6.2 无理数和实数 （第1课时+实数及其分类）课件 2025-2026学年沪科版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦无理数和实数的概念、分类及简单平方根无理数的估算，通过有理数与分数、小数的互化导入，结合格点正方形面积问题引出√2，搭建从有理数到实数的学习支架，引导学生发现新数类。 其特色是问题驱动探究，如通过逐步估算√2培养推理能力，借助格点图形抽象数学对象体现数学眼光，两种分类方式强化数学语言表达。学生能发展抽象思维和探究精神，教师可利用实例提升教学效率。

6.2无理数和实数 第6章 实数 第1课时 实数及其分类 沪科版（2024）七年级数学下册 学习目标 了解无理数和实数的概念. 能够估算简单平方根无理数的大小，会将循环小数化为分数. 通过丰富的数学活动，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯. 通过解决问题的过程，培养学生合作交流意识与探究精神. 把下列有理数写成分数的形式： 我们发现上面的有理数都可以写成分数的形式 引入新知 有限小数 无限循环小数 问题1 我们知道有理数都可以写成分数形式，下列分数能写成小数的形式吗？你有什么发现？ 分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式. 新知探究 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 思考1 由此你可以得到什么结论？ 思考2 我们学过的数都具有以上特征吗？ （1）任何一个有理数都可以写成有限小数或无限不循环小数。 （2）反过来任何有限小数或无限不循环小数都是有理数 归纳新知 探究点1：无理数及实数的概念 计算： 把下列有理数写成小数的形式. 有理数 小数 4 问题1：观察结果，你发现了什么？ 4.0 2.5 -0.6 6.75 有限小数 4.0 2.5 -0.6 6.75 无限循环小数 任何一个有理数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式 新知探究 下图是由4条横线、5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1.从这些纵横线相交得出的20个点(称为格点)中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，这样的正方形叫作格点正方形. (1) 有面积分别是1，4，9的格点正方形吗？ (2) 有面积是2的格点正方形吗？把它画出来. 还有与这些面积不相同的格点正方形吗? 1 1 有，所画边长分别为1，2，3. (2) 有，如图 我们看到四个边长为1的相邻正方形的对角线就围成一个面积为2的格点正方形（如图），这种正方形的边长应是多少？ 设这种正方形的边长为x，则x²=2. 因为x＞0，所以 x=. 新知探究 是一个什么样的数呢？ 因为1²=1＜2，2²=4＞2，所以1＜＜2.① 这说明不可能是整数. 在1和2之间的一位小数有1.1，1.2，…，1.9，那么在哪两个一位小数之间呢？ 因为1.4²=1.96＜2，1.5²=2.25＞2，所以1.4＜＜1.5.② 同样，在1.4与1.5之间的两位数有1.41，1.42，…，1.49，那么在哪两个两位小数之间呢？ 因为1.41²=1.988 1＜2，1.42²=2.016 4＞2，所以1.41＜＜1.42.③ 类似地，可得1.414＜＜1.415.④ …… （1）有面积分别是1，4，9的格点正方形吗？ （2）有面积是2 的格点正方形吗？把它画出来,边长是多少？ 数学活动 找到两个整数,使这个无理数介于它们之间,就可以估计出这个无理数的大小. 问题2：任何数都可以写成有限小数和无限循环小数吗？ 例如： 问题3：这些数有什么特征？ 小数位数无限不循环 思考 不能化为有限小数和无限循环小数形式的数不是有理数 无限不循环小数属于有理数吗？ 任何一个有理数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式 可以写成有限小数和无限循环小数的形式的数是有理数 无限不循环小数不是有理数 无限不循环小数叫做无理数 无理数的定义 无理数的表现形式 构造型的无限不循环小数 有理数和无理数统称为实数 新知探究 像上面这样一直（无限）做下去，我们可以得到： =1.414 213 562…， 是一个无限不循环小数，因此它不是有理数. 此外 这些都是无限不循环小数. 无限不循环小数叫作无理数. 无理数可分为正无理数与负无理数，如， ，是正无理数； ， ，是负无理数. 有理数和无理数统称为实数，这样，我们认识的数的范围又一次扩大了. 实数可以按如下方式分类： 实数 有理数 无理数 正有理数 零 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 有理数、无理数都有正、负之分，因此实数也可以分类为： 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 归纳总结 实数的概念和分类 一 一、无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数. 判断标准： ①小数位数无限；②小数形式为不循环. 二、常见的无理数的三种形式 (1)含 π 型： (2)含开不尽方的根号型： (3) 有规律但无限不循环的小数型：（省略号“…”是明显的标志） 例如：0.1010010001…， -234.232232223… 例如：2π， π+1 例如： 问题4：类比有理数的分类，你能给实数分类吗？ 按定义分...... 按符号分...... 按定义分 实数 有理数 无理数 整数 分数 （有限小数或无限循环小数） （无限不循环小数） 按符号分 （同学们自主完成） 典型例题 例 把下列各数填入相应的集合内. （1）正无理数集合{ ...} （2）有理数集合{ ...} （3）整数集合{ ...} （4）正实数集合{ ...} 那么 在哪两个一位小数之间呢？ 因为 12＝1＜2， 是一个怎样的数呢？我们试着来研究它。 新知讲解 因为 1.42＝1.96＜2 , 1.52 ＝2.25 ＞2, 所以 22＝4＞2， 所以 这说明 不可能是整数. 在1和2之间的一位小数有1.1，1.2，1.3，1.4, 1.5, 1.6，… 1.9 ② ① 类似地，可得 ④ …… 同样，在1.4与1.5之间的两位小数有1.41，1.42，1.43，...，1.49, 那么 在哪两个两位小数之间呢 所以 ③ 像上面这样一直(无限）做下去，我们可以得到： ＝1.414 213 5… 因为 1.412＝1.988 1＜2 ，1.422＝2.016 4＞2 新知讲解 → 无理数 带省略号且不循环的无限小数 有特殊意义的数，如 π 等 带根号，但被开方数是开方不尽的数 概念 实数 有理数 感谢聆听 $