所以平面， 平面，所以，所以，， 所以， 因为是正方形，是的中点， 所以当且仅当是的中点时，， 即当点是的中点时，平面. 37．（25-26高二上·上海·阶段检测）在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 【答案】(1)1； (2)存在，且. 【分析】（1）连接，交于，在面内过作，交于，根据线面平行的判定找到的位置，进而求线段长； （2）问题化为证面，进而求的位置，即可得线段长. 【详解】（1）连接，交于，在面内过作，交于， 由面，面，则面， 故与重合时，满足题设要求， 根据长方体的性质，易知是的中点，故，即所求是中点， 所以； （2）存在，且，理由如下， 要使恒成立，只需垂直于所在平面即可， 当面，而面，故， 此时，即， 所以，则，可得. 38．（2026·天津红桥·一模）已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（    ） A．若平行于同一直线，则 B．若垂直于同一直线，则 C．若不平行，则在内不存在与平行的直线 D．若不平行，则与不可能垂直于同一平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若平行于同一直线，则或与相交，所以A不正确； 对于B，若与垂直于同一直线，则与平行或相交或异面，所以B不正确； 对于C，若不平行，设，在平面内作直线， 因为，所以，即在内存在与平行的直线，所以C不正确； 对于D，若，可得，所以不平行，则与不可能垂直于同一平面，所以D正确. 39．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接，交于，连接． 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点． 因为点是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以． 在中，，，，则，所以． 因为，平面，， 所以平面，所以． 40．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明 平面，即可求证； （2）通过证明平面.得到即为所求的线面角，进而可求解. 【详解】（1）    由侧棱底面，底面，可得 ； 又已知，且， 平面， 根据线面垂直判定定理得： 平面， 因为平面，因此 ， 三棱柱中，，因此可得 ， 由， ，可知侧面是正方形，正方形对角线互相垂直， 因此 ，又， 平面， 根据线面垂直判定定理得 平面， 因为平面，所以 ，得证； （2）由题意可得平面，又平面，所以. 又为的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面. 所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以. 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角为. 考点六 面面垂直的判定与性质定理 41．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A．，，，四点共面 B．平面平面 C．直线与所成的角为 D．平面 【答案】BC 【分析】根据直线，是异面直线可判断A；根据面面垂直的判定定理可判断B；取的中点，可得三角形为等边三角形可判断C；取的中点，根据可判断D． 【详解】对于A中，直线，是异面直线，故，，，四点不共面，故A错误； 对于B中，在长方体中，可得平面， 平面，所以平面平面，故B正确； 对于C中，取的中点，连接，，则， 所以直线与所成的角为．， ， ，所以三角形为等边三角形， 所以，故C正确； 对于D中，取的中点，连接，则易得，因为平面， 显然与平面不平行，故D错误． 故选：BC. 42．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为是的直径，是圆周上不同于的一动点， 所以，又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以平面平面. （3）过作于，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得 而 所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 43．（25-26高一下·重庆·期中）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上. (1)求证：平面平面； (2)在直线上找一点，使得平面，并求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）连接交于，过作交于，连接，，可证明平面，利用几何关系即可求出的长. 【详解】（1）四边形是直角梯形，， ， 又平面平面， ，且平面平面， 又平面平面平面； （2）连接交于，过作交于，连接，. 由平面平面，得平面可得， 又，直角中，，所以. 44．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面．（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先根据线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，所以只需要再垂直于平面内的一条和相交的直线即可满足条件. 【详解】因为底面为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以． 所以当时，平面， ，则平面， 而平面，所以平面平面． 45．（2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 46．（25-26高一下·福建南平·期中）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定性质推理得证. （2）利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理得证. 【详解】（1）由正方形，得，又平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）由正方形，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面， 由（1）知，所以平面. 47．（2026·浙江绍兴·模拟预测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，为的中点． (1)若，证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质以及相似三角形的性质，结合线面垂直的性质求解即可. （2）根据线面角的概念，找到直线与平面所成角，再根据三角形性质求解即可. 【详解】（1）取中点，连接交于，连接， 是正三角形， 是中点，. ∵平面平面，平面平面， 平面， 与中 ， ， . 平面 平面，. （2）作于，连. ∵平面平面，平面平面，而， 平面. 又平面，平面平面， 平面. 到平面的距离即，则直线与平面所成角为， ∴直线与平面所成角的余弦值的取值范围为. 48．（25-26高一下·福建厦门·期中）在三棱锥中，平面平面，平面平面，，，则下列错误的是（ ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】先证明平面，判断C；进而根据线面垂直性质判断A；取中点，连接，证明平面并求解的长度判断B；根据二面角的平面角的大小判断D. 【详解】在平面内取一点，作，，垂足分别为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以 同理：平面， 因为平面 所以平面，故C选项正确； 又平面，所以，故A选项正确； 对于B，取中点，连接，因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即点到平面的距离为的长度， 因为，所以，故B选项正确； 对于D，因为平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，，所以， 所以平面平面不成立，故错误. 1．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】结合反例可判断（1）（2），利用线面平行的性质可证明（3）. 【详解】对于（1），如图，正方体中，与为异面直线， 平面，平面， 但是平面与平面不平行，（1）不正确； 对于（2），如图，正方体中，平面与平面平行，但是直线与直线不平行，（2）不正确； 对于（3），因为，，且，所以，同理可得，所以，（3）正确. 2．（25-26高二·全国·暑假作业）已知是过正方体的顶点的平面与下底面所在平面的交线，下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 【答案】D 【详解】 平面，平面， 平面，故A正确； 平面，平面， 平面，故B正确； 因为平面，平面，平面平面， 平面，平面， 平面，故C正确； ∵，，∴， ，正方体中与的夹角为， 与夹角为，不垂直，故D错误． 3．（25-26高一下·北京·期中）设、为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且．下述四个命题： ①若，则或    ②若，则或 ③若且，则    ④若n与，所成的角相等，则 其中正确的命题的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合线面平行的判定与性质、线面角的定义逐一判断四个命题的真假，统计正确命题个数即可. 【详解】对命题①：已知，且直线不重合，分三类讨论： 若，则，由，，根据线面平行判定定理得，满足结论； 若，则，由，，根据线面平行判定定理得，满足结论； 若且，由，，得且，仍满足“或”， 故命题①为真命题. 对命题②：若与所成二面角不是直二面角，在其中一个面内作直线，则与均不垂直，故命题②为假命题。 对命题③： 如图所示，作包含直线的平面，设与平面的交线分别为， 由得，由得，因此； 又，故，结合，得，由推出， 故命题③为真命题. 对命题④：当时，与所成的角均为，满足所成角相等，但此时与不垂直，故命题④为假命题。 综上，真命题为①③，共个. 4．（2026·广东深圳·模拟预测）已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A．， B．， C．， D．，， 【答案】C 【详解】对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意； 对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； 对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； 对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 5．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）（多选）如图，在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．与所成的角为 D．平面平面 【答案】CD 【分析】A利用反证法求证；B利用线面平行的判定定理求证平面；C利用平行求出即可；D求证平面，再根据面面垂直的判定定理求证. 【详解】对于A，假设平面，因为，则平面或平面， 这与平面矛盾，故假设不成立，故A错误； 对于B，因为，且，所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面，故B错误； 对于C，因为（已证），所以与所成的角为或其补角， 易得为等边三角形，所以，故与所成的角为，故C正确； 对于D，因为为正方体，所以， 因平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故D正确. 故选：CD 6．（25-26高三上·广东·阶段检测）（多选）在正方体中，分别为的中点，，，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】AD 【分析】结合正方体的直观图，根据线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理逐一判断选项即可. 【详解】 选项A：因为分别为的中点，所以；因为，， 所以，所以. 因为，所以四边形是平行四边形，所以. 所以，所以四点共面. 又平面，平面，所以平面，所以选项A正确. 选项B：假设平面，则由平面，，平面， 可得平面平面，则平面. 由平面平面，平面，所以得， 因为点E为的中点，所以点G为的中点，与矛盾，所以假设不成立，所以选项B错误. 选项C：在正方体中，， ，所以， 所以与不垂直.因为平面，所以与平面不垂直，所以选项C错误. 选项D：在正方体中，由，得平面. 由选项A知，所以平面中，又 平面， 所以平面平面，所以选项D正确. 故选：AD. 7．（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）（多选）如图，在正方体中，动点在线段上，则（    ）    A．直线与所成的角大于50° B．对任意的点，都有平面 C．存在点，使得平面平面 D．不存在点，使得平面平面 【答案】BCD 【分析】A选项，根据线线平行，找到直线与BC所成的角，根据正方体的性质求出其度数；B选项，证明出平面，得到结论；C选项，当E在处时，平面平面；D选项，找到平面与平面所成的夹角，结合圆的知识点，推导出. 【详解】因为，所以即为直线与BC所成的角，，故A项错误； 因为平面，平面，所以， 又因为，所以平面， 故平面，故B项正确； 当点在处时，平面平面， 所以存在点，使得平面平面，故C项正确； 如图，过点作，则为平面与平面的交线， 在正方体中，平面，所以平面， 所以，，所以即为平面与平面所成的夹角， 因为点一定在以为直径的圆外，所以，所以不存在点， 使得平面平面，故D项正确.    故选：BCD 8．（2025高三·全国·专题练习）（多选）在正方体中，为棱上的动点（不包括两个端点），过点作平面，使得平面，则（    ） A．平面 B．∥平面 C．平面平面 D．平面∥平面 【答案】BC 【分析】利用反证法可判断A、D；由题设得到，再根据，结合线面平行的判定即可判断B；由面面垂直的判断即可判断C. 【详解】对于A，若，因为，所以，因为，所以，矛盾，所以A错误； 对于B，因为平面，所以，因为，且，所以，所以B正确； 对于C，因为平面，且，所以平面，所以C正确； 对于D，若平面，因为，所以平面，又平面，矛盾，所以D错误． 故选：BC. 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）在如图所示的长方体中，互相平行的平面共有________对，与垂直的平面是________． 【答案】 3 平面，平面 【详解】平面与平面平行，平面与平面平行，平面与平面平行，共3对，与垂直的平面是平面，平面． 10．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【答案】在中点与中点连线上 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在平面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， 11．（25-26高一下·福建漳州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：直线平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值； 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据棱锥的体积公式即可求解； （2）由中位线性质可证，然后再根据线面平行的判断定理即可证明； （3）首先证明直线与所成角是或其补角，然后通过勾股定理计算， 最后根据余弦定理即可求解. 【详解】（1）. （2）设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. （3）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 12．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得证； （2）根据棱锥体积之间的关系及体积公式求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，且，所以． 又因为，则，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为DE＝2EP，所以， 所以． 所以． 13．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）连接，由题可得， 又，所以是等边三角形，因为，所以， 在中，， 所以圆锥的体积为    （2）因为Q，O分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为， 所以由得：， 又，所以为等边三角形， 又所以， 所以,，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，，平面， 所以平面平面,即平面平面. 14．（25-26高一下·河南焦作·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 （2）由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 15．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证： (1)平面∥平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证，再由线面平行的判定即可证平面，同理可证平面，再由面面平行的判定证明即可； （2）根据题意可证平面，再结合平面∥平面，即可得到平面． 【详解】（1）证明：连接， ∵分别是 的中点， ∴，又∵平面，平面， ∴平面， 同理可证平面， 且平面，平面，， ∴平面平面； （2）证明：在正方体中，是的中点， ，平面，平面， ，又平面， 平面，又平面平面， 平面． 16．（25-26高一下·北京·期中）已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，利用线面平行的性质定理可证得结论成立； （3）利用面面垂直的性质得出平面，再利用线面垂直的定义可证得结论成立. 【详解】（1）因为、、分别是、、的中点，所以，， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，所以平面． 因为，、平面，所以平面平面． （2）因为底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． （3）因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题08空间直线、平面的平行与垂直 知识清单 知识点1：平面的概念、画法及表示 1.几何里所说的“平面”，就是从生活中一些物体中抽象出来的.平面是向四周无限延展的 2.平面的画法及表示 平面水平放置 平面竖直放置 画法 D ①平行四边形的四个顶点：平面ABCD; 表示 ②对角顶点：平面AC或平面BD; ③希腊字母：平面《，平面B,平面y 【注意】“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据。 知识点2：平面的基本事实及推论 1.三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 A,B,C三点不共线→存在 过不在一条直线上的三个 基本事实1 唯一的平面a使A,B, 点，有且只有一个平面 CEa 如果一条直线上的两个点 A∈l,B∈L,且A∈a,B∈a= 基本事实2 在一个平面内，那么这条直 &/ ICa 线在这个平面内 如果两个不重合的平面有 P∈a且P∈B=anB=I,且 基本事实3 个公共点，那么它们有且 PEI 有一条过该点的公共直线 2.三个推论 推论 内容 图形 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 aB“c 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 1/27 共线、共点问题 ()证明三点共线的方法 首先找出两个平面，然后证明这三点都 方法 是这两个平面的公共点，根据基本事实 3可知，这些点都在两个平面的交线上 方法二 选择其中两点确定一条直线，然后证明 另一点也在此直线上 (2)证明三线共点的步骤 步骤 ◆说明两条直线共面且交于一点 步骤 说明这个点在另两个平面上，并且这两 个平面相交 步骤→：得到交线也过此点，从而得到三线共点 知识点3：空间中两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线： (2)画法：（通常用平面衬托） 2.空间两条直线的三种位置关系 共面直线 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点： 平行直线：在同一平面内，没有公共点： 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 【注意】“不同在任何一个平面内”指这两条直线不具备确定平面的条即异面直线既不平行，也不相 判定两条直线是异面直线的方法 ()定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内， (2)重要结论：与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线， 知识点4：直线与平面的位置关系 直线a在平面a外 位置关系 直线a在平面a内 直线a与平面a相交 直线a与平面a平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 aCa a∩a=A alla 图形表示 a 知识点5：平面与平面的位置关系 2/27 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点（在一条直线上） 符号表示 allB anB=1 & B 图形表示 B■ 知识点6：基本事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线a,b,c,allb,bllc→allc 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性 知识点7：空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA‖OA',OB‖OB'-∠AOB=∠A'OB'或∠AOB+∠A'OB'=180° B 0 B B A 图形语言 0 0 A 0 -A 作用 判断或证明两个角相等或互补 【注意】如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 知识点8：直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 ata,bCa,且allb=a∥a 图形语言 b 知识点9：直线与平面平行的性质定理 条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平 文字语言 行 符号语言 aa,acp,anf=b→a∥b a 图形语言 b 知识点10：平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 3/27 符号语言 acB,bCB,anb=P,alla,blla=B//a 图形语言 知识点11：平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 allB,any=a,Bny=b=allb 图形语言 直线与直线垂直 (1)定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直. (2)表示：直线a与直线b垂直，记作aLb. 知识点12：直线与平面垂直的定义 一般地，如果直线1与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线1与平面a互相 定义 垂直，记作lLa 直线l叫做平面α的垂线，平面a叫做直线1的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一 有关概念 的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 【注意】(1)定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”. (2)若l⊥a,cCa,则lLc 知识点13：直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 mCa,nCa,m∩n=P,lLm,lLn-l⊥a 4/27 图形语言 知识点14：直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 a⊥a 符号语言 b⊥1 →ab 图形语言 知识点15：面面垂直的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果一个平面过另一个平面的垂线 b⊥a,bCf=→p⊥a 那么这两个平面垂直 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直” 知识点16：平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一 文字语言 个平面垂直 a⊥B anB=1 符号语言 aca →a⊥β a⊥1 a 图形语言 /B 考点汇总 考点一空间中共点、共线的问题 考点二空间点、直线、平面之间的位置关系 考点三线面平行的判定与性质定理 考点四面面平行的判定与性质定理 5/27 考点五线面垂直的判定与垂直定理 考点六面面垂直的判定与性质定理 考点突破 考点一空间中共点、共线的问题 E,F,G,H 1.(25-26高一下·全国课堂例题)如图，已知 分别是正方体 BCD-4BCD的4B,BC,CG,CD的 的棱 中点，AB=2.证明：直线EF,HC,DC交于同一点： D H C A B G D F E B 2.(25-26高一下·江苏无锡期中)如图，正方体 ABCD-ABCD 的棱长为4，BP=2PCD0=30 ,设过 B,P, 三点的平面为P,平面Bn平面48C0=1. C B B ①)求三棱锥8-BPO 的体积： ,BP,BC (2)求证：直线 交于一点 3.(2026高三全国专题练习)如图，空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别在BC, CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2 6/27 H (I)求证：E,F,G,H四点共面： (2)设EG与FH交于点P,求证：P,A,C三点共线， 4.(25-26高二上·上海·单元测试)已知在正方 ABCD-ABCD中，E、F分别 DGCB的中点， AC∩BD=PAC∩EF=Q .求证： (I)D,B,F,E四点共面： AC (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线： (③)DE、BF、 CG1三线交于一点. 5.(25-26高一下广西南宁·期中)如果空间四点A,B,C,D不共面，那么下列判断正确的是() A.直线AB与CD平行 B.直线AB与CD相交 C.A,B,C,D四点中可以有三点共线D.A,B,C,D四点中不存在三点共线 ABCD-ABC D A4=4 6.(25-26高一下浙江嘉兴期中)如图，已知直四棱柱 的底面是边长为2的正方形， E,F AA,AB 分别为 的中点 D C B D-ACD (1)求三棱锥 的表面积： 7/27 E-DDC (2)求三棱锥 的体积： E、F、C、D (3)求证： 四点共面 考点二空间点、直线、平面之间的位置关系 7.(25-26高一下广西南宁·期中)如图，三棱柱 BC-ABG中，点E、F、G、H分别为 BB CC AB AC 的中点，则下列说法错误的是() B E B G H A.E、F、G、H四点共面 B.AA与G 是异面直线 C.EG、FH、M三线共点 D EG//FH 8.(25-26高一下·云南普洱期中)一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则() E A B A.BD//EF B.EF//AB C.BC//EF D.AB⊥BC 9.(25-26高一下广东珠海·阶段检测)（多选）如图，在直三棱柱 BC-ABC中，4C=BC=CC=6 4CLBC,EF分别为8， 为B8,AC的中点，过点4E.F作三棱柱的截面“，则下列结论中正确的是（） 8/27 ABC-AB,C A.三棱柱 的体积为36 B BC∥a C.若a交B,C于M,则FM与AB是异面直线 D.若“交AG于M,EM=而 10.(25-26高一下河北石家庄期中)若a,b是异面直线，下列四个命题中正确的是() A.过不在a,b上任一点P,必可作直线与a,b都平行 B.过不在a,b上任一点P,必可作直线与a,b都相交 C.过不在a,b上任一点P,必可作平面与a,b都平行 D.过a可以并且只可以作一个平面与b平行 11.(2026海南儋州二模)己知直线m,n与平面a,B,”,则下列命题中正确的是() A.若a上Y,B⊥Y,则aB B.若m⊥a,n⊥a,则mlln C.若m/la,nca,则mlln D.若m/1a,m/IB,则allp 12.(25-26高二上云南昆明期中)（多选）设a、b为两条直线，a、B为两个平面，aca,a∩B=b,下列 说法正确的是() A若a/b al B ，则 B.若aL6 a⊥B ,则 C.者aB ，则a/b D.若a1B,则a1万 9/27 考点三线面平行的判定与性质定理 13.(25-26高一下·四川宜宾期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，点P到平面ABCD的距 离为2，AD=2,E、F分别是PB和BD的中点. E F B C (I)证明：EFII平面PAD; (2)求三棱锥C-PBD的体积. 14.(25-26高一下·重庆期中)如图，在正四棱台 BCD-ABCD中，MB=3A8=6.M=4,M为4B边上 一点，且M=2MB,P为 BB 上的动点（含端点）· D A ABCD-ABC D (1)求四棱台 的体积： (②在BC边上求-点，使得4”平面CDN, 平面 并说明理由： (3)求AP+PC的最小值. 15.(25-26高一下·福建莆田期中)如图，在正方体 BCD-ABCD中，M=2ER 分别为 CD、CCBB, 中点 10/27 A D 的 C G A D ----- B C (1)求三棱锥C-BEF的体积： (2)求证：DG11平面BEF. 16.(25-26高一下·四川遂宁·期中)如图所示，正四棱锥S-ABCD中，P为侧棱SD上靠近D点的四等分点， 为侧棱SD的中点 C (1)证明： BQ∥平面PAC; (2)若E是侧棱SC上靠近点C的三等分点，求证：BE∥平面PAC. BCD-ABCD中，AB=AD=2,1M=4,点P为棱 DD 17.(25-26高一下·江苏盐城期中)如图，在长方体 上一点 D C B P D B ()试确定点P的位置，使得 平面PAC BDI∥ 心，并说明理由； BD与CP (2)在(1)的条件下，求异面直线 成角的大小 18.(25-26高一下·江苏无锡期中)如图，在正方体ABCD-AB'C"D中，M,N分别是AB,BC的中点. 11/27 D D… C M B (1)求证：MNI/平面ACCA': D'P (2)若在棱DD上有一点P,满足BD11平面PMN,请你求出PD的值. 19.(25-26高一下·河北沧州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD和△BAD均为正三角形，AD⊥DC, AD/IBC,AB=2,M为PC上一点，设平面PAD与平面PBC的交线为l. M D- C B (1)证明III面ABCD: VP-AOMD (2)当PA/I平面DMB时，面DAM与PB交于Q,求V,-ABcD的值： 20.(25-26高一下·吉林长春期中)如图，在正四棱锥P-ABCD中，点Q在棱PC上运动，当PAII平面BDQ时， VP-AD0二 Vp-ABCD 21.(25-26高一下·浙江温州期中)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，BCI1AD, 12/27 BC-号4D,面PBCn面PHD=:E是pD的中点 D M (I)求证：CE/1平面PAB; (2)求证：111AD: 22.(25-26高一下·吉林期中)在空间中，1，m是不重合的直线，，P是不重合的平面，则下列说法正确的 是() A.若lca,mcB,allB,则llm B.若I∥m,mcP,则∥B C.若m/B,mca,anB=l,则l∥m D.若m/B,m11a,则alIB 23.(25-26高一下广东珠海阶段检测)设m,n表示两条不重合的直线，，B表示两个不重合的平面，则下列说 法正确的是() A.若m/1a,nca,则m/n B.若mc,nca,m/IB,nlIB,则aIIB C.若m/1n,nca,则m/la D.若m/la,m/B,anB=n,则mlln 24.(25-26高一下·江苏南京期中)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC11平面PAD,2BC=AD，E是PD 的中点 13/27 B ()求证：BC11AD: (2)求证：CE/I平面PAB 2.Q2526商-下吉林期）如图所示。在四核锥p-6CD,BC平面PH06C =24D,E是PD的中 点 P E M D B4-- (1)求证： BCIIAD (2)求证：CE1I平面PAB: (3)在AD上是否存在点F使得平面CEF I平面PAB,若存在，求出点F的位置并给以证明，若不存在，请说明理 由 考点四 面面平行的判定与性质定理 26.(25-26高一下·福建泉州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M,N,Q分别 为BC,PA,PB的中点 N D B M (I)求证：点Q,N,C,D四点共面 14/27 (2)求证：平面MNQ/I平面PCD. PE (③)在线段PD上是否存在一点E,使得MN1/平面ACE?若存在，求出PD的值：若不存在，请说明理由， G,E,F,P .AB,D C:BC AA 27.(25-26高一下福建泉州期中)如图，在正方 ABCD-ABCD中，点 分别为棱 的中点，点M是棱AD上的一点，且MD-4D D M A1 N: B D-------- B DGII (1)求证： 平面DBFE AN (2)棱AB上是否存在一点N使平面PMN1/平面DBFE？若存在，求AB的值；若不存在，请说明理由. ABCD-ABC D 28.(2026高三·全国·专题练习)（多选)已知正方体 ,下列结论中，正确的结论是() D B C B AD //BC AB D//BDC A. B.平面 平面 AD /IDC D AD//BDC 平面 29.(25-26高一下四川遂宁期中)已知两条不同直线a,b,两个不同平面a,B,下列命题中正确的是( 15/27 A.若a/1b,bca,则a/1a; B.若alla,bMa,acB,bcB,则a"p; C.若a/1a,bca,则a/lb; D.若a/p,aca,bcB,则a/b或a与b异面 30.(25-26高一下广西南宁期中)如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M,N分别是AB,PC的中 点. P D M B (I)求证：MNI/平面PAD: PO (2)若线段PB上存在一点Q使得平面MNQ/I平面PAD,求PB的值. 31.(2526高一下广东深圳期申)如图，在三棱柱M8C-ABC中，P是BC上一动点，即=Bc(0<1), 是CG上一点，是M的中点 M A B A------ B (I)求证：直线AB∥平面ABM: CC (2)若M是C的中点试探究入为何值时，直 P2/平面46C?并给出你的证明. 32.(22-23高三下·湖南岳阳开学考试)a,b,c为三条不重合的直线，a,B,Y为三个不重合的平面，现给出 下面六个命题： ①a∥c,b∥c,则a∥b:②若a∥y,b∥y,则a∥b: 16/27 ③a∥c,B∥c,则a∥B:④若a∥Y,B∥Y,则a∥B: ⑤若a∥c,a∥c,则a∥a;⑥若a∥y,a∥y,则a∥a. 其中真命题的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 考点五线面垂直的判定与垂直定理 33.(25-26高一下广东惠州期中)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD, AP=AB=AD=2,E是侧棱PB的中点. D D (I)求证：BC⊥平面PAB. (2)求异面直线AE与PD所成的角. 34.(25-26高一下·天津南开·期中)如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形，AD=2,△PAD为正 三角形，PB=PC=3,点E在PB上 (I)若E为中点，求证：PD/1平面AEC: (2)若AC∩BD=O,求证AD⊥PO: (3)求异面直线PB与AC所成角的余弦值. 35.(25-26高一下·黑龙江哈尔滨期中)如图，已知正三棱柱 BC-ABG中，4B=4=2,点P为8C的中点 17/27 A C B C AB/I APC (1)证明： 平面 APC (2)求点B到平面的距离 36.(2026高一·全国·专题练习)如图所示，在棱长为1的正方体 ABCD-AB,C D 中，点E是棱BC的中点，点 是棱CD上的动点，则点F为时 F EL ABF 平面 A D C B图 D Bl… E C 37.(25-26高二上·上海阶段检测)在长方体 BCD-4BCD中，MB=BC=2,M=3,为楼4B上一动点. D D A 万 BC// ACE (1)当 7平面AC时，求线段E的长度： 2在CG上是香存在定点F,使得8F1D CF 恒成立？如果存在，求的长度 18/27 38.(2026天津红桥·一模)已知m,n是两条不同直线，P是两个不同平面，则下列命题正确的是（) A.若，B平行于同一直线，则a/IB B.若m,n垂直于同一直线，则m∥n C.若，B不平行，则在a内不存在与B平行的直线 D.若m,”不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 39.(25-26高一下·天津滨海新区·期中)如图，已知在直三棱柱 BC-A8C中，AC=3,AB=5,BC=4, A4=4 ,点D是B的中点 C A .--- C B D AC1 CDB (1)求证： 平面 ； (2)求证： AC⊥CB 40.(25-26高一下四川遂宁·期中)如图，在三棱柱 48C-A8G中，侧按M+底面4BC,B1BC,D为 AC AA=AB=BC=2 的中点， A B AC⊥AB (1)求证： 19/27 C与平面1 AACC (2)求直线 所成角的大小. 考点六面面垂直的判定与性质定理 41.(25-26高二全国暑假作业)（多选）如图，在长方体 BCD-ABCD中，M=AB=4,BC=2,M, 分别为 CD,CG的中点，则(） A D D C A.A,M,N,B四点共面 B.平面ADM⊥平面CDD,C C.直线BW与B 所成的角为60 D BN∥平面ADM 42.(25-26高一下·福建厦门期中)如图，AB是⊙0的直径，PA垂直于⊙0所在的平面，C是圆周上不同于 A.B 的一动点. D 6-B (I)证明：BC⊥平面PAC； (2)证明：平面PAC⊥平面PBC; 8猪PM=B=2,4C=5.求直线B与平 P8C所成角的正弦值。 43.(25-26高一下·重庆期中)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥AD,AB/CD,PC⊥底 面ABCD,AD=DC=2,AB=CP=4,点E在直线PB上 20/27 E D (I)求证：平面ACE⊥平面PBC: (2)在直线PB上找一点F,使得PDII平面ACF,并求BF的长. 44.(2026高三全国·专题练习)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等，M 是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) P M 45.(2025高一·全国·专题练习)如图，在几何体ABCDE中，EA⊥平面ABC,EA∥DC,AB L AC, EA=AB=AC=2DC,M是线段BD上的动点. B (I)当M是线段BD的中点时，求证：BC⊥平面MEA. DM (②)是否存在点M,使得平面MEA1平面EBD？若存在，求MB的值：若不存在，请说明理由. 46.(25-26高一下·福建南平~期中)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面 BCF D B E (I)求证：CD/1EF. (2)求证：EF⊥平面BCF: 21/27 47.(2026浙江绍兴~模拟预测)如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，平面PAB⊥平面ABCD,PA=AB,E 为BC的中点. B D (I)若PB=PA,证明：AE⊥PD: (2)求直线AE与平面PBC所成角的余弦值的取值范围. 48.(25-26高一下·福建厦门期中)在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC, AB=BC=4,∠ABC=90°，则下列错误的是() BC⊥PA A B.点8到平面P1C v√2 的距离为 C.PA⊥平面ABC D.平面PAB⊥平面PAC 强化训练 1.(25-26高一下·山西晋中阶段检测)已知三条互不相同的直线1，m,n和三个互不相同的平面a,阝，y,现给 出下列三个命题： (I)若I与m为异面直线，1ca,mcB,则a/1P: (2)若a11B,Ica,mcB,，则l11m: (3)若anB=l,y∩B=m,y∩a=n,1/y,则ml1n. 其中真命题的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 ABCD-ABC D ABD 2.(25-26高二·全国暑假作业)己知是过正方体 的顶点的平面与下底面4BCD 所在平面 的交线，下列结论错误的是() A D8∥平面ABCD B.BD/平面D8 平面4BCD C.1 I⊥BC D 22/27 3.(25-26高一下北京期中)设a、B为两个不同的平面，m、n为两条不同的直线，且a∩B=m,下述四个 命题： ①若m∥n,则n/1a或nl/B②若m⊥n,则n⊥a或nLB ③若n/1a且n/B,则m∥n④若n与a,P所成的角相等，则m⊥n 其中正确的命题的个数是（) A.0 B.1 C.2 D.3 4.(2026广东深圳模拟预测)已知直线m,n与平面a,B,Y，则a上B的一个充分条件是() A.m⊥a,m⊥B B.a⊥Y,B⊥Y C.m⊥B,mca D.a∩B=n,mca,m⊥n ABCD-ABCD 5.(25-26高二上河南许昌·阶段检测)（多选)如图，在正方体 中，下列结论正确的是() EE=C B CDI∥ ABD ABD A 平面 B.CD平面 C.CD与BD所成的角为60 ACCA⊥ABD D.平面 平面 6.(25-26高三上·广东阶段检测)（多选)在正方体 BCD-ABCD中，EF分别为 AB,BC 的中点， AG=2GB CH=2HB ,则(） A.4C平面 EFHG B.AC∥平EFHG 平面1 C.BDL EFHG DDB,⊥EFHG 平面 D.平面 平面 23/27 7.(25-26高三下·安徽阜阳开学考试)（多选）如图，在正方体 BCD-ABCD中，动点E在线段4C上，则 () D C E B C ” B A.直线 G与BC 所成的角大于50° B.对任意的点E,都有BD⊥平面ACE C.存在点B,使得平 ABE1平面 CCDD D.不存在点E,使得平面ABE⊥平面CDE ABCD-ABCD AA 8.(2025高三全国专题练习)（多选）在正方体 中，P为棱上的动点（不包括两个端点）， C⊥ 过点P作平面“，使得 平面“，则() AB⊥ A. 平面a B.BDI平面“ ACC,A CBD C.平面 平面a D.平面 平面a 9.(25-26高一下·全国课堂例题)在如图所示的长方体ABCD-ABC'D中，互相平行的平面共有 对， 与AA垂直的平面是 A B 10.(25-26高-一下全国课后作业)如图，已知正方体ABCD-AB'C'D',E,F分别为AD,AB的中点，点G 在上底面4B'CD(含边界)上运动请补充一个怡当条件，当点G满足 时，有BC'平面EFG. 24/27 G A D 11.(25-26高一下·福建漳州期中)如图，长方体 1BCD-ABCD中，MB=AD=24=4, ，点P DD的中点 D A B (I)求三棱锥B-PAC的体积. (2)求证：直线 平面PAC BD∥ (3)求异面直线 D与PC所成角的余弦值： 12.(25-26高一下·河北石家庄期中)如图，在四棱锥P-ABCD中， AB⊥AD,AD∥BC,AD=3,DE=2EP,AB=5,BC=3 =2,点p到平面ABCD的距离为3. D D (I)求证：PB∥平面ACE: (2)求三棱锥P-ACE的体积， 13.(25-26高一下广西南宁期中)如图，一个圆锥的顶点是P,O是底面的圆心，AB是底面的一条直径， 25/27 AB=2. B D (I)若∠PAO= 3,求该圆锥的体积： (2)若O是pPA中点，C、D是底面圆上两点，∠A0C= 3,CD∥AB,求证：平面QCO1/平面PBD: 14.(25-26高一下·河南焦作阶段检测)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E,F,G分别是 PD,AC,PA 的中点，平面 ABEFG=1 平面 证明： G D (1 EFIlI (2)平面EFG引平面PBC. 15.(25-26高一下·贵州毕节·期中)如图，在正方体 BCD-AB,CD中，S是BD的中点，E,F,G分别是 BC,CD,SC的中点，求证： D D B 26/27 EFG BDD B (1)平面 ∥平面 25L 平面G 16.(25-26高一下·北京期中)己知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形，E、F、G分别是PC、PD、BC 的中点.设平面PAD与平面PBC的交线为I,平面PAD⊥平面ABCD. E D G B (I)证明：平面EFG∥平面PAB: (2)求证：BCM: (3)求证：DC⊥PA. 27/27