精品解析：广东省汕尾市陆丰市碣北中学2025-2026学年下学期八年级 5月月考数学学科

八年级下册数学随堂导学训练（二） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 计算（ ） A. 3 B. C. D. 2. 如果有意义，那么字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的周长为18，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 14 5. 如图在中，点是的中点，，（ ） A. 8 B. 5 C. 4 D. 3 6. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 正方形四条边相等，四个角相等 C. 对角线相等的平行四边形叫做矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫菱形 7. 如图，菱形的周长为16，对角线，相交于点，为的中点，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 3 8. 如图，在中，已知，，平分交边于点，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与重合，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 在菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 化简___________． 12. 已知菱形的两条对角线长分别为4cm和6cm，则这个菱形的面积为______cm2． 13. 在中，，，则_____ 14. 如图，矩形中，为，，则_____ 15. 如图，在平面直角坐标系内，点，点，点、都在轴上，若四边形是菱形，则点坐标是_____ 三、解答题（每题8分，共24分） 16. 计算 17. 如图，已知、是的对角线上的两点，，．求证： 18. 如图，在菱形中，，．求的度数． 四、解答题（每题9分，共27分） 19. 如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上， （1）的长为_____，的长为_____ （2）求证： 20. 如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，求证： （1）； （2）． 21. 如图，已知，，，分别是矩形的边，，，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积 五、解答题（每题12分，共24分） 22. （1）已知，，求下列各式的值： ① ② （2）若，，当时，求的值 23. 如图，在正方形中，点是对角线上的一点，点在的延长线上，且，交于点． 求： （1）求证： （2）连接，求证： （3）如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下册数学随堂导学训练（二） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 计算（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2. 如果有意义，那么字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数解答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：． 故选：A 3. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算法则，熟练掌握基本法则是关键． 按照二次根式的加减乘除运算法则计算． 【详解】解：A、，正确； B、，错误； C、，正确； D、，正确； 故选：B． 4. 已知的周长为18，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键． 根据平行四边形对边相等，即可求解． 【详解】解：∵的周长为， ， ， ， 故选：B． 5. 如图在中，点是的中点，，（ ） A. 8 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质来求解．本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，点是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 正方形四条边相等，四个角相等 C. 对角线相等的平行四边形叫做矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查四边形中平行四边形和特殊的平行四边形的判定和性质，正确的理解和仔细区分是解题的关键．利用平行四边形的判定和性质及特殊四边形的判定和性质逐个选项排查即可． 【详解】解：选项A中，平行四边形的对角线互相平分，故说法正确，不符合题意； 选项B中，正方形四条边相等，四个角相等，故说法正确，不符合题意； 选项C中，对角线相等的平行四边形叫做矩形，故说法正确，不符合题意； 选项D中，有一个角是直角的平行四边形叫矩形，故说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 如图，菱形的周长为16，对角线，相交于点，为的中点，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据菱形对角线互相垂直的性质可知，在中，利用斜边的中线等于斜边的一半解得，最后根据菱形的四边相等解题即可． 【详解】解：在菱形中，， 又 ∵为的中点， 在中，， ∵菱形的周长为16， ， ， 故选：C． 8. 如图，在中，已知，，平分交边于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 利用平行四边形的性质和角平分线的性质得到是等腰三角形，进而求出，再求得的长即可． 【详解】解：在中，，， ， ∵平分交边于点， ， ， ， ，， ， ， 故选：A． 9. 如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与重合，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用折叠性质得到，设的长为，表示出的长度，再在中，根据勾股定理列方程求解．本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理并利用折叠性质得到相等线段是解题的关键． 【详解】解：设， ∵ 长方形中， ∴ ． ∵ 折叠后点与重合， ∴ ． ∵ 四边形是长方形， ∴ ． 在中，由勾股定理得， 又∵ ， ∴ ， ， ， ， ． 故选：A． 10. 在菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，角平分线性质定理，垂线段最短，勾股定理，利用菱形的性质求面积，学会利用垂线段最短解决最短线路问题是解题的关键． 过作于交于点，过作于点，则此时的P、E满足最小，先将的最小值转化为线段的长度，在中由勾股定理求出，再由等面积法得到，即可求解． 【详解】解：过作于交于点，过作于点，则此时的P、E满足最小， ∵四边形是菱形， ∴且、互相平分，平分， ∴， ∵垂线段最短， ∴，即的最小值为线段的长度， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 化简___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，将分子分母同乘以分母，化去分母中的根号即可得到化简结果． 【详解】解：． 12. 已知菱形的两条对角线长分别为4cm和6cm，则这个菱形的面积为______cm2． 【答案】12 【解析】 【分析】根据菱形的面积计算公式计算即可； 【详解】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半， 即：4×6÷2＝12（cm2）． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了菱形的面积计算，准确记住公式并正确计算是解题的关键． 13. 在中，，，则_____ 【答案】或 【解析】 【分析】先判断所给两边是直角边还是一条直角边与斜边，再分情况利用勾股定理计算第三条边的长度．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的内容及在直角三角形中正确判断斜边和直角边是解题的关键． 【详解】解：情形一： ∵ 在中，，，当、为直角边时， ∴ 根据勾股定理； 情形二： ∵ 在中，为斜边，为直角边时， ∴ 根据勾股定理； 故答案为：或． 14. 如图，矩形中，为，，则_____ 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质；根据矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出，根据勾股定理进而可得出答案． 【详解】解：∵矩形， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 故答案为：4． 15. 如图，在平面直角坐标系内，点，点，点、都在轴上，若四边形是菱形，则点坐标是_____ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 由坐标与图形的性质可求，点，分点在点的右侧和点在点的左侧两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵点，点， ∴，点， 当点在点的右侧时， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴点， 当点在点的左侧时，同理可得， ∴点， 综上所述：点或， 故答案为：或． 三、解答题（每题8分，共24分） 16. 计算 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 17. 如图，已知、是的对角线上的两点，，．求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】要证明，可先利用平行四边形的性质得到，再证明和全等．本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． 在和中， ∴ ． ∴ ． 18. 如图，在菱形中，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形性质求出的度数，再利用菱形对角线性质得出的度数，最后结合直角三角形两锐角互余求出的度数．本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对边平行、对角线平分内角是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，平分， ∴， ∴． ∵四边形是菱形，平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（每题9分，共27分） 19. 如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上， （1）的长为_____，的长为_____ （2）求证： 【答案】（1），． （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，根据格点坐标确定直角边长度，进而求出和的长． （2）通过勾股定理求出的长，再验证是否等于，若成立则． 【小问1详解】 解： 由勾股定理得，． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由勾股定理得． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 20. 如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要运用正方形的性质、全等三角形的判定定理（）以及全等三角形的性质来证明． （1）通过证明三角形全等得到对应边相等和对应角相等； （2）在（1）的基础上，利用角的关系证明垂直． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 设与交于点G， ∵， ． 又∵， ， ， ． 21. 如图，已知，，，分别是矩形的边，，，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形； （2）利用菱形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 证明：连接， 在中，∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ， 同理． 又 ∵在矩形中，， ， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ， ， ∴菱形的对角线为， ∴菱形的面积为：． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的性质以及菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：（1）定义，（2）四边相等，（3）对角线互相垂直平分． 五、解答题（每题12分，共24分） 22. （1）已知，，求下列各式的值： ① ② （2）若，，当时，求的值 【答案】（1）①3；②31；（2）3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）①利用平方差公式进行计算，即可解答； ②利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）①∵， ； ②∵， ， ； （2）∵， ， ， ． 23. 如图，在正方形中，点是对角线上的一点，点在的延长线上，且，交于点． 求： （1）求证： （2）连接，求证： （3）如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形得出，，结合得出，从而得出结论； （2）根据全等得出，，根据得出，即，结合勾股定理及等角对等边即可得解； （3）首先证明和全等，然后得出，，然后得出，从而得出，然后得出是等边三角形，从而得出AP=CE． 【小问1详解】 证明：在正方形中，，， 又∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解： 理由是：在菱形中，，， 在和中，又∵， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合题，正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $