专题02 与特殊平行四边形有关的9大热考模型（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形9大核心模型，以题载法构建"模型识别-性质应用-变式拓展"三阶训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |含60°角菱形|4题|构造等边三角形转化线段关系|菱形性质→特殊角度→全等/相似证明| |正方形半角模型|4题|旋转法构造全等三角形|正方形对称性→90°半角→线段和差关系| |十字架模型|4题|垂直弦模型证线段相等|正方形性质→垂直关系→全等判定| |折叠/最值模型|8题|轴对称转化/将军饮马模型|矩形折叠性质→对称点连线→最短路径|

专题02 与特殊平行四边形有关的热考模型 题型1含 60°角的菱形模型 题型6矩形折叠模型 题型2正方形风车模型 题型7半角模型（正方形背景） 题型3十字架模型 题型8利用特殊四边形对称性求解 题型4垂美四边形 题型9其它模型（手拉手、一线三等角等） 题型5中点四边形 题型一 含 60°角的菱形模型（共4小题） 1．（25-26八年级下·辽宁盘锦·开学考试）综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)的长度为或 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）过点作交于点，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得出最后的结果． 【详解】（1）解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵为菱形的角平分线， ∴， 故与为等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 连接，如下图所示： 由（1）中，同理可得与为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3）解：过点作交于点，按题意补充线段，连接，当点在点左侧时，如下图所示： 由（1）（2）得，为中点， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 故， ∴； 当点在点右侧时，如下图所示： 同理可得， 故， ∴； 综上，的长度为或． 2．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）在数学实践活动课上，创新小组的同学对含角的菱形进行探究． 【问题情境】如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，且． 【初步感知】 (1)若点是的中点，点是的中点，则与的数量关系为：________ 【拓展应用】 (2)若，分别为边，上任意一点，当时，求周长的最小值； 【问题解决】 (3)当点在边上运动（不与端点重合）时，小明发现，四边形的面积保持不变，请你帮助小明验证他的发现． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）由菱形的性质得，，，根据证明，故可得； （2）连接，可证，当时，取得最小值，由勾股定理求出，则可得出答案． （3）根据，得出，根据解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵点E是的中点，点是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴和为等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 要求等边三角形周长的最小值，即求出边长的最小值即可， ∵点E为边上的一点， ∴当时，取得最小值， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴此时，， ∴周长的最小值为． （3）解：由（2）可知，， ， ， ∴四边形的面积与的面积相等， 的底与高均为定值， ∴当点E在边上运动（不与端点重合）时，四边形的面积保持不变． 3．（23-24八年级下·广东湛江·期中）在菱形中，，点E，F分别是边，上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，点G，H分别是边，上的点，连接与相交于点O且，求证： 【拓展延伸】 （3）如图3，若点E为的中点，，，． ①设，，请用关于x的代数式表示y； ②若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；②． 【分析】（1）连接，证明和都是等边三角形，可得，证明，即可得出结论； （2）连接，过点D作交于点P，交于点Q，可证，四边形和四边形都是平行四边形，得出，，由（1）可知，即可得证； （3）①过点B作交于点M，过点D作交于点P，交于点Q，则四边形和四边形、四边形都是平行四边形，得出，，，，，由（1）可知，则，即可求解； ②过点B作于点N，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，根据可求，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图1，连接， ∵菱形、， ，，，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ； （2）如图2，连接，过点D作交于点P，交于点Q 则，四边形和四边形都是平行四边形， ，， 由（1）可知， （3）①如图3，过点B作交于点M，过点D作交于点P，交于点Q， 则四边形和四边形、四边形都是平行四边形， ，，，， ∵点E为的中点，， ， ， ，， ，， 由（1）可知， ， ，， ， ， ②过点B作于点N， ， ， ，， ，即， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 4．（23-24八年级下·山西大同·期末）给合与实践 数学课上，小组同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点、． (1)【感知】 如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为__________． (2)【探究】 如图2，说“点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立”，你同意吗？请说明理由． 如图3，若点为射线上任意一点时，作，交边所在射线于．则（1）中结论是否仍然成立？回答并说明理由． (3)【应用】 取出如图2所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析；点为射线上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，分别讨论即可． 【详解】（1）解：线段与之间的数量关系：． 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点为上任意一点时，仍然成立． 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 当点为射线上任意一点时，仍然成立． 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，过点作于，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 当点在点的左侧时，， 当点在点的右侧（图中处）时，， ∴或， 由（2）知：， ∴， ∴或， ∴线段的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形． 题型二 正方形风车模型（共4小题） 5．（25-26八年级下·河南新乡·期中）完成下列题目 (1)如图1，将的顶点放在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），探究，和之间的数量关系； (2)如图2，将图1中的正方形改为的菱形，当时，（1）中的结论是否仍成立，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当旋转至如图3的位置时，交的延长线于点，交于点，请直接写出此时，，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2)结论不成立，见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，可证，从而得到，即可得到； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质，即可得是等边三角形，利用可证，再由全等三角形的对应边相等可得，由，即可得出； （3）当点落在线段延长线时，点落在线段上时，同理可证，那么有，从而得到． 【详解】（1）解：正方形的对角线，交于点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：（1）中的结论不成立，结论为，证明如下： 如图：取的中点，连接， 四边形为菱形，， ，，，， 是等边三角形， ，， ， ∴， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：当点落在线段延长线时，点落在线段上时，如图所示， 取线段的中点，同理可证，那么有， ， 为线段的中点， ， ． 6．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段检测）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线、相交于点O，正方形的顶点A′与点O重合．将正方形绕点A′旋转，在这个过程中，若连接，则、、之间的数量关系为___________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形对角线的交点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【拓展应用】 （3）在菱形中，，E、F分别是边、对角线上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点A逆时针旋转一定角度后得到新的菱形如图3，连接，点P为线段的中点，连接、． ①判断与的数量关系，并进行证明； ②若，，菱形在旋转过程中，当最小时，的面积为___________． 【答案】（1）； （2），见解析； （3）①，见解析；②． 【分析】（1）利用正方形的性质准备条件，证明，再根据全等三角形的性质，结合勾股定理即可得出结论； （2）猜想：，连接，交于G，连接，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）①延长至Q，使，连接，，DQ，先证明，再证明，利用锐角三角函数即可证明； ②分析可知M′是的中点，作，交的延长线于W，先求出，再求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：猜想， 如图1， 延长，交于G，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）①证明：如图2， ，理由如下： 延长至Q，使，连接，，DQ， ∵点P为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形和四边形是菱形， ∴，，，， ∴，，， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，∠ACD=60°，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； ②解：由①知，，， ∴， ∵， ∴当F′在上时，最小，即CP最小， 如图3， 此时M′使的中点，作，交的延长线于W， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质等，做辅助线和构造全等三角形是解决问题的关键． 7．（24-25九年级上·广东珠海·期中）【问题呈现】 如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】 （2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】 （3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析， （2） （3），理由见解析 【分析】（1）利用正方形的性质可得，，，进而可得，利用等式的性质可得，利用即可证得，进而可得，于是可得； （2）由三角形的面积公式可得，由（1）可得：，由经过适当变形可得，进而可求出面积的最大值； （3）利用菱形的性质可得，，，进而可证得是等边三角形，于是可得，，利用三角形的中位线定理可证得且，利用平行线的性质可得，进而可得，，利用即可证得，进而可得，于是可得． 【详解】（1）证明：正方形的对角线，交于点， ，，， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：四边形是正方形， ， ， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， 面积的最大值是； （3）解：，理由如下： 如图，取的中点，连接， ， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， 且， ，， ，， ，，且， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，不等式的性质，完全平方公式，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，两直线平行同位角相等等知识点，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质以及添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（24-25九年级上·山东青岛·月考）问题提出： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为）． 操作发现： (1)如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为_____；当与垂直时，重叠部分的面积为_____；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为______． 类比探究： (2)若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，，分别与正方形的边相交于点，．如图，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)是等边三角形．理由见解析． 【分析】（1）如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，此时重叠部分的面积的面积正方形的面积；当与垂直时，，重叠部分的面积正方形的面积；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为．利用全等三角形的性质证明即可； （2）结论：是等边三角形．证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，连接，，由题意得、、三点共线，、、三点共线， ∵是正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴此时重叠部分的面积的面积正方形的面积， 如图，当与垂直时，，连接、， ∵是正方形的中心， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， 同理可得， ∴ ∴重叠部分的面积正方形的面积； 一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为． 理由：如图，设交于点，交于点，过点作于点，于点．则， ∵是正方形的中心， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 同上可得， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，，． （2）解：如图中，结论：是等边三角形．理由： 过点作，连接、， ∵是正方形的中心， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 题型三 十字架模型（共4小题） 9．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图1，在正方形中，分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)如图2，在正方形中，、、、分别是边、、、上的点，且 （a）求证：． （b）求证： （c）若正方形的边长为a，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)（a）见解析；（b）见解析；（c） 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得证结论； （2）（a）过点作，交于点G，过点B作，交于点H，可得出四边形，四边形都是平行四边形，因此，，证明，从而与（1）同理可得，得到，即可得证结论； （b）由得到，根据得到，根据平行四边形的对边相等得到，，即可得证结论； （c）连接，，，，设与相交于点K，过点A作，交于点G，由，得到，当最小时，的值最小，由于，得到的最小值为，即可解答． 【详解】（1）证明∶设与的交点为O， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）（a）证明：过点A作，交于点G，过点B作，交于点H， ∵在正方形中，，， ∴四边形，四边形都是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， 由（1）同理可得， ∴， ∴． （b）∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形，四边形都是平行四边形， ∴，， ∴． （c）连接，，，，设与相交于点K，过点A作，交于点G， ∵，， ∴ ， ∴当最小时，的值最小， 由（a）知四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的值最小为． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图1，在正方形中，E在边上，F在边上，连接，若． (1)求证：； (2)如图2，连接，若将绕着点E旋转至，连接，连接交于点P． ①求证：点P是中点； ②求证：． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；②见详解 【分析】（1）设与交于点，证明，易得，，进而证明，即可证明结论； （2）①连接交于点，连接，首先证明四边形为平行四边形，进而可得为等腰直角三角形，为直角三角形，然后证明，即可证明结论； ②过点作，交于点，首先根据勾股定理证明，再证明四边形为平行四边形，易得，然后证明，易得，即可证明结论． 【详解】（1）解：如下图，设与交于点， ∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）①如下图，连接交于点，连接， ∵四边形为正方形，为该正方形的对角线， ∴， 根据题意，将绕着点E旋转至， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴，即为直角三角形， ∵四边形为正方形，和为该正方形的对角线， ∴，，即垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P是中点； ②如下图，过点作，交于点， 由（2）可知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 11．（25-26八年级下·云南昆明·期中）在正方形中，E是边上一点（点E不与点C，D重合），连接． (1)如图1，过点A作交于点F． ①求证：． ②求证：． (2)如图2，取的中点M，过点M作交于点F，交于点G．连接，若，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)2 【分析】（1）①根据正方形的性质可推出，然后根据同角的余角相等可推出，即可证得结论； ②根据正方形的性质和同角的余角相等，利用证明，得到，即可利用线段的和差证得结论； （2）过点G作于点P，易得四边形是矩形，同（1）②的原理证明，得到，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】（1）证明：①∵四边形是正方形 ，， ∴， ， ， ， ， ， ； ②∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ； （2）解：如图，过点G作于点P， ∵四边形是正方形， ，， ∴四边形是矩形， ， ， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，M是的中点， ， ． 12．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图1，在正方形中，相交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接DO，当时． ①求证：； ②如图2，当D、O、B三点共线时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）如图1，过点作于点，证明，进而结论可知； （2）①如图2，延长交于点，证明点是的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； ②如图3，证明，是等腰直角三角形，，则，设，则，，由勾股定理得，得出，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点作于，    则四边形是矩形， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； （2）①证明：如图2，延长与的延长线相交于点，    ∵正方形，， ∴，，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是斜边上的中线， ∴； ②解：如图3，连接，过作于，则于，作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形，    ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（2）①可知，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得： ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握这些知识点并熟练运用是解题的关键． 题型四 垂美四边形（共4小题） 13．（23-24八年级下·福建莆田·期中）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形． (1)如图1，在四边形中，，，问四边形垂直四边形吗？请说明理由； (2)如图2，四边形是垂直四边形，求证：； (3)如图3，中，，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长． 【答案】(1)四边形是垂直四边形，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意得出直线是线段的垂直平分线，再结合垂直四边形的定义判断即可得解； （2）设、交于点E，由勾股定理得出，，即可得证； （3）连接、，由正方形的性质可得，，，，，证明，得出，证明四边形是垂直四边形，由（2）得，，求出，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：四边形是垂直四边形；理由如下： ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即四边形是垂直四边形； （2）证明：设、交于点E，如图2所示： ∵， ∴， 由勾股定理得：，， ∴； （3）解：连接、，如图3所示： ∵正方形和正方形， ∴，，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴四边形是垂直四边形，由（2）得，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 14．（25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，在四边形中，如果，，那么四边形______“垂美四边形”（填“是”或“不是”）． (2)如图2，探究“垂美四边形”的两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． (3)直接运用（2）中“垂美四边形”的性质完成如下问题： ①如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形．连接；与交于点O，已知，，则的中线______． ②如图4，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为“垂美四边形”，请直接写出的长． 【答案】(1)是 (2)，理由见解析 (3)①；②或 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据勾股定理得出，，即可证明结论； （3）①连接、，设，交于点M，证明，得出，证明，根据解析式（2）得出，根据勾股定理求出，根据，求出，最后根据直角三角形的性质求出结果即可； ②当时，对中，由勾股定理求得，，过点P作延长线的垂线，垂足为点D，可证明，则，，在中，由勾股定理得；当时，同理可得． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形．理由如下： ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， ，即四边形是垂美四边形； （2）解：猜想：． 理由：∵， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴． （3）解：连接、，设，交于点M，如图所示： ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵，，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ②当时， 则， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 过点P作延长线的垂线，垂足为点D， 由题意得，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 当时， 同上可求此时， 过点P作于点D， 同上可证：， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理求得， 综上：或． 15．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，垂美四边形的性质：垂美四边形对边的平方和相等．如图，四边形是垂美四边形，则 证明： ，， ，， ， ， 我们已经通过证明掌握了垂美四边形的性质，接下来我们可以直接使用了，同学们加油！ (1)已知垂美四边形，，，，，则_____． (2)在矩形中，，则的长为多少？ (3)中，，，，以和为直角边作等腰直角和等腰直角，连接、相交于点，连接，则的长为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据垂美四边形的性质，由，代入数据计算即可求解； （2）根据矩形的性质得到，设，则，由勾股定理求出，根据垂美四边形的性质，由，代入数据计算即可求解； （3）设交于点，证明，利用三角形内角和定理易证，推出四边形是垂美四边形，利用勾股定理求出，，，即可求解． 【详解】（1）解：∵垂美四边形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （2）解：∵矩形中，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：设交于点， ∵和都是等腰直角， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等是三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的性质是解题的关键． 16．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 (1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______（只填序号）； (2)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (3)【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点O，试探究之间有怎样的数量关系？写出你的猜想 ； (4)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，则长为 ． 【答案】(1)③④ (2)四边形是垂美四边形，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据各几何图形的性质即可求解； （2）连接，由题意得点A在线段的垂直平分线上，点C在线段的垂直平分线上，据此即可求解； （3）根据即可求解； （4）连接，设与交于点M，证得，可得，结合（3）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形和正方形的对角线均互相垂直， ∴菱形和正方形是垂美四边形 故答案为：③④ （2）解：四边形是垂美四边形，理由如下： 连接，如图所示： ∵ ∴点A在线段的垂直平分线上，点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴ 即：四边形是垂美四边形； （3）解：∵ ∴ 故答案为：； （4）解：如图3，连接，设与交于点M， 由题意得： ∴ 即： ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 由（3）可得： ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识点，熟记相关结论即可. 题型五 中点四边形（共4小题） 17．（25-26八年级下·吉林松原·期中）【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； (3)根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 (4)如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形，菱形，矩形 (3)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的 (4)四边形是同形中点四边形．见解析 【分析】（1）连接，根据中位线的性质得出，．即可证明四边形是平行四边形． （2）根据平行四边形的判定，菱形、矩形的判定，结合中位线的性质，即可求解． （3）根据（2）的结论，即可求解． （4）连接，，根据正方形的性质结合中位线的性质得出，，即可得出四边形是正方形． 【详解】（1）证明：连接． 、分别是、的中点， 是的中位线． ，． 同理得 ，． ，． 四边形是平行四边形． （2）解：当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是菱形； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是矩形； （3）解：中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的． （4）解：四边形是同形中点四边形． 理由如下：连接，． 点、、、分别为正方形的四边中点， ， ， ，，，， 四边形 是正方形， ，， ， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是正方形． 18．（25-26八年级下·江苏·期中）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）； (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定．请填写下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (3)证明与表达：根据表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明） 选择图 ，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点， ．求证：四边形是 ． 【答案】(1)见解析 (2)菱形；矩形；正方形 (3)2；对角线，与不垂直；菱形（答案不唯一）；见解析 【分析】（1）依题意画出图形即可： （2）图2中的中点四边形EFGH是菱形，图3中的中点四边形EFGH是矩形，图4中的中点四边形EFGH是正方形，然后填入表格即可； （3）根据中位线定理得，，，，，，结合已知条件即可判定四边形是菱形、矩形、正方形即可． 【详解】（1）解：依题意画出图形如图所示： （2）解：如下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 菱形 图3 ， 矩形 图4 ， 正方形 （3）解：选择图2时：已知四边形中，对角线，与不垂直，点E，F，G，H分别，，，的中点，求证：四边形是菱形； 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， 又，，与不垂直， 与不垂直， ∴平行四边形是菱形； 选择图3时，已知四边形中，对角线，，点E，F，G，H分别，，，的中点，求证：四边形是矩形； 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， 又，，， ， ， ∴平行四边形是矩形； 选择图4时，已知四边形ABCD中，对角线AC＝BD，AC⊥BD，点E，F，G，H分别AD，AB，BC，CD的中点，求证：四边形EFGH是正方形． 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， ∴平行四边形是菱形， 又，，， ， ， ∴菱形是正方形． 19．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）【主题学习】定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形．为了探索中点四边形，某校八年级数学兴趣小组开展一次主题学习活动． 【成果展示】经过合作探究，相互交流，各小组将他们的成果进行汇报，部分信息汇总如下： 原四边形 任意四边形 矩形 菱形 图形 中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 发现 任意四边形的中点四边形一定是平行四边形． 对角线 ① 的四边形，它的中点四边形是菱形． 对角线 ② 的四边形，它的中点四边形是矩形． （1）填写上表中的空格①______；②______； 【逆向探究】在探究过程中，有小组提出“正方形的中点四边形是正方形”． （2）判断命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明，如果是假命题，请画图说明． 【拓展延伸】如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，……，如此进行下去，得到四边形． （3）设，，则：四边形的面积等于______，四边形的周长等于______． 【答案】（1）①相等；②相互垂直；（2）命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是假命题，理由见解析；（3）； 【分析】（1）由三角形中线的性质结合四边形的中点四边形一定是平行四边形，即可得出结论； （2）先写出逆命题，再画出示意图，结合（1）中所得结论即可说明； （3）先证明，进而证明，推出；结合（1）中所得结论，得到当为奇数时，四边形是矩形，四边形的面积是；当为偶数时，四边形是菱形，四边形的周长是；即可解答． 【详解】（1）解：如图：矩形中，分别是的中点，连接， ∵分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形，即对角线相等的四边形，它的中点四边形是菱形； 同理，菱形的中点四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，即对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形， 故答案为：相等，互相垂直； （2）解：命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是“中点四边形是正方形的四边形是正方形”是假命题，理由如下： 如图：四边形中，且，分别是的中点， 由题意知任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，则四边形是平行四边形， ∵， 由（1）对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形，则四边形是矩形， ∵， 由（1）对角线相等的四边形，它的中点四边形是菱形，则四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴只需满足对角线相等且互相垂直的四边形，它的中点四边形是正方形， ∴命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是“中点四边形是正方形的四边形是正方形”是假命题； （3）解：设交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， 由（1）知对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形； ∴四边形是矩形； 根据中位线的性质知，， 四边形的面积周长为； 连接， ∴， ∵四边形是矩形各边中点得到的四边形， 由（1）知对角线相等的四边形，它的中点四边形是菱形； ∴四边形是菱形， 根据中位线的性质知，， ∴四边形的周长为； ∵四边形是菱形各边中点得到的四边形， 由（1）知对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形； ∴四边形是矩形， ∵， ∴根据中位线的性质知，， ∴四边形的面积为； 同理，四边形是菱形，周长为； 同理，四边形是矩形，四边形的面积是； ； ∴当为奇数时，四边形是矩形，四边形的面积是； 当为偶数时，四边形是菱形，四边形的周长是； ∴四边形的面积等于，四边形的周长等于． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了中点四边形，菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系． 20．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 【答案】(1)平行四边形；矩形 (2)菱形，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可推出，则可证明四边形是平行四边形；同理可证明四边形为平行四边形，由菱形的性质得到，则，即可证明平行四边形为矩形 （2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论； （3）连接交于O，连接，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再证明即可求得答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 如图，四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形， 根据中位线性质得到，， ∴， 同理可得， ∴四边形为平行四边形， 又∵四边形是菱形， ∴，则， ∴平行四边形为矩形； （2）解：四边形为菱形．证明如下： 连接，，如图2所示： ∵和为等边三角形， ，，， ∴， ， 在和中， ， ， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形为菱形； （3）解：如图3，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M，E分别是的中点， ∴， 同理可得， ∴； 又∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， 同理可得的最小值， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵N，F分别是的中点， ∴， ∴； ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形、矩形、菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键． 题型六 矩形折叠模型（共4小题） 21．（24-25八年级下·广西防城港·期中）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形； (2)迁移应用： 如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】(1)①60，60；②见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的折叠问题，菱形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，是解题的关键． （1）①由折叠得，由得，结合即可求解； ②由，，证明四边形是平行四边形，同①证明，推出，即可证明四边形是菱形； （2）由折叠得，，，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解和，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：①由折叠得， ， ， 矩形中， ， 故答案为：60，60； ②四边形是矩形， ， 又， 四边形是平行四边形； ， ， 由折叠得， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ，，， 中，，， ， ， 由折叠得，，， ， 又，， ， 如图，过点E作于点G， ， ， ， ． 22．（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践 在综合与实践课上，王老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，其中，． (1)操作发现 操作一：如图1，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，与交于点O，将纸片展平再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平，连接得到图2，则四边形是________形．图1中的点O与图2中的点E________（填“一定会”、“一定不会”或“不一定”）重合． (2)实践探究 操作二：如图3，在矩形纸片中，点G为上的动点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接，直接写出的最小值是________． (3)拓展与应用 操作三：如图4，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②直接写出________． 【答案】(1)菱形；一定会 (2) (3)①；②7.2 【分析】（1）根据折叠可得垂直平分，推出，证明可得，然后利用四边相等的四边形是菱形；利用勾股定理分别求出的长即可得出结论； （2）连接，利用勾股定理求出，由翻折可知，点在以点C为圆心，半径为8的圆上，当A，，C三点共线时，最小，即可求出最小值； （3）①由折叠的性质可得，利用等边对等角、三角形外角的性质可得，进而得出，然后利用平行线的判定即可得证；②连接交于M，证明，利用等面积法求出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，设与交于点M， 由折叠可知，，，即垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即； 在图1中，由折叠得，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即； ∴， 故图1中的点O与图2中的点E一定会重合． （2）解：连接， ∵，，． ∴， 由翻折可知，点在以点C为圆心，半径为8的圆上， ∴当A，，C三点共线时，最小，此时； （3）解：①．理由如下： ∵折叠， ∴，， ∴， ∵G为中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 如图，连接交于M， ∵， ∴， 又，， ∴，即， ∵矩形纸片中，，，G为中点， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）综合与实践：折纸中的数学． 【问题背景】（1）在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片按图①所示的方式折叠，使点与点重合，点落到处，折痕为．这时同学们证得是等腰三角形．请你写出同学们的证明过程． 【操作发现】（2）“竞秀”小组将自己的长方形纸片按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分恰好是等边三角形，据此可求出长方形的长、宽之比．请你完成“竞秀”小组的计算，求出长方形的长、宽之比． 【实践探究】（3）“争先”小组将长方形纸片沿折叠，如图③，使点落在边上的处；沿折叠，使点落在处，且过点．试探究四边形是什么特殊四边形，并写出证明过程． 【答案】（1）见解析；（2）长方形的长、宽之比是；（3）四边形是平行四边形，见解析 【分析】（1）根据折叠可知，根据平行可知，由此即可求证； （2）设，根据等边三角形的性质可得出，根据长方形的性质可得出，，再根据特殊角的直角三角形的性质即可得出，结合边与边之间的关系即可求解； （3）根据四边形为长方形，由翻折的性质可知，平行四边形的判定方法综合运用即可求解． 【详解】（1）证明：∵将平行四边形纸片沿着折叠， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 是等腰三角形． （2）设． 是等边三角形， ． ∵四边形是长方形， ，． 在中，，，， ， ． ， ， ． 故长方形的长、宽之比是． （3）四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是长方形， ， ，． 由翻折的性质可知，，， ，， ，， ． ， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了翻折变换、平行线的性质、平行四边形的判定定理、特殊角的直角三角形的性质、长方形的性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 24．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了折叠求值，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是运用勾股定理列方程． （1）可推出，设，则，在中，根据勾股定理得出，求得x的值，进一步得出结果； （2）可求得，的值，设，则，在中，根据勾股定理列出，求得x的值，进一步得出结果； （3）由（1）的结论可知：，，从而，，利用勾股定理即可求得的值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由得，， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴， 设，则， 在中，由得， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于点， 则， ∴四边形是矩形， ∵点D与点B重合， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：，又点O是长方形中心， ∴， 同（1）， ∴，， ∴． 题型七 半角模型（正方形背景）（共4小题） 25．（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转得到后，解决了这个问题． (1)如图2． ①求证：； ②求出、、之间的关系； (2)如图3，等腰直角三角形，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由； 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【分析】（1）①利用旋转的性质，证明，②根据全等三角形的性质得，等量代换，即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得，，在中，，可求得，所以，再证明，利用得到． 【详解】（1）①证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ②解： 由①得， ， ， ； （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． 26．（25-26八年级下·广东江门·期中）综合与实践： 【问题情境】：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以A为顶点的，，与，边分别交于E，F两点，易证得． 证明思路：如图2，延长至点H，使，连接，可证，再证，故． 【知识应用】 (1)如图2，已知，，则的长为______； (2)如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，，与，边分别交于E，F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓展提升】 (3)若四边形是长与宽不相等的矩形，点E为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明． 【答案】(1) (2)结论成立，证明见解析， (3)，证明见解析 【分析】（1）如图，将绕点顺时针旋转得到，证明，设，可得，，结合勾股定理可得，再进一步求解即可． （2）将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到，推出M、B、E三点共线，再证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）延长，交于点，先得到，再证明，即可解决． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，，， ，， 如图，将绕点顺时针旋转得到，   ， ， ∴点在一条直线上， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 设， ∴，， ∴， 解得：，即． （2）解：成立．理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转得到． ， ∴，，，， ∵， ． ，，三点共线． ， ， ，， ， ， ． （3）结论：． 证明：延长，交于点，如图： 四边形是矩形， ， ， 平分， ∴， ， ， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ． ， ． 27．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）综合与实践： 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程； 【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ； 【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）8；（3），见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）沿着小李的思路，先证，再证，即可得出结论； （2）设，则，然后计算周长即可； （3）在上截取，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：（1）， 理由如下： 沿着小李的思路进行证明， 在正方形中，有，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）设，则， ∴ 的周长为：， 故答案为：8； （3），理由如下： 如下图中，在上截取，使，连接，    ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴． 28．（23-24八年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为半角模型． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点．则之间的数量关系为_________． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点，且，求五边形的周长． 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E，F分别在射线上，且．当，，时，请直接写出的周长．    【答案】（1）；（2）22；（3）18 【分析】（1）利用旋转的性质，可得，则可得出答案，证明即可； （2）根据旋转的性质得到，推出三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可； （3）证明和，即可求解． 【详解】解：（1）， 理由：如图，将绕点顺时针旋转得到，   ， ， ∴点在一条直线上， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：将绕点顺时针旋转得到，   ， ， 三点共线， ， ， ， ， ， ， ， 五边形的周长； （3）解：在上截取，   ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，补角的定义等知识点，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 题型八 利用特殊四边形对称性求最值（共4小题） 29．（24-25八年级下·山东淄博·期中）【阅读思考】已知，求的最小值． 分析：如图，我们可以构造边长为1的正方形，为边上的动点．设，则，那么可以用含的式子表示，，问题可以转化为与的和的最小值，用几何知识可以解答． (1)求的最小值； (2)已知，为两个正数，且，运用以上方法求的最小值； (3)借助上述思考过程，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合思想，学会利用转化思想解决问题． （1）依据题意，构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则，作点关于的对称点，连接，则的最小值即为的长，利用勾股定理求出的长即可判断得解； （2）构造图形，使得，则，当点A、P、D三点共线时，的最小值为的长，作，交的延长线于E，勾股定理求出的长即可得解； （3）构造图形，使得，则，则当点A、D、P三点共线时，的最大值为，延长，交于E，作于H，勾股定理求出即可得解． 【详解】（1）解：作点关于的对称点，连接交于点P，则的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得，， 的最小值是； （2）解：， ， 如图，，，，，，设， ， 当点，，三点共线时，的最小值为的长， 作，交的延长线于， ， ∴四边形是矩形， ，， 由勾股定理得，， 的最小值为； （3）解：， 如图，，，，，， 则， 当点，，三点共线时，的最大值为的长， 延长，交于，作于， ， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 由勾股定理得，， 的最大值为． 30．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，，先根据三角形的中位线性质和菱形性质证明点是点E关于的对称点，则，当点F运动到点时，的最小值，即的长， 证明为等边三角形和为等腰三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可求解； （2）在上取点H，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，在延长线上取点，使得，连接，则，进而利用两点之间线段最短得到的最小值为，然后利用勾股定理求得即可求解； （3）在下方，过C作，且，连接，，证明得到，由，当A、F、P共线时取等号，可得的最小值为的长；过P作于H，延长线于Q，由等腰直角三角形的判定与性质求得，再证明四边形是矩形，得到，，在中利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：取中点记作点，连接，，， 记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点， ∴，，， 在菱形中，，, ∴，， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点， ∴，，即， 又，， ∴，则， 在中，， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在上取点H，使得，连接，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号， ∴的最小值为， ∵，． ∴中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，当A、F、P共线时取等号， ∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握特殊四边形的性质，添加辅助线得到最小值时动点的位置是解答的关键． 31．（2025·陕西延安·二模）【问题提出】 （1）如图1，为正方形的对角线，为的中点，为上任意一点，连接，若，则的最小值为___________； 【问题解决】 （2）如图2，是李叔叔家的农场平面示意图，李叔叔欲对该农场进行扩建，扩建部分为，其中点在的延长线上，分别为边的中点，在四边形内养殖家禽，为一道栅栏，经测量，米，为两个饲料储存点，其中为的中点，点在上，现要沿，修建两条运输通道，问运输通道的总长度是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，米 【分析】（1）取的中点E，连接，可证明，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，在中，由勾股定理得，则的最小值为； （2）证明四边形是矩形，得到．再证明四边形是菱形；连接交于点，则，互相垂直平分，则当三点共线时，的值最小，即为的长．证明为等边三角形，而米，则米．米，则（米）．的最小值为米． 【详解】解：（1）如图所示，取的中点E，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵为的中点，E为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为； （2）存在， 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形， ． 四边形是平行四边形， ． 分别为边的中点， ， 四边形是平行四边形． 为边的中点， ， 四边形是菱形； 如图，连接交于点，则，互相垂直平分， ， 当三点共线时，的值最小，即为的长． ， ， 为等边三角形，而米， 米． 为的中点， 米， （米）． 的最小值为米． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键． 32．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形D与边长为的正方形按图1位置放置，与在同一直线上，与在同一直线上．连接，，易得且(不需要说明理由)． (1)如下图，小明将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为． ①连接，，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如下图，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如下图，分别取，，，的中点M，N，P，Q，连接，，，，则四边形的形状为______，四边形面积的最大值是______． 【答案】(1)①，，理由见解析；② (2)正方形， 【分析】（1）①由“”可证，可得，，可证； ②由“”可证，可得，由面积和差关系可求解； （2）根据正方形的判定可判断四边形是正方形，其面积最大为时，根据三角形的中位线定理可求出其边长，进一步求出其最大面积． 【详解】（1）解：（1）①，，理由如下： 如图2，设与的交点为， 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ，， 又， ， ； ②如图3，过点作于，过点作直线于， ， ， 又， ， ， ， 当有最大值时，四边形面积有最大值， 即当时，有最大值为， 四边形面积的最大值为； （2）解：如图4，连接，， 点，，，分别是，，，的中点， ，，，，，，，， 由（1）知，， ， 四边形为菱形， 由（1）知， ， 菱形为正方形； 如图5，当，，三点在同一条直线上时，，，三点也在同一条直线上， 此时正方形的面积最大， ， ， 故答案为：正方形，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质和判定，菱形的判定，中位线性质等，解题关键是在图形的变化过程中要弄清所存在的不变量及关系． 题型九 其它模型（手拉手、一线三等角等）（共4小题） 33．（专题8与正方形有关的经典模型-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（人教版�新教材））如图①，以的边为边，向外作正方形，过点A作于点M，过点E作交的延长线于点P． (1)求证：； (2)如图②，若，以为边向外作正方形，连接交于点N．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）过点G作于点H．同（1）方法证明，，得到，再证明可证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，，， ，， ， ． ， ， ； （2）如答图，过点G作于点H． 由（1）同理，得，， ，， ． ，， ， ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质，找到全等三角形或添加辅助线构造全等三角形证明线段相等是解答的关键． 34．（福建省泉州市鲤城区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）已知：如图1，在四边形中，，．P是边上一动点，联结，将绕点P顺时针方向旋转，得到，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)M是延长线上一点，联结，且． ①若，求证：； ②如图2，若，，联结、，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由平行线的性质可得，再由可得，从而得出，再由平行四边形的判定可得结论； （2）①先证明，再证明，推出，可得结论； ②延长至N，使，联结、，先证明，可得是线段的线段垂直平分线，得出，则是等腰直角三角形，从而证得，再证明，从而得出，延长交于E，则，最后由勾股定理得出，最后可得结论． 【详解】（1）如图1， ， ； ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）①如图1， ，， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ； ②如图2，延长至N，使，联结、， 在与中， ， ， ，； ， 是线段的线段垂直平分线， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 又， ； 四边形是平行四边形， ， ， ； 在与中， ， ， ，， ； 延长交于E，则， ， ， 四边形内角和为，， ， 在中，， 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质等知识，正确添加辅助线是解本题的关键． 35．（江苏省苏州市苏州工业园区星港学校2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试卷）（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 【答案】（1），；（2）、的数量关系不成立，位置关系仍成立，、的数量关系为：，理由见解析；（3）或 【分析】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键． （1）证明得到与的数量关系，通过角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （2）可通过已知对应角，和对应边的比例关系，证明，求得和的数量关系；然后利用角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （3）分情况讨论，①当点和点在边上方重合时，②当点和点在边下方重合时，分别求解． 【详解】解：（1），； ∵四边形，都是正方形， ∴，，． ∴， ∴． ∴． ∴，， ∵， ∴． ∴； （2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立． ，． 理由如下：由题意知在矩形、中， ， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 综上所述：，； （3）∵ ∴ 如解图①， ； 如解图2，连接，设，则，     ，， 在中，， ， ∴（舍去）． 综上所述，当点与点重合时，线段的长为或． 故答案为：或． 36．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，，直线，直线，垂足分别为点，．易证：． （1）①如图1，若，，则__________； ②如图2，，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【模型应用】（2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，，求的长； 【拓展探究】（3）如图4，的图象分别交轴和轴于、两点，点是第二象限内一点，使是等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】（1）①8；②，；（2）；（3）或或 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ②如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图3，过E作于M，的延长线于N．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，利用三角形全等的判定和性质，即可求解． 【详解】（1）解：①∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：8； ②过A作轴于C，过B作轴于D，如图2，    ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 当时，， ∴； （2）如图3，过E作于M，的延长线于N．    ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴，， ∴，， 当时，过点P作轴于点E，过点B作于点Q，如图所示： 同解析（1）可知：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当时，过点P作轴于点Q，如图所示： 同解析（1）可知：， ∴，， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当时，过点P作轴于点Q，如图所示： 同解析（1）可知：， ∴，， ∴， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，三角形全等的判定和性质，余角的性质，求一次函数解析式，正方形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 与特殊平行四边形有关的热考模型 题型1含 60°角的菱形模型 题型6矩形折叠模型 题型2正方形风车模型 题型7半角模型（正方形背景） 题型3十字架模型 题型8利用特殊四边形对称性求解 题型4垂美四边形 题型9其它模型（手拉手、一线三等角等） 题型5中点四边形 题型一 含 60°角的菱形模型（共4小题） 1．（25-26八年级下·辽宁盘锦·开学考试）综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 2．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）在数学实践活动课上，创新小组的同学对含角的菱形进行探究． 【问题情境】如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，且． 【初步感知】 (1)若点是的中点，点是的中点，则与的数量关系为：________ 【拓展应用】 (2)若，分别为边，上任意一点，当时，求周长的最小值； 【问题解决】 (3)当点在边上运动（不与端点重合）时，小明发现，四边形的面积保持不变，请你帮助小明验证他的发现． 3．（23-24八年级下·广东湛江·期中）在菱形中，，点E，F分别是边，上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，点G，H分别是边，上的点，连接与相交于点O且，求证： 【拓展延伸】 （3）如图3，若点E为的中点，，，． ①设，，请用关于x的代数式表示y； ②若，求的长． 4．（23-24八年级下·山西大同·期末）给合与实践 数学课上，小组同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点、． (1)【感知】 如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为__________． (2)【探究】 如图2，说“点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立”，你同意吗？请说明理由． 如图3，若点为射线上任意一点时，作，交边所在射线于．则（1）中结论是否仍然成立？回答并说明理由． (3)【应用】 取出如图2所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 题型二 正方形风车模型（共4小题） 5．（25-26八年级下·河南新乡·期中）完成下列题目 (1)如图1，将的顶点放在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），探究，和之间的数量关系； (2)如图2，将图1中的正方形改为的菱形，当时，（1）中的结论是否仍成立，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当旋转至如图3的位置时，交的延长线于点，交于点，请直接写出此时，，之间满足的数量关系． 6．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段检测）【课本再现】（1）如图1，正方形的对角线、相交于点O，正方形的顶点A′与点O重合．将正方形绕点A′旋转，在这个过程中，若连接，则、、之间的数量关系为___________． 【类比迁移】（2）如图2，矩形对角线的交点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【拓展应用】（3）在菱形中，，E、F分别是边、对角线上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点A逆时针旋转一定角度后得到新的菱形如图3，连接，点P为线段的中点，连接、． ①判断与的数量关系，并进行证明； ②若，，菱形在旋转过程中，当最小时，的面积为___________． 7．（24-25九年级上·广东珠海·期中）【问题呈现】 如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】 （2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】 （3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 8．（24-25九年级上·山东青岛·月考）问题提出： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为）． 操作发现： (1)如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为_____；当与垂直时，重叠部分的面积为_____；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为______． 类比探究： (2)若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，，分别与正方形的边相交于点，．如图，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由． 题型三 十字架模型（共4小题） 9．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图1，在正方形中，分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)如图2，在正方形中，、、、分别是边、、、上的点，且 （a）求证：． （b）求证： （c）若正方形的边长为a，求四边形面积的最小值． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图1，在正方形中，E在边上，F在边上，连接，若． (1)求证：； (2)如图2，连接，若将绕着点E旋转至，连接，连接交于点P． ①求证：点P是中点； ②求证：． 11．（25-26八年级下·云南昆明·期中）在正方形中，E是边上一点（点E不与点C，D重合），连接． (1)如图1，过点A作交于点F． ①求证：． ②求证：． (2)如图2，取的中点M，过点M作交于点F，交于点G．连接，若，求的长． 12．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图1，在正方形中，相交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接DO，当时． ①求证：； ②如图2，当D、O、B三点共线时，求的值． 题型四 垂美四边形（共4小题） 13．（23-24八年级下·福建莆田·期中）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形． (1)如图1，在四边形中，，，问四边形垂直四边形吗？请说明理由； (2)如图2，四边形是垂直四边形，求证：； (3)如图3，中，，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长． 14．（25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，在四边形中，如果，，那么四边形______“垂美四边形”（填“是”或“不是”）． (2)如图2，探究“垂美四边形”的两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． (3)直接运用（2）中“垂美四边形”的性质完成如下问题： ①如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形．连接；与交于点O，已知，，则的中线______． ②如图4，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为“垂美四边形”，请直接写出的长． 15．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，垂美四边形的性质：垂美四边形对边的平方和相等．如图，四边形是垂美四边形，则 证明： ，， ，， ， ， 我们已经通过证明掌握了垂美四边形的性质，接下来我们可以直接使用了，同学们加油！ (1)已知垂美四边形，，，，，则_____． (2)在矩形中，，则的长为多少？ (3)中，，，，以和为直角边作等腰直角和等腰直角，连接、相交于点，连接，则的长为_____． 16．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 (1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______（只填序号）； (2)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (3)【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点O，试探究之间有怎样的数量关系？写出你的猜想 ； (4)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，则长为 ． 题型五 中点四边形（共4小题） 17．（25-26八年级下·吉林松原·期中）【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； (3)根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 (4)如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 18．（25-26八年级下·江苏·期中）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）； (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定．请填写下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (3)证明与表达：根据表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明） 选择图 ，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点， ．求证：四边形是 ． 19．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）【主题学习】定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形．为了探索中点四边形，某校八年级数学兴趣小组开展一次主题学习活动． 【成果展示】经过合作探究，相互交流，各小组将他们的成果进行汇报，部分信息汇总如下： 原四边形 任意四边形 矩形 菱形 图形 中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 发现 任意四边形的中点四边形一定是平行四边形． 对角线 ① 的四边形，它的中点四边形是菱形． 对角线 ② 的四边形，它的中点四边形是矩形． （1）填写上表中的空格①______；②______； 【逆向探究】在探究过程中，有小组提出“正方形的中点四边形是正方形”． （2）判断命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明，如果是假命题，请画图说明． 【拓展延伸】如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，……，如此进行下去，得到四边形． （3）设，，则：四边形的面积等于______，四边形的周长等于______． 20．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 题型六 矩形折叠模型（共4小题） 21．（24-25八年级下·广西防城港·期中）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形； (2)迁移应用： 如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长． 22．（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践 在综合与实践课上，王老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，其中，． (1)操作发现 操作一：如图1，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，与交于点O，将纸片展平再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平，连接得到图2，则四边形是________形．图1中的点O与图2中的点E________（填“一定会”、“一定不会”或“不一定”）重合． (2)实践探究 操作二：如图3，在矩形纸片中，点G为上的动点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接，直接写出的最小值是________． (3)拓展与应用 操作三：如图4，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②直接写出________． 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）综合与实践：折纸中的数学． 【问题背景】（1）在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片按图①所示的方式折叠，使点与点重合，点落到处，折痕为．这时同学们证得是等腰三角形．请你写出同学们的证明过程． 【操作发现】（2）“竞秀”小组将自己的长方形纸片按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分恰好是等边三角形，据此可求出长方形的长、宽之比．请你完成“竞秀”小组的计算，求出长方形的长、宽之比． 【实践探究】（3）“争先”小组将长方形纸片沿折叠，如图③，使点落在边上的处；沿折叠，使点落在处，且过点．试探究四边形是什么特殊四边形，并写出证明过程． 24．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 题型七 半角模型（正方形背景）（共4小题） 25．（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转得到后，解决了这个问题． (1)如图2．①求证：； ②求出、、之间的关系； (2)如图3，等腰直角三角形，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由； 26．（25-26八年级下·广东江门·期中）综合与实践： 【问题情境】：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以A为顶点的，，与，边分别交于E，F两点，易证得． 证明思路：如图2，延长至点H，使，连接，可证，再证，故． 【知识应用】(1)如图2，已知，，则的长为______； (2)如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，，与，边分别交于E，F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓展提升】 (3)若四边形是长与宽不相等的矩形，点E为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明． 27．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）综合与实践： 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程； 【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ； 【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明． 28．（23-24八年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为半角模型． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点．则之间的数量关系为_________． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点，且，求五边形的周长． 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E，F分别在射线上，且．当，，时，请直接写出的周长．    题型八 利用特殊四边形对称性求最值（共4小题） 29．（24-25八年级下·山东淄博·期中）【阅读思考】已知，求的最小值． 分析：如图，我们可以构造边长为1的正方形，为边上的动点．设，则，那么可以用含的式子表示，，问题可以转化为与的和的最小值，用几何知识可以解答． (1)求的最小值； (2)已知，为两个正数，且，运用以上方法求的最小值； (3)借助上述思考过程，求的最大值． 30．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 31．（2025·陕西延安·二模）【问题提出】 （1）如图1，为正方形的对角线，为的中点，为上任意一点，连接，若，则的最小值为___________； 【问题解决】 （2）如图2，是李叔叔家的农场平面示意图，李叔叔欲对该农场进行扩建，扩建部分为，其中点在的延长线上，分别为边的中点，在四边形内养殖家禽，为一道栅栏，经测量，米，为两个饲料储存点，其中为的中点，点在上，现要沿，修建两条运输通道，问运输通道的总长度是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 32．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形D与边长为的正方形按图1位置放置，与在同一直线上，与在同一直线上．连接，，易得且(不需要说明理由)． (1)如下图，小明将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为． ①连接，，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如下图，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如下图，分别取，，，的中点M，N，P，Q，连接，，，，则四边形的形状为______，四边形面积的最大值是______． 题型九 其它模型（手拉手、一线三等角等）（共4小题） 33．（专题8与正方形有关的经典模型-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（人教版�新教材））如图①，以的边为边，向外作正方形，过点A作于点M，过点E作交的延长线于点P． (1)求证：； (2)如图②，若，以为边向外作正方形，连接交于点N．求证：． 34．（福建省泉州市鲤城区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）已知：如图1，在四边形中，，．P是边上一动点，联结，将绕点P顺时针方向旋转，得到，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)M是延长线上一点，联结，且． ①若，求证：； ②如图2，若，，联结、，求证：． 35．（江苏省苏州市苏州工业园区星港学校2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试卷）（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 36．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，，直线，直线，垂足分别为点，．易证：． （1）①如图1，若，，则__________； ②如图2，，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【模型应用】（2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，，求的长； 【拓展探究】（3）如图4，的图象分别交轴和轴于、两点，点是第二象限内一点，使是等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $