精品解析：广东省河源市龙川第一实验学校2024-2025学年下学期3月月考八年级数学试题

2024-2025年度龙川第一实验学校月练一八年级数学 满分：120分 一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式，解题的关键是掌握不等式的定义：用符号“”、“”、“”、“”或“”连接的式子，叫做不等式． 【详解】解：个式子中，其中式子，，是不等式，有个． 故选：C． 2. 在中，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等边对等角即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 3. 用反证法证明“若，则”时，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反证法的第一步是否定结论， 大于的否定说法是小于或等于，则可判断结论． 【详解】否定结论：，则应假设：， 故选：C． 【点睛】本题考查反证法对结论的否定，要掌握一些常见结论的否定方法．如“大于”的否定是“不大于或小于等于”，“小于”的否定是“不小于”等等． 4. 如果，那么下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式性质，利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：如果，两边同时加上5得，则A不符合题意； 如果，两边同时减去5得，则B不符合题意； 如果，两边同时乘5得，则C符合题意； 如果，两边同时乘得，则D不符合题意； 故选：C． 5. 如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答． 【详解】解：如图，，，， 要根据“”证明， 需再有斜边对应相等， 即．   故选：D． 6. 如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰三角形的三线合一和直角三角形的两个锐角互余解决问题即可． 【详解】解：是的中线， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的三线合一的性质，属于中考常考题型． 7. 下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A. 若，则 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D. 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了逆命题的真假性，先写出各选项的逆命题，再判断其真假，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、“若，则”的逆命题为“若，则”，反例：当，时，，但，故逆命题不成立，不符合题意； 、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，反例：两个相似但大小不同的三角形对应角相等，但未必全等，故逆命题不成立，不符合题意； 、“如果两个数相等，则它们的绝对值相等”的逆命题为“若两个数的绝对值相等，则它们相等”，反例：和的绝对值相等，但，故逆命题不成立，不符合题意； 、“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，根据垂直平分线性质定理的逆定理，该命题成立，符合题意； 故选：． 8. 如图，在中，，点D，P分别是图中所作直线和射线与的交点，根据图中尺规作图的痕迹判断，以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了基本作图：作角平分线及作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，掌握基本尺规作图是解题的关键． 利用基本作图得到平分，利用基本作图可得到D点为的垂直平分线与的交点，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以可对B选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，则，接着利用得到，可对A、C选项进行判断；根据三角形内角和定理计算出，则可对D选项进行判断． 【详解】解：由作图痕迹得到平分，D点为的垂直平分线与的交点， ∴，所以B选项不符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴； ∴， ∴， 所以A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， 所以C选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 9. 如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质．根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接，可得，再利用等角的余角相等，证明，从而得，即可解答． 【详解】解：连接， ，是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，是等边三角形，是上一点，于点为上一点且，连接垂直平分，交于点，交于点，连接、．下列四个结论：①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握各知识点是解题关键． 由线段垂直平分线的性质可知，即是等腰三角形，故①正确；由题意易证，结合等边三角形的性质，即可证是等边三角形，故②正确；由题意易证，结合平行线的性质即可求出，故③正确；根据，即可判断，故④错误． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，即是等腰三角形，故①正确； ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； ∵垂直平分，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误． 综上可知正确的结论为①②③，共3个． 故选∶C． 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 在中，，，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 12. 已知，则__________．（用适当的不等号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式性质是关键．根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（如图，）．图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，．若，则=_____． 【答案】 【解析】 【分析】由点与点关于直线对称求出，再由和为两个全等的等腰直角三角形，求出，进而计算出，最后利用等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和即可求解． 【详解】∵点与点关于直线对称，， ∴，， ∵和为两个全等的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了关于直线对称、全等三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键． 14. 如图，，和分别平分和，过点P且与垂直．若，，则面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，那么，又，进而求出，进而根据三角形面积公式求解即可．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点P作于E， ∵，过点P且与垂直．， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，规律型：点的坐标，关键是由特殊情况总结出一般规律．由特殊情况总结出一般规律，即可得到答案． 【详解】解：∵点的坐标是， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵过点作轴的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵过点作轴垂线，垂足为点， ∴， ∴， 同理得到：， 按此规律得到： ∴点的纵坐标为 ． 故答案为：． 三、解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质两边都加上即可求解； （2）把不等式化为：，再进一步利用不等式的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ． 小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 17. 如图所示，C、D分别位于路段A、B两点的正北处与正南处，现有两车分别从E、F两处出发，以相同的速度直线行驶，相同时间后分别到达C、D两地，休整一段时间后又以原来的速度直线行驶，最终同时到达A、B两点，那么CE与DF平行吗？为什么？ 【答案】，证明见解析． 【解析】 【分析】根据题意可知，在和中，，，可证和全等，得出，根据平行线判定定理即可证明． 【详解】解：． 证明：∵C、D分别位于路段A、B两点的正北处与正南处， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵两车分别从E、F两处出发，以相同的速度直线行驶，相同时间后分别到达C、D两地， ∴CE＝DF， ∵两车以原来的速度从C、D两地直线行驶，最终同时到达A，B两点， ∴AC＝BD， ∵ ∴(HL)． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了证明直角三角形全等及平行线的判定，理解题意，找出证明三角形全等的条件是解题关键． 18. 如图，已知是的外角的平分线，，是的外角的平分线，与相交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线、平行线可得，则，进而结论得证； （2）由题意知，，则，由角平分线可得．由，可知，计算求解即可． 小问1详解】 证明：平分， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 解：由题意知，， ∴， 平分， ∴． ∵， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边，三角形内角和定理等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边，三角形内角和定理是解题的关键． 19. 如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】过点E作于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出，根据直角三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，边长为1，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 20. 在中，，于点，点在边上，且，分别交、于点、，如图，若，，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，由，，则，，所以，故有，最后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点，交边于点连接． （1）若，的周长为，求的长． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理； （1）根据垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式进而可得，即可求解； （2）根据对顶角相等可得，根据垂直平分线的性质，等边对等角进而得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【小问1详解】 解： 垂直平分， ，， 又， ， 又的周长， ， ； 【小问2详解】 ， ， 又垂直平分BC， ， ， 又， ，， ． 五解答题（三）．（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，，的平分线与的外角平分线交于点，过点作于． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，连，求证：平分． （3）如图3，若周长为20，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质可得到，进而可得，据此可得答案； （2）过点作于，于，由角平分线的性质证明，则由角平分线的判定定理可得证明平分； （3）证明可得，同理，，再根据线段的和差关系和三角形周长公式可得，据此可求出的长， 【小问1详解】 解：∵的平分线与的外角平分线交于点， ，， ∵， ∴， ∴， ， ； 【小问2详解】 证明：如图2，过点作于，于， ，平分，平分， ，， ， 平分； 【小问3详解】 解：如图2，由（2）知：， 在和中， ， ∴， ， 同理得：，， ∵的周长为20， ∴， ， ， ，即：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，角平分线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 23. 在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且． （1）如下图，当动点E在边上时，连接，，求证：； （2）如下图，当动点E是边的中点，判断的形状，并说明理由； （3）如下图，当动点E在边上时，求证：；[提示：需作辅助线] （4）连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）是等腰三角形，理由见解析 （3）证明见解析 （4）的长为或． 【解析】 【分析】（1）先证明是等边三角形，再证明，，即可得到结论； （2）先证明，再证明，即可得到结论； （3）过点E作，再证明即可得到结论； （4）分两种情况画图讨论：如图2，当时， 如图3，当时，再结合图形性质可得答案． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ，． 又， 是等边三角形， ，， ，， 即，． 在和中， 【小问2详解】 是等腰三角形；理由如下： 为的中点，是等边三角形， ，． 又， ， ， ， 是等腰三角形； 【小问3详解】 如图1，过点E作． 是等边三角形， ，． ∵， ，， ， 是等边三角形， ， ，即． ， ， ，即． 在和中， ， ，即； 【小问4详解】 的长为或．理由如下： 如图2，当时，是的高，即是的中线， ． 由（1）可知，， ； 如图3，当时，则， ， ． 由（3）可知，， ∴； 综上：的长为或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，清晰的分类讨论，利用数形结合的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度龙川第一实验学校月练一八年级数学 满分：120分 一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 在中，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 3. 用反证法证明“若，则”时，应假设（ ） A. B. C. D. 4. 如果，那么下列正确是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（ ） A B. C. D. 6. 如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A. 若，则 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D. 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 8. 如图，在中，，点D，P分别是图中所作直线和射线与的交点，根据图中尺规作图的痕迹判断，以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，△中，，点，分别在，上，是中点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，是等边三角形，是上一点，于点为上一点且，连接垂直平分，交于点，交于点，连接、．下列四个结论：①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 在中，，，则的度数为_______． 12. 已知，则__________．（用适当的不等号连接） 13. 《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（如图，）．图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，．若，则=_____． 14. 如图，，和分别平分和，过点P且与垂直．若，，则的面积为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为________． 三、解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式． （1）； （2）． 17. 如图所示，C、D分别位于路段A、B两点的正北处与正南处，现有两车分别从E、F两处出发，以相同的速度直线行驶，相同时间后分别到达C、D两地，休整一段时间后又以原来的速度直线行驶，最终同时到达A、B两点，那么CE与DF平行吗？为什么？ 18. 如图，已知是的外角的平分线，，是的外角的平分线，与相交于点． （1）求证：等腰三角形； （2）若，求度数． 19. 如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，求的长． 20. 在中，，于点，点在边上，且，分别交、于点、，如图，若，，求的长． 21. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点，交边于点连接． （1）若，的周长为，求的长． （2）若，，求的度数． 五解答题（三）．（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，，的平分线与的外角平分线交于点，过点作于． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，连，求证：平分． （3）如图3，若周长为20，求的长． 23. 在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且． （1）如下图，当动点E在边上时，连接，，求证：； （2）如下图，当动点E是边的中点，判断的形状，并说明理由； （3）如下图，当动点E在边上时，求证：；[提示：需作辅助线] （4）连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $