精品解析：内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

奋斗中学2025—2026—2高二期中考试（数学）试题 一、单选题（本题共8道小题，每小题5分，共计40分） 1. （ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数公式和排列数公式直接计算可得. 【详解】由组合数公式和排列数公式可得. 故选：D 2. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于AD：根据基本初等函数导函数分析判断；对于B：根据复合函数的导函数分析判断；对于C：根据导数的减法运算法则分析判断. 【详解】对于选项A：由余弦函数的导数可得，故A错误； 对于选项B：由复合函数可得，故B错误； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：因为为常数，则，故D正确； 故选：D. 3. 李芳有4件不同颜色的衬衣，3条不同花样的裤子，另有两条不同样式的连衣裙.李芳需选择一套服装（一件衬衣和一条裤子为一套，一条连衣裙为一套）参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式有（ ）种 A. 24 B. 14 C. 10 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论利用分步乘法原理和分类加法计数原理计算即可. 【详解】分两类： 第一类：选衬衣加裤子，共有种选法； 第二类：选连衣裙，共有种选法， 根据分类加法计数原理共有种选法. 4. 某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”五张知识展板放置在五个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，则不同的放置方式种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】由捆绑法即可求解. 【详解】由于立春和春分相邻，先将二者捆绑，二者内部有顺序，排列数为 种； 捆绑后得到1个整体，和剩余3块展板共4个元素，对4个元素全排列，排列数为 ， 分步计数求总数：根据分步乘法计数原理，总放置方式为 . 5. 正态分布，，（其中，，均大于0）所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 最大，最大 B. 最大，最大 C. 最大，最大 D. 最大，最大 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的均值和方差对图形的影响判断即可. 【详解】由正态分布，可知是均值，是正态密度曲线的对称轴，可知最大， 表示方差，越小越“瘦高”，越大越“矮胖”，所以最大. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正态分布曲线比较均值和方差，属于基础题. 6. 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ） A. 22.5% B. 30% C. 40% D. 45% 【答案】C 【解析】 【详解】设事件“抽到的学生喜欢文学阅读”，事件“抽到的学生喜欢科普阅读”， 由题意，， . 7. 甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜，再根据二项分布公式求解即可. 【详解】甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜， 其概率为． 故选：A 8. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象，当时，排除CD，再求导研究函数单调性得在区间上单调递减，排除B得答案. 【详解】解：因为时，，所以C，D错误； 因为， 所以当时，， 所以在区间上单调递减， 所以A正确，B错误. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题．已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限. 二、多选题（本题共3道小题，每小题6分，共计18分） 9. （多选）如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口随年份变化的折线图.根据该折线图判断近十年的情况，下列说法正确的有（ ） A. 城镇人口与年份呈正相关 B. 乡村人口与年份的样本相关系数r接近1 C. 城镇人口逐年增长量大致相同 D. 可预测乡村人口仍呈下降趋势 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合图象以及线性相关系数知识逐一判断即可. 【详解】对于A选项，由折线图递增可知，城镇人口与年份呈正相关，故A正确； 对于B选项，因为乡村人口与年份成负线性相关关系，且线性相关性很强， 所以r接近，故B错误； 对于C选项，城镇人口y与年份x呈正相关，且线性相关性很强，近似可以看作线性相关，故城镇人口逐年增长量大致相同，故C正确； 对于D选项，乡村人口与年份成负线性相关关系，可预测乡村人口仍呈现下降趋势， 故D正确. 故选：ACD. 10. 若，则下列选项是正确的有（ ） A. 二项式系数之和为 B. 展开式中含的系数为 C. 系数之和为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式定理的相关性质结论，计算二项式系数之和、特定项系数、各项系数绝对值之和以及系数和，最后分别对各选项进行分析判断. 【详解】对于A，根据二项式系数之和为， 在中，，所以二项式系数之和为，故A正确. 对于B，在中，其展开式的通项为， 令，则，故B错误. 对于C，令，可得，故C正确， 对于D，由题意得表示的各项系数的绝对值之和， 即表示的各项系数之和， 令，可得，即，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 的极小值为1 C. 设，，，则 D. 若曲线与曲线无公共点，则实数k的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导判断函数的单调性并求出极值，判断AB选项；利用的单调性及对应的自变量的值判断C选项；分离参数，设，通过导数求得的最值，进而得到的取值范围，判断D选项. 【详解】求导得，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，A正确； 由的单调性知在处取得极大值，无极小值，B错误； C选项，，，， 因为，在上单调递减，所以，即，C正确； D选项，由得， 设，则， 令得，令得，所以，， 又显然当时，， 所以若曲线与曲线无公共点的充分必要条件是，D正确； 故选：ACD. 三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据两点分布确定X的期望，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，， 所以， 所以， 因为，所以 故答案为：0. 13. 某次考试的数学成绩X近似服从正态分布且，若参加考生总人数是1000，则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为________． 【答案】30 【解析】 【分析】由题意，可得正态分布的均值，根据正态分布曲线的对称性，分析计算，即可得答案. 【详解】因为，所以均值， 由，根据正态分布曲线的对称性可得， 所以， 所以学生数学成绩在130分以上的总人数为. 故答案为：30 14. 将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个志愿者只能去一个国家馆，每个馆至少分配一名志愿者，其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有________种． 【答案】 114 【解析】 【分析】由题意可得每一个馆的人数分别是2，2，1；1，1，3；分类计算再减去不符合题意的情况即可求解. 【详解】每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况， 每一个馆的人数分别是2，2，1或1，1，3； 当按照2，2，1安排时，共有 种不同情况； 当按照1，1，3安排时，有种不同情况； 其中包括甲和乙在一个馆里的情况， 当甲和乙在同一个馆里时，将甲、乙视为一个整体， 等价于将4个元素分配到3个馆且每个馆至少1个， 此时分组仅为2，1，1，分组数为，分配到3个馆的分配数为， 因此甲乙同馆的方案数为， ∴满足条件的排列法共有种. 四、解答题（本题共5题，共计77分） 15. 在的展开式中，______． 给出下列条件：①二项式系数和为64，②第三项的二项式系数为15，③各项系数之和为729，试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求n的值并求展开式中的常数项； （2）求展开式中的系数． 【答案】（1），展开式的常数项为 （2）展开式中的系数为 【解析】 【分析】（1）若选①利用二项式系数和公式先求n，结合展开式通项公式可求常数项；若选②利用二项式定理先求n，结合展开式通项公式可求常数项；若选③利用赋值法先求n，结合展开式通项公式可求常数项； （2）若选①利用二项式定理及其展开式通项可求指定项系数；若选②利用二项式定理及其展开式通项可求指定项系数；若选③利用二项式定理及其展开式通项可求指定项系数. 【小问1详解】 若选①，易知，则，此时的常数项为； 若选②，易知，则，此时的常数项为； 若选③，令，则， 则，此时的常数项为； 【小问2详解】 由上可知不论选①②③，都有， 则问题为求展开式中的系数， 先求展开式中含的项，易知该项为， 再求展开式中含的项，易知该项为， 所以展开式中含的项为，所以其系数为. 16. 小张从家到公司上班总共有三条路可以直达，如图所示，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的长短不同，选择每条路的概率如下：，，．每天上述三条路不拥堵的概率分别为：，，．假设遇到拥堵会迟到，不拥堵便不会迟到． （1）小张从家到公司不迟到的概率是多少？ （2）小张到达公司未迟到且选择第一条路的概率是多少？（结果保留三位小数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）小张从家到公司不迟到会受到三条路的影响，因此这是一个全概率问题，根据全概率求解即可； （2）运用条件概率公式之后，再用概率的乘法公式计算即可. 【小问1详解】 设事件为到公司不迟到（说明选择的路不拥堵），事件为选择第条路． 由全概率公式，得 ． 所以小张从家到公司不迟到的概率是． 【小问2详解】 ． 所以他选择第一条路的概率约是． 17. 平顶山市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以元罚款，记分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份 违章驾驶员人数 （Ⅰ）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程； （Ⅱ）预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数． 参考公式：，． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）人. 【解析】 【分析】（Ⅰ）计算出和，然后根据公式，求出和，得到回归直线方程；（Ⅱ）根据回归直线方程，代入 【详解】解：（Ⅰ）由表中数据，计算；， ， ， 所以与之间的回归直线方程为； （Ⅱ）时，， 预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为人． 【点睛】本题考查最小二乘法求回归直线方程，根据回归方程进行预测，属于简单题. 18. 某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案： 方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元： 方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额. （1）求随机变量的分布列和数学期望： （2）用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案?请说明理由. 【答案】（1）分布列见解析， （2）应选择方案一，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知的值可能为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则，利用二项分布的期望、方差公式结合期望、方差的性质求出、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论； 法二：分析可知，的值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论. 【小问1详解】 解：由题意可知，的值可能为、、， ，，. . 【小问2详解】 解：法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则. ，， ，，. ， 因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一； 法二：的值可能为、、、， ，， ，， 则， ， 因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程： （2）讨论函数的单调性； （3）对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，即可得出所求切线的方程； （2）求得，分、两种情况讨论，利用函数单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （3）由参变量分离可得，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则，所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为； 当时，由可得，由可得， 此时函数的单调递增区间为，单调减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调减区间为. 【小问3详解】 对任意的，，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奋斗中学2025—2026—2高二期中考试（数学）试题 一、单选题（本题共8道小题，每小题5分，共计40分） 1. （ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 2. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 李芳有4件不同颜色的衬衣，3条不同花样的裤子，另有两条不同样式的连衣裙.李芳需选择一套服装（一件衬衣和一条裤子为一套，一条连衣裙为一套）参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式有（ ）种 A. 24 B. 14 C. 10 D. 9 4. 某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”五张知识展板放置在五个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，则不同的放置方式种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 120 5. 正态分布，，（其中，，均大于0）所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 最大，最大 B. 最大，最大 C. 最大，最大 D. 最大，最大 6. 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ） A. 22.5% B. 30% C. 40% D. 45% 7. 甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3道小题，每小题6分，共计18分） 9. （多选）如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口随年份变化的折线图.根据该折线图判断近十年的情况，下列说法正确的有（ ） A. 城镇人口与年份呈正相关 B. 乡村人口与年份的样本相关系数r接近1 C. 城镇人口逐年增长量大致相同 D. 可预测乡村人口仍呈下降趋势 10. 若，则下列选项是正确的有（ ） A. 二项式系数之和为 B. 展开式中含的系数为 C. 系数之和为 D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 的极小值为1 C. 设，，，则 D. 若曲线与曲线无公共点，则实数k的取值范围是 三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 13. 某次考试的数学成绩X近似服从正态分布且，若参加考生总人数是1000，则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为________． 14. 将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个志愿者只能去一个国家馆，每个馆至少分配一名志愿者，其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有________种． 四、解答题（本题共5题，共计77分） 15. 在的展开式中，______． 给出下列条件：①二项式系数和为64，②第三项的二项式系数为15，③各项系数之和为729，试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求n的值并求展开式中的常数项； （2）求展开式中的系数． 16. 小张从家到公司上班总共有三条路可以直达，如图所示，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的长短不同，选择每条路的概率如下：，，．每天上述三条路不拥堵的概率分别为：，，．假设遇到拥堵会迟到，不拥堵便不会迟到． （1）小张从家到公司不迟到的概率是多少？ （2）小张到达公司未迟到且选择第一条路的概率是多少？（结果保留三位小数） 17. 平顶山市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以元罚款，记分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份 违章驾驶员人数 （Ⅰ）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程； （Ⅱ）预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数． 参考公式：，． 18. 某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案： 方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元： 方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额. （1）求随机变量的分布列和数学期望： （2）用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案?请说明理由. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程： （2）讨论函数的单调性； （3）对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $