第十五章 轴对称 解题方法与章末核心要点分类整合课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了轴对称的核心知识，涵盖轴对称图形识别、线段垂直平分线性质、坐标变换、等腰及等边三角形的性质与判定，通过章末核心要点分类整合和专题串联，构建完整知识网络。 其亮点在于强化分类讨论思想应用，如等腰三角形角、边、位置的分类例题，结合最短路径实践活动培养几何直观与逻辑推理能力，分层设计中考真题与变式训练，助力学生巩固知识，教师精准教学。

重点题型 分类讨论思想在等腰三角形中的应用 第十五章 轴对称 分类讨论思想是一种重要的思想方法. 如果所研究的问题有多种不同的情境，那么我们常常按照一定的标准，把所研究的问题分成若干类，互不包含，没有遗漏，一类一类解决，然后进行归纳，得到问题的答案. 等腰三角形是一种特殊且十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在处理具体问题时往往会出现错误，因此在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论. 应用一 对顶角和底角的分类讨论 等腰三角形的一个角比另一个角的2 倍少20°，则这个等腰三角形顶角的度数是( ) A. 44°或80°或140° B. 20°或80° C. 44°或80° D. 140° 例1 解题秘方：已知等腰三角形两个角的关系，而不知它们是顶角还是底角，应分情况讨论. 解：设另一个角是x°，则前一个角是(2x-20)°. (1)当x°是顶角，(2x-20)°是底角时，x+2(2x-20)=180，解得x=44，故顶角的度数是44°； (2)当x°是底角，(2x-20)°是顶角时，2x+(2x-20)=180，解得x=50，则2x-20=80，故顶角的度数是80°； (3)当x ° 与(2x-20) ° 都是底角时，x=2x-20，解得x=20， 故顶角的度数是180°-20°×2=140°.综上所述，这个等腰三角形顶角的度数是44°或80°或140°． 答案：A 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，求该等腰三角形的周长. 例2 应用二 对腰长和底边长的分类讨论 解题秘方：已知等腰三角形的两边长，但不知道哪个是底边长，哪个是腰长，因此要分类讨论. 解：当3 为腰长时，三边长分别为3，3，7，此时3+3<7，故不能构成三角形； 当7 为腰长时，三边长分别为7，7，3，这三边能构成三角形，故该等腰三角形的周长为7+7+3=17. 已知在△ ABC 中，AB=AC，AB 边的垂直平分线与AC 所在的直线相交成58°的角，求底角的度数. 例3 应用三 对等腰三角形从角的角度进行分类讨论 解题秘方：由题意可知△ABC不可能是直角三角形，可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况画图解决. 解：当△ ABC 是锐角三角形时，如图1，AB 边的垂直平分线与AC 交于点E，与AB交于点D，∠ AED= 58°，则∠ A=32°.∴∠B= ∠C=74°. 当△ ABC 是钝角三角形时，如图2，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点E，与AB交于点D，∠AED=58°，则∠DAE=32°.∴∠B= ∠C=16°. 综上，底角的度数为74°或16°. 应用四 点的位置不确定需分类讨论 [ 中考·哈尔滨] 在△ ABC 中，∠ A=80°，点D 在射线AB 上，AD=AC，连接CD，∠ BCD=10°，则∠ ABC=________. 例4 40°或60° 解题秘方：根据题意分两种情况：①当点D在线段AB的延长线上时，②当点D在线段AB上时，分别作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出∠ACD= ∠ADC=50°，再由三角形内角和定理求解即可． 解：分两种情况讨论： 当点D在线段AB的延长线上时，如图3所示. ∵AD=AC，∠A=80°， ∴∠ACD= ∠ADC=50°. ∴∠ACB= ∠ACD- ∠BCD=50 °-10 °=40°. ∴∠ABC=180°-80°-40°=60°. 当点D在线段AB上时，如图4 所示. ∵AD=AC，∠A=80°，∴∠ACD= ∠ADC=50°. ∴∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD=60°. ∴∠ABC=180°-80°-60°=40°. 综上，∠ABC=40°或60°. 应用五 三角形的形状不确定需分类讨论 在△ ABC 中，∠ ABC=110 °，点D在边AC 上，若直线BD 将△ ABC 分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则∠ CDB 的度数是______________. 例5 40°或90°或140° 解题秘方：由于本题中△ ABC的形状不确定，所以分三种情况进行讨论. 解：分情况讨论如下： 如图5，当∠CDB=90°，DA=DB时，满足条件； 如图6，当∠ABD=90 °，DB=DC时，可得 ∠DBC= ∠C=20 °，则∠CDB=180 °-20 °-20°=140°； 如图7，当∠CBD=90°，DA=DB时，∠A= ∠DBA=20°，则∠CDB= ∠A+ ∠DBA=40°. 综上，∠CDB的度数是40 ° 或90 ° 或140°. 章末核心要点分类整合 第十五章 轴对称 1. 轴对称和轴对称图形之间的区别与联系 区别：轴对称是两个图形的位置关系，轴对称图形是某一个图形具有轴对称这一特征. 联系：把成轴对称的两个图形看成一个图形时是轴对称图形；将轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴成轴对称. 2. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 3. 关于坐标轴对称的点的坐标的特征：关于x 轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同. 4. 等腰三角形是一个轴对称图形，性质有：(1)等边对等 角；(2)三线合一.等腰三角形的判定与性质是互逆的，判定有：(1)等角对等边；(2)三线中只要有两线合一就能判定. 5. 等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质. 独特的性质有：(1)三个角都相等，并且每一个角都等于60°；(2)任意一边上的高、中线、对应的角平分线都相互重合. 专题一 轴对称图形的识别 链接中考 >> 轴对称图形的识别关键是要扣住轴对称图形的特征，图形往往来源于生活，主要是为了让学生感受数学在生活中的应用. 它是中考的热门考点，考查的形式以选择题为主. [中考·德州]“九达天衢”写成篆体，四个篆体字中(如图15-1)可以看作轴对称图形的是( ) 例1 解题秘方：根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可． 答案：C 解：“九”“达”写成篆体后，整体形状不对称，因此不是轴对称图形；“衢”写成篆体后，整体形状对称，但局部不对称，因此不是轴对称图形；“天”写成篆体后，是轴对称图形. 专题二 线段的垂直平分线 链接中考 >> 由线段的垂直平分线可以得到两条线段相等，实际应用中多与三角形结合，实现边的转化. 在中考中，考查性质时一般以选择题、填空题的形式出现；考查作图时，一般以解答题(作图题)的形式出现. [中考·镇江] 如图15-2，△ ABC 的边AB 的垂直平分线交AC 于点D，连接BD．若AC=8，CD=5，则BD=______． 例2 3 类型1 利用线段的垂直平分线的性质求线段长 解题秘方：由线段的垂直平分线的性质得到AD= BD，由题意可求出AD的长，从而得到BD的长. 解：∵AC=8，CD=5，∴AD=AC-CD=8-5=3. ∵D在AB的垂直平分线上，∴BD=AD=3． [中考·陕西] 如图15-3，在△ ABC 中，∠ A=90°. 请利用尺规作图法求作一点P，使得PA=PB 且PC ∥ AB(保留作图痕迹，不写作法). 例3 类型2 利用尺规作线段的垂直平分线 解题秘方：根据垂直平分线的判定定理可知点P在AB的垂直平分线上，先作出AB的垂直平分线，再过点C作PC∥AB，则两条直线的交点P即为所求. 解：如图15-3，点P即为所求. 专题三 平面直角坐标系中的轴对称变换 链接中考 >> 关于坐标轴对称的点的坐标规律是中考常考的内容，也是在平面直角坐标系中作轴对称图形的基础，一般以解答题的形式出现. [期末·南通如皋市] 如图15-4，△ ABC 在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是A(-2，5)，B(-3，3)，C(-1，2)，直线l 上所有点的横坐标都为1. 例4 解题秘方：解关于非坐标轴对称的问题，关键在于确定对称轴，利用中点坐标公式求解 (1)若△ A1B1C1 与△ ABC 关于x 轴对称，请写出△ A1B1C1 三个顶点的坐标：A1 ______，B1 _______ ，C1 _______ ； (2)请在平面直角坐标系中画出△ ABC 关于直线l 对称的图形△ A2B2C2； (-2，-5) (-3，-3) (-1，-2) 解：如图15-4 所示，△A2B2C2 即为所求. (3)若点P(m，n)是△ ABC 上一点，则点P 关于直线l 对称的点的坐标是 _______. 解：设点P 关于直线l 对称的点的坐标为P′(x0，y0). 根据题意，得=1，=n， 解得x0=2-m，y0=n，故P′(2-m，n). (2-m，n) 专题四 等腰三角形的性质与判定 链接中考 >> 等腰三角形的性质与判定从根本上体现“线段相等”与“角相等”之间的相互转化，等腰三角形的“三线合一”性质应用相当广泛. 本考点是中考的热门考点，直接考查时多以填空题、选择题的形式出现. [中考·常州] 如图15-5，B，E，C，F 是直线l 上的四点，AC，DE 相交于点G，AB=DF，AC=DE，BC=EF． 例5 解题秘方：证明两条边相等的常见方法：一是在同一个三角形中，常利用等角对等边；二是在两个三角形中，证明两个三角形全等；三是利用相等的中间边进行转化. (1)求证：△ GEC 是等腰三角形； 证明：在△ABC和△DFE中， ∴△ABC≌△DFE(SSS).∴∠ ACB= ∠ DEF. ∴EG=CG，即△GEC是等腰三角形. (2)连接AD，则AD 与l 的位置关系是_________ . 平行 解：∵AC=DE，EG=CG， ∴AC-CG=DE-EG，即AG=DG. ∴∠GAD= ∠GDA= ( 180°-∠AGD). ∵∠ ACE= ∠ DEF= ( 180°-∠CGE)， ∠AGD= ∠EGC，∴∠CAD= ∠ACB.∴AD∥ l. 专题五 等边三角形的性质与判定 链接中考 >> 以等边三角形为基本模型建立的几何解答题主要考查等边三角形的性质与判定，等边三角形的性质为证三角形全等提供了大量的条件，都是用来证明角或线段相等. 本考点在中考中是热门考点，单独考查时多以填空题、选择题的形式出现，综合考查时以解答题的形式出现. [中考·长沙] 如图15-6，点C 在线段AD 上，AB=AD，∠ B= ∠ D，BC=DE． 例6 (1)求证：△ ABC ≌△ ADE； 解题秘方：直接根据全等三角形的判定证明结论即可； 证明：在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS). (2)若∠ BAC=60°，求∠ ACE 的度数． 解题秘方：根据全等三角形的性质得到AC=AE，∠ CAE= ∠ BAC=60°，再证明△ACE是等边三角形，利用等边三角形的性质求解． 解：∵△ABC≌△ADE，∠BAC=60°， ∴AC=AE，∠CAE= ∠BAC=60°. ∴△ACE是等边三角形．∴∠ACE=60°． 专题六 分类讨论思想 专题解读>> 因为等腰三角形的特殊性，所以有关等腰三角形的题目很多情况下会有两个解. 在等腰三角形的三个内角中，有顶角和底角两种角；在三条边中，有腰和底边两种边，因此，在求解有关等腰三角形的角、边的问题时常需要分类讨论. 还要注意：求出的解必须满足三角形的内角和定理及三角形的三边关系. [新视角 新定义题]如果两条线段将一个三角形分割成3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫作这个三角形的“优美线”. 在△ ABC中，∠ B=27°，AD 和DE 是△ ABC 的“优美线”，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD=BD，DE=CE，则∠ C 的度数为__________. 例7 18°或42° 解：∵AD和DE是△ABC的“优美线”， ∴△ABD，△ADE和△DEC为等腰三角形. ∵AD=BD，DE=CE，∠B=27°， ∴∠B= ∠BAD=27°，∠C= ∠CDE. 设∠C=x，则∠CDE= ∠C=x， ∴∠AED= ∠C+ ∠CDE=2x. 等腰三角形ADE分两种情况： ①如图15-7 所示. 当AD=AE 时，∠ADE= ∠AED=2x. ∵∠ADC= ∠BAD+ ∠B， ∴∠ADE+ ∠CDE= ∠BAD+ ∠B， 即2x+x=27°+27°，解得x=18°. ②如图15-8 所示. 当AD=DE时，∠AED= ∠DAE=2x. ∵∠B+ ∠BAD+ ∠DAE+ ∠C=180°， ∴ 27°+27°+2x+x=180°，解得x=42°. 专题七 转化思想 专题解读>> 在本章中，求三角形周长或线段的和(差)的问题时，常利用等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，将线段进行转化，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题. 如图15-9，在△ ABC 中，AB=AC=9，∠ BAC=120 °，AD 是△ ABC 的中线，AE是∠ BAD 的平分线，DF ∥ AB 交AE 的延长线于点F，求DF 的长． 例8 解题秘方：利用“等角对等边”将求DF的长转化为求AD的长. 解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线， ∴ AD ⊥ BC， ∠ BAD= ∠CAD=∠BAC=×120°=60°. ∵ AE 是∠ BAD 的平分线， ∴ ∠ DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°. ∵DF∥AB，∴∠F= ∠BAE=30°. ∴∠DAE= ∠F.∴AD=DF. 易知∠B=90°-60°=30°，∴AD= AB=.∴DF= . 类型一 轴对称图形的识别 1. [中考· 湖南]武术是我国传统的体育项目.下列武术动作图形中，是轴对称图形的是( ) C 类型二 线段的垂直平分线的作法与性质 2.[中考· 辽宁]如图，在△ ABC 中，AB=16，BC=12，CA= 10，∠ABC的平分线BP与AC相交于点D．在线段AD上取一点K，以点C为圆心，CK长 为半径作弧，与射线BP相交于点 M和点N， 再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线CQ，与AB相交于点E，连接DE．则△DAE的周长为(　 ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 B 类型三 平面直角坐标系中的轴对称变换 3.已知点A(2a-b，5+a)，B(2b-1，-a+b). (1)若点A，B关于x轴对称，求a-b 的值； 解：∵点A，B关于x轴对称， ∴解得 ∴a-b=-8-(-5)=-8+5=-3. (2)若点A，B关于y轴对称，求(4a+b)2 027的值． 解：∵点A，B关于y轴对称， ∴解得 ∴(4a+b)2 027=［4×(-1)+3］2 027=-1. 4. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，4)，B(-3，3)，C(-3，1)． (1)在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点A1 的坐标； 解：如图，△A1B1C1即为所求.点A1的坐标为(0，4). (2)若以B1C1所在直线为对称轴，请在图中画出△A1B1C1 关于直线B1C1 对称的图形△A2B2C2，并写出顶点A2 的坐标； 解：如图，△A2B2C2即为所求.点A2的坐标为(6，4). (3)观察△ABC与△A2B2C2 的位置关系，思考：若点P(m，n)为△ABC内部的任意一点，它在△A2B2C2的内部的对应点为P2，则P2 的坐标为________(用含m和n的式子表示). (m+6,n) 类型四 等腰三角形的性质与判定 5. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36 °，CD平分∠ACB，交AB于点D，E为AC的中点． (1)求证：△ACD是等腰三角形； 证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ACB=∠B=72°. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=36°=∠A. ∴CD=AD，即△ACD是等腰三角形. (2)求∠EDC的度数． 解：∵E是AC的中点，CD=AD,∴DE⊥AC. ∴∠DEC=90°.∵∠ACD=36°, ∴∠EDC=90°-∠ACD=90°-36°=54°. 类型五 等边三角形的性质与判定 6.[期中·汕头潮南区]在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD. (1)当点E 为AB的中点时，如图①，求证：EC=ED. 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°.又∵E是AB的中点， ∴∠ECB=12∠ACB=30°，AE=BE. ∵AE=BD，∴BE=BD. ∴∠EDB=∠DEB=∠ABC=30°. ∴∠EDB=∠ECB.∴EC=ED. (2)当点E不是AB的中点时，如图②，过点E作EF∥BC，交AC于点F，求证：△AEF是等边三角形. 证明：∵EF∥BC， ∴∠AEF=∠ABC=60°， ∠AFE=∠ACB=60°. 易知∠A=∠AEF=∠AFE， ∴△AEF是等边三角形. (3)在(2)的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由． 解：EC=ED.理由如下：∵∠AFE=∠EBC=60°，∴∠EFC=∠DBE=120°.∵△ABC和△AEF都是等边三形，∴AB=AC，AE=AF=EF.∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC.∵AE=BD,∴EF=BD. 在△DBE和△EFC中， ∴△DBE≌△EFC(SAS).∴ED=EC. 类型六 利用补形法解等腰三角形问题 7. [华师一附中自主招生]如图，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠ BED=60 ° . 若BE=3，DE=1，则BC=________. 4 类型七 与等腰三角形有关的分类讨论题 8. [期末·哈尔滨道里区]在Rt △ABC中，∠C=90°，∠A= 30°，AB=8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD=30°，则AD的长为________. 6或12 类型八 与等腰三角形有关的探究题 9. [新视角 类比应用]探究题【问题提出】 (1)如图①，在△ABC中，∠B=40°，点D是AB边上一点，连接CD. ①若∠BCD=30 °，则∠ ADC的 度数为________°； 70 ②若CD平分∠ACB，∠ADC=75°，求证：点B在线段AC的垂直平分线上. 证明：∵∠B=40°，∠ADC=75°,∴∠BCD=35°. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠BCD=70°， ∴∠A=180°-∠B-∠ACB=70°=∠ACB. ∴AB=CB.∴点B在线段AC的垂直平分线上. 【问题解决】 (2)如图②，四边形ABCD是某公园中的一片花海，在B处有一座观景台，在C处有一座凉亭，BD，BC是两条小 路，现要对这片花海进行扩建，将AB，DC分别延长交于点E， 得到扩建后的花海为△ADE，并在E处设立游客服务中心.已知DB平分∠ADC，BD⊥BC，∠ABD=3∠ADB，AB=BC=50 m，求凉亭到游客服务中心的距离CE(观景台、凉亭和游客服务中心的大小及小路的宽度均忽略不计). 解：在DC上取DF=AD，连接BF，如图，设∠ADB=x. ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB=∠EDB=x. ∵DA=DF，∠ADB=∠FDB，BD=BD， ∴△DBA≌△DBF(SAS). ∴∠DBA=∠DBF,BA=BF. ∵AB=BC=50 m,∴BF=BA=BC=50 m， ∴∠BCD=∠BFE. ∵∠ABD=3∠ADB,∴∠FBD=∠ABD=3x, ∴∠BCD=∠BFE=∠FBD+∠EDB=4x. ∵BD⊥BC,∴∠BCD+∠BDC=90°，即4x+x=90°,解得x=18°.∴∠BCD=4x=72°，∠ABD=3x=54°. ∴∠CBE=180°-∠CBD-∠ABD=36°. ∴∠E=∠BCD-∠CBE=36°.∴∠E=∠CBE.∴CE=BC=50 m. 答：凉亭到游客服务中心的距离CE为50 m. 综合与实践 最短路径问题 第十五章 轴对称 活动目标： 1. 会用数学的眼光发现生活中的最短路径问题；会用数学知识、思想、方法描述最短路径问题，把最短路径问题转化为数学问题. 2. 会通过逻辑推理解决数学问题；会用数学问题的结果解释最短路径问题，获得最短路径问题的答案. 活动准备： 1. 查阅资料，列举生活中的最短路径问题. 2. 了解光行最速原理. 活动任务： 活动一 牧民饮马问题 1. 原理 如图1 ① ②，分别在直线l 上取一点C，使AC+BC 最小. 解：如图1 ①，连接AB 交直线l 于点C，点C 即为所求，根据为_____________________. 两点之间，线段最短 如图1 ②，作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点C，连接BC，点C 即为所求. 证明：在直线l 上任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，由轴对称的性质可知：BC=_____，BC ′=_____， ∴ AC+BC=AC+_____=_____，AC′+BC′=AC′+_____ . ∵ AC′+B′C′>AB′(_________________________)， ∴ AC+BC<AC′+BC′，即点C 即为所求. B′C B′C′ B′C AB′ B′C′ 三角形两边之和大于第三边 2. 应用 (1)七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图2)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A ？ 解：如图，作点B关于OP的对称点C，连接AC交OP于点T，连接BT，则小明按B-T-A的路线跑，去捡T点位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A. (2)[期中·广州海珠区]如图3，在等边三角形ABC 中，BD是中线，点P，Q分别在AB，AD上，且BP=AQ=QD=1，动点E 在BD 上，则PE+QE的最小值为_______． 3 活动二 牧民饮马问题的拓展 1. 原理 (1)一定两动 如图4，在OM 和ON 上分别取点E，F，使PE+EF+PF 最短. 作法：如图4，分别作点P 关于OM和ON的对称点P′，P″，连接P′P″，分别交OM和ON于点E，F，则点E，F 即为所求，连接PE，PF．由对称可知PE+EF+PF=P′E+EF+P″F，所以当P′，E，F，P″共线时，PE+EF+PF 最短. (2)两定两动 如图5， 在OA，OB 上分别取点E，F， 使ME+EF+NF+MN最短. 作法：如图5，分别作点M，N 关于OA，OB的对称点M′，N′，连接M′N′，分别交OA，OB于点E，F，则点E，F 即为所求，连接EM，FN.由题意知MN是定值，所以当ME+EF+NF 最小时符合要求，由对称可知ME+EF+NF=M′E+EF+N ′F，所以当M ′， E，F，N ′共线时，ME+EF+NF+MN最短. (3)三动点 如图6，在△ ABC 中，在三边上分别取D，E，F，使△ DEF 的周长最小，作出相应图形，写出作法并说明理由． 作法：如图6，作AE ⊥ BC，垂足为E，分别作点E 关于AB，AC 的对称点E′，E″，连接E′E″，分别交AB，AC 于点D，F，点D，E，F 即为所求，连接ED，EF. 理由：易知DE+EF+DF=E′E″，当E′E″最小时符合要求，连接AE′，AE″，则AE′=AE=AE″,∠ E′AE″=2 ∠ BAC，即△ E′AE″是顶角为定值的等腰三角形，所以腰AE′越小，底边E′E″越小. 因为当AE ⊥ BC 时，AE′=AE=AE″最小，所以点D，E，F 即为所求. 2. 应用 (1)[期中·南宁兴宁区]如图7，已知∠ AOB=30°，点M是∠ AOB 内任意一个点，OM=5，若OA上存在点P，OB上存在点Q，使得△MPQ的周长最小，则最小值为______． 5 (2)[期末· 重庆北碚区]如图8，在Rt △ ABC中，∠ C=90 °，AC=3，BC=4，AB=5，D，E，F 分别是AB，BC，AC 边上的动点，则DE+EF+DF的最小值是______． 4.8 活动三 造桥选址问题 1. 原理 问题 作法 最小值 如图，已知两点A，B，直线m ∥ n，在直线m，n 上分别取点M，N，使MN ⊥ m， 且AM+MN+NB 最小 如图，将点A 沿与直线m，n 垂直的方向平移至点A′， 使AA′ 的长等于直线m，n之间的距离，连接A′B，交直线n于点N， 过点N作NM ⊥ m 于点M，连接AM AM+MN+NB 的最小值为A ′ B +MN的长 2. 应用 如图9，已知A，B 两点在直线l 的同侧，在l 上找两点C 和D(CD 的长度为定值a)，使得AC+CD+DB最短(保留作图痕迹，不要求写画法)． 解：如图，点C，D即为所求. $