专题02 利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线（专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题02 利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 1 题型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2. 1．如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论． （1）已知，，则 ； （2）已知，则 ； （3）已知，则 ． 2．如图，在中，，，为的中点，于点，，求的长． 3．如图，是等腰直角三角形，，D为斜边的中点，E，F分别为边上的点，且．若，．求的长． 4.如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接． (1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接， ① 证明 ：． ② 直接写出，和的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是： (3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积． 题型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 5．有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为12m，则底边上的高是 m． 6.如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．    7.（1）如图1所示，在中，，，，求证． （2）如图2所示，在中，，，延长至使，求． 8.如图，点，在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 9．如图，在等边中，点在边上，点在延长线上，且． (1)求证：； (2)若等边的边长为6，求的长； (3)求证：； (4)如图，当点在的延长线上，点在延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 一、单选题 1．如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 3．如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 4．如图，在等腰中，，是的高，，，、分别是、上一动点，则的最小值为（  ） A．6 B．4 C．9 D． 二、填空题 5．如图，中，，是的中线，已知，为过点的一条直线，且，则的度数是 ． 6．如图所示，在直角坐标系中，的顶点，且，则点 C 的坐标是 7．如图，等腰中，，于点，且，若，则 的度数是 ． 8．如图，在中，是边上的高，过点A作，并且使，F是上一点，连接，使，交于G，H两点，若，则 三、解答题 9．已知是等腰三角形，平分，若，求的长． 10．如图，在中，， 为中点，点是延长线上一点，点是上一点，连接并延长交于点，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 11．如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 12．如图，在中，，点为中点，点在边上，连接． (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，已知．若点在边上，，求的长． 13．如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且． (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系并说明理由． (3)求证：． 14．已知在中，，且，作，使得． (1)如图①，若与互余，则____________（用含的式子表示）； (2)如图②，若与互补，过点作于点，过点作于点，试说明：； (3)若与相等，则与的面积满足什么关系？若与互补，则上述关系还成立吗？直接写出结论． 15．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰中，，，过点C作直线，于点，于点E，则与之间的数量关系为_____． (2)如图2，在等腰中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，若，求的长． (3)【变式运用】如图3，在中，，，求； (4)【拓展迁移】如图4，在中，，以为边向右侧作一个等腰，连接，请直接写出的面积． ∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 1 题型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2. 1．如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论． （1）已知，，则 ； （2）已知，则 ； （3）已知，则 ． 【答案】 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了三线合一定理： （1）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解； （2）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解； （3）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 故答案为：． 2．如图，在中，，，为的中点，于点，，求的长． 【答案】． 【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一和含的特殊直角三角形的性质．连接，利用等边对等角得，在中，得，在中，得，即可求出的长，熟练运用三线合一的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，，为的中点， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在 中，，， ∴， ∴． 3．如图，是等腰直角三角形，，D为斜边的中点，E，F分别为边上的点，且．若，．求的长． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，根据等腰直角三角形的性质，易证，得到，得到，然后利用勾股定理，即可求出． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4.如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接． (1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接， ① 证明 ：． ② 直接写出，和的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是： (3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)或17 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。 （1）①连接，即可证明；②根据，看图即可得出结论； （2）连接，即同（1）可证明，根据看图即可得出结论； （3）根据（1），（2）中的结论，代入求解即可。 【详解】（1）证明：①如图，连接 在中，，为边的中点， ∴,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴. ②∵, ∴, 根据图中所示， , ∵为边的中点， ∴. ∴. （2）解：如图，连接 在中，，为边的中点， ∴,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∴, 即, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴. ∵, ∴, 根据图中所示， , ∵为边的中点， ∴. ∴. （3）如（1）中结论， ∵，， ∴, , ∵, ∴. ②如（2）中结论， ∵，， ∴, , ∵, ∴ 题型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 5．有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为12m，则底边上的高是 m． 【答案】6 【知识点】三线合一、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等．作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点D， 在中，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：6． 6.如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．    【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质．作交于，由等腰三角形的性质可得，由含角的直角三角形的性质得出，计算出即可得到答案．熟练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：如图，作交于，   ， ，， ， 在中，，，， ， ， ， ， ． 7.（1）如图1所示，在中，，，，求证． （2）如图2所示，在中，，，延长至使，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、根据三线合一证明 【分析】（1）作交于，过点作交的延长线于，过点作，由题意得和，利用等角对等边可得，利用三线合一的性质得，结合含角的直角三角形性质得，可证明，即可证得结论； （2）在上取，连接，作平分，交于，交于，根据题意得，利用等腰三角形两腰上的高相等得，结合含角的直角三角形性质得，由题意得，即可求得，即可求得答案． 【详解】解：（1）作交于，过点作交的延长线于，过点作，如图， ，， ，， ， ， ， ， ，，， ，， 在和中， ， ， ． （2）在上取，连接，作平分，交于，交于，如图， 平分，， ，， ， ， 即是等腰三角形， 作，则（等腰三角形两腰上的高相等）， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三线合一的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质，解题的关键是添加辅助线并找到对应边角之间的关系． 8.如图，点，在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】（1）过作于点，根据三线合一可得：，，即可证明； （2）过作于点，易证，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图过作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过作于点， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 9．如图，在等边中，点在边上，点在延长线上，且． (1)求证：； (2)若等边的边长为6，求的长； (3)求证：； (4)如图，当点在的延长线上，点在延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)（3）中的结论仍然成立，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、三线合一、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等边对等角，结合三角形的外角，即可得出结论； （2）过作于，利用等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，以及三线合一，进行求解即可； （3）过作交于点，易得是等边三角形，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论； （4）过作交的延长线于，证明是等边三角形，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ，， ； （2）如图，过作于， ， ． 等边的边长为6， ， ， ， ， ， ． ． ； （3）证明：如图2，过作交于点． ， 又， 是等边三角形． ， ， ， 又， ， ． 由（1）得，， 又． ． ． ， ； （4）（3）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，过作交的延长线于，则， ， 是等边三角形． ，． ， ， ， ∴， ， ∴， ． 又，， ， ． ． ． 一、单选题 1．如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键． 由三线合一得，进而求出，由得，求出即可求解． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰三角形的顶角平分线． ∴，垂直平分线段，， ∴把分成了两个直角三角形，平分的面积， 故选项A、C、D叙述正确，不符合题意；不一定大于，故B选项叙述不正确，符合题意； 故选：B 3．如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，证明是解答本题的关键．先证明，即有，再根据“三线合一”的性质即可求解． 【详解】解：∵，是底边上的高线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵根据题意有，， ∴， 故选：B． 4．如图，在等腰中，，是的高，，，、分别是、上一动点，则的最小值为（  ） A．6 B．4 C．9 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，等腰三角形的性质，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用等面积法求线段长度是解题的关键． 利用等腰三角形的对称性找到点B的对称点C，连接，，当时，线段的和最小，再运用等面积法求的长度即可． 【详解】解：∵在等腰中，，是的高， ∴点B关于的对称点是点C，如图所示，连接， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即的长度 ∵ ∵，，， ∴， 解得：． 故选：D． 二、填空题 5．如图，中，，是的中线，已知，为过点的一条直线，且，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 综合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可得的度数，根据平行线的性质即可得的度数． 【详解】解：∵中，，是的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．如图所示，在直角坐标系中，的顶点，且，则点 C 的坐标是 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握点的坐标特点，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 如图：过点C作于点D，根据点得，再根据等腰直角三角形性质得，由此可得点C的坐标． 【详解】解：如图：过点C作于点D， ∵点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标是． 故答案为． 7．如图，等腰中，，于点，且，若，则 的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形，等腰三角形．熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，是解题的关键． 过点A作于点D，证明，得，即得． 【详解】解：过点A作于点D，如图所示． ∵等腰中，， ∴，． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在中，是边上的高，过点A作，并且使，F是上一点，连接，使，交于G，H两点，若，则 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长至点M，使，证明，推出，，由等腰三角形三线合一的性质，可得，结合，推出，可得． 【详解】解：如图，延长至点M，使， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是边上的高， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题 9．已知是等腰三角形，平分，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一性质，由等腰三角形性质推出即可． 【详解】解：平分，， ． 10．如图，在中，， 为中点，点是延长线上一点，点是上一点，连接并延长交于点，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)与的位置关系为，理由见解析； (2)的度数的度数为． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得，，可证，从而可得与的位置关系； （2）根据三角形的内角和定理计算即可得的度数． 【详解】（1）解：， 理由：∵， 为中点， ∴，平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵点是延长线上一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， ∵， ∴， 答：的度数为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定定理和性质定理． 11．如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； （2）由三角形的外角的性质可得，进而得到． 【详解】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ， ∴， ， ． 12．如图，在中，，点为中点，点在边上，连接． (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，已知．若点在边上，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1或3 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证明，即可得出结论； （2）连接，过点O作于点G，于点H，由等腰直角三角形的性质得，平分，，则，，，得，，再分两种情况，①点F在线段上时，证明，得，则；②点F在线段上时，同理可证，得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H， 则， ∵，点O为中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： ①点F在线段上时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②点F在线段上时， 同理可证：， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或3． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 13．如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且． (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系并说明理由． (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)证明见解析． 【分析】此题考查平行线了的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”等知识，推导出，，进而证明是解题的关键． （）由得，而，，即可根据“”证明； （）连接由，，得，则，由全等三角形的性质得，则； （）由全等三角形的性质得，所以，而 ，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：连接，，理由， ∵，， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴； （3）证明：由（）得， ∴， ∴， 由（）得， ∴． 14．已知在中，，且，作，使得． (1)如图①，若与互余，则____________（用含的式子表示）； (2)如图②，若与互补，过点作于点，过点作于点，试说明：； (3)若与相等，则与的面积满足什么关系？若与互补，则上述关系还成立吗？直接写出结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)若与相等，则与的面积相等． 若与互补，则与的面积相等 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，互余，互补的概念，关键是通过辅助线构造全等三角形． （1）由等腰三角形的性质，两角互余的概念，即可求解； （2）作于，由两角互补的概念，可以证明，即可解决问题； （3）若与相等，则与的面积相等． 作于，于，证明，得到，根据等底等高得出两三角形面积相等；若与互补，则与的面积相等，成立． 作于，交延长线于，证明，得到，根据等底等高得出两三角形面积相等． 【详解】（1）解：， ， 与互余， ， ， 故答案为：； （2）证明：作于， ，，， ，，，， ，， 与互补， ， ， ，， ， ； （3）解：若与相等，则与的面积相等．理由如下： 如图1，作于，于， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若与互补，则与的面积相等，成立． 理由如下： 如图2，作于，交延长线于， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 15．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰中，，，过点C作直线，于点，于点E，则与之间的数量关系为_____． (2)如图2，在等腰中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，若，求的长． (3)【变式运用】如图3，在中，，，求； (4)【拓展迁移】如图4，在中，，以为边向右侧作一个等腰，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4)9，或． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案； （2）同（1）证明即可得到答案； （3）过作于E，证明即可得到答案； （4）分三类讨论直角等腰三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （3）解：过点B作， ∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）解：①当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴； ②当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于F， 同理可得，，， 由（1）得，， ∴， ∴； ③当作斜边，时，作三角形高，过D作，过A作， 同理可得，，， 由（1）得，， ∴，， ∵，， ， ∴，， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的面积是9，或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$