期中复习专题06 简单几何体的表面积与体积【6大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题06 简单几何体的表面积与体积 题型预览 题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积 题型三 圆柱、圆锥、圆台的表面积 题型四 圆柱、圆锥、圆台的体积 题型五 简单组合体的表面积 题型六 简单组合体的体积 知识清单 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的 底面积 ，h为棱柱的 高 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的 底面积 ，h为棱锥的 高 棱台 V棱台＝h· S′，S分别为棱台的 上、下底面面积 ，h为棱台的 高 求几何体体积的常用方法 (1)对于柱、锥、台等规则的空间几何体，可利用体积公式直接解决体积问题． (2)等体积转换法多用来求三棱锥的体积． (3)补形法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 简单组合体的表面积与体积 图形 表面积公式 圆柱 底面积：S底＝ 2πr2 ； 侧面积：S侧＝ 2πrl ； 表面积：S＝ 2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝ πr2 ； 侧面积：S侧＝ πrl ； 表面积：S＝ πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝ πr′2 ； 下底面面积：S下底＝ πr2 ； 侧面积：S侧＝ π(r′l＋rl) ； 表面积：S＝ π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 【注意】圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间的关系： S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl． 圆柱、圆锥、圆台的体积 (1)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (2)V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (3)V圆台＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)． 题型突破 题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．（2026高一·全国·专题练习）如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 【答案】B 【分析】过作底面，交底面于，过作交于，根据二面角的概念可知即为侧面与底面夹角的平面角，结合题意求出侧面梯形的高，再根据台体的面积公式求解即可． 【详解】由题意在棱台中，底面和为正方形，各侧棱均相等， 过作底面，交底面于，过作交于，连接， 因为底面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以即为侧面与底面夹角的平面角，即， 由题意可知，所以， 所以该棱台的表面积． 故选：B． 2．（24-25高一下·福建福州·期中）在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________． 【答案】 【分析】画出图形，根据正方体的性质求出相关线段的长度，即可求出表面积． 【详解】在正方体中， , 所以， 所以三棱锥的表面积． 3．（25-26高一下·海南·月考）已知正四棱台的高为，则该棱台的侧面积为_________． 【答案】80 【分析】由正四棱台的结构特征，结合已知数据求出侧棱和斜高的长，即可计算正四棱台的侧面积． 【详解】正四棱台中，连接，则平面平面， 过作，垂足为，则平面， 由，得， 在中，，， 所以， 过点作，垂足为，则，得， 所以该正四棱台的侧面积为. 4．（25-26高二上·北京·期中）在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】直接根据底面边长和侧棱长即可求解. 【详解】解：因为长方体中，底面是边长为1的正方形，， 所以该长方体的表面积为： 故选：A 题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积 5．（25-26高一下·天津蓟州·月考）如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. (1)求三棱柱的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求 . 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据截面为正方形，可得，利用三棱柱的表面积公式即可求解； (2)利用结合三棱锥的体积即可求解； (3)根据即可求解. 【详解】（1）因为截面为正方形， 所以， 在中，， 即，解得， 所以三棱柱的表面积 （2）由题可得： （3）因为， 在长方体中平面， 所以三棱锥的高为， 所以 . 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 向一个高为且底面水平放置的正四棱锥容器注水， 水面高度为时停止注水 (不考虑容器厚度)， 将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（    ）    A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由注水四棱台部分的体积等于注水四棱锥部分的体积求解. 【详解】设正四棱锥的下底面边长为，因为注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 设注水四棱台的上底面边长为，则，解得， 注水四棱台的上底面的面积为， 注水四棱台的下底面的面积为， 则注水四棱台的体积为 ， 将此四棱锥容器倒置时，水的体积不变而且形成一个小四棱锥，设水面高度为，底面边长为， 则，解得，且底面面积为， 设此四棱锥容器倒置后注水四棱锥的体积为，则， 又，则，解得，即， 即此四棱锥容器倒置后，水面高度为. 7．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将正三棱台中补成正三棱锥，如图所示． 因为为棱的中点，所以，又， 所以四边形是平行四边形.所以. 由，且，得是的中位线，所以分别为的中点， 故，与的面积比为. 所以三棱锥是正四面体. 取底面的中心为，连接，易知底面，又平面，所以． 因为为正三角形，，． 在中，． 所以正四面体的体积为. 所以． 8．（2026·广东·一模）如图，正方体的棱长为4，为正方形的中心，为棱的中点，过点的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为（   ） A．16 B．18 C． D．24 【答案】D 【分析】取的中点，连接过点作直线，分别交于点，先证明，推得平面即过点的截面，所求即为多面体的体积，利用棱柱的体积公式计算即得. 【详解】 如图，取的中点，连接过点作直线，分别交于点，连接， 因为正方形的中心，则，因，则易得. 又因为棱的中点，则易得，即四边形为平行四边形， 则得，故，于是，平面即过点的截面， 显然正方体被截面分成的较小的部分为多面体，记其体积为， 则. 题型三 圆柱、圆锥、圆台的表面积 9．（浙江平湖市当湖高级中学等校2025-2026学年高一下学期数学学科练习）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先利用侧面展开图的弧长与底面周长相等，建立母线长和底面半径的关系，再结合表面积公式求解即可. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 侧面展开图是一个半圆， ，即， 圆锥的表面积为， ， ， 故圆锥的底面半径为2. 10．（2026·湖南怀化·二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设圆台的上底面圆的半径为，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为， 圆锥的母线， 圆锥的侧面积是，，得，解得; 圆台的母线， 圆台侧面积为． 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）某精密仪器车间有一个圆柱形原料，现需要在这个原料中挖出一个倒立的圆锥形零件，其尺寸如图所示，则（   ） A．圆柱形原料的表面积为 B．圆柱形原料的体积为 C．圆锥形零件的表面积为 D．圆锥形零件的体积为 【答案】AD 【分析】根据题意，代入几何体的表面积和体积公式，即可求解. 【详解】由题意知圆柱形原料的底面半径，高， 圆柱形原料的表面积，体积，故A正确，B错误； 由题意知圆锥形零件的底面半径，高，母线， 表面积，体积，故C错误，D正确. 12．（2026·辽宁抚顺·一模）（多选）用平行于大圆锥底面的平面截这个大圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台．若大圆锥的高为9，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为、圆心角为的扇形，则下列结论正确的是（   ） A．小圆锥的高为1 B．大圆锥的体积为 C．圆台的母线长为 D．圆台的表面积为 【答案】BC 【分析】作出圆锥的轴截面，利用弧长公式求得小圆锥的高，利用，结合圆锥的体积公式及圆台的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，作出圆锥的轴截面等腰，则， 设小圆锥的半径，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为，所以， 又因为侧面展开图是圆心角为的扇形，所以，计算得， 可得，小圆锥的高为3，A选项错误； 由，可得，所以， 则，即圆台的母线长为，C选项正确； 所以大圆锥的体积为，B选项正确； 圆台的表面积为，D选项错误； 题型四 圆柱、圆锥、圆台的体积 13．（25-26高一下·全国·课后作业）已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积______________． 【答案】 【分析】根据圆的面积公式和圆台的侧面积公式求出圆台的上、下底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆台的高，最后利用圆台的体积公式求解. 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h， 则，，，． 又，， ， ． 故答案为： 14．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知圆柱体的表面积为，且其底面直径和高相等，则这个圆柱体的体积是_____ 【答案】 【分析】设出底面半径后，结合圆柱表面积公式可计算出半径与高，再利用体积公式计算即可得. 【详解】设该圆柱底面半径为，则高， 则有，解得，则， 则这个圆柱体的体积. 故答案为：. 15．（2026·山东济南·二模）已知圆锥与圆柱的底面积相等，体积也相等，若过圆柱的轴的截面为正方形，则圆锥和圆柱侧面积的比值为______． 【答案】 【分析】设圆锥和圆柱的底面半径，由题意可得圆锥的高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，求解即可. 【详解】由圆锥与圆柱的底面积相等，所以圆柱和圆锥的底面半径相等，设为， 由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高，设圆锥的高为， 由圆锥与圆柱的体积相等得，，所以， 则圆锥的侧面积， 圆柱的侧面积， 则. 16．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）圆锥甲的轴截面是边长为4的正三角形，用平行于圆锥甲底面的平面截圆锥甲得到一个圆台与圆锥乙，圆锥乙的体积是圆台体积的，则圆锥乙的表面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥乙的底面圆半径为，高为，母线长为． 由题意，，且，解得， 故圆锥乙的表面积为. 题型五 简单组合体的表面积 17．（2026·云南红河·模拟预测）（多选）如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD 【分析】根据给定的几何体，利用圆锥、圆柱的结构特征，结合体积公式、侧面积公式逐项求解判断. 【详解】对于A，由勾股定理得圆锥母线长，A正确； 对于B，圆锥的体积为，圆柱的体积为， 因此圆锥与圆柱的体积比为，B正确； 对于C，该几何体的表面积为，C错误； 对于D，设圆锥侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得，圆心角，D正确． 故选：ABD 18．（25-26高三上·北京海淀·月考）下图是正三棱柱和正四棱台的组合体.已知正四棱台的侧棱、下底的长度分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为，则该组合体的表面积为_____. 【答案】/ 【分析】设正四棱台的高为，侧面与底面所成二面角为，上底为，利用几何关系构建方程组解出，再求表面积即可. 【详解】 设正四棱台的高为，侧面与底面所成二面角为，上底为， 由题意可得， 结合侧棱关系可得， 联立两方程可得， 所以正四棱台的斜高为， 所以，该几何体的表面积为. 故答案为：. 19．（山西省吕梁市2026年高考考前适应性测试高三数学试题）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如C，D），另外两条相对的侧棱交于一点（如O）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意用两个柱体体积减去重叠部分体积，计算即可. 【详解】如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体，取的中点I，    则多面体可以分成8个全等三棱锥， 则，且平面，， 则， 该“十字贯穿体”的体积即为. 20．（25-26高三下·北京通州·开学考试）如图1，取边长为6的正方形纸板，分别为三边的中点，先将等腰直角三角形沿虚线段裁去，再将剩下的五边形沿线段折起，连接，就得到了一个《九章算术》中所载的“刍甍”五面体（如图2）．若棱的长为5，则该五面体的体积为___________. 【答案】 【分析】使用补形的方法将五面体的体积转化成三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可. 【详解】将五面体补回三棱柱，由题得底面， 五面体的体积可以看作是三棱柱的体积减去三棱锥的体积. 过点向作垂线，交BC于点H，则有， 在四边形中，且，则四边形为平行四边形， 故，所以， 在中，， 则，进而， 在中，，所以， 所以， 则，， 故. 即该五面体的体积为. 题型六 简单组合体的体积 21．（2025高三·全国·专题练习）宋代瓷器的烧制水平极高，图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同，均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径为8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆台和圆柱体积公式直接计算可得. 【详解】花口盏的体积为， 盏托的体积为， 所以组合体的体积. 故选：D. 22．（24-25高一下·广东惠州·期末）如图，某几何体可看成是个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的倍，若几何体I、II、III的高之比分别为，则几何体I、II、III的体积之比为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用柱体、台体体积公式可求得结果. 【详解】设直棱柱I的底面积为，高为，则棱台II的上底面面积为，下底面面积为，高为， 棱台III的上底面面积为，下底面面积为，高为， 设几何体I、II、III的体积分别为、、， 则，， ， 因此，. 故选：C. 23．（2024高三·全国·专题练习）某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正六边形的边长，六棱锥的侧棱，由，得出棱长关系，分别求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积，即可求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比. 【详解】如图，设正六棱柱底面边长为，侧棱长为，由题意可知，， 则可知正六棱柱的侧面积为． 设正六棱锥侧棱长为，则． 又，所以，解得， 所以正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为. 故选：B． 24．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，世界“最大最重”陀螺就出自六盘水（水城区野玉海景区），重达3018斤，直径98cm，高115cm，可视作一个圆柱和一个圆锥的组合体，圆柱部分的高是陀螺高的，则圆柱部分的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出圆柱部分的高，再利用圆柱侧面积公式计算得解. 【详解】依题意，陀螺圆柱部分的高为， 所以圆柱部分的侧面积为. 故选：C 强化训练 1．（山东德州市2025-2026学年高三下学期4月学习质量综合评估数学试题）已知圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，圆柱的高是圆锥高的，则圆柱和圆锥的体积之比为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】设圆锥底面半径为，高为，则圆柱底面半径为，高为， 故圆柱和圆锥的体积之比为. 2．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知圆台上、下底面面积分别是，，其侧面积是，则该圆台的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出圆台上、下底面的半径和，母线长及高的值，再代入圆台的体积公式计算即可得解. 【详解】设圆台上、下底面的半径分别为和，母线长为，高为. 由圆台上、下底面面积分别是，，可得，解得， 由圆台的侧面积是，可得，解得， 所以圆台的高， 所以圆台的体积为. 3．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆台的下底面半径为r， 由题意知， 整理得，解得（负值舍去）， 设圆台的母线长为，则， 所以该圆台的侧面积为. 4．（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）已知正四棱台的上、下底面的面积分别为1和4，侧面积为6，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四棱台的截面特征求出棱台的高，代入棱台的体积公式求解即可. 【详解】由题意知，该正四棱台上表面边长为1，下表面边长为2，设侧面梯形的高为，棱台的高为. 作正四棱台的截面图如下： 则，解得. 所以. 所以该棱台的体积为. 5．（2026·河北·二模）已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（   ） A．148 B． C．168 D．80 【答案】A 【分析】根据已知条件和正四棱台的特征计算侧面等腰梯形的面积，然后利用表面积的定义计算可得结果． 【详解】因为正四棱台的侧面都是等腰梯形， 又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、8，体积为,设其高为，则，故 所以侧面梯形的斜高为， 则梯形的面积， 上，下底底面面积分别为，， 所以该四棱台的表面积为． 6．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）（多选）已知正六棱锥的底面边长为2，高为3，则该正六棱锥的（   ） A．侧面积为 B．表面积为 C．体积为 D．外接球的表面积为 【答案】AB 【分析】根据底面边长求出底面积，根据高可求出侧面积，进而可求出表面积，根据外接球的球心在高上，列方程可求出外接球的半径，进而可求其表面积. 【详解】如图，在正六棱锥中，取的中点，底面的中心，连接， 因为底面正六边形的边长为2，则，所以底面积， 又高为3，得体积，故C错误； 则侧面三角形的高，侧面积， 所以表面积，故A，B正确； 因为正六棱锥的外接球的球心在上，设半径为， 则，即，解得， 所以正六棱锥的外接球的表面积，故D错误. 7．（25-26高一下·吉林长春·月考）（多选）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥SO的体积为 D．若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】求得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，结合圆锥的侧面积公式，可判定A不正确；当时，得到的面积取得最大值，结合体积公式，可判定B正确； 根据圆锥的体积公式，可判定C正确；将以为轴旋转到与平面所在平面共面，结合，可判定D正确. 【详解】在直角中，可得， 则圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 对于A，圆锥的侧面积为，所以A不正确； 对于B，连接，当时，此时的面积取得最大值， 最大面积为， 所以三棱锥体积的最大值为，所以B正确； 对于C，由圆锥的底面圆的半径为 ，高， 可得圆锥的体积为，所以C正确； 对于D，由，可得， 又由，所以为等边三角形，所以， 将以为轴旋转到与平面所在平面共面，得到， 则为等边三角形，且， 如图所示，，当三点共线时，取得等号， 因为， 所以， 所以的最小值为，所以D正确. 8．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由圆锥和圆柱的轴截面形状，分别得到圆锥、圆柱的底面半径和高，根据圆锥和圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】圆锥轴截面是边长为a的正三角形， 所以圆锥的底面半径为，高为，体积为， 圆柱的轴截面是边长为a的正方形， 所以圆柱的底面半径为，高为a，体积为， 故选：CD. 9．（25-26高三上·贵州·期中）（多选）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设，则.根据棱锥的体积公式分别计算出，将题中多面体补成正方体，可求得，然后依次判断各选项即可. 【详解】因为平面，，所以平面. 设，则. 所以，. 把多面体补成如图正方体：    则. ，. 所以. 所以，，，. 故选：CD. 10．（25-26高一下·河南·期中）已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______． 【答案】 【详解】设该圆锥的高为，母线为, 依题意可得，解得， 所以圆锥的母线长为， 因此可得该圆锥的侧面展开图对应扇形的弧长为，半径为； 设对应圆心角的弧度数为，则，因此. 11．（2026·北京通州·一模）如图某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的高为，则此组合体的体积为________；表面积为________ 【答案】 【详解】已知圆柱底面半径，高，圆锥高，且圆锥底面与圆柱上底面重合，故圆锥底面半径也为。 、体积的计算 ∵ 圆柱体积公式为， ∴ 。 ∵ 圆锥体积公式为， ∴ 。 ∴ 组合体体积。 、表面积计算 先求圆锥母线长，由勾股定理： ∵ ， ∵ 圆锥侧面积公式为， ∴ 。 ∵ 圆柱侧面积公式为， ∴ 。 ∵ 圆柱下底面积公式为， ∴ 。 ∵ 圆锥底面与圆柱上底面重合，属于内部面，不计入外露表面积， ∴ 组合体表面积。 12．（2025·江西萍乡·二模）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则该圆台的侧面积为________． 【答案】 【详解】由圆台的侧面积公式可得：. 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________． 【答案】 【详解】解法1：分别在上取点N，M，使得，连接，NM，，所以平面平面， 取MN的中点H，连接，因为平面， 所以平面平面，所以， 又因为平面， 所以平面，，， 所求几何体的体积为 解法2：因为在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC， 又， 所以可构造一个底面是边长为4的等边三角形，侧棱长为8的正三棱柱， 其中，， 因此，即， 根据三棱柱体积公式，， 故该几何体的体积是． 14．（2026·四川·二模）已知正方体，O为的中心，M为的中点，过O、M两点的平面将正方体分为两部分，记两部分的体积分别为，，则的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】先尝试作出截面，并找到截面与上底面的交线，通过对交线的情况讨论解决问题. 【详解】 设正方体棱长为，体积为， 如图1，过O、M两点的平面与交于点， 过O、M两点的平面将正方体分为两部分， 记两部分的体积分别为、，设， 如图2，当时，两部分的体积分别为和，此时， 当时，如下图 的体积相对于时 增加了一个斜三棱柱的体积， 同时减少了多面体的体积， 观察上图发现增加的体积多于减少的体积，且其体积是连续变化的， 当，如下图的体积必然大于多面体的体积， 计算多面体的体积为， ， 所以多面体的体积为， 所以当，如下图的体积必然大于， 如下图，当截面与上底面的交点在上时， 考虑特殊情况为上的中点时，，此时，根据对称性，， 且从运动到上的中点过程中，同时一样，的体积必然大于，， 再根据对称性，及体积变化的连续性知，的取值范围是. 15．（25-26高一下·山东青岛·月考）在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______. 【答案】/ 【分析】根据正棱台的特征，构造直角三角形，解出正棱台的高，代入公式即可求解. 【详解】如图所示： 取正棱台上下底面中心，连接过点作的平行线，交于点， 因为，所以 在直角三角形中，， 故正四棱台的高为， 根据棱台体积计算公式，. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 简单几何体的表面积与体积 题型预览 题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积 题型三 圆柱、圆锥、圆台的表面积 题型四 圆柱、圆锥、圆台的体积 题型五 简单组合体的表面积 题型六 简单组合体的体积 知识清单 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的 底面积 ，h为棱柱的 高 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的 底面积 ，h为棱锥的 高 棱台 V棱台＝h· S′，S分别为棱台的 上、下底面面积 ，h为棱台的 高 求几何体体积的常用方法 (1)对于柱、锥、台等规则的空间几何体，可利用体积公式直接解决体积问题． (2)等体积转换法多用来求三棱锥的体积． (3)补形法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 简单组合体的表面积与体积 图形 表面积公式 圆柱 底面积：S底＝ 2πr2 ； 侧面积：S侧＝ 2πrl ； 表面积：S＝ 2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝ πr2 ； 侧面积：S侧＝ πrl ； 表面积：S＝ πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝ πr′2 ； 下底面面积：S下底＝ πr2 ； 侧面积：S侧＝ π(r′l＋rl) ； 表面积：S＝ π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 【注意】圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间的关系： S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl． 圆柱、圆锥、圆台的体积 (1)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (2)V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (3)V圆台＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)． 题型突破 题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．（2026高一·全国·专题练习）如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 2．（24-25高一下·福建福州·期中）在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________． 3．（25-26高一下·海南·月考）已知正四棱台的高为，则该棱台的侧面积为_________． 4．（25-26高二上·北京·期中）在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积 5．（25-26高一下·天津蓟州·月考）如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. (1)求三棱柱的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求 . 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 向一个高为且底面水平放置的正四棱锥容器注水， 水面高度为时停止注水 (不考虑容器厚度)， 将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（    ）    A．2 B． C． D．1 7．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·广东·一模）如图，正方体的棱长为4，为正方形的中心，为棱的中点，过点的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为（   ） A．16 B．18 C． D．24 题型三 圆柱、圆锥、圆台的表面积 9．（浙江平湖市当湖高级中学等校2025-2026学年高一下学期数学学科练习）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B．2 C． D．3 10．（2026·湖南怀化·二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）某精密仪器车间有一个圆柱形原料，现需要在这个原料中挖出一个倒立的圆锥形零件，其尺寸如图所示，则（   ） A．圆柱形原料的表面积为 B．圆柱形原料的体积为 C．圆锥形零件的表面积为 D．圆锥形零件的体积为 12．（2026·辽宁抚顺·一模）（多选）用平行于大圆锥底面的平面截这个大圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台．若大圆锥的高为9，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为、圆心角为的扇形，则下列结论正确的是（   ） A．小圆锥的高为1 B．大圆锥的体积为 C．圆台的母线长为 D．圆台的表面积为 题型四 圆柱、圆锥、圆台的体积 13．（25-26高一下·全国·课后作业）已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积______________． 14．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知圆柱体的表面积为，且其底面直径和高相等，则这个圆柱体的体积是_____ 15．（2026·山东济南·二模）已知圆锥与圆柱的底面积相等，体积也相等，若过圆柱的轴的截面为正方形，则圆锥和圆柱侧面积的比值为______． 16．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）圆锥甲的轴截面是边长为4的正三角形，用平行于圆锥甲底面的平面截圆锥甲得到一个圆台与圆锥乙，圆锥乙的体积是圆台体积的，则圆锥乙的表面积等于（   ） A． B． C． D． 题型五 简单组合体的表面积 17．（2026·云南红河·模拟预测）（多选）如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 18．（25-26高三上·北京海淀·月考）下图是正三棱柱和正四棱台的组合体.已知正四棱台的侧棱、下底的长度分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为，则该组合体的表面积为_____. 19．（山西省吕梁市2026年高考考前适应性测试高三数学试题）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如C，D），另外两条相对的侧棱交于一点（如O）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（   ）    A． B． C． D． 20．（25-26高三下·北京通州·开学考试）如图1，取边长为6的正方形纸板，分别为三边的中点，先将等腰直角三角形沿虚线段裁去，再将剩下的五边形沿线段折起，连接，就得到了一个《九章算术》中所载的“刍甍”五面体（如图2）．若棱的长为5，则该五面体的体积为___________. 题型六 简单组合体的体积 21．（2025高三·全国·专题练习）宋代瓷器的烧制水平极高，图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同，均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径为8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（    ）    A． B． C． D． 22．（24-25高一下·广东惠州·期末）如图，某几何体可看成是个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的倍，若几何体I、II、III的高之比分别为，则几何体I、II、III的体积之比为 （    ） A． B． C． D． 23．（2024高三·全国·专题练习）某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，世界“最大最重”陀螺就出自六盘水（水城区野玉海景区），重达3018斤，直径98cm，高115cm，可视作一个圆柱和一个圆锥的组合体，圆柱部分的高是陀螺高的，则圆柱部分的侧面积为（   ） A． B． C． D． 强化训练 1．（山东德州市2025-2026学年高三下学期4月学习质量综合评估数学试题）已知圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，圆柱的高是圆锥高的，则圆柱和圆锥的体积之比为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知圆台上、下底面面积分别是，，其侧面积是，则该圆台的体积是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）已知正四棱台的上、下底面的面积分别为1和4，侧面积为6，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河北·二模）已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（   ） A．148 B． C．168 D．80 6．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）（多选）已知正六棱锥的底面边长为2，高为3，则该正六棱锥的（   ） A．侧面积为 B．表面积为 C．体积为 D．外接球的表面积为 7．（25-26高一下·吉林长春·月考）（多选）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥SO的体积为 D．若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 8．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的体积为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·贵州·期中）（多选）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ）    A． B． C． D． 10．（25-26高一下·河南·期中）已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______． 11．（2026·北京通州·一模）如图某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的高为，则此组合体的体积为________；表面积为________ 12．（2025·江西萍乡·二模）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则该圆台的侧面积为________． 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________． 14．（2026·四川·二模）已知正方体，O为的中心，M为的中点，过O、M两点的平面将正方体分为两部分，记两部分的体积分别为，，则的取值范围为_____________． 15．（25-26高一下·山东青岛·月考）在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $