期末专项突破之解答题2025-2026学年北师大版八年级下册（六大板块）

**基本信息** 聚焦北师大版八年级下册核心知识，以六大板块构建阶梯式训练体系，通过典型例题强化知识逻辑与解题思维，培养几何直观、推理能力及模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形的证明及其应用|5题|全等证明、角平分线应用、综合计算|从基本性质到复杂图形推理，构建“性质-判定-应用”逻辑链| |不等式与不等式组|5题|解不等式(组)、含参问题、实际应用|从解法规则到参数讨论，体现“概念-解法-建模”递进关系| |图形的平移与旋转|5题|作图、性质应用、动态几何|结合变换性质与坐标运算，强化空间观念与几何直观| |因式分解|5题|公式法、提公因式法、综合应用|从基本方法到多项式变形，形成“方法-技巧-应用”体系| |分式与分式方程|6题|化简、解方程、实际应用|围绕分式运算与方程求解，培养代数变形能力与模型意识| |平行四边形|5题|性质证明、判定应用、综合计算|以平行四边形性质为核心，构建“性质-判定-综合应用”逻辑链|

期末专项突破之解答题2025-2026学年北师大版 八年级下册（六大板块） 板块一：三角形的证明及其应用 1.如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F． （1）求证：∠AEF＝∠AFE； （2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数． 2．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，求证：PM＝PN 3.如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)若，，求的度数． 4.如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 5.已知：如图，点P是等边内的一点，连接、、，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)若∠，，，求的面积． 板块二：不等式与不等式组 1．解下列不等式． （1）； （2）． 2．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 3.已知关于的二元一次方程组（k为常数），满足． (1)求k的取值范围； (2)若该方程组的解均为正数，求k的取值范围． 4．为了让市民树立起“珍惜水、节约水、保护水”的用水理念，居民生活用水按阶梯式计算水价，水价计算方式如表所示，每吨水还需另加污水处理费元．已知乐乐家月份用水吨，交水费元；月份用水吨，交水费元．（提示：水费＝水价＋污水处理费） 用水量 水价（元/吨） 不超过吨 超过吨且不超过吨的部分 超过吨的部分 （1）求，的值； （2）为了节省开支，乐乐计划把月份的水费控制在不超过家庭月收入的．若乐乐家的月收入为元，则乐乐家月份最多能用水多少吨？ 5.污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） 处理污水量（吨）月） 220 180 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元． (1)求a，b的值； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案； (3)在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 板块三：图形的平移与旋转 1.在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点变换为点，点，分别是、的对应点．    (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的关系是__________． 2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，4），B（2，3），C（5，2）．将△ABC向左平移6个单位得到△A1B1C1． （1）①以原点O为旋转中心，将△A1B1C1按逆时针方向旋转90°得△A2B2C2； ②以原点O为旋转中心，将△A1B1C1按逆时针方向旋转180°得△A3B3C3； （2）在（1）的条件下，△ABC与△A3B3C3关于某点成中心对称，则该对称中心坐标为 　 　． 3.如图，公园里有一个长方形花坛，长为2a米，宽为 米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路(阴影部分)，剩余部分栽种花卉；    (1)栽种花卉部分的面积是多少？ (2)当时，面积为多少？ 4．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF． （1）求证：DA∥BC； （2）若BF＝AF＝2，求DF的长． 5．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD＝60°，P为边AB上的动点．连接PC，将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，过点E作EF∥AB，EF交直线AD于点F．连接PF、DE，分别取PF、DE的中点M、N，连接MN，交AD于点Q． （1）若点P与点B重合，则线段MN的长度为 　 　． （2）随着点P的运动，MN与AQ的长度是否发生变化？若不变，求出MN与AQ的长度；若改变，请说明理由． 板块四：因式分解 1.因式分解： （1）；（2）． 2.已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 3.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得：． 则． ． 解得：，． 另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下列问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 4.小伟同学的错题本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母和表示），污染后的习题如下： ． （1）请你帮小伟复原被污染的和处的代数式，并写出练习题的正确答案； （2）爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由． 5.（1）试说明代数式的值与、的值取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 板块五：分式与分式方程 1．计算． (1)(2)． 2．化简： (1) (2) 3．解方程： (1)；(2)． 4．先化简：，再从，，0，1，2中选择一个合适的数，作为的值代入求值． 5.A，B两地相距60km．甲骑自行车从A地出发2小时后，乙骑摩托车从A地出发追赶甲．已知乙的速度是甲的速度的3倍，且甲乙同时到达B地，求甲、乙的速度． 6.某商场准备购进A，B两款净水器，每台A款净水器比B款净水器的进价少600元，用36000元购进A款净水器的台数是用27000元购进B款净水器台数的2倍，A，B两款净水器每台售价分别是1350元、2100元．请解答下列问题： （1）A，B两款净水器每台进价各是多少元？ （2）若该商场用6万元资金全部用于购进A和B两款净水器，购进B款净水器不超过8台，设购进A款净水器a台，则该商场有几种进货方案？ （3）在（2）条件下，为促进销售，商场推出每购买一台净水器可抽奖一次，中奖顾客赠送同款净水器滤芯一个．A，B两款净水器每个滤芯的进价分别是400元、500元．如果这批净水器全部售出，除去奖品的费用后仍获利5250元，那么两款净水器滤芯共赠送多少个？请直接写出答案． 板块六：平行四边形 1.如图，点O是△ABC内部一点，连接OB，OC，并将边AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G顺次连接，DEFG构成四边形，求证：四边形DEFG是平行四边形． 2．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，DE＝4． （1）求证：∠DEA＝90°； （2）求CE的长． 3.如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF． 求证：（1）AE＝CF； （2）四边形AECF是平行四边形． 4.如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数． 5.在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点且AE＝CF，连接DE，BF，AF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若∠DAF＝∠BAF，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长． 【答案】 期末专项突破之解答题2025-2026学年北师大版 八年级下册（六大板块） 板块一：三角形的证明及其应用 1.如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F． （1）求证：∠AEF＝∠AFE； （2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数． 【答案】 解：（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C， ∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C， ∴∠AEF＝∠AFE； （2）∵FE平分∠AFG， ∴∠AFE＝∠GFE， ∵∠AEF＝∠AFE， ∴∠AEF＝∠GFE， ∴FG∥AC， ∵∠C＝30°， ∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°． 2．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，求证：PM＝PN 【答案】证明： 为 的平分线， ， 在 和 中， ， ， ， 点 在 上， ， ， . 3.如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ， ∴； （3）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4.如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：证明如下： ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 5.已知：如图，点P是等边内的一点，连接、、，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)若∠，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：作交的延长线于． 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ． 板块二：不等式与不等式组 1．解下列不等式． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1）∵， ∴， ， ， 则； （2）∵， ∴， ， ， ， 则． 2．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 3.已知关于的二元一次方程组（k为常数），满足． (1)求k的取值范围； (2)若该方程组的解均为正数，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ，得． 因为该方程组的解满足， 所以， 解得； （2）解：解方程组，得， 因为该方程组的解均为正数， 所以， 解得． 4．为了让市民树立起“珍惜水、节约水、保护水”的用水理念，居民生活用水按阶梯式计算水价，水价计算方式如表所示，每吨水还需另加污水处理费元．已知乐乐家月份用水吨，交水费元；月份用水吨，交水费元．（提示：水费＝水价＋污水处理费） 用水量 水价（元/吨） 不超过吨 超过吨且不超过吨的部分 超过吨的部分 （1）求，的值； （2）为了节省开支，乐乐计划把月份的水费控制在不超过家庭月收入的．若乐乐家的月收入为元，则乐乐家月份最多能用水多少吨？ 【答案】（1）m=2.4，n=3.2；（2）小明家月份最多能用水55吨 【详解】解：（1）由题意得， 解得， 即m的值为2.4，n的值为3.2； （2）由（1）得m＝2.4，n＝3.2， 当用水量为30吨时，水费为：20×2.4＋10×3.2＋30×0.6＝98（元）， 2%×11650＝233（元）， ∵233＞98， ∴小明家月份用水量超过30吨． 可设小明家月份用水x吨， 由题意得98＋（2×2.4＋0.6）（x−30）≤233， 解得x≤55， 答：小明家月份最多能用水55吨． 5.污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） 处理污水量（吨）月） 220 180 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元． (1)求a，b的值； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案； (3)在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3)为了节约资金，应选购型设备3台，型设备9台． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． （2）解：设购买污水处理设备型设备台，型设备台，根据题意得， ， ， 取正整数， 、2、3、4， 、10、9、8， 有四种购买方案： ①型设备1台，型设备11台； ②型设备2台，型设备10台； ③型设备3台，型设备9台； ④型设备4台，型设备8台． （3）解：由题意：， ， 又， ， 取正整数， 为3，4． 当时，购买资金为（万元）， 当时，购买资金为（万元）， ， 为了节约资金，应选购型设备3台，型设备9台． 板块三：图形的平移与旋转 1.在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点变换为点，点，分别是、的对应点．    (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的关系是__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：由平移的性质可知． 2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，4），B（2，3），C（5，2）．将△ABC向左平移6个单位得到△A1B1C1． （1）①以原点O为旋转中心，将△A1B1C1按逆时针方向旋转90°得△A2B2C2； ②以原点O为旋转中心，将△A1B1C1按逆时针方向旋转180°得△A3B3C3； （2）在（1）的条件下，△ABC与△A3B3C3关于某点成中心对称，则该对称中心坐标为 　 　． 【答案】解：（1）①如图，△A2B2C2即为所求． ②如图，△A3B3C3即为所求． （2）连接AA3，BB3，CC3，相交于点M， 则△ABC与△A3B3C3关于点M成中心对称， 由图可知，该对称中心坐标为（3，0）． 故答案为：（3，0）． 3.如图，公园里有一个长方形花坛，长为2a米，宽为 米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路(阴影部分)，剩余部分栽种花卉；    (1)栽种花卉部分的面积是多少？ (2)当时，面积为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得， ， 答：栽种花卉部分的面积是． （2）当时，， 答：当时，面积为． 4．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF． （1）求证：DA∥BC； （2）若BF＝AF＝2，求DF的长． 【答案】（1）证明：∵AB＝BD，∠ABD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠DAB＝60°， ∵∠ABC＝60°， ∴AD∥BC； （2）解：∵△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD， 在△ADF和△BDF中， ， ∴△ADF≌△BDF（SSS）， ∴∠ADF＝∠BDF＝30°， ∴DF⊥AB，∠DEB＝∠C＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝180°﹣∠C＝90°， ∵∠ADF＝30°， ∴DF＝2AF＝4． 5．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD＝60°，P为边AB上的动点．连接PC，将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，过点E作EF∥AB，EF交直线AD于点F．连接PF、DE，分别取PF、DE的中点M、N，连接MN，交AD于点Q． （1）若点P与点B重合，则线段MN的长度为 　 　． （2）随着点P的运动，MN与AQ的长度是否发生变化？若不变，求出MN与AQ的长度；若改变，请说明理由． 【答案】解：（1）当点P与点B重合时，点F在点D处，此时E、N、D、F、C共线， 如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝10． 将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，PC＝BC＝PE＝10． 点M、N分别是PF、ED的中点，由中位线可知2MN＝PE＝10． ∴MN＝5． 故答案为：5． （2）结论：不变． 如解图②，连接FN并延长到点G，使得FN＝GN，连接 GE，DG， ∵点N为 DE中点， ∴EN＝DN． ∴四边形GEFD 为平行四边形， ∴GE//AF，GD//EF． 延长EG，BA交于H点，连接PG． ∵GD//EF//HB，HG//AF． ∴四边形HADG为平行四边形， ∴HG＝AD， ∴∠BAD＝∠AHG＝60°． 如解图②，延长AB至点K，使得BK＝BC，连接CK， 在平行四边形ABCD中， ∵∠BAD＝60°， ∴∠CBK＝60°， ∴△BKC是等边三角形， ∴∠K＝60°．KC＝BC＝AD＝10， ∵∠HEP+∠HPE＝120°，∠HPE+∠CPK＝180°﹣60°＝120°， ∴∠HEP＝∠CPK， 又∠K＝∠H＝60°，PE＝PC， ∴△EHP≌△PKC（AAS）． ∴HP＝KC＝AD＝HG＝10， ∴△PGH 为等边三角形． ∵点M、N为PF、GF的中点， ∴MN为△PGF的中位线，MNPG． ∴PG＝HG＝AD＝10． ∴MN＝5．且长度不变； 连接CE， 由△CPE和△GPH都为等边三角形． 由手拉手模型易证△HPE≌△GPC（SAS）． ∴CG＝HE＝AF． 设PG与 AD 交于I点，易证△API和△GDI为等边三角形． 由上可知：△API和△IGD为等边三角形， ∴GD＝ID． ∴AF﹣DI＝CG﹣DG， ∴AI+DF＝DC＝6＝AP+PB， ∵AP＝AI， ∴PB＝DF，设AP＝a， 则PB＝6﹣a＝DF，AI＝AP＝a，ID＝10﹣a， ∴IF＝ID+DF＝10﹣a+6﹣a＝16﹣2a． ∵MN为△GFP的中位线，Q为IF中点， ∴IQIF＝8﹣a， ∴AQ＝AI+IQ＝a+8﹣a＝8． 故MN和AQ的长度都不变． 板块四：因式分解 1.因式分解： （1）；（2）． 【答案】解：（1）； （2） ． 2.已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 【答案】解：设另一个因式为，得 则 ， 解得：， 另一个因式为，的值为65． 3.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得：． 则． ． 解得：，． 另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下列问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】解：另一个因式为， 由题意得：， 即， 则有， 解得， 所以另一个因式为，的值是． 4.小伟同学的错题本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母和表示），污染后的习题如下： ． （1）请你帮小伟复原被污染的和处的代数式，并写出练习题的正确答案； （2）爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由． 【答案】解：（1）由题意得：， ． 正确答案为：． （2）． 这个和能够因式分解， 5.（1）试说明代数式的值与、的值取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】解：（1）代数式的值与的值取值无关系，与的值取值有关系． ， 代数式的值与的值取值无关系，与的值取值有关系． （2） ， 积展开式中不含的一次项，且常数项为， ，， ，． ． （3）设另一个因式为． 根据题意得，， ， ， ，， ，， 另一个因式：，是20． 板块五：分式与分式方程 1．计算． (1)(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 2．化简： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 3．解方程： (1)；(2)． 【答案】(1)(2)无解． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是； （2）解：， ， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是增根， 即分式方程无解． 4．先化简：，再从，，0，1，2中选择一个合适的数，作为的值代入求值． 【答案】，当时，则原式；当时，则原式 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， 当时，则原式；当时，则原式． 5.A，B两地相距60km．甲骑自行车从A地出发2小时后，乙骑摩托车从A地出发追赶甲．已知乙的速度是甲的速度的3倍，且甲乙同时到达B地，求甲、乙的速度． 【答案】解：设甲的速度是xkm/h，则乙的速度是3xkm/h， 依题意得：﹣＝2， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意， ∴3x＝3×20＝60． 答：甲的速度是20km/h，乙的速度是60km/h． 6.某商场准备购进A，B两款净水器，每台A款净水器比B款净水器的进价少600元，用36000元购进A款净水器的台数是用27000元购进B款净水器台数的2倍，A，B两款净水器每台售价分别是1350元、2100元．请解答下列问题： （1）A，B两款净水器每台进价各是多少元？ （2）若该商场用6万元资金全部用于购进A和B两款净水器，购进B款净水器不超过8台，设购进A款净水器a台，则该商场有几种进货方案？ （3）在（2）条件下，为促进销售，商场推出每购买一台净水器可抽奖一次，中奖顾客赠送同款净水器滤芯一个．A，B两款净水器每个滤芯的进价分别是400元、500元．如果这批净水器全部售出，除去奖品的费用后仍获利5250元，那么两款净水器滤芯共赠送多少个？请直接写出答案． 【答案】解：（1）设A款净水器每台x元，B款净水器每台（x+600）元， 根据题意得，＝2×， 解得：x＝1200， 经检验x＝1200是原方程的根， 此时x+600＝1800， 答：A款净水器每台进价是1200元，B款净水器每台进价是1800元； （2）∵购进A款净水器a台， ∴购进B款净水器台， 根据题意得：≤8， 解得：a≥38， ∵a，都是正整数， ∴a＝47，44，41，38；＝2，4，6，8； ∴该商场有4种进货方案； （3）①当A款净水器购进47台，B款净水器购进2台时， 47×（1350﹣1200）+2×（2100﹣1800）﹣5250＝2400 （元）， 400×6+0＝2400 （元）， ∴A款净水器赠送6个，B款净水器赠送0个，两款净水器滤芯共赠送6个； ②当A款净水器购进44台，B款净水器购进4台， 44×（1350﹣1200）+4×（2100﹣1800）﹣5250＝2550 （元）， 由于400、500不管以多少整数倍相加都不等于2550，故不符合题意； ③当A款净水器购进41台，B款净水器购进6台， 41×（1350﹣1200）+6×（2100﹣1800）﹣5250＝2700 （元）， 400×3+500×3＝2700（元）， ∴A款净水器赠送3个，B款净水器赠送3个，两款净水器滤芯共赠送6个； ④当A款净水器购进38台，B款净水器购进8台， 38×（1350﹣1200）+8×（2100﹣1800）﹣5250＝2850 （元）， 由于400、500不管以多少整数倍相加都不等于2850，故不符合题意； 综上所述，两款净水器滤芯共赠送6个． 板块六：平行四边形 1.如图，点O是△ABC内部一点，连接OB，OC，并将边AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G顺次连接，DEFG构成四边形，求证：四边形DEFG是平行四边形． 【答案】证明：∵D，G分别是AB，AC的中点， ∴DG是△ABC的中位线， ∴DG∥BC，DG＝BC． ∵E，F分别是OB，OC的中点， ∴EF是△OBC的中位线， ∴EF∥BC，EF＝BC． ∴DG＝EF，DG∥EF， ∴四边形DEFG是平行四边形． 2．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，DE＝4． （1）求证：∠DEA＝90°； （2）求CE的长． 【答案】（1）证明：∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD， ∴∠BEC＝∠DCE， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BC＝BE＝5， ∴AD＝5， ∵EA＝3，ED＝4，32+42＝52， ∴EA2+ED2＝AD2， ∴△ADE是直角三角形，且∠DEA＝90°； （2）解：由（1）可知，∠DEA＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠CDE＝∠DEA＝90°，CD＝AB＝AE+EB＝3+5＝8， 在Rt△EDC中，由勾股定理得：CE＝＝＝4， 即CE的长为4． 3.如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF． 求证：（1）AE＝CF； （2）四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD． ∴∠ABE＝∠CDF． 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）． ∴AE＝CF． （2）∵△ABE≌△DCF， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∵AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 4.如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）30°． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAF＝∠DCE， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA， ∴ED∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵四边形BEDF是平行四边形， ∴BE＝DF， ∵AB＝DC＝DF， ∴AB＝BE， ∴∠BEA＝∠BAC＝80°， ∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣80°）＝50°， ∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°． 5.在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点且AE＝CF，连接DE，BF，AF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若∠DAF＝∠BAF，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD＝CB， 在△DAE和△BCF中， ， ∴△DAE≌△BCF（SAS）， ∴DE＝BF， ∵AB＝CD，AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF， 即DF＝BE， ∵DE＝BF，BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠DFA＝∠BAF， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠AFD， ∴AD＝DF， ∵四边形DEBF是平行四边形， ∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4， ∴AD＝5， ∵AE＝3，DE＝4， ∴AE2+DE2＝AD2， ∴∠AED＝90°， ∵DE∥BF， ∴∠ABF＝∠AED＝90°， ∴AF＝＝＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $