精品解析：广东龙川第一实验学校2025-2026学年度下学期 八年级数学学情自测

2025−2026年度龙川第一实验学校月练一 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列选项中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“用不等号连接表示不等关系的式子是不等式”即可逐一判断选项． 【详解】解：是用等号连接的等式，不符合不等式定义，A不符合要求； 没有连接不等号表示不等关系，不符合不等式定义，B不符合要求； 是用不等号连接，表示不等关系的式子，符合不等式定义，C符合要求； 是用等号连接的等式，不符合不等式定义，D不符合要求． 2. 如图，，平分，若，则点D到的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】考查知识点：角平分线的性质．解题方法与技巧：利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质，将点D到的距离转化为已知的的长度．解题关键：明确角平分线的性质，准确找到点D到的距离与的关系．易错点：容易忽略角平分线性质的应用条件，或者找不到对应的距离线段，从而无法将已知条件和所求距离建立联系． 首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．题目中是的平分线，，说明是点D到的距离，那么根据角平分线的性质，点D到的距离就等于的长度．已知，所以点D到的距离就是3，从而得出答案． 【详解】解：如图所示， 平分，， ， 过点D作于E， ， ， 所以点D到的距离． 故选：C． 3. 八边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为，与多边形的边数无关， ∴八边形的外角和为． 4. 不等式的两边都除以，得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，注意除以负数时不等号方向改变是解题的关键． 根据不等式性质，两边同除以负数时，不等号方向改变． 【详解】解：∵原不等式为， 两边同除以（负数）， ∴不等号方向改变， 即 ， ∴得 . 故选：D． 5. 如图，是的一个外角，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角，，， ∴． 6. 三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）． A. 三条高的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条角平分线的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”即可解答． 【详解】解：要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三边垂直平分线的交点处． 7. 下列命题的逆命题不是真命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 三边都相等的三角形是等边三角形 C. 全等三角形的周长相等 D. 等角的补角相等 【答案】C 【解析】 【分析】先根据逆命题的定义，交换每个选项原命题的条件和结论得到逆命题，再逐一判断逆命题的真假，即可得到答案． 【详解】解：选项A：原命题的逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．两个锐角互余，和为，第三个角为，三角形是直角三角形，逆命题是真命题． 选项B：原命题的逆命题为：等边三角形的三边都相等．由等边三角形的性质可知逆命题是真命题． 选项C：原命题的逆命题为：周长相等的三角形是全等三角形．举反例：三边长为的三角形周长为，三边长为的三角形周长也为，但两个三角形不全等，逆命题是假命题，符合要求． 选项D：原命题的逆命题为：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等．设两个角为，，，，逆命题是真命题． 8. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 是不等式的一个解 B. 不等式的解集中包含 C. 不等式的解有无数个 D. 是不等式的解集 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A．解不等式得，满足不等式，∴是的一个解，A说法正确． 对于选项B．解不等式得，∵，满足不等式，∴在不等式的解集中，B说法正确． 对于选项C．∵所有不大于的实数都是的解，实数有无数个，∴不等式的解有无数个，C说法正确． 对于选项D．解不等式得，即该不等式的解集为，只是不等式的一个解，不是整个解集，因此D说法不正确． 9. 如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质．根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接，可得，再利用等角的余角相等，证明，从而得，即可解答． 【详解】解：连接， ，是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图所示，已知，点P在上，，点M，N在上．，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图：过P作垂足为C，由等腰三角形三线合一的性质可得，再利用含30度直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图：过P作垂足为C， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应先假设______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，第一步假设命题结论不成立，写出原结论的否定即可求解． 【详解】解：用反证法证明命题时，需先假设结论不成立， 原命题结论为，其否定为， 因此第一步应先假设． 12. 不等式的负整数解有______个． 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知的不等式解集，找出所有符合条件的负整数，统计其个数即可得到结果． 【详解】解：已知不等式的解集为，大于的负整数为，共个． 13. 如图，在中，，是上一点，过点D作于点，，连接．若，，则的长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查角平分线的判定和性质，根据，，，得到，由此得到，再根据角平分线的性质得到，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为10． 14. 如果一个正多边形的内角和等于外角和的4倍，则这个正多边形每个外角的度数为______°． 【答案】36 【解析】 【分析】根据任意多边形外角和为，结合题目条件求出正多边形的边数，再计算每个外角的度数即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 解得， 因此这个正多边形每个外角的度数为： ． 15. 如图，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且，，相交于点P，过点D作，垂足为F．若，则的长度为______． 【答案】3 【解析】 【分析】证明即可得到，得出，又，即，得到，根据在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，可求出的长，最后由勾股定理求得的长． 【详解】证明：∵是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ； ， ， ，即， ， ∴， ． 三、解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式：，并将解集表示在数轴上． 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】先按照移项、合并同类项、系数化为1以及不等式的性质求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ， ． 解集在数轴上表示如图： ． 17. 如图，，，与相交于点E，若F是的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明可得，利用等边对等角可得，再利用等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴． 18. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）∠DAE∠DAC＝40° 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到DB＝DA，求出∠CAD=80°，再利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB ∴DB＝DA ∴∠DAB＝∠B＝30° ∵∠C＝40° ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110° ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80° ∵AE平分∠DAC ∴∠DAE∠DAC＝40°． 【点睛】此题主要考查垂直平分线与角平分线，解题的关键是熟知尺规作图的方法． 四、解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，是直角三角形，，平分交于点E，于点D交于点F．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等角的余角相等，等角对等边．由三角形内角和定理求得，，角平分线的定义得到，据此证明即可． 【详解】证明：平分， ． ， ， ． ， ． ， ． ， ， ， 是等腰三角形． 20. 如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． （1）求证：AD平分； （2）请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）先运用证明可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先运用证明可得，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 【小问2详解】 解：，理由如下： 在与中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 （1）若，，，求证：； 【问题解决】 （2）如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）不安全，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求得、，然后求得，即；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵． ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形，且． 【小问2详解】 解：小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 五、解答题（三）．（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点D，垂足分别为E，F，，分别交于点M，N，连接，． （1）求证：点D在的垂直平分线上； （2）若，． ①求的周长； ②，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①24；②24 【解析】 【分析】（1）连接，，，根据垂直平分线的性质可知，，进而得到，可知点D在的垂直平分线上； （2）①根据垂直平分线的性质可知，，则，； ②根据等边对等角得到，，进而根据角的和差得到，即是直角三角形且为斜边，根据勾股定理可知，结合①可知，根据完全平方公式得到，则，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； 【小问2详解】 解：①∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为24； ②由①知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形且为斜边， ∵， ∴， 由①知，的周长为24， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 23. 数学学习的主要思想方法是：抽象、推理、模型，逆向思维帮助我们发现和提出问题，演绎推理帮助我们分析和解决问题，建立模型帮助我们深度思考，请同学们完成以下任务： （1）【任务1】逆向思维：“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”． 请补充写出它的逆命题：在直角三角形中，如果______，那么______． （2）【任务2】推理建模：请补充完成任1中逆命题的推理过程． 已知：如图①，在中，，______． 求证：______． 证明：延长到点D，使，连接． （请完成剩余过程） （3）【任务3】模型应用： 动手操作： 第1步：如图②，四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，再把这个正方形展平； 第2步：如图③，将正方形沿直线折叠，使A点的对应点P落在上．再把这个正方形展平，连接． 第3步：如图④，延长交于点Q．连接． 数学思考： （1）图③中的______； （2）图③中的是什么特殊的三角形？请说明理由； （3）图④中，若正方形的边长为，求的值． 【答案】（1）在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半；这条直角边所对的锐角等于 （2）；，证明见解析 （3）（1）；（2）是等边三角形，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）直接根据逆命题的定义解答即可； （2）先根据逆命题补全已知和求证，延长到点D，使，连接．然后根据已知条件证明是等边三角形可得，最后根据三角形内角和定理即可证明结论； （3）（1）先说明是等边三角形，即，再结合正方形的性质可得，再利用平行线的性质以及角的和差即可解答；（2）是等边三角形，理由见（1）；（3）由折叠的性质可知，，，，．再证明可得，然后通过含直角三角形的性质、勾股定理可得 ，；再利用折叠的性质以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半；这条直角边所对的锐角等于． 【小问2详解】 解：已知：如图①，在中，，． 求证：． 证明：延长到点D，使，连接． ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴垂直平分， ∴， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：（1）由作图过程可知：垂直平分， ∴， ∵将正方形沿直线折叠，使A点的对应点P落在上．再把这个正方形展平，连接． ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）是等边三角形，理由见（1）； （3）由折叠的性质可知，，，， ． ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，, ∴，解得： ∴，， 由折叠的性质知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026年度龙川第一实验学校月练一 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列选项中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，平分，若，则点D到的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 3. 八边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的两边都除以，得（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的一个外角，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）． A. 三条高的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条角平分线的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处 7. 下列命题的逆命题不是真命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 三边都相等的三角形是等边三角形 C. 全等三角形的周长相等 D. 等角的补角相等 8. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 是不等式的一个解 B. 不等式的解集中包含 C. 不等式的解有无数个 D. 是不等式的解集 9. 如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图所示，已知，点P在上，，点M，N在上．，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应先假设______． 12. 不等式的负整数解有______个． 13. 如图，在中，，是上一点，过点D作于点，，连接．若，，则的长为_____． 14. 如果一个正多边形的内角和等于外角和的4倍，则这个正多边形每个外角的度数为______°． 15. 如图，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且，，相交于点P，过点D作，垂足为F．若，则的长度为______． 三、解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式：，并将解集表示在数轴上． 17. 如图，，，与相交于点E，若F是的中点，连接．求证：． 18. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 四、解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，是直角三角形，，平分交于点E，于点D交于点F．求证：是等腰三角形． 20. 如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． （1）求证：AD平分； （2）请你判断之间的数量关系，并说明理由． 21. 【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 （1）若，，，求证：； 【问题解决】 （2）如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 五、解答题（三）．（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点D，垂足分别为E，F，，分别交于点M，N，连接，． （1）求证：点D在的垂直平分线上； （2）若，． ①求的周长； ②，求的面积． 23. 数学学习的主要思想方法是：抽象、推理、模型，逆向思维帮助我们发现和提出问题，演绎推理帮助我们分析和解决问题，建立模型帮助我们深度思考，请同学们完成以下任务： （1）【任务1】逆向思维：“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”． 请补充写出它的逆命题：在直角三角形中，如果______，那么______． （2）【任务2】推理建模：请补充完成任1中逆命题的推理过程． 已知：如图①，在中，，______． 求证：______． 证明：延长到点D，使，连接． （请完成剩余过程） （3）【任务3】模型应用： 动手操作： 第1步：如图②，四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，再把这个正方形展平； 第2步：如图③，将正方形沿直线折叠，使A点的对应点P落在上．再把这个正方形展平，连接． 第3步：如图④，延长交于点Q．连接． 数学思考： （1）图③中的______； （2）图③中的是什么特殊的三角形？请说明理由； （3）图④中，若正方形的边长为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $