专题01 线段的垂直平分线（专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题01 线段的垂直平分线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用线段垂直平分线的性质求解 1 题型二、线段垂直平分线的判定定理 3 题型三、作垂直平分线（尺规作图） 7 题型四、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用线段垂直平分线的性质求解 1.如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 【答案】85 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 2.如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：13． 3.如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，则底边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线性质知，．的周长，解方程得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． 又的周长， 即， ∴． 故答案为：． 4.如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可得，然后利用的周长为和等量代换可得，即可解答． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． ∴， ∵的周长为， ， ， ， ∴的长为； 故选：． 题型二、线段垂直平分线的判定定理 5.如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）连接、，根据线段垂直平分线的性质和判定即可； （2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解． 【详解】（1）证明：连接、， 垂直平分，垂直平分， ，， 点P在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，，， ，， 在中，，， ， 即，， 在四边形中，， 6.如图，四边形的对角线与相交于点，，． 求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键； （1）根据直接证明； （2）根据，，即可得证垂直平分． 【详解】（1）证明：在与中， ∴； （2）∵，， ∴点、点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 7.如图，已知中，，点，分别为，上的点，． (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得，利用，进而证明； （2）由则在的中垂线上，再证明可得，故在的中垂线上，则垂直平分． 本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 与全等； 理由：，， 即， 在与中， ， ； （2）解：如图：连接， ，由（1）， 在的中垂线上， ， ， 在与中， ， ， ， 在的中垂线上， 垂直平分． 8.如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)4 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 题型三、作垂直平分线（尺规作图） 9.如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作垂线：因为使P到两条道路的距离相等，所以点P应在的平分线上；而且要使，所以点P还应在的中垂线上，即的平分线和的中垂线的交点，即为点P． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 10.要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 已知：如图，和A，B两点． (1)作的平分线； (2)求作一点Q，使Q点在上，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据角平分线的作法作的平分线即可； （2）作的垂直平分线交于点，即可得． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，点即为所求． ． 11.如图，在中， (1)作的垂直平分线，交于E，交于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)若，的周长为15，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，垂直平分线的性质． （1）根据尺规作图—垂直平分线的作法和步骤，即可作出； （2）根据垂直平分线的性质得出，则的周长． 【详解】（1）解：如图为所求； （2）解：连接． 点D在的垂直平分线上， ，， 周长= ． 12.如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接、，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质； （1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）连接，与交于点O，证明，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：如图，连接，与交于点O， ∵平分， ∴， ∵垂直平分线段， ∴ ∴在和中， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴． 题型四、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 13.如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 【答案】2.5 【分析】连接、，由可证，则可得、，由可证，则可得，设，则，，由此得，求出x的值即可得解． 【详解】解：如图，连接、 ∵是的角平分线，且、， ，， 又， ， ，， ∵垂直平分， ， ， ， ，， 设，则，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 14.如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和判定，熟练掌握各定理是解题的关键： （1）根据题意连接，利用线段垂直平分线的性质可得，依据角平分线的性质得，依据证明，根据全等三角形的性质可得出结论； （2）由题意可得，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵D是垂直平分线上的点， ∴， ∵平分，， ∴，， 在和中 ∴ ∴； （2）在和中 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 15.如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 一、单选题 1．如图，在中，，垂直平分，平分，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，根据角平分线的性质，中垂线的性质，得到，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵，垂直平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质和尺规作图，点P到点A，点B的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：点P到点A，点B的距离相等， 点P在线段的垂直平分线上， 故选：A． 3．如图，点P是的角平分线上一点，于点C，于点D，连接交于点E．下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质．根据角平分线的性质定理可判断A，证明，可判断B，根据线段垂直平分线的判定定理，可判断C，根据直角三角形的性质，可判断D． 【详解】解：∵点P是的角平分线上一点，于点，于点， ∴，故选项A成立，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故选项B成立，不符合题意； ∵，， ∴垂直平分，故选项C成立，不符合题意； ∵，即， ∴，故选项D不成立，符合题意； 故选：D． 4．如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，可利用证明得到，据此可判断①②③；根据现有条件无法证明垂直平分，据此可判断④． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①②正确； ∴垂直平分，故③正确； 根据现有条件无法证明垂直平分，故④错误； 故选：C． 二、填空题 5．如图，已知，是线段的垂直平分线，则的周长是 ． 【答案】14 【分析】本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．根据是线段的垂直平分线得出，将周长转化为即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴ ∴的周长为： ． 故答案为：14． 6．如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 同理可得：， 的周长为9， ， ， ， ， 故答案为：7． 7．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则可得到周长，当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4，据此可得答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵垂直平分线段，是直线上的任意一点， ∴， ∵， ∴周长， ∵， ∴当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4， ∴周长的最小值为， 故答案为：6． 8．如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质. 通过延长构造全等三角形，利用平行线性质和中点条件证，转化线段为，结合及，得垂直平分，推出，最后计算CE． 【详解】解：连接，并延长 交 延长线于 ， 因为， 所以， 又是中点， 即， 且， ∴ 则 ， 点 在 垂直平分线上， 故 ， 由 ， 是 中点， 得 ， 所以 ． 故答案为：3． 三、解答题 9．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 10．如图，直角三角形中，，，，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)． 【分析】（1）作线段的垂直平分线，垂足为D，点D即为所求； （2）作射线平分交于点E即可； （3）以B为圆心，为半径作弧交于点F，点F即为所求； （4）求出，可得结论． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，点F即为所求； （4）解：，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 11．已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． (1)若，则的长为 ； (2)若，，求的长； (3)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． （1）直接根据线段垂直平分线的性质求解即可； （2）由线段垂直平分线的性质得，再求出即可求解； （3）先根据的周长为求出，由线段垂直平分线的性质得，进而可求出的长． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ． 故答案为：3； （2）解：垂直平分， ， ，， ， ． （3）解：的周长为，， ， 垂直平分， ， ． 12．如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．过作于点，于点    (1)求证： (2)证明：为的平分线． (3)若，，则 ．（直接写出答案） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （3）先根据全等三角形的性质可得，，再根据线段和差、等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的平分线． （3）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：8． 13．如图，是等边三角形，是中线，延长至，使． (1)求证：； (2)过点A作，交延长线于点，交于，连接． ①若，则　　　　　． ②求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)①8；②见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到； （2）①根据等边三角形的性质得出，，求出，根据含角的直角三角形的性质得出，得出，根据，得出，求出结果即可； ②根据平行线的性质得出，再利用证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明是等边三角形，即可解答. 【详解】（1）证明：是等边三角形，是中线， ，， 又， ， 又， ， ， ； （2）解：①∵是等边三角形，是中线， ∴，， 根据解析（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 根据（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：8； ②证明：∵， ， 为的中线， ∴ ∵， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 垂直平分． 【点睛】此题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的判定，直角三角形的性质，利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键． 14．【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等；；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题． （1）根据中点定义得到，结合对顶角相等的性质，利用判定定理证明； （2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围； （3）延长交延长线于F，利用证明，得出、，结合得，最后计算长度即得的长． 【详解】（1）解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵，（对顶角相等） ∴； 故答案为：对顶角相等；． （2）由题意可得：， ∵， 即， ∴． 故答案为：． （3）延长交的延长线于点F，如图： ∵，， ∴ 在和中． ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴． 15．八年级上学期我们学习了角平分线性质及其判定定理，课本P106的例1同时运用了角平分线性质及其判定定理完成了该几何问题的证明． 例1．已知：如图，、分别是、的平分线，，，垂足分别为点、． 求证：点在的平分线上． 证明：过点作，垂足为点． 、分别是、的平分线（已知）． ，（已知）， （所作）， ，（①）．（A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等．C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．D．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．） （等量代换）． 点在的平分线上（②）．（A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等．C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．D．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．） 【研究原图形】 （1）请在A、B、C、D中选择一个填入①和②； （2）在例1的图中，分别连接、、．小婷发现和的内角之间存在一定的数量关系，若，则______．（用含的代数式表示） 【解决新问题】为了方便研究，小婷同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 【答案】（1）B，D； （2）；（3）见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）角平分线的性质和判定求解即可； （2）根据四边形的内角和，得到，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质，推出，即可得出结果； （3）根据，，得到，根据（2）中结论得到，进而推出，得到点在的中垂线上，证明，推出垂直平分，即可得证． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为点． 、分别是、的平分线（已知）． ，（已知）， （所作）， ，（B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等．） （等量代换）． 点在的平分线上（D．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．） 故答案为：B；D； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于点， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为：； （3）解：画出示意图，如图所示： ∵，， ∴， ∴； 由（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴点在的中垂线上， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴点在直线上． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 线段的垂直平分线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用线段垂直平分线的性质求解 1 题型二、线段垂直平分线的判定定理 3 题型三、作垂直平分线（尺规作图） 7 题型四、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用线段垂直平分线的性质求解 1.如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 2.如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长是 ． 3.如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，则底边的长为 ． 4.如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ； 题型二、线段垂直平分线的判定定理 5.如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 6.如图，四边形的对角线与相交于点，，． 求证： (1)； (2)垂直平分． 7.如图，已知中，，点，分别为，上的点，． (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 8.如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 题型三、作垂直平分线（尺规作图） 9.如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹） 10.要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 已知：如图，和A，B两点． (1)作的平分线； (2)求作一点Q，使Q点在上，且． 11.如图，在中， (1)作的垂直平分线，交于E，交于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)若，的周长为15，求的周长． 12.如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接、，求证：． 题型四、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 13.如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 14.如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H． (1)求证：； (2)若，求的长． 15.如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 一、单选题 1．如图，在中，，垂直平分，平分，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 2．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点P是的角平分线上一点，于点C，于点D，连接交于点E．下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 4．如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 5．如图，已知，是线段的垂直平分线，则的周长是 ． 6．如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，则的长为 ． 7．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 8．如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ． 三、解答题 9．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 10．如图，直角三角形中，，，，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为________． 11．已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． (1)若，则的长为 ； (2)若，，求的长； (3)若的周长为，，求的长． 12．如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．过作于点，于点    (1)求证： (2)证明：为的平分线． (3)若，，则 ．（直接写出答案） 13．如图，是等边三角形，是中线，延长至，使． (1)求证：； (2)过点A作，交延长线于点，交于，连接． ①若，则　　　　　． ②求证：垂直平分． 14．【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 15．八年级上学期我们学习了角平分线性质及其判定定理，课本P106的例1同时运用了角平分线性质及其判定定理完成了该几何问题的证明． 例1．已知：如图，、分别是、的平分线，，，垂足分别为点、． 求证：点在的平分线上． 证明：过点作，垂足为点． 、分别是、的平分线（已知）． ，（已知）， （所作）， ，（①）．（A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等．C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．D．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．） （等量代换）． 点在的平分线上（②）．（A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等．C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．D．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．） 【研究原图形】 （1）请在A、B、C、D中选择一个填入①和②； （2）在例1的图中，分别连接、、．小婷发现和的内角之间存在一定的数量关系，若，则______．（用含的代数式表示） 【解决新问题】为了方便研究，小婷同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$