2025-2026学年人教版八年级数学下册期末冲刺七《特殊的平行四边形—正方形》专项高分练习

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定，通过选择、填空、解答（含探究）题型，构建从概念辨析到综合应用的知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正方形的性质|11题（含选择5、填空2、解答4）|涵盖定义辨析、边角计算、坐标几何、动态探究|以平行四边形、矩形、菱形性质为基础，递进考查对称性、旋转不变性及与坐标系结合的应用| |正方形的判定|10题（含选择3、填空2、解答5）|包含定义辨析、条件补充、动手操作、综合证明|从“矩形+菱形”双重属性切入，通过判定条件组合、图形变换验证，强化逻辑推理与空间观念|

2026年人教版八年级数学下册期末冲刺七 《特殊的平行四边形—正方形》专项高分练习（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、考查内容1：正方形的性质 1．下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．某天放学，三名同学准备从学校回家．如图，点为学校所在的位置，三名同学的家在平面直角坐标系中的位置如图所示，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的两边，分别在x轴，y轴上．点在边上，以C为中心，把顺时针旋转，则旋转后点D的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 5．如图，在正方形中，点在上，，垂足分别为，，则的长为(       ) A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 6．如图，点E、F分别是正方形的边、上的点，且，已知，则图中阴影部分的面积是__________． 7．如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______． 8．已知：如图，在正方形中，对角线相交于点，点分别是边上的点，且． 求证：．    9．如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．求证：． 10．如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：． 11．如图，四边形是正方形，点P在线段上，点E在射线上，且，连结，点O为线段中点． (1)【感知】如图1，当点P在线段上时， ①易证：与全等（不需要证明）．进而得到与的数量关系是______． ②过点P作于点M，于点N，易证：（不需要证明）．进而得到与的位置关系是______． (2)【探究】如图2，当点P在线段上（点P不与点O，C重合）时，试写出与的数量关系和位置关系，并说明理由． 二、考查内容2：正方形的判定 12．下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(  ) A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF 14．四边形的对角线和相交于点O，设有下列条件：①；②；③；④矩形；⑤菱形，⑥正方形，则下列推理不成立的是（    ） A．①④⇒⑥ B．①③⇒⑤ C．①②⇒⑥ D．②③⇒④ 15．如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 16．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别相等；b一组对边平行且相等；c一组邻边相等；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式 ：①a，c，d；②b，c，d；③a，b，c．你认为能得到正方形的是______．（填写你认为正确的序号） 17．如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形． 18．如图，在中，，的平分线交于点，DEAB，DFAC． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求四边形的面积． 19．如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且， (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求四边形的周长． 20．如图， ABCD中，∠A=45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE=AB，连接BD，CE． (1)求证：四边形BDCE是正方形； (2)P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM=PB，∠DPN=∠BPM．求证： AN=PB． 21．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点． （1）求证：BM∥DN； （2）求证：四边形MPNQ是菱形； （3）矩形ABCD的边长AB与AD满足什么数量关系时四边形MPNQ为正方形，请说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年人教版八年级数学下册期末冲刺七 《特殊的平行四边形—正方形》专项高分练习（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、考查内容1：正方形的性质 1．下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据正方形，矩形，菱形的性质，逐一判断即可解答． 【详解】∵正方形属于平行四边形，也是特殊的矩形，特殊的菱形， ∴正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，故①②③正确， ∵正方形的对称轴分别为两组对边的中垂线（2条）和两条对角线所在直线（2条），共4条对称轴，∴④错误，⑤正确， 综上，正确的结论共有4个． 2．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方形和等边三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 3．某天放学，三名同学准备从学校回家．如图，点为学校所在的位置，三名同学的家在平面直角坐标系中的位置如图所示，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可知点A、C关于x轴对称，在的垂直平分线上，即A、C的横坐标和中点横坐标相等，根据正方形对角线求C的纵坐标． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴点A、C关于x轴对称， ∴所在直线为的垂直平分线， 即A、C的横坐标均为1， ∵， ∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为， 故C点坐标． 4．如图，正方形的两边，分别在x轴，y轴上．点在边上，以C为中心，把顺时针旋转，则旋转后点D的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据顺时针旋转的特征画出图形，然后根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴当顺时针旋转时，旋转后的与重合， ∴， ∴点共线， ∴ ∴． 5．如图，在正方形中，点在上，，垂足分别为，，则的长为(       ) A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】D 【分析】作辅助线PB，求证，然后证明四边形是矩形， 【详解】如图，连接. 在正方形中，. ∵， ∴，∴. ∵， ∴四边形是矩形， ∴.∴. 故选D. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理（SAS）以及矩形对角线相等的性质，从而求出PD的长度 6．如图，点E、F分别是正方形的边、上的点，且，已知，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】9 【分析】根据正方形的性质得到∠EDO＝∠FCO，AC⊥BD，OD＝BD，OC＝AC，AC＝BD，根据全等三角形的判定定理得到△ODE≌△OCF（ASA），根据正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EDO＝∠FCO，AC⊥BD，OD＝BD，OC＝AC，AC＝BD， ∴∠DOC＝90°，OD＝OC， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠DOE＝∠COF， ∴△ODE≌△OCF（ASA）， ∴图中阴影部分的面积＝S△AOD＝S正方形ABCD， ∵AD＝6， ∴图中阴影部分的面积＝×62＝9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证得△ODE≌△OCF是解题的关键． 7．如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据正方形的性质，等边三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 8．已知：如图，在正方形中，对角线相交于点，点分别是边上的点，且． 求证：．    【答案】见解析 【分析】由正方形的性质得出OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，再证明∠COE=∠DOF，从而得到△COE≌△DOF，即可证明CE=DF． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°， ∵∠EOF=90°，即∠COE+∠COF=90°， ∴∠COE=∠DOF， ∴△COE≌△DOF（ASA）， ∴CE=DF． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据正方形的性质得出条件证明全等． 9．如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明即可作答． 【详解】∵ 四边形是正方形， ∴，． ． 在 和中， ∴， ∴． 10．如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据正方形的性质可得，从而可得，再根据垂直的定义可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得证． 【详解】证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 11．如图，四边形是正方形，点P在线段上，点E在射线上，且，连结，点O为线段中点． (1)【感知】如图1，当点P在线段上时， ①易证：与全等（不需要证明）．进而得到与的数量关系是______． ②过点P作于点M，于点N，易证：（不需要证明）．进而得到与的位置关系是______． (2)【探究】如图2，当点P在线段上（点P不与点O，C重合）时，试写出与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)且，理由见解析 【分析】（1）①由与全等得到，再由，即可得到结论． ②由得到，再证即可得到结论． （2）证明，得到，由，得到，即可得到结论． 【详解】（1）①四边形是正方形， ＝，＝＝， 在和中, , , ＝, ＝， ＝， 故答案为：＝; ②过点作于点,于点,如图①所示: 则＝＝＝, 四边形是正方形, 平分,＝, 四边形是矩形,＝, ＝, 在和中, , , ＝, ＝＋＝, ＋＝, 即＝, , 故答案为：； （2）如图2，过点作于点M，于点，则， 对角线所在直线为正方形的对称轴， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二、考查内容2：正方形的判定 12．下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 【详解】解：A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故A正确； B．有一组邻边相等的矩形是正方形，故B正确； C．有一个角是直角的菱形是正方形，故C正确； D．对角线相等且互相垂直的四边形，如果对角线不互相平分，就不是平行四边形，更不可能是正方形，故D错误． 13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(  ) A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF 【答案】D 【详解】解：∵EF垂直平分BC， ∴BE=EC，BF=CF； ∵BF=BE， ∴BE=EC=CF=BF； ∴四边形BECF是菱形． 当BC=AC时，∠ACB=90°，∠A=45°， ∴∠EBC=45°； ∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°． ∴菱形BECF是正方形． 故选项A不符合题意． 当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B不符合题意． 当BD=DF时，BC=EF，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C不符合题意． 当AC=BD时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D符合题意． 故选D． 14．四边形的对角线和相交于点O，设有下列条件：①；②；③；④矩形；⑤菱形，⑥正方形，则下列推理不成立的是（    ） A．①④⇒⑥ B．①③⇒⑤ C．①②⇒⑥ D．②③⇒④ 【答案】C 【分析】根据正方形，菱形，矩形的判定定理对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、符合邻边相等的矩形是正方形，不符合题意； B、可先由对角线互相平分判断四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，不符合题意； C、不能判断该四边形为正方形，符合题意； D、可先由对角线互相平分判断为平行四边形，再由一个角为直角得出是矩形，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形，菱形，矩形的判定定理．解题的关键在于对正方形，菱形，矩形的判定定理的熟练掌握与灵活运用． 15．如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】首先根据矩形的性质可知、为直角，折叠后可得为直角且，由此可判定四边形是矩形，又因为该矩形的一组邻边与相等，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折痕翻折，使与边上的重合， ∴，， ∴四边形中， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 16．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别相等；b一组对边平行且相等；c一组邻边相等；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式 ：①a，c，d；②b，c，d；③a，b，c．你认为能得到正方形的是______．（填写你认为正确的序号） 【答案】①② 【分析】由a和b都可断为平行四边形，①②③中至少有一个a或者b，所以在平行四边形的基础上判定正方形，根据需要加条件． 【详解】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确； ②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确； ③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确； 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键． 17．如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，由正方形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明四边形是正方形． 【详解】证明：∵正方形的对角线相交于点O， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， 四边形是正方形． 18．如图，在中，，的平分线交于点，DEAB，DFAC． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据题目条件可得四边形为平行四边形，进而可通过角平分线证明其邻边相等，再加上一个角，即可说明是正方形， （2）根据正方形的性质先求出边长，即可得面积． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 平分， ． ， ． ． ． 四边形是菱形． ， 四边形是正方形． （2）解：四边形是正方形，， ， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，正方形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握正方形的几种判定方法及性质是解题关键． 19．如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且， (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）结合题意易证，得到，，由易证即，从而证明结论； （2）由（1）和题意求得，利用勾股定理求得正方形边长，从而求得正方形周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴正方形EFMN的周长为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质、正方形的证明、勾股定理的应用；解题的关键是证明三角形全等，并用全等的性质求解． 20．如图， ABCD中，∠A=45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE=AB，连接BD，CE． (1)求证：四边形BDCE是正方形； (2)P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM=PB，∠DPN=∠BPM．求证： AN=PB． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）先证明出DB⊥AE，DB=BE，再证明四边形BECD为平行四边形，从而得到平行四边形BECD为正方形； （2）过点P作PF⊥BD，PG⊥BE，先证明Rt∆PGM≌Rt∆PFB，得到∠PMG=∠PBF及∆BPM为等腰直角三角形，BM=PB，再证明∆PNM≌∆PDB，得到MN=DB=AB,从而得到AN=BM=PB 【详解】解：（1）证明：∵∠A=45°，ED⊥AD， ∴∆ADE为等腰直角三角形， 又∵BE=AB， ∴DB⊥AE，DB=BE， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB//CD，AB=CD， ∴BE//CE，BE=CD， ∴四边形BECD为平行四边形， 又DB⊥AE，DB=BE， ∴平行四边形BECD为正方形； （2）过点P作PF⊥BD，PG⊥BE， ∵四边形BECD为正方形，BC为其对角线； ∴∠DBC=∠EBC=45°； ∴PF=PG； 在Rt∆PGM和Rt∆PFB中， ， ∴Rt∆PGM≌Rt∆PFB（HL）, ∴∠PMG=∠PBF=45°, ∴∠EBC=∠PMG=45°, ∴∆BPM为等腰直角三角形， ∴BM=PB， ∵∠DPN=∠BPM， ∴∠DPB=∠NPM， 在∆PNM和∆PDB中， ∴∆PNM≌∆PDB（AAS）, ∴MN=BD， ∴MN=AB， ∴MN+BN=AB+BN， 即BM=AN， ∵BM=PB， ∴AN=PB． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的三边关系，角平分线的性质，熟练掌握正方形的判定和性质并结合性质添加恰当的辅助线是解题的关键． 21．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点． （1）求证：BM∥DN； （2）求证：四边形MPNQ是菱形； （3）矩形ABCD的边长AB与AD满足什么数量关系时四边形MPNQ为正方形，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）当AB＝AD时，四边形MPNQ为正方形，理由详见解析. 【分析】（1）因为M，N分别是AD，BC的中点，由矩形的性质可得DM＝BN，DM∥BN，利用平行四边形的判定和性质可得结论； （2）由四边形DMBN是平行四边形，求出BM＝DN，BM∥DN，求出三角形MPNQ是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质求出MQ＝NQ，根据菱形判定推出即可． （3）根据正方形的性质进行解答即可． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵M、N分别AD、BC的中点， ∴DM＝BN， ∴四边形DMBN是平行四边形； ∴BM∥DN； （2）∵四边形DMBN是平行四边形， ∴BM＝DN，BM∥DN， ∵P、Q分别BM、DN的中点， ∴MP＝NQ，MP∥NQ， ∴四边形MPNC是平行四边形， 连接MN， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵M、N分别AD、BC的中点， ∴DM＝CN， ∴四边形DMNC是矩形， ∴∠DMN＝∠C＝90°， ∵Q是DN中点， ∴MQ＝NQ， ∴四边形MPNQ是菱形． （3）当AB＝AD时，四边形MPNQ为正方形， 理由：∵AB＝AD， ∴AB＝AM， ∴矩形ABNM是正方形， ∵P为正方形ABNM对角线BM的中点， ∴∠NPM＝90°， ∵四边形MPNQ是菱形， ∴四边形MPNQ是正方形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的性质，正方形的判定等知识，综合运用各性质定理是解答此题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $