专题08 空间直线、平面的垂直讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

空间直线、平面的垂直08 题型1 直线与直线垂直 6 题型2 直线与直线垂直的证明 8 题型3 异面直线所成的角 11 题型4 直线与平面垂直 13 题型5 几何法求解直线与平面所成的角 18 题型6 平面与平面垂直 22 题型7 几何法求解二面角及两平面的夹角 27 题型8 几何体体积的有关计算 32 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1.直线与直线垂直 异面直线及其所成的角 异面直线的判定 2.直线与平面垂直 直线与平面垂直 几何法求解直线与平面所成的角 3.平面与平面垂直 平面与平面垂直 几何法求解二面角及两平面的夹角 2 知识储备 空间直线与直线的垂直知识点 01 1.异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角为90°，那么这两条异面直线互相垂直。空间中两条直线垂直，包括相交垂直和异面垂直两种情况，二者均满足所成角为90°. 补充说明：相交垂直是共面内的垂直，异面垂直是不共面的垂直，异面直线垂直无专门符号，仍记作. 2.异面直线垂直的判定方法 （1）定义法：通过平移，将异面直线转化为相交直线，若所成的角为90°，则两异面直线垂直；（2）线面垂直推导法：若一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线，可用于推导异面直线垂直. 3.空间两直线垂直的常用判定思路 （1）平面几何方法：等腰三角形三线合一、勾股定理逆定理、矩形/正方形邻边垂直等，适用于共面直线；（2）空间方法：线面垂直的性质、异面直线所成角定义、面面垂直的性质推导. 直线与平面垂直知识点 02 1.定义 如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直，记作.这条直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，它们的公共点叫做垂足. 易错提醒：无需证明直线与平面内的所有直线垂直，只需证明与平面内两条相交直线垂直即可（判定定理），定义常用于性质推导. 2.直线与平面垂直的判定定理 文字表述（课本原文）：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与此平面垂直. 简记：线线垂直（两条相交）⇒线面垂直. 符号表示：若，，，且，，则. 关键要点：①两条直线必须在平面内，且相交（缺一不可）；②避免用两条平行直线代替相交直线，否则无法判定线面垂直. 3.直线与平面垂直的性质定理 （1）性质1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的所有直线都垂直（与定义互逆）. 简记：线面垂直⇒线线垂直. 符号表示：若，，则. （2）性质2：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 符号表示：若，，则. 核心用途：性质1用于推导线线垂直（含异面垂直），性质2用于推导线线平行，简化平行与垂直关系的转化. 4.直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角；若直线垂直于平面，所成角为90°；若直线平行于平面或在平面内，所成角为0°. （2）范围：. （3）求解方法：找斜线在平面内的射影（过斜线上一点作平面的垂线，连接垂足与斜线和平面的交点），转化为直角三角形求解. 平面与平面垂直知识点 03 1.二面角的定义与平面角 （1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面，记作（l为棱）. （2）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角，是度量二面角大小的依据. （3）范围：二面角的平面角范围为，平面角为90°时，二面角为直二面角. 2.平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直二面角（平面角为90°），那么这两个平面互相垂直，记作. 3.平面与平面垂直的判定定理 文字表述（课本原文）：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 简记：线面垂直⇒面面垂直. 符号表示：若，，则. 关键要点：只需证明一条直线垂直于另一个平面，且这条直线在当前平面内，即可判定两面垂直. 4.平面与平面垂直的性质定理 文字表述（课本原文）：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 简记：面面垂直⇒线面垂直. 符号表示：若，，，且，则. 易错提醒：必须满足两个条件——①直线在其中一个平面内；②直线垂直于两个平面的交线，缺一不可. 5.垂直关系的核心转化链 本节核心逻辑是垂直关系的相互转化，贯穿所有证明与计算题型，转化链如下：线线垂直线面垂直面面垂直，常与平行关系结合考查. 3 技巧总结 1.线线垂直证明技巧：共面垂直优先用平面几何方法（勾股定理、等腰三角形性质）；异面垂直优先用线面垂直性质（先证一条直线垂直于一个平面，再推导它垂直于另一条直线）. 2.线面垂直证明技巧：关键是在平面内找到两条相交直线，分别证明已知直线与这两条直线垂直；常用辅助线做法：连接中点构造等腰三角形、作平面的垂线构造直角三角形. 3.面面垂直证明技巧：优先用判定定理（线面垂直⇒面面垂直），只需找到一条“跨平面”的垂线（垂直于另一个平面，且在当前平面内），简化证明步骤. 4.已知垂直推结论技巧：看到面面垂直，立刻想到“在一个平面内作交线的垂线”，利用性质定理推导线面垂直；看到线面垂直，可直接推导它与平面内所有直线垂直（含异面直线）. 5.角度求解技巧：直线与平面所成角、二面角的求解，核心是“找角”——线面角找斜线与射影的夹角，二面角找平面角，均转化为直角三角形，结合三角函数或勾股定理计算. 6.符号书写规范技巧：严格区分垂直、包含、相交等符号，用于线线、线面、面面垂直，避免与平行符号、包含符号混淆. 7.直观图相关垂直技巧：斜二测画法中，垂直关系不一定保持（如原垂直的线段，直观图中可能不垂直），需结合原图与直观图的边长、角度关系，判断垂直关系是否成立. 拓展区 拓展延伸 走进名校 1.垂直关系的传递性说明：空间中垂直关系无传递性，如，，不一定有；但线面垂直具有传递性延伸（两条直线垂直于同一平面，则两直线平行）. 2.射影相关补充：从平面外一点向平面作垂线，垂足叫做该点在平面内的射影；斜线在平面内的射影是连接垂足与斜线和平面交点的线段，常用于角度求解. 3.直观图与垂直关系：斜二测画法中，平行关系保持不变，但垂直关系可能改变，需通过原图边长比例、角度，验证直观图中线段是否垂直，避免视觉误差导致判断错误. 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 直线与直线垂直 【典例1】　在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】根据条件即可判断结果． 【解答】解：和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1． 故选：B． 【典例2】　（2024秋•海淀区校级月考）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的有 AB、A1B1 ． 【答案】AB、A1B1． 【分析】根据题意，利用正三棱柱的性质可得AB、A1B1均与直线CD、AA1垂直，可得答案． 【解答】解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1B1B是矩形，可得AB⊥AA1， 正△ABC中，D为AB中点，可得AB⊥CD，即AB是与直线CD和AA1均垂直的直线． 而AB与A1B1平行，所以A1B1也是与直线CD和AA1均垂直的直线． 因此，与直线CD和AA1均垂直的直线有AB、A1B1． 故答案为：AB、A1B1． 【典例3】　（2020秋•镜湖区校级期中）在下列四个正方体中，能得出直线AB与CD所成角为90°的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于A，作出过AB的对角面ABE，可得直线CD与这个对角面ABE垂直，从而AB⊥CD成立；对于B，作出过AB的等边三角形截面ABE，得CD与AB所成角等于60°；对于C、D，将CD平移至经过B点的侧棱处，得AB、CD所成角都是锐角． 【解答】解：对于A，作出过AB的对角面ABE，如图， 可得直线CD与这个对角面ABE垂直， 根据线面垂直的性质，AB⊥CD成立，故A正确； 对于B，作出过AB的等边三角形截面ABE，如图， 将CD平移至内侧面， 可得CD与AB所成角等于60°，故B不成立； 对于C，D，将CD平移至经过B点的侧棱处， 可得AB、CD所成角都是锐角， 故C和D均不成立． 故选：A． 题型2 直线与直线垂直的证明 【典例4】　如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为棱AD，CC1的中点．求证：A1P⊥BQ． 【答案】证明见解答． 【分析】取DD1的中点R，连接QR，AR，通过证明A1P⊥AR证得结论． 【解答】证明：取DD1的中点R，连接QR，AR，如图： AR∩A1P＝O． ∵Q是CC1的中点，∴QR∥CD．而AB∥CD，∴QR∥AB． ∴四边形ABQR是平行四边形，∴BQ∥AR． 在正方形AA1D1D中，∵P，R分别是AD，DD1的中点， ∴Rt△AA1P≅Rt△DAR，∴∠AA1P＝∠DAR． ∵∠DAR+∠A1AR＝90° ∴∠AA1P+∠A1AR＝90° ∴∠AOA1＝90°， 即A1P⊥AR，∴A1P⊥BQ． 【典例5】　如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF． 【答案】证明见解析． 【分析】根据题意，连接A1C1、B1D1，先证明A1C1⊥面DD1B1，则有A1C1⊥DB1，由中位线定理可得EF∥A1C1，结合平行公理可得证明． 【解答】证明：根据题意，连接A1C1、B1D1， 底面为正方形，则有A1C1⊥B1D1， 又由侧棱DD1⊥面A1B1C1D1，则DD1⊥A1C1， 而B1D1∩DD1＝D1， 则有A1C1⊥面DD1B1，必有A1C1⊥DB1， 又由E，F分别是A1B1，B1C1的中点，则EF∥A1C1， 必有DB1⊥EF． 【典例6】　（2013春•广陵区校级期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接B1A，根据AD⊥平面AA1B1B，得到A1B⊥AD．根据正方形AA1B1B中对角线互相垂直，得AB1⊥A1B，从而得到AB1⊥平面ADC1B1，再由AO⊂平面ADC1B1，得到AO⊥A1B． 【解答】解：连接B1A， ∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B， ∴A1B⊥AD ∵正方形AA1B1B中，AB1⊥A1B，且AB1∩AD＝A ∴AB1⊥平面ADC1B1 ∵AO⊂平面ADC1B1， ∴AO⊥A1B． 题型3 异面直线所成的角 【典例7】　（2024春•宁德期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，C1D1的中点，则BE与DF所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过平移将异面直线的所成角转化为相交直线的所成角，在三角形内利用余弦定理即可求得． 【解答】解：如图，连接CF，EF， ∵E，F分别为棱A1B1，C1D1的中点， 可得B1C1∥EF且B1C1＝EF，又B1C1∥BC且B1C1＝BC， ∴EF∥BC且EF＝BC，∴四边形EFCB为平行四边形， ∴BE∥CF，∴∠CFD或其补角为直线BE与直线DF所成的角， 在△CFD中，，CD＝1， 由余弦定理得， ∴BE与DF所成角的余弦值为． 故选：A． 【典例8】　（2023秋•湖北期末）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，O是底面ABCD的中心，E，F分别是BB1，DD1的中点，求直线EF与直线OB1夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接BD，根据题意可得直线EF与直线OB1夹角为∠B1OB，再设AA1＝2AB＝4求解即可． 【解答】解：连接BD，∵E，F分别是BB1，DD1的中点， ∴BE＝DF且BE∥DF，∴四边形BEFD为平行四边形，∴EF∥BD． 又O是底面ABCD的中心，∴O为BD中点， ∴直线EF与直线OB1夹角为∠B1OB． 设AA1＝2AB＝4，则AB＝2，，BB′＝4，． ∴． 故选：A． 【典例9】　（2021•未央区校级模拟）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，BC的中点为D，A1D⊥底面ABC，则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求解结果． 【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ＝∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角 并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1， 则|AD|，|A1D|，|A1B|， 由余弦定理，得cosθ． 故选：D． 题型4 直线与平面垂直 【典例10】　（2025秋•内江期末）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝AS＝2，M为SD的中点． （1）求证：MC∥平面SAB； （2）求证：CD⊥平面SAC． 【答案】（1）取SA的中点N，连接MN，BN，BC＝1，AD＝2，M为SD的中点，AD∥BC， 所以MN∥AD，且MNAD， 可得MN＝BC且MN∥BC， 所以四边形MNBC为平行四边形， 所以CM∥BN， 而CM⊄平面SAB，BN⊂平面SAB， 所以MC∥平面SAB； （2）AB＝BC＝1，AD＝AS＝2， 取AD的中点Q，连接CQ， 则CQ＝AB＝1， 则CQAD，CQ⊥AD， 所以AC，CD， 可得AC2+CD2＝2+2＝4＝AD2， 由直角三角形的逆定理可得AC⊥CD， 又因为SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 可得SA⊥CD， 又因为SA∩AC＝A， 即CD⊥平面PAC，得证． 【分析】（1）取SA的中点N，连接MN，BN，由题意易证得四边形MNBC为平行四边形，可得CM∥BN，再由线面平行的判定定理，可证得结论； （2）取AD的中点Q，连接CQ，由勾股定理的逆定理可得CD⊥AC，再由SA⊥平面ABCD，可得SA⊥CD，再由线面垂直的判定定理，可证得结论． 【解答】证明：（1）取SA的中点N，连接MN，BN，BC＝1，AD＝2，M为SD的中点，AD∥BC， 所以MN∥AD，且MNAD， 可得MN＝BC且MN∥BC， 所以四边形MNBC为平行四边形， 所以CM∥BN， 而CM⊄平面SAB，BN⊂平面SAB， 所以MC∥平面SAB，得证； （2）AB＝BC＝1，AD＝AS＝2， 取AD的中点Q，连接CQ， 则CQ＝AB＝1， 则CQAD，CQ⊥AD， 所以AC，CD， 可得AC2+CD2＝2+2＝4＝AD2， 由直角三角形的逆定理可得AC⊥CD， 又因为SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 可得SA⊥CD， 又因为SA∩AC＝A， 即CD⊥平面PAC，得证． 【典例11】　（2025•辽宁学业考试）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，F分别是棱BC、B1C1的中点，E是线段CC1上的点． （1）求证：直线A1F∥平面ADE； （2）求证：直线AD⊥平面BCC1B1． 【答案】（1）连接DF，因为D，F分别是棱BC、B1C1的中点， 则DF∥BB1∥AA1，且DF＝BB1＝AA1， 所以四边形ADFA1为平行四边形， 所以AD∥A1F， 又因为AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE， 所以直线A1F∥平面ADE； （2）直棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝A1C1，则AB＝AC， 因为D是棱BC中点，所以AD⊥BC， 在直棱柱中，则BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC， 所以BB1⊥AD， 又因为BC∩BB1＝B， 故直线AD⊥平面BCC1B1． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证； （2）根据线面垂直的判定定理可证． 【解答】证明：（1）连接DF，因为D，F分别是棱BC、B1C1的中点， 则DF∥BB1∥AA1，且DF＝BB1＝AA1， 所以四边形ADFA1为平行四边形， 所以AD∥A1F， 又因为AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE， 所以直线A1F∥平面ADE； （2）直棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝A1C1，则AB＝AC， 因为D是棱BC中点，所以AD⊥BC， 在直棱柱中，则BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC， 所以BB1⊥AD， 又因为BC∩BB1＝B， 故直线AD⊥平面BCC1B1． 【典例12】　（2025•铜山区学业考试）一副三角板按如图所示的方式拼接，将△BCD折起，使得平面ABC⊥平面BCD，E是边AB上的点，F是边BD上的点． （1）若EF∥平面ACD，证明：EF∥AD； （2）证明：AB⊥平面ACD． 【答案】证明：（1）因为EF∥平面ACD，EF⊂平面ABD，平面ABD∩平面ACD＝AD， 所以EF∥AD； （2）因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝AC，CD⊥BC，CD⊂平面BCD， 所以CD⊥平面ABC， 又因为AB⊂平面ABC，所以CD⊥AB， 而AB⊥AC，AC∩CD＝C，且AC，CD⊂平面ACD， 可得AB⊥平面ACD． 【分析】（1）由线面平行的性质定理可证得结论； （2）由面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理可证得结论． 【解答】证明：（1）因为EF∥平面ACD，EF⊂平面ABD，平面ABD∩平面ACD＝AD， 所以EF∥AD； （2）因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝AC，CD⊥BC，CD⊂平面BCD， 所以CD⊥平面ABC， 又因为AB⊂平面ABC，所以CD⊥AB， 而AB⊥AC，AC∩CD＝C，且AC，CD⊂平面ACD， 可得AB⊥平面ACD． 题型5 几何法求解直线与平面所成的角 【典例13】　（2025秋•潮阳区校级期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，D为BC中点． （1）证明：平面AA1D⊥平面BCC1B1； （2）求直线A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：直三棱柱中，AA1⊥底面ABC，故AA1⊥BC， 由AB＝AC＝2，D为BC中点， 得AD⊥BC，又AA1∩AD＝A， 故BC⊥平面A1AD，而BC⊂平面BCC1B1， 故AA1D⊥平面BCC1B1； （2）． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）先证直线A1B与平面所成角为∠A1BE，再解三角形即可． 【解答】解：（1）证明：直三棱柱中，AA1⊥底面ABC，故AA1⊥BC， 由AB＝AC＝2，D为BC中点， 得AD⊥BC，又AA1∩AD＝A， 故BC⊥平面A1AD，而BC⊂平面BCC1B1， 故平面AA1D⊥平面BCC1B1； （2）取B1C1的中点E，连接A1E，BE， 易知A1E⊥平面BCC1B1， 所以∠A1BE为直线A1B与平面BCC1B1所成角， 因为AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°， 所以，， 在△A1EB中，sin∠A1BE． 【典例14】　（2025秋•山东校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，其中∠ABC＝45°，，E为棱PC上一动点． （1）若E为PC中点，求证：AE⊥平面PBC； （2）若E是棱PC上靠近P的三等分点，求直线AE和平面PBE夹角的正弦值． 【答案】（1）由余弦定理可得， 故AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC， 又PA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，所以PA⊥BC， PA∩AC＝A，PA，AC⊂面PAC，所以BC⊥面PAC， 又AE⊂面PAC，所以BC⊥AE， PA＝AC＝2，E是PC中点， 所以AE⊥PC，又因为BC∩PC＝C，PC，BC⊂面PBC， 所以可以证得AE⊥面PBC； （2）． 【分析】（1）根据余弦定理可得AC长度，即可根据勾股定理求证AC⊥BC，进而根据线面垂直的性质以及判定，即可求解； （2）根据E为PC中点时AE⊥平面PBC，即可根据余弦定理求解E是棱PC上靠近P的三等分点时AE的长度，即可根据锐角三角函数求解． 【解答】解：（1）证明：由余弦定理可得， 故AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC， 又PA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，所以PA⊥BC， PA∩AC＝A，PA，AC⊂面PAC，所以BC⊥面PAC， 又AE⊂面PAC，所以BC⊥AE， PA＝AC＝2，E是PC中点， 所以AE⊥PC，又因为BC∩PC＝C，PC，BC⊂面PBC， 所以可以证得AE⊥面PBC； （2）E为PC中点时，AE⊥面PBC， 此时， 故当E是棱PC上靠近P的三等分点时，∠AEC是直线AE和平面PBE的夹角，且， ， 所以夹角正弦值为． 【典例15】　（2025秋•内江校级期中）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为AC、AA1的中点，AC＝AA1＝2． （1）求异面直线DE与直线A1B所成角的余弦值； （2）求DE与平面BCC1B1夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由DE为△ACA1的中位线得到DE∥CA1，从而得到∠CA1B为异面直线DE与直线A1B所成角或补角，求出A1B和A1C的长度，在△CA1B中利用余弦定理求出 cos∠CA1B，即为异面直线DE与直线A1B所成角的余弦值； （2）过点A1作B1C1的垂线，垂足为F，由题中条件得到F为B1C1的中点和A1F⊥平面BCC1B1，从而得到CF为CA1在平面BCC1B1的射影，则∠A1CF即为所求角，求出CF、A1F、A1C的长度，在△A1CF中利用余弦定理求出cos∠A1CF，即为DE与平面BCC1B1夹角的余弦值． 【解答】解：（1）因为D、E分别为AC、AA1的中点， 所以可知DE为△ACA1的中位线，即DE∥CA1， 所以可知∠CA1B为异面直线DE与直线A1B所成角或补角， 在△A1BC中，，，BC＝2， 根据余弦定理可得， 所以异面直线DE与直线A1B所成角的余弦值为； （2）过点A1作B1C1的垂线，垂足为F，连结CF，做出示意图如下图所示： 由题易知△ABC是正三角形， 所以F为B1C1的中点， 因为面A1B1C1⊥面BCC1B1，且面A1B1C1∩面BCC1B1＝B1C1，A1F⊂面A1B1C1，A1F⊥B1C1， 所以A1F⊥面BCC1B1， 故CF为CA1在平面BCC1B1的射影，所以∠A1CF即为所求角， ，，， 故， 所以DE与平面BCC1B1夹角的余弦值为． 题型6 平面与平面垂直 【典例16】　（2025春•莆田校级期中）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AC的中点，E为棱CC1中点，AC＝AA1．（1）证明：AB1∥平面C1BD； （2）证明：平面A1B1C⊥平面BDE． 【答案】（1）证明过程见详解； （2）证明过程见详解． 【分析】（1）连结B1C交BC1于O，连结DO，由题意可得四边形BB1C1C是平行四边形，由中位线的性质可得AB1∥OD，再由线面平行的性质可证得结论； （2）由棱锥柱的性质及线面垂直的性质可证得线面垂直，进而可证得面面垂直． 【解答】证明：（1）连结B1C交BC1于O，连结DO， 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1∥CC1且BB1＝CC1， 所以四边形BB1C1C是平行四边形，O为B1C的中点， 因为D为AC的中点， 所以OD为△AB1C的中位线，AB1∥OD， 因为AB⊄平面C1BD，OD⊂平面C1BD， 所以AB1∥平面C1BD； （2）解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1∥CC1且AA1＝CC1， AC＝AA1，AA1⊥AC， 所以四边形ACC1A1是正方形， 所以AC1⊥A1C， 因为D，E分别是AC，CC1的中点，所以AC1∥DE， 又因为AC1⊥A1C，所以DE⊥A1C， 在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，BD⊂平面ABC， 所以BD⊥CC1， 在正三角形ABC中，D为AC的中点， 所以BD⊥AC， 因为CC1∩AC＝C，CC1，AC⊂平面ACC1A1， 所以BD⊥平面ACC1A1， 因为DE⊂平面ACC1A1，所以DE⊥BD， 因为DE⊥A1C，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE， 所以A1C⊥平面BDE， 又因为A1C⊂平面A1B1C， 所以平面A1B1C⊥平面BDE． 【典例17】　（2024春•佳木斯期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是CD和PC的中点． 求证： （1）BF∥平面PAD； （2）平面BEF⊥平面PCD． 【答案】（1）证明过程见解答． （2）证明过程见解答． 【分析】（1）若要证BF∥平面PAD，只要BF所在面和平面PAD平行即可． （2）若要证平面BEF⊥平面PCD，只要证平面PCD内的一条直线和平面BEF垂直即可． 【解答】证明：（1）∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点， ∴AB∥DE，AB＝DE，即ABED是平行四边形． ∴BE∥AD． ∵BE⊄平面PAD，AD⊄平面PAD， ∴BE∥平面PAD，又EF∥PD， EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴EF∥平面PAD， EF，BE∈平面BEF，且EF∩BE＝E， ∴平面BEF∥平面PAD． ∵BF⊂平面BEF， ∴BF∥平面PAD． （2）由题意，平面PAD⊥平面ABCD，且两平面交线为AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD， ∴CD⊥平面PAD．∴CD⊥PD．∴CD⊥EF． 又CD⊥BE，BE，EF⊂平面BEF，且BE∩EF＝E， ∴CD⊥平面BEF． ∵CD∈平面PCD， ∴平面BEF⊥平面PCD． 【典例18】　（2024春•和林格尔县校级期末）如图，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，∠BCD＝45°，E为对角线BD的中点，现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD．求证： （1）直线PE⊥平面BCD； （2）平面PBC⊥平面PCD． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【分析】（1）由已知E为BD中点，可得PE⊥BD，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得CD⊥平面PBD，则CD⊥PB，又得BP⊥PD，则BP⊥平面PDC，利用面面垂直的判定得证． 【解答】证明：（1）因为平面PBD⊥平面BCD，且平面PBD∩平面BCD＝BD， 又AD＝AB，则PB＝PD，且E为BD中点，所以PE⊥BD， 又PE⊂平面PBD，所以PE⊥平面BCD； （2）在直角梯形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝90°， 则∠ABD＝∠ADB＝45°， 又AD∥BC，则∠DBC＝45°， 又∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°， 在折后的几何体PBCD中，BD⊥DC， 又∠BAD＝90°，即BA⊥AD，则BP⊥PD， 因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，又CD⊂平面BCD， 所以CD⊥平面PBD， 又PB⊂平面PBD，则CD⊥PB， 又CD∩PD＝D， 所以BP⊥平面PDC， 又BP⊂平面PBC， 所以平面PBC⊥平面PCD． 题型7 几何法求解二面角及两平面的夹角 【典例19】　（2025秋•松江区期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1是所有棱长均为4的直三棱柱，D、E分别是棱AB和棱AA1的中点． （1）求三棱柱的体积与表面积； （2）求点E到平面B1CD的距离； （3）求二面角B1﹣CD﹣E的余弦值． 【答案】（1）；三棱柱ABC﹣A1B1C1表面积为； （2）； （3）． 【分析】（1）由题目数据可得三棱柱体积与表面积； （2）由等体积法求解即可； （3）由题可得∠EDB1为二面角B1﹣CD﹣E的平面角，然后由余弦定理可得答案． 【解答】解：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是所有棱长均为4的直三棱柱， 所以 ； 三棱柱ABC﹣A1B1C1表面积为：； （2）因为D为AB中点，结合题意，可得CD⊥AB， 又B1B⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，则CD⊥BB1． 因为BB1，AB⊂平面ABB1A1，BB1∩AB＝B， 则CD⊥平面ABB1A1， 因为， ，，， 所以， 所以B1D⊥CD， 所以， 设点E到平面B1CD的距离为h， 所以， 则， 所以， 解得． 所以点E到平面B1CD的距离为． （3）由（2）可得CD⊥平面ABB1A1， 因为DB1，DE⊂平面ABB1A1， 则CD⊥DB1，CD⊥DE， 从而∠EDB1为二面角B1﹣CD﹣E的平面角． 如图，连接EB1， 则，， 由余弦定理， 所以求二面角B1﹣CD﹣E的余弦值为． 【典例20】　（2025春•泸县校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，且AB＝2，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝1，E为PC中点． （1）证明：BD⊥平面PAC； （2）求三棱锥P﹣BED的体积； （3）求二面角P﹣BD﹣E的平面角的大小． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由题设及线面垂直的性质有BD⊥AC、PA⊥BD，再由线面垂直的判定证明结论； （2）由题设，再应用棱锥的体积公式求体积； （3）设AC∩BD＝O，连接OP，OE，利用线面垂直易得∠POE为二面角P﹣BD﹣E的平面角，结合已知求其大小即可． 【解答】解：（1）证明：∵底面ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴PA⊥BD，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC． （2）∵E是PC的中点， ∴， ∵， 又PA＝1，PA⊥平面ABCD， ∴． （3）设AC∩BD＝O，连接OP，OE， 由（1）知，BD⊥平面PAC，又PO，EO⊂平面PAC， ∴BD⊥PO，BD⊥EO， ∴二面角P﹣BD﹣E的平面角为∠POE， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝2，∴AC＝2， ∵PA⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴PA⊥AC， 在Rt△PAC中，PA＝1，O为AC的中点， ∴PA＝AO＝1，∠POA＝45°， 又E是PC的中点，O是AC的中点，∴PA∥OE， ∴∠AOE＝90°， ∴∠POE＝90°﹣45°＝45°， 二面角P﹣BD﹣E的平面角为45°． 【典例21】　（2025秋•太原校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面． （1）若四边形ABCD是以AD为上底的梯形，线段PC的中点M满足DM∥平面PAB，求BC的长； （2）若，求二面角A﹣CP﹣D的大小． 【答案】（1）BC＝2； （2）． 【分析】（1）取PB中点为E，连接AE，EM，先判定ADME四点共面，然后利用线面平行的性质得AE∥DM，然后利用平行四边形求解长度即可． （2）利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理得平面PCD⊥平面PAD，过点A作AG⊥PD，利用线面垂直的性质定理得AG⊥平面PCD，过点A作AH⊥PC，连接GH，利用线面垂直的性质定理得PC⊥HG，进而得二面角A﹣CP﹣D的平面角为∠AHG，然后在直角三角形中求解即可． 【解答】解：（1）取PB中点为E，连接AE，EM， 因为E，M分别为PB，PC的中点，所以ME∥BC， 由于ABCD为梯形，且AD∥BC，所以ME∥AD，即ADME四点共面； 因为DM∥平面PAB，DM⊂平面ADME，平面ADME∩平面PAB＝AE， 所以AE∥DM； 又ME∥BC，所以四边形ADME是平行四边形，有ME＝AD， 所以，则BC＝2． （2）因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，从而PA⊥CD， 又因为AD⊥CD，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD，CD⊂平面PCD，则平面PCD⊥平面PAD； 在平面PAD内过点A作AG⊥PD，垂足为G， 因为平面PCD⊥平面PAD，平面PCD∩平面PAD＝PD， 则AG⊥平面PCD，PC⊂平面PCD，所以AG⊥PC， 在平面PAC过点A作AH⊥PC，垂足为H，连接GH， AG⊂平面AGH，AH⊂平面AGH，AG∩AH＝A， 所以PC⊥平面AGH，HG⊂平面AGH，则PC⊥HG， 所以二面角A﹣CP﹣D的平面角为∠AHG． 因为， 则，， 所以， 又由图形可知二面角A﹣CP﹣D的平面角∠AHG为锐角， 所以二面角A﹣CP﹣D的大小为． 题型8 几何体体积的有关计算 【典例22】　（2014秋•金平区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝2，AB＝2DC，AB∥DC，∠BCD＝90°． （Ⅰ）求证：PC⊥BC； （Ⅱ）求多面体A﹣PBC的体积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（I）先由线面垂直的定义证明PD⊥BC，再由线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PCD，从而证明结论；（II）先将所求三棱锥看作以三角形ABC为底的三棱锥，进而利用已知数据和线面关系，利用三棱锥的体积计算公式计算即可 【解答】解：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD ∴PD⊥BC，∵∠BCD＝90° ∴CD⊥BC，BC∩CD＝C ∴BC⊥平面PCD，又PC⊂平面PCD ∴PC⊥BC （II）连接AC，∵PD⊥平面ABCD ∴VA﹣PBC＝VP﹣ABCS△ABC×PD ∵AB∥DC，∠BCD＝90° ∴△ABC为直角三角形，且∠B＝90° ∵PD＝DC＝BC＝2，AB＝2DC ∴VA﹣PBC＝VP﹣ABCS△ABC×PD4×2×2 ∴多面体A﹣PBC的体积为 【典例23】　（2018•九江一模）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，点E是棱BC的中点，DE∩AC＝O，点P在平面ABCD的射影为O，F为棱PA上一点． （Ⅰ）求证：平面PED⊥平面BCF； （Ⅱ）若BF∥平面PDE，PO＝2，求四棱锥F﹣ABED的体积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）推导出BC⊥PO，BC⊥DE，从而BC⊥平面PED，由此能证明平面PED⊥平面BCF． （Ⅱ）取AD的中点G，连结BG，FG，从而BG∥DE，进而BG∥平面PDE，平面BGF∥平面PDE，由此能求出四棱锥F﹣ABED的体积． 【解答】证明：（1）∵PO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PO 依题意△BCD是等边三角形，E为棱BC的中点，∴BC⊥DE， 又PO∩DE＝O，PO，DE⊂平面PED，∴BC⊥平面PED， ∵BC⊂平面BCF，∴平面PED⊥平面BCF． 解：（Ⅱ）取AD的中点G，连结BG，FG， ∵底面ABCD是菱形，E是棱BC的中点，∴BG∥DE， ∵BG⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，∴BG∥平面PDE， ∵BF∥平面PDE，BF∩BG＝B，∴平面BGF∥平面PDE， 又平面BGF∩平面PAD＝GF，平面PDE∩平面PAD＝PD， ∴GF∥PD，∴F为PA的中点， ∵S四边形ABED， 点F到平面ABED的距离为d1， ∴四棱锥F﹣ABED的体积： VF﹣ABED． 【典例24】　（2020•呼和浩特一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E在DC边上，且DE＝1，将△ADE沿AE折到△AD'E的位置，使得平面AD'E⊥平面ABCE． （Ⅰ）求证：AE⊥BD'； （Ⅱ）求三棱锥A﹣BCD'的体积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）连接BD交AE于点O，推导出Rt△ABD～Rt△DAE，从而得到OB⊥AE，OD'⊥AE，由此能证明AE⊥平面OBD'． （Ⅱ）由VA﹣BCD'＝VD'﹣ABC，能求出三棱锥A﹣BCD'的体积． 【解答】证明：（Ⅰ）连接BD交AE于点O，依题意得， 所以Rt△ABD～Rt△DAE， 所以∠DAE＝∠ABD，所以∠AOD＝90°，所以AE⊥BD， 即OB⊥AE，OD'⊥AE，又OB∩OD′＝O， OB，OD'⊂平面OBD'． 所以AE⊥平面OBD'． 解：（Ⅱ）因为平面AD'E⊥平面ABCE， 由（Ⅰ）知，OD'⊥平面ABCE， 所以OD'为三棱锥D'﹣ABC的高， 在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，DE＝1，所以， 所以VA﹣BCD'＝VD'﹣ABC 即三棱锥A﹣BCD'的体积为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间直线、平面的垂直08 题型1 直线与直线垂直 6 题型2 直线与直线垂直的证明 8 题型3 异面直线所成的角 11 题型4 直线与平面垂直 13 题型5 几何法求解直线与平面所成的角 18 题型6 平面与平面垂直 22 题型7 几何法求解二面角及两平面的夹角 27 题型8 几何体体积的有关计算 32 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1.直线与直线垂直 异面直线及其所成的角 异面直线的判定 2.直线与平面垂直 直线与平面垂直 几何法求解直线与平面所成的角 3.平面与平面垂直 平面与平面垂直 几何法求解二面角及两平面的夹角 2 知识储备 空间直线与直线的垂直知识点 01 1.异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角为90°，那么这两条异面直线互相垂直。空间中两条直线垂直，包括相交垂直和异面垂直两种情况，二者均满足所成角为90°. 补充说明：相交垂直是共面内的垂直，异面垂直是不共面的垂直，异面直线垂直无专门符号，仍记作. 2.异面直线垂直的判定方法 （1）定义法：通过平移，将异面直线转化为相交直线，若所成的角为90°，则两异面直线垂直；（2）线面垂直推导法：若一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线，可用于推导异面直线垂直. 3.空间两直线垂直的常用判定思路 （1）平面几何方法：等腰三角形三线合一、勾股定理逆定理、矩形/正方形邻边垂直等，适用于共面直线；（2）空间方法：线面垂直的性质、异面直线所成角定义、面面垂直的性质推导. 直线与平面垂直知识点 02 1.定义 如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直，记作.这条直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，它们的公共点叫做垂足. 易错提醒：无需证明直线与平面内的所有直线垂直，只需证明与平面内两条相交直线垂直即可（判定定理），定义常用于性质推导. 2.直线与平面垂直的判定定理 文字表述（课本原文）：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与此平面垂直. 简记：线线垂直（两条相交）⇒线面垂直. 符号表示：若，，，且，，则. 关键要点：①两条直线必须在平面内，且相交（缺一不可）；②避免用两条平行直线代替相交直线，否则无法判定线面垂直. 3.直线与平面垂直的性质定理 （1）性质1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的所有直线都垂直（与定义互逆）. 简记：线面垂直⇒线线垂直. 符号表示：若，，则. （2）性质2：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 符号表示：若，，则. 核心用途：性质1用于推导线线垂直（含异面垂直），性质2用于推导线线平行，简化平行与垂直关系的转化. 4.直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角；若直线垂直于平面，所成角为90°；若直线平行于平面或在平面内，所成角为0°. （2）范围：. （3）求解方法：找斜线在平面内的射影（过斜线上一点作平面的垂线，连接垂足与斜线和平面的交点），转化为直角三角形求解. 平面与平面垂直知识点 03 1.二面角的定义与平面角 （1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面，记作（l为棱）. （2）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角，是度量二面角大小的依据. （3）范围：二面角的平面角范围为，平面角为90°时，二面角为直二面角. 2.平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直二面角（平面角为90°），那么这两个平面互相垂直，记作. 3.平面与平面垂直的判定定理 文字表述（课本原文）：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 简记：线面垂直⇒面面垂直. 符号表示：若，，则. 关键要点：只需证明一条直线垂直于另一个平面，且这条直线在当前平面内，即可判定两面垂直. 4.平面与平面垂直的性质定理 文字表述（课本原文）：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 简记：面面垂直⇒线面垂直. 符号表示：若，，，且，则. 易错提醒：必须满足两个条件——①直线在其中一个平面内；②直线垂直于两个平面的交线，缺一不可. 5.垂直关系的核心转化链 本节核心逻辑是垂直关系的相互转化，贯穿所有证明与计算题型，转化链如下：线线垂直线面垂直面面垂直，常与平行关系结合考查. 3 技巧总结 1.线线垂直证明技巧：共面垂直优先用平面几何方法（勾股定理、等腰三角形性质）；异面垂直优先用线面垂直性质（先证一条直线垂直于一个平面，再推导它垂直于另一条直线）. 2.线面垂直证明技巧：关键是在平面内找到两条相交直线，分别证明已知直线与这两条直线垂直；常用辅助线做法：连接中点构造等腰三角形、作平面的垂线构造直角三角形. 3.面面垂直证明技巧：优先用判定定理（线面垂直⇒面面垂直），只需找到一条“跨平面”的垂线（垂直于另一个平面，且在当前平面内），简化证明步骤. 4.已知垂直推结论技巧：看到面面垂直，立刻想到“在一个平面内作交线的垂线”，利用性质定理推导线面垂直；看到线面垂直，可直接推导它与平面内所有直线垂直（含异面直线）. 5.角度求解技巧：直线与平面所成角、二面角的求解，核心是“找角”——线面角找斜线与射影的夹角，二面角找平面角，均转化为直角三角形，结合三角函数或勾股定理计算. 6.符号书写规范技巧：严格区分垂直、包含、相交等符号，用于线线、线面、面面垂直，避免与平行符号、包含符号混淆. 7.直观图相关垂直技巧：斜二测画法中，垂直关系不一定保持（如原垂直的线段，直观图中可能不垂直），需结合原图与直观图的边长、角度关系，判断垂直关系是否成立. 拓展区 拓展延伸 走进名校 1.垂直关系的传递性说明：空间中垂直关系无传递性，如，，不一定有；但线面垂直具有传递性延伸（两条直线垂直于同一平面，则两直线平行）. 2.射影相关补充：从平面外一点向平面作垂线，垂足叫做该点在平面内的射影；斜线在平面内的射影是连接垂足与斜线和平面交点的线段，常用于角度求解. 3.直观图与垂直关系：斜二测画法中，平行关系保持不变，但垂直关系可能改变，需通过原图边长比例、角度，验证直观图中线段是否垂直，避免视觉误差导致判断错误. 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 直线与直线垂直 【典例1】　在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【典例2】　（2024秋•海淀区校级月考）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的有 AB、A1B1 ． 【典例3】　（2020秋•镜湖区校级期中）在下列四个正方体中，能得出直线AB与CD所成角为90°的是（　　） A． B． C． D． 题型2 直线与直线垂直的证明 【典例4】　如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为棱AD，CC1的中点．求证：A1P⊥BQ． 【典例5】　如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF． 【典例6】　（2013春•广陵区校级期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B． 题型3 异面直线所成的角 【典例7】　（2024春•宁德期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，C1D1的中点，则BE与DF所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【典例8】　（2023秋•湖北期末）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，O是底面ABCD的中心，E，F分别是BB1，DD1的中点，求直线EF与直线OB1夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【典例9】　（2021•未央区校级模拟）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，BC的中点为D，A1D⊥底面ABC，则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 题型4 直线与平面垂直 【典例10】　（2025秋•内江期末）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝AS＝2，M为SD的中点． （1）求证：MC∥平面SAB； （2）求证：CD⊥平面SAC． 【典例11】　（2025•辽宁学业考试）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，F分别是棱BC、B1C1的中点，E是线段CC1上的点． （1）求证：直线A1F∥平面ADE； （2）求证：直线AD⊥平面BCC1B1． 【典例12】　（2025•铜山区学业考试）一副三角板按如图所示的方式拼接，将△BCD折起，使得平面ABC⊥平面BCD，E是边AB上的点，F是边BD上的点． （1）若EF∥平面ACD，证明：EF∥AD； （2）证明：AB⊥平面ACD． 题型5 几何法求解直线与平面所成的角 【典例13】　（2025秋•潮阳区校级期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，D为BC中点． （1）证明：平面AA1D⊥平面BCC1B1； （2）求直线A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值． 【典例14】　（2025秋•山东校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，其中∠ABC＝45°，，E为棱PC上一动点． （1）若E为PC中点，求证：AE⊥平面PBC； （2）若E是棱PC上靠近P的三等分点，求直线AE和平面PBE夹角的正弦值． 【典例15】　（2025秋•内江校级期中）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为AC、AA1的中点，AC＝AA1＝2． （1）求异面直线DE与直线A1B所成角的余弦值； （2）求DE与平面BCC1B1夹角的余弦值． 题型6 平面与平面垂直 【典例16】　（2025春•莆田校级期中）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AC的中点，E为棱CC1中点，AC＝AA1．（1）证明：AB1∥平面C1BD； （2）证明：平面A1B1C⊥平面BDE． 【典例17】　（2024春•佳木斯期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是CD和PC的中点． 求证： （1）BF∥平面PAD； （2）平面BEF⊥平面PCD． 【典例18】　（2024春•和林格尔县校级期末）如图，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，∠BCD＝45°，E为对角线BD的中点，现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD．求证： （1）直线PE⊥平面BCD； （2）平面PBC⊥平面PCD． 题型7 几何法求解二面角及两平面的夹角 【典例19】　（2025秋•松江区期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1是所有棱长均为4的直三棱柱，D、E分别是棱AB和棱AA1的中点． （1）求三棱柱的体积与表面积； （2）求点E到平面B1CD的距离； （3）求二面角B1﹣CD﹣E的余弦值． 【典例20】　（2025春•泸县校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，且AB＝2，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝1，E为PC中点． （1）证明：BD⊥平面PAC； （2）求三棱锥P﹣BED的体积； （3）求二面角P﹣BD﹣E的平面角的大小． 【典例21】　（2025秋•太原校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面． （1）若四边形ABCD是以AD为上底的梯形，线段PC的中点M满足DM∥平面PAB，求BC的长； （2）若，求二面角A﹣CP﹣D的大小． 题型8 几何体体积的有关计算 【典例22】　（2014秋•金平区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝2，AB＝2DC，AB∥DC，∠BCD＝90°． （Ⅰ）求证：PC⊥BC； （Ⅱ）求多面体A﹣PBC的体积． 【典例23】　（2018•九江一模）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，点E是棱BC的中点，DE∩AC＝O，点P在平面ABCD的射影为O，F为棱PA上一点． （Ⅰ）求证：平面PED⊥平面BCF； （Ⅱ）若BF∥平面PDE，PO＝2，求四棱锥F﹣ABED的体积． 【典例24】　（2020•呼和浩特一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E在DC边上，且DE＝1，将△ADE沿AE折到△AD'E的位置，使得平面AD'E⊥平面ABCE． （Ⅰ）求证：AE⊥BD'； （Ⅱ）求三棱锥A﹣BCD'的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $