精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试卷

集宁二中2026-2027学年高二期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 命题人：高二数学组 一、单选题 1. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 函数定义在区间，则 “在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要也不充分条件 4. 某班有男生5人､女生4人，现要从中选出2人参加活动，要求恰好1男1女，则不同的选法共有（ ） A. 9种 B. 14种 C. 20种 D. 40种 5. 若，则（） A. 1 B. 16 C. D. 81 6. 设随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 7. 若随机变量X服从两点分布，，则为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.8 8. 已知随机变量，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多选题 9. 若随机变量， 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 的一个极小值为 D. 在上的最大值为 11. 袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（ ） A. 随机变量服从超几何分布 B. C. D. 记这4个球中白球的个数为，则 三、填空题 12. 六人排队，要求两人相邻，两人不相邻，则所有不同排法有_________种.（用数字作答） 13. 已知随机变量，且，则__________． 14. 设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 四、解答题 15. 现有10名学生，其中女生4名，男生6名. （1）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （2）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （3）从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？ 16. 为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理错题 40 20 60 不经常整理错题 20 20 40 合计 60 40 100 用频率估计概率，在该中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈. （1）用X表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求X的分布列和数学期望及方差； （2）求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率. 17. 在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： （1）已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ （2）从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； （3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 18. 基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，结果如表： 月份 月份代码x 1 2 3 4 5 6 y 11 13 16 15 20 21 （1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y与月份代码x之间的关系. （2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元辆和800元辆的A，B两款车型，报废年限各不相同考虑公司的经济效益，该公司决定对两款单车进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如表： 报废年限 车型 1年 2年 3年 4年 总计 A 10 30 40 20 100 B 15 40 35 10 100 经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元不考虑除采购成本以外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，分别以这100辆单车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？ 参考数据：，， 参考公式：相关系数 回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）若图像与轴有且仅有两个交点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集宁二中2026-2027学年高二期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 命题人：高二数学组 一、单选题 1. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义直接判断. 【详解】由图可知函数在点的切线斜率小于，即， 在点的切线斜率等于，即， 在点的切线斜率大于，即， 所以， 故选：B. 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 则. 3. 函数定义在区间，则 “在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要也不充分条件 【答案】A 【解析】 【详解】若在上恒成立，则在区间单调递增，充分性满足； 若在区间单调递增且可导，则在上（等号在某些点处取得），不能得到， 比如在单调递增，但，以及还有不可导的情况，必要性不满足， 因此“在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的充分不必要条件. 4. 某班有男生5人､女生4人，现要从中选出2人参加活动，要求恰好1男1女，则不同的选法共有（ ） A. 9种 B. 14种 C. 20种 D. 40种 【答案】C 【解析】 【详解】先选1名男生，有（种）选法；再选1名女生，有（种）选法. 根据分步乘法计数原理得不同的选法共有（种）. 5. 若，则（） A. 1 B. 16 C. D. 81 【答案】B 【解析】 【详解】令代入等式两边:左边：. 右边：，因此. 6. 设随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由随机变量的分布列的性质得到答案. 【详解】由题意知，解得. 故选：B. 7. 若随机变量X服从两点分布，，则为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点分布性质计算即可. 【详解】由题可知：X服从两点分布，所以， 又， 所以. 故选：C 8. 已知随机变量，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】因为随机变量， 则. 二、多选题 9. 若随机变量， 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由二项分布概率公式和期望、方差计算公式计算，即可判断各选项. 【详解】对于A，因，故，故A正确； 对于B，因，故，故B正确； 对于C，因，故,故C错误； 对于D，由C项得，则，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 的一个极小值为 D. 在上的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数与函数的单调性间的关系，结合图形，直接求出单调区间，进而得到极值和最值，再结合各个选项，即可求解. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增，极小值为， 在上的最大值为，所以选项A和C错误，选项B和D正确， 故选：BD. 11. 袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（ ） A. 随机变量服从超几何分布 B. C. D. 记这4个球中白球的个数为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据超几何分布的定义即可求解；对于B，求出和即可求解；对于C，根据即可求解；对于D，根据即可求解. 【详解】对于A，超几何分布的定义为从含个成功元素中无放回抽取个，成功次数服从超几何分布，符合定义，故A正确； 对于B，， ，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 六人排队，要求两人相邻，两人不相邻，则所有不同排法有_________种.（用数字作答） 【答案】144 【解析】 【分析】利用捆绑法和插空法求解即可. 【详解】将看成一个整体，与除外的两人进行排列，形成了四个空， 再将插入这四个空中， 所以所有不同排法有种. 故答案为：. 13. 已知随机变量，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】依题意得， 所以. 14. 设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】，， 所以 四、解答题 15. 现有10名学生，其中女生4名，男生6名. （1）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （2）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （3）从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？ 【答案】（1）90 （2）30 （3）140 【解析】 【分析】（1）由分步乘法计数原理结合组合数即可求解； （2）分1男1女和2名女讨论求解即可； （3）通过间接法求解即可. 【小问1详解】 根据题意，从4名女生中任选2人的选法有种， 从6名男生中任选2人的选法有种， 则从中选出男、女各2名的选法有种； 【小问2详解】 根据题意，分2种情况讨论： ①选出的2名代表为1男1女，有种选法； ②选出的2名代表都为女生，有种选法； 则必须有女生的选法有种； 【小问3详解】 从10人中任选4人， 要求男生甲与女生乙至少有1人在内， 利用排除法有种选法. 16. 为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理错题 40 20 60 不经常整理错题 20 20 40 合计 60 40 100 用频率估计概率，在该中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈. （1）用X表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求X的分布列和数学期望及方差； （2）求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率. 【答案】（1）分布列见解析，，; （2） 【解析】 【分析】(1)利用分层抽样，再利用超几何分布即可求解分布列及期望和方差； (2)利用全概率公式，先确定抽到经常整理错题的人数是1人还是2人，然后再针对这1个人是数学成绩优秀的概率为，这里要用到二项分布来求解即可. 【小问1详解】 在该中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生， 根据的比例，可知这5名学生中有3人是“经常整理错题”，有2人是“不经常整理错题” 再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈，用X表示抽取的2人中经常整理错题的人数， 则X的可能取值有， 即，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则， ； 【小问2详解】 设“这2名学生中含有经常整理错题的有1人”， “这2名学生中含有经常整理错题的有2人”，“这2名学生中恰有1名同学经常整理错题且数学成绩优秀” 则 根据全概率公式可得：， 所以抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率为. 17. 在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： （1）已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ （2）从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； （3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 【答案】（1）甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为2人，乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为4人 （2）分布列见详解，的数学期望为2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率即可直接求得甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生人数； （2）记从乙班抽到的学生人数为，由题得随机变量符合超几何分布，则有，即可求，再计算均值即可. （3）从频率分布直方图，我们可以得到甲班的数据比较集中，乙班的数据比较分散，这说明甲班的离散程度小，数据波动小，方差也小，乙班的离散程度大，数据波动大，方差也大，故可得. 【小问1详解】 甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人， 乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人. 【小问2详解】 两个班级每天学习时间不超过4小时的学生人数共有6人，记从乙班抽到的学生人数为，易得随机变量符合超几何分布，的取值为 则有， 则，，， 则分布列为： 1 2 3 0.2 0.6 0.2 则，即的数学期望为2. 【小问3详解】 根据频率分布直方图，可以观察到甲班每天学习时间较为集中，乙班学习时间较为分散，故可得乙班数据波动较大，方差较大，则有. 18. 基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，结果如表： 月份 月份代码x 1 2 3 4 5 6 y 11 13 16 15 20 21 （1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y与月份代码x之间的关系. （2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元辆和800元辆的A，B两款车型，报废年限各不相同考虑公司的经济效益，该公司决定对两款单车进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如表： 报废年限 车型 1年 2年 3年 4年 总计 A 10 30 40 20 100 B 15 40 35 10 100 经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元不考虑除采购成本以外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，分别以这100辆单车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？ 参考数据：，， 参考公式：相关系数 回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 【答案】（1）答案见解析 （2）选择采购B款车型 【解析】 【分析】（1）求出相关系数，判断即可； （2）分别求出的平均利润，判断即可. 【小问1详解】 ，故， 故， 故两变量之间有较强的相关关系， 故可用线性回归模型拟合y与月份代码x之间的关系； 【小问2详解】 用频率估计概率， 这100辆A款单车的平均利率为： 元， 这100辆B款车的平均利润为： 元， 故会选择采购B款车型. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）若图像与轴有且仅有两个交点，求的值. 【答案】（1）单调减区间为和，单调增区间为，有极小值，极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导判断导数的变化情况即可得到的单调区间和极值； （2）结合（1）中的结果，利用极大值或极小值解决问题. 【小问1详解】 依题意有， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的单调减区间为和，单调增区间为， 有极小值，极大值. 【小问2详解】 ，可知时， 时，所以若图像与轴有且仅有两个交点， 应有极小值或极大值，得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $