9.1.1 简单随机抽样 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件围绕“简单随机抽样”展开，涵盖普查与抽样调查的定义、简单随机抽样的概念及方法（抽签法、随机数法）、总体与样本均值等核心内容。通过章前导读的问题链（如何收集数据、提取信息等）结合人口普查案例引入，逐步构建调查对象、变量等概念，为抽样方法学习搭建支架。 其亮点在于以“红球比例估计”“学生身高调查”等实例，引导学生用数学眼光抽象现实问题，通过抽签法与随机数法的对比培养数学思维，结合样本均值估计总体均值的数据表格分析强化数学语言表达。丰富例题与操作步骤助力学生理解，教师可借助对比表格和探究活动提升教学效率。

9.1.1 简单随机抽样 1 统计学：是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学. 如何收集数据？ 如何从所收集的数据提取信息来认识未知现象？ 这种认识一定正确？ 应如何正确解释统计的结果？ 章前导读 2020年我国进行了第七次人口普查， 对全国人口普遍地、逐户逐人地进行一 次性调查登记.调查内容包括每位居民的 姓名、性别、年龄、民族、受教育程度等. 这里，居民为调查对象，而居民的性别、 年龄、民族、受教育程度等是要调查的指标. 统计的研究对象是数据，核心是通过数据分析研究和解决问题. (准确掌握全国人口的数据，可为科学制定 国民经济和社会发展规划及其其他方针政策 提供依据. ) 由于不同调查对象的指标值往往不同，它是一个变化的量，所以常把指标称为变量. 新知探究 调查方法 全面调查 抽样调查 定义 对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称 根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为 相关 概念 ①在一个调查中,我们把调查对象的全体称为 ; ②组成总体的每一个调查对象称为 ①我们把从总体中抽取的那部分个体称为 ; ②样本中包含的个体数称为样本容量,简称 .调查样本获得的变量值称为样本的观测数据,简称样本数据 普查 抽样调查 总体 个体 样本 样本量 知识点一　全面调查和抽样调查 新知探究 全面调查和抽样调查的比较 调查方法 全面调查 抽样调查 优点 调查结果全面、系统 (1)迅速及时; (2)节约人力、物力和财力 缺点 工作量大,有时候费时费力 调查结果不如全面调查全面、系统 适用 范围 (1)调查对象少; (2)调查对象多,但是要求调查结果必须全面、系统、准确 (1)调查对象太多,且不必要全面调查时; (2)调查方法有破坏性时 新知探究 课本P177 1. 在以下调查中，总体、个体各是什么? 哪些适合用全面调查? 哪些适合用抽样调查? (1) 调查一个班级学生每周的体育锻炼时间； (2) 调查一个地区结核病的发病率； (3) 调查一批炮弹的杀伤半径； (4) 调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例. （1）总体： ； 个体： . 这个班级所有学生 这个班级的每一个学生 全面调查 （2）总体： ； 个体： . 这个地区全体居民 这个地区每一位居民 抽样调查 例题讲解 课本P177 1. 在以下调查中，总体、个体各是什么? 哪些适合用全面调查? 哪些适合用抽样调查? (1) 调查一个班级学生每周的体育锻炼时间； (2) 调查一个地区结核病的发病率； (3) 调查一批炮弹的杀伤半径； (4) 调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例. （3）总体： ； 个体： . 这批炮弹 这批炮弹中的每一发炮弹 抽样调查 （4）总体： ； 个体： . 这个水库里的所有鱼 这个水库里的每一条鱼 抽样调查 例题讲解 例如，抽样调查一批待售袋装牛奶的细菌数量是否超标，其目的是要了解整批牛奶的细菌含量是否超标，而不只是局限在抽查到的那几袋牛奶的情况. 因此，通过抽样调查了解总体的情况，自然希望抽取的样本数据能很好的反映总体的情况，即样本含有和总体基本相同的信息. 抽取出的样本要客观、公正、具有代表性. 抽查的目的是为了了解总体的情况. 新知探究 探究1 假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同，你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗? 总体： 个体： 变量： 袋中所有小球 每一个小球 小球的颜色 我们可以从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球,如此重复次。 根据初中的概率知识可知，随着摸球次数的增加，摸到红球的频率会逐渐稳定于摸到红球的概率，即口袋中红球所占的比例。 因此，我们可以通过放回摸球，用频率估计出红球的比例. 但极端情况是每次摸到同一个小球. 这样的抽样结果误差较大 新知探究 追问 还有其他的方法吗？ 我们还可以采用不放回摸球，即从袋中随机摸出一个球后不再放回袋中，每次摸球都在余下的球中随机摸取，这样就可以避免同一个小球被重复摸中. 特别地，当样本量时，不放回摸球已经把袋中的所有球取出，这就完全了解了袋中红球的比例，而有放回摸球一般还不能对袋中红球的比例做出准确的判断. 探究1 假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同，你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗? 新知探究 知识点二 简单随机抽样 一般地，设一个总体含有（为正整数）个个体，从中逐个抽取 （）个个体作为样本， 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样． 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率是相等的，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样． 放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本． 从总体中，逐个不放回地随机抽取个个体作为样本，一次性批量随机抽取个个体作为样本，两种方法是等价的． 新知探究 问题1 从定义中可以获知简单随机抽样有哪些特点？ 问题2 放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样哪个效率高？ 不放回简单随机抽样的效率更高. 因此实践中人们更多采用不放回简单随机抽样. 除非特殊说明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样. ①有限性：总体中个体数有限； ②逐一性：从总体中逐一抽取，这样便于在抽样试验中进行操作； ③等可能性：简单随机抽样是一种等可能抽样，在整个抽样过程中每个个体被抽取到的可能性相等，从而保证了这种抽样方式的公平性. 新知探究 12 课本P177 3.实验室的笼子里共有只小白鼠，现要从中抽取只作试验用.下列两种情况是否属于简单随机抽样? 请说明理由. (1) 每次不经任何挑选地抓一只，抓满只为止； (2) 将笼中的只小白鼠按编号，任意选出编号范围内的个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为试验用的小白鼠. 解：两种情况都属于简单随机抽样，因为每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等. 例题讲解 问题3 一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，他们事先想了解全体高一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度. 已知树人中学高一年级有712名学生，如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，应该怎么抽取样本？ 总体： 个体： 变量： 树人中学全部高一年级学生 每一位学生 学生的身高 常用抽签法和随机数法进行简单随机抽样. 新知探究 (1)给名学生编号，例如进行编号； (2)把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌； (3)从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的学生进入样本，直到抽足样本所需要的人数. 知识点三 抽样的方法——抽签法 抽签法步骤：编号→制签→搅拌→抽签→入样 新知探究 抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形 追问1 为什么要给学生编号？编号用学号可以吗？ 注意 (1) 编号是为了将每名学生能明确区分开. 给学生编号时，可用用学号作为编号，因为学号与学生之间也是一一对应的.但学号位数太多，操作不简便. (2) 抽签法简单易行，但当总体较大时，操作起来比较麻烦. 因此，抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形. 新知探究 追问2 抽签法的优缺点是什么？ 优点：简单易行，当总体个数不多时,号签搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性. 缺点：当总体个数较多时,号签很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大. 抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形 新知探究 知识点三 抽样的方法——随机数法 (利用随机数工具产生的随机数进行抽样方法) (1)先给712名学生编号，例如001~712进行编号； (4)如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，只保留第一次，其余全部剔除，再重新产生随机数，直到抽足样本所需要的人数. (2)用随机数工具产生001~712范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本； (3)重复上述过程，直到抽足样本所需要的人数； 随机数表法步骤：编号→产生随机数→入样 新知探究 1.产生随机数的方法： ①用随机试验生成随机数 ②用信息技术生成随机数. 2.随机数法需注意： （1）不重复抽样 （2）编号要求数位相同 （3）第一个数字的抽取是随机的 （4）读数的方向是任意的，且是事先规定好的 ① 用计算器生成随机数； ② 用电子表格软件生成随机数； ③ 用统计软件生成随机数. 新知探究 问题4 比较抽签法和随机数法，它们各有什么优点和缺点？ 优点 缺点 适用范围 抽签法 随机 数法 简单易行 总体容量较大时，费时费力又操作不方便，可能导致抽样不公平. 操作简单易行，它很好地解决了用抽签法当总体中的个数较多时制签难的问题， 当总体量很大，样本量也很多时，对个体编号的工作量太大，即使用随机数表法操作仍然不方便. 适用于总体中个体数不多的情形 总体量较大，样本量较小的情形 新知探究 3.某班对某次考试成绩进行分析,利用随机数法抽取样本时,先将名同学按进行编号,然后通过电子表格软件生成如下随机数:则依次选出的第7个个体编号是(　　) A.07 B.44 C.15 D.51 B 例题讲解 问题5 下面是用随机数法从树人中学高一年级学生中抽取的一个容量为50的简单随机样本，他们的身高变量值（单位：cm）如下： 156.0 166.0 157.0 155.0 162.0 168.0 173.0 155.0 157.0 160.0 175.0 177.0 158.0 155.0 161.0 158.0 161.5 166.0 174.0 170.0 162.0 155.0 156.0 158.0 183.0 164.0 173.0 155.5 176.0 171.0 164.5 160.0 149.0 172.0 165.0 176.0 176.0 168.5 171.0 169.0 156.0 171.0 151.0 158.0 156.0 165.0 158.0 175.0 165.0 171.0 试求树人中学高一年级学生的平均身高大约为多少？ 解：由这些样本观测数据，我们可以计算出样本的平均数为 由此可以估计树人中学高一年级学生的平均身高为164.3cm左右. 新知探究 总体均值： 一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为 则称 为总体均值，又称总体平均数． 如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为 其中出现的频数则总体均值还可以写成加权平均数的形式 新知探究 2.样本均值 如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量分别为，则称 为样本均值，又称为样本平均数. 注意：我们常用样本均值来估计总体均值 新知探究 探究2 小明想考察一下简单随机抽样的估计效果，他从树人中学医务室得到了高一年级学生身高的所有数据，计算出整个年级学生的平均身高为165.0cm.然后，小明用简单随机抽样的方法，从这些数据中抽取了样本量为50和100的样本各10个，分别计算出样本平均数，如下表所示，从小明多次抽样所得的结果中，你有什么发现？ 抽样序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 样本量为50的平均数 165.2 162.8 164.4 164.4 165.6 164.8 165.3 164.7 165.7 165.0 样本量为100的平均数 164.4 165.0 164.7 164.9 164.6 164.9 165.1 165.2 165.1 165.2 总体平均数 165.0 165.0 165.0 165.0 165.0 165.0 165.0 165.0 165.0 165.0 新知探究 为了方便观察数据,以便我们分析样本平均数的特点以及与总体平均数的关系,把这20次试验的平均数用图形表示出来,如下图.图中的蓝红线表示树人中学高一年级全体学生身高的平均数. 1.样本平均数是随机性的，总体平均数是确定的 2.大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动 3.增加样本量可以提高估计效果. 新知探究 简单随机抽样的优缺点： 在实际应用中，简单随机抽样有一定局限性. 例如，当总体很大时，编号等准备工作耗费时间、人工，甚至难以 做到；抽中个体较为分散，要找到样本中的个体进行调查会遇到很 多困难；简单随机抽样没有其他辅助信息，估计效率不是很高. 简单随机抽样方法简单、直观，用样本平均数估计总体平均数也 比较方便. 简单随机抽样是一种基本抽样方法，是其他抽样方法的基础. 因此，在规模较大的调查中，直接采用简单随机抽样的并不多，一般是把简单随机抽样和其他抽样方法组合使用. 优点： 缺点： 新知探究 课本P181 1. 为了合理调配电力资源，某市欲了解全市户居民的日用电量. 若通过简单随机抽样从中抽取了户进行调查，得到其日用电量的平均数为，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数( ). (A) 一定为 (B) 高于 (C) 低于 (D) 约为 D 例题讲解 课本P181 2. 在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样调查. 小明调查的样本平均数为，样本量为；小华调查的样本平均数为，样本量为.你更愿意把哪个值作为总体平均数的估计? 是不是你选的值一定比另一个更接近总体平均数？说说你的理由. 解：应把小华调查的平均数作为总体平均数的估计值. 因为样本量越大，样本平均数接近总体平均数的可能性越大. 但由于样本的随机性，并不能保证样本量大的估计一定优于样本量小的估计. 例题讲解 [变式训练] 我国古代数学有一道“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米石(石为古代质量单位),验得米内夹谷,抽样取米一把,数得粒内夹谷粒,则这批米内夹谷约为(　　) A.石 B.石 C.石 D.石 A 导与练P177 例题讲解 [例4] 某校为了解学生的课外阅读情况,通过简单随机抽样抽取了名学生,对他们一周的读书时间进行了统计,统计数据如下: 则该校学生一周读书时间的平均数(　　) A.一定为 B.高于 C.低于 D.约为 D 读书时间 7 8 9 10 11 学生人数 6 10 9 8 7 导与练P177 例题讲解 3. 抽签法与随机数法 2. 简单随机抽样的定义 1. 普查与抽样调查 4. 总体平均数与样本平均数 课堂小结 32 $