第1讲：导数的概念及其几何意义10个常考题型归纳讲义-2025-2026学年高二数学下学期人教A版选择性必修第二册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第1讲：导数的概念及其几何意义】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．变化的快慢与变化率 【知识点的认识】 1、平均变化率： 我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即． 2、瞬时变化率： 变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率． 3、导数的概念： 函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即 f′（x0） 【解题方法点拨】 瞬时速度特别提醒： ①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值． ②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限， 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒： ①当△x→0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f（x）在点x0处不可导或无导数． ②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0． ③在点x＝x0处的导数的定义可变形为： f′（x0）或f′（x0） 导函数的特点： ①导数的定义可变形为：f′（x）； ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数； ③可导的周期函数其导函数仍为周期函数； ④并不是所有函数都有导函数． ⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值． ⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）． 2．导数及其几何意义 【知识点的认识】 1、导数的定义 如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）； 如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数． 2、导数的几何意义 函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）． 【解题方法点拨】 （1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）． （2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直． （3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点， （4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行． 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：平均变化率与瞬时变化率】 【练方法】 知识梳理 1.平均变化率函数在区间上的平均变化率为几何意义是割线的斜率 2.瞬时变化率当时平均变化率的极限值即函数在处的导数几何意义是曲线在处切线的斜率 解题思路 1.求平均变化率直接代入公式代入数值化简计算 2.求瞬时变化率先写出平均变化率表达式再对取极限或直接利用导数定义计算 名师点睛 平均变化率与区间有关瞬时变化率与某一点有关 计算极限时优先对分子分母消去再代入避免直接代入出现型 可结合常见函数的导数公式快速验证瞬时变化率的计算结果 【多选题】（25-26高二下·全国·课堂例题）（多选）如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，则下列说法不正确的是（    ）经典例题1例题 A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 （2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（    ）.经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二下·全国·课堂例题）质点P的运动方程为，其中s表示位移（单位：m），t表示时间（单位：s）．小试牛刀1 (1)求质点P在这段时间内的平均速度； (2)求质点P在时的瞬时速度． （25-26高二上·上海·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则该质点在时的瞬时速度为__________.小试牛刀2 （24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示.小试牛刀3 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【题型2：导数的概念与极限的计算】 【练方法】 知识梳理 1.导数定义也可表示为 2.极限计算核心对分式型极限优先因式分解、有理化消去零因子后再求极限 解题思路 1.凑定义形式将待求极限式变形为导数定义的标准形式识别和 2.代数变形对分子进行因式分解、平方差/立方差公式展开或有理化处理消去分母中的零因子 3.求极限消去零因子后代入或得到导数的值 名师点睛 常见变形技巧分子有理化适用于含根式的极限因式分解适用于多项式型极限 若极限式可直接对应常见函数的导数公式可直接套用公式快速求解 注意导数定义中极限必须存在若极限不存在则函数在该点不可导 （25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）如果函数在处的导数为1，则（    ）经典例题1例题 A．1 B． C．2 D． 【多选题】（25-26高三上·福建福州·月考）设是函数的导数，若，且对任意的，有，则下列各项正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026高三·全国·专题练习）已知函数在处可导，若，则（    ）小试牛刀1 A．4 B．6 C． D． （25-26高二上·湖北武汉·期末）已知，则的值为______小试牛刀2 （25-26高二上·广东河源·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则_____.小试牛刀3 【题型3：求切线的斜率/倾斜角】 【练方法】 知识梳理 1.核心关系函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率 2.斜率与倾斜角设倾斜角为则当时当时 解题思路 1.求导数计算得到导函数表达式 2.求斜率代入计算 3.求倾斜角根据结合的范围求出倾斜角 名师点睛 切线斜率不存在时倾斜角为此时曲线在该点的切线垂直于轴 计算倾斜角时务必注意的范围避免出现超出范围的角度 若函数在某点不可导切线仍可能存在如在处不可导但有垂直于轴的切线 （25-26高三上·陕西商洛·期末）曲线在处的切线的斜率为（   ）经典例题1例题 A．4 B．3 C． D． （24-25高二下·福建福州·期中）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ）经典例题2例题 A． B． C．1 D． （24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二下·四川绵阳·月考）设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ）小试牛刀2 A．2 B． C．1 D． （24-25高二上·江苏·月考）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：求在某点处的切线方程】 【练方法】 知识梳理 1.核心公式曲线在点处的切线方程为 2.特殊情况当不存在时切线方程为 解题思路 1.求切点确定切点坐标确保点在曲线上 2.求斜率计算代入得切线斜率 3.写方程代入点斜式整理为一般式或斜截式 名师点睛 “在某点处”的切线该点必为切点直接用点斜式即可 若计算出的斜率为0切线方程为是水平直线 整理方程时优先化为最简形式避免出现分数系数 （2026·黑龙江·一模）曲线在处的切线方程为________．经典例题1例题 （25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知，则在处的切线方程为_____.经典例题2例题 （25-26高二上·陕西榆林·期末）设函数，则曲线在，处的切线方程为__________.小试牛刀1 （2026高三·北京·专题练习）已知函数．求曲线在点处的切线方程.小试牛刀2 （25-26高二上·天津河东·月考）曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为_____.小试牛刀3 【题型5：求过某点的切线方程】 【练方法】 知识梳理 1.核心区别“过某点”的切线该点不一定是切点需分“点在曲线上”和“点在曲线外”两种情况 2.解题核心设出切点坐标利用导数表示切线斜率结合点斜式和已知点坐标列方程求解 解题思路 1.判位置判断已知点是否在曲线上 2.设切点若点在曲线上切点可能是该点或其他点若点在曲线外设切点为 3.列方程切线斜率切线方程为将代入方程解出 4.写方程代入求出斜率写出切线方程 名师点睛 已知点在曲线上时可能存在多条切线需验证每一个解的合理性 解方程时优先因式分解避免高次方程的复杂运算 可通过画图辅助判断直观确定切线的条数和大致位置 （25-26高三上·辽宁·月考）过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（    ）经典例题1例题 A．16 B．15 C．10 D．5 （24-25高二下·上海·月考）已知函数，曲线经过点的切线方程为___________.经典例题2例题 （24-25高二下·江西吉安·期末）已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________.小试牛刀1 （2025高三·全国·专题练习）已知函数.求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.小试牛刀2 （24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数小试牛刀3 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 【B·能力提升题型】 【题型1：有切线方程求参数】 【练方法】 知识梳理 1.核心等量关系切线的斜率等于函数在切点处的导数切点既在曲线上又在切线上 2.解题关键建立关于参数的方程组利用“斜率相等”和“点在曲线上”两个条件求解 解题思路 1.求导数计算表示出切点处的斜率 2.列方程组设切点为则 3.解方程组代入含参数的表达式求解参数的值 4.验解验证参数值是否满足函数和切线的约束条件 名师点睛 若切线方程含参数需先将切线方程整理为点斜式明确斜率和截距 方程组可能有多解需结合题意舍去不合理解 对于含多个参数的问题优先消元转化为单参数方程求解 （25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线与曲线在处的切线垂直，则________．经典例题1例题 （25-26高二下·全国·课后作业）直线是曲线的一条切线，则实数的值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （26-27高二上·云南·期末）若直线是曲线（且）的一条切线，则_________．小试牛刀1 （25-26高三上·河北承德·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线方程为___________．小试牛刀2 （25-26高二上·云南昭通·月考）已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ）小试牛刀3 A． B．1 C． D．2 【题型2：公切线问题】 【练方法】 知识梳理 1.公切线定义同时与两条曲线相切的直线分为“外公切线”和“内公切线” 2.核心条件公切线在两个切点处的斜率相等且切线方程表示形式一致 解题思路 1.设切点分别设公切线与曲线的切点为与曲线的切点为 2.表斜率与方程分别写出以及两条曲线的切线方程 3.列方程令两条切线方程的斜率和截距分别相等建立方程组 4.解方程组求出进而求出公切线方程 名师点睛 公切线问题的核心是“斜率相等”和“方程同解”两个条件缺一不可 若两条曲线为二次函数可结合判别式法即切线与曲线联立后求解 注意公切线的条数可能有1条、2条或多条需全面求解 （2026·浙江·模拟预测）已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________.经典例题1例题 （25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______.经典例题2例题 （2025高二·全国·专题练习）若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则_________．小试牛刀1 （25-26高三上·陕西西安·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ）小试牛刀2 A． B．2 C． D．2 （24-25高二下·广东深圳·期末）直线与函数和的图象都相切，则______．小试牛刀3 【题型3：切线的平行垂直重合】 【练方法】 知识梳理 1.切线平行两条切线的斜率相等但截距不同 2.切线重合两条切线的斜率和截距都相等 3.核心工具导函数的值域决定切线斜率的可能取值结合直线平行、重合的条件列方程 解题思路 1.求导函数计算两个函数的导函数和 2.列平行条件令求解自变量的取值再验证切线截距是否不同 3.列重合条件令且切线方程的截距相等建立方程组求解 4.得结论根据求解结果判断切线平行或重合的情况 名师点睛 切线平行时需保证两条切线不重合避免误判 对于含参数的函数导函数的单调性决定了斜率的取值范围可结合单调性求最值 重合问题可转化为“切线方程完全相同”即斜率和截距分别相等 （2024高三下·全国·专题练习）已知函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在这两点处的切线重合，则点的横坐标的取值范围可能是（    ）经典例题1例题 A．， B． C．， D． （2024·北京朝阳·一模）已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为_________.经典例题2例题 （23-24高三下·重庆·月考）已知函数的图象在点和处的两条切线互相垂直，且分别交轴于两点，则的取值范围为__________.小试牛刀1 （23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知，，若与的图象在交点处的切线重合，则______．小试牛刀2 （22-23高三上·江西吉安·期末）已知函数图像在点和点处的两条切线互相垂直，若，则实数a的范围是________．小试牛刀3 【题型4：切线条数问题】 【练方法】 知识梳理 1.核心本质切线条数等价于“过已知点作曲线的切线切点的个数” 2.转化思路将切线条数问题转化为方程解的个数问题利用函数单调性、极值判断方程解的个数 解题思路 1.设切点设切点为写出切线方程 2.代入已知点将已知点代入切线方程整理得到关于的方程 3.分析方程解的个数求研究的单调性、极值结合函数图像判断零点个数 4.得结论零点个数即为切线条数 名师点睛 切线条数问题常转化为三次方程解的个数需重点分析三次函数的极值符号 若的极大值>0且极小值<0方程有3个解对应3条切线以此类推 可结合数形结合法直观判断切线条数辅助验证代数计算结果 （2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（    ）经典例题1例题 A．1 B．2 C．3 D．4 （24-25高二下·江西·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （23-24高二下·湖北·期末）过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是__________.小试牛刀1 （23-24高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______.小试牛刀3 【题型5：切线方程的综合题型】 【练方法】 知识梳理 1.综合载体切线问题与函数单调性、极值、最值、不等式等结合 2.核心思路以切线的斜率、方程为桥梁连接导数与函数的其他性质分步拆解问题 解题思路 1.拆解问题将综合问题分解为“求切线方程”“利用切线条件求参数”“分析函数性质”等基础步骤 2.分步求解先根据切线条件求出参数或切点再利用导数研究函数的单调性、极值等性质 3.整合结论将各步骤的结果结合解决最终的综合问题如证明不等式、求最值范围等 名师点睛 综合题型的关键是“抓主线”切线条件通常是解题的突破口先利用切线求出核心参数 结合函数图像分析可快速找到解题方向避免复杂的代数运算 注意各知识点之间的关联如切线斜率与函数单调性的关系切线方程与不等式的结合 （23-24高二下·福建宁德·月考）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（   ）经典例题1例题 A．1 B．2 C． D． （23-24高二下·江苏扬州·月考）已知实数，，，满足，则的最小值为（   ）经典例题2例题 A．1 B．2 C．3 D．4 （23-24高三下·湖南长沙·月考）已知动点在圆上，动点Q在曲线上．若对任意的，恒成立，则的最大值是______．小试牛刀1 （24-25高三上·北京朝阳·期中）已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高三下·河北·月考）已知函数，若方程恰有四个不同实数根，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·陕西·月考）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，则当其瞬时速度为时，（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 3．（23-24高二下·湖北·月考）函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京朝阳·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 5．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 7．（25-26高三上·四川成都·月考）已知为函数的导函数，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．2024 8．（25-26高三上·广东·月考）已知曲线在点处的切线与曲线恰有两个交点，若关于对称，则实数（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·江苏·月考）已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·广东深圳·期末）若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（   ） A．0 B．4 C．-6 D．4或-6 二、填空题 11．（24-25高二下·重庆·月考）设函数，当x由1变到时，的平均变化率为____. 12．（2025·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_______． 13．（24-25高三上·福建厦门·月考）若直线是函数的一条切线，则的最小值为_____. 14．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知函数，若方程有个不同的实根，则非零实数的取值范围是___________ 15．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知函数的图象与直线相切，则实数________． 16．（24-25高三上·福建漳州·月考）若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则______. 17．（2025·辽宁·模拟预测）已知点，点，则的最小值为__________． 三、解答题 18．（25-26高二上·湖南岳阳·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程 (2)若曲线在点处的切线方程与曲线也相切，求的值. 19．（25-26高三上·北京·月考）已知函数（），.记，已知曲线在点 处的切线方程为. (1)求实数，的值： (2)若直线既是曲线的切线又是曲线的切线，试判断的条数，并给出证明. 20．（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第1讲：导数的概念及其几何意义】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．变化的快慢与变化率 【知识点的认识】 1、平均变化率： 我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即． 2、瞬时变化率： 变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率． 3、导数的概念： 函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即 f′（x0） 【解题方法点拨】 瞬时速度特别提醒： ①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值． ②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限， 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒： ①当△x→0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f（x）在点x0处不可导或无导数． ②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0． ③在点x＝x0处的导数的定义可变形为： f′（x0）或f′（x0） 导函数的特点： ①导数的定义可变形为：f′（x）； ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数； ③可导的周期函数其导函数仍为周期函数； ④并不是所有函数都有导函数． ⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值． ⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）． 2．导数及其几何意义 【知识点的认识】 1、导数的定义 如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）； 如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数． 2、导数的几何意义 函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）． 【解题方法点拨】 （1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）． （2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直． （3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点， （4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行． 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：平均变化率与瞬时变化率】 【练方法】 知识梳理 1.平均变化率函数在区间上的平均变化率为几何意义是割线的斜率 2.瞬时变化率当时平均变化率的极限值即函数在处的导数几何意义是曲线在处切线的斜率 解题思路 1.求平均变化率直接代入公式代入数值化简计算 2.求瞬时变化率先写出平均变化率表达式再对取极限或直接利用导数定义计算 名师点睛 平均变化率与区间有关瞬时变化率与某一点有关 计算极限时优先对分子分母消去再代入避免直接代入出现型 可结合常见函数的导数公式快速验证瞬时变化率的计算结果 【多选题】（25-26高二下·全国·课堂例题）（多选）如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，则下列说法不正确的是（    ）经典例题1例题 A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【答案】ABD 【分析】利用平均速度的计算公式依次判断选项即可. 【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A，B错误； 在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为． 因为，所以，故C正确，D错误． 故选：ABD （2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（    ）.经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求解即可得答案. 【详解】由题可得瞬时速度, 当位移时，可得，解得：,所以, 所以, 则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为， 故选：A （25-26高二下·全国·课堂例题）质点P的运动方程为，其中s表示位移（单位：m），t表示时间（单位：s）．小试牛刀1 (1)求质点P在这段时间内的平均速度； (2)求质点P在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）据公式计算即可；（2）结合瞬时速度的含义，求出趋于0时的平均速度极限值即可. 【详解】（1）因为， 所以质点P在这段时间内的平均速度为 ． （2）由（1）知， 当趋于0时，趋于， 所以质点P在时的瞬时速度为． （25-26高二上·上海·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则该质点在时的瞬时速度为__________.小试牛刀2 【答案】 【分析】先求，再求，最后取极限即可求解. 【详解】令， 所以，， 所以， 所以， 故答案为： （24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示.小试牛刀3 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【详解】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 【题型2：导数的概念与极限的计算】 【练方法】 知识梳理 1.导数定义也可表示为 2.极限计算核心对分式型极限优先因式分解、有理化消去零因子后再求极限 解题思路 1.凑定义形式将待求极限式变形为导数定义的标准形式识别和 2.代数变形对分子进行因式分解、平方差/立方差公式展开或有理化处理消去分母中的零因子 3.求极限消去零因子后代入或得到导数的值 名师点睛 常见变形技巧分子有理化适用于含根式的极限因式分解适用于多项式型极限 若极限式可直接对应常见函数的导数公式可直接套用公式快速求解 注意导数定义中极限必须存在若极限不存在则函数在该点不可导 （25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）如果函数在处的导数为1，则（    ）经典例题1例题 A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】因为函数在处的导数为1， 所以， 故选：C 【多选题】（25-26高三上·福建福州·月考）设是函数的导数，若，且对任意的，有，则下列各项正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用导数的几何意义，通过数形结合来作出各选项判断. 【详解】因为，所以在上是单调递增函数，即，故A正确； 因为对任意的，有， 所以在上是一个上凸函数，如图： 根据导数的几何意义，结合图象和可知：随着的增大，在点处的切线斜率越来越小，即在上单调递减，即，故B错误； 由上图可知：在的切线斜率大于两点的斜率，即， 又由图可知：在的切线斜率小于两点的斜率，即，故C正确； 根据导数的几何意义，结合图象和可知：随着的增大，在点处的切线斜率越来越小，且斜率变化率越来越慢，所以是一个下凹函数， 根据图象可知斜率小于斜率，即有，故D错误； 故选：AC （2026高三·全国·专题练习）已知函数在处可导，若，则（    ）小试牛刀1 A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】应用导数定义计算求解. 【详解】因为 ，所以. 故选：A. （25-26高二上·湖北武汉·期末）已知，则的值为______小试牛刀2 【答案】 【分析】利用导数的定义式直接求解即可. 【详解】由题意得， 则. 故答案为： （25-26高二上·广东河源·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则_____.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据导数的定义计算即可. 【详解】因为是定义在上的可导函数，， 则. 故答案为：. 【题型3：求切线的斜率/倾斜角】 【练方法】 知识梳理 1.核心关系函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率 2.斜率与倾斜角设倾斜角为则当时当时 解题思路 1.求导数计算得到导函数表达式 2.求斜率代入计算 3.求倾斜角根据结合的范围求出倾斜角 名师点睛 切线斜率不存在时倾斜角为此时曲线在该点的切线垂直于轴 计算倾斜角时务必注意的范围避免出现超出范围的角度 若函数在某点不可导切线仍可能存在如在处不可导但有垂直于轴的切线 （25-26高三上·陕西商洛·期末）曲线在处的切线的斜率为（   ）经典例题1例题 A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】利用导数来求斜率即可. 【详解】由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为. 故选：B. （24-25高二下·福建福州·期中）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ）经典例题2例题 A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用导数定义以及导数的几何意义计算即可. 【详解】易知曲线在点处的切线斜率为， 所以. 故选：D （24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义分别代入计算可得结果. 【详解】将3代入直线方程可得， 易知切线的斜率为，所以； 因此与分别为. 故选：A （24-25高二下·四川绵阳·月考）设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ）小试牛刀2 A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】由导数的几何意义，可知曲线在点处的切线斜率为， 根据导数概念，， 又， 所以. 故选：C. （24-25高二上·江苏·月考）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合导数的几何意义求出切线的斜率的取值范围，进而根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围，即可求出结果. 【详解】由题意得，即， 又，所以， 故选：D. 【题型4：求在某点处的切线方程】 【练方法】 知识梳理 1.核心公式曲线在点处的切线方程为 2.特殊情况当不存在时切线方程为 解题思路 1.求切点确定切点坐标确保点在曲线上 2.求斜率计算代入得切线斜率 3.写方程代入点斜式整理为一般式或斜截式 名师点睛 “在某点处”的切线该点必为切点直接用点斜式即可 若计算出的斜率为0切线方程为是水平直线 整理方程时优先化为最简形式避免出现分数系数 （2026·黑龙江·一模）曲线在处的切线方程为________．经典例题1例题 【答案】 【分析】求出函数的导函数，代入即可求出切线的斜率，再利用点斜式即可得到切线方程. 【详解】函数，求导得，则，切点， 由点斜式得切线方程为，整理得． 故答案为：. （25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知，则在处的切线方程为_____.经典例题2例题 【答案】 【分析】求出，将代入，解出，利用导数的几何意义求出即为切线的斜率，将代入，求出即为切点的纵坐标，利用点斜式得到切线方程. 【详解】由，得，令，则，解得，所以， 所以在处的切线方程的斜率为， 又， 所以切线方程为：，即. 故答案为：. （25-26高二上·陕西榆林·期末）设函数，则曲线在，处的切线方程为__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为： （2026高三·北京·专题练习）已知函数．求曲线在点处的切线方程.小试牛刀2 【答案】 【分析】先求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解； 【详解】，， ，， 所以在点处的切线方程为， 整理得：； （25-26高二上·天津河东·月考）曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为_____.小试牛刀3 【答案】 【分析】先求得切线方程为，再作出对应的三角形，并计算面积. 【详解】由题，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 故得，即交点为； 得，即交点为； 得，即交点为； 如图，阴影部分即为围成的三角形，面积为. 故答案为： 【题型5：求过某点的切线方程】 【练方法】 知识梳理 1.核心区别“过某点”的切线该点不一定是切点需分“点在曲线上”和“点在曲线外”两种情况 2.解题核心设出切点坐标利用导数表示切线斜率结合点斜式和已知点坐标列方程求解 解题思路 1.判位置判断已知点是否在曲线上 2.设切点若点在曲线上切点可能是该点或其他点若点在曲线外设切点为 3.列方程切线斜率切线方程为将代入方程解出 4.写方程代入求出斜率写出切线方程 名师点睛 已知点在曲线上时可能存在多条切线需验证每一个解的合理性 解方程时优先因式分解避免高次方程的复杂运算 可通过画图辅助判断直观确定切线的条数和大致位置 （25-26高三上·辽宁·月考）过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（    ）经典例题1例题 A．16 B．15 C．10 D．5 【答案】A 【分析】解法一：先设出切点坐标，再对求导找到切线的斜率，再根据切点在曲线上得出，由点斜式写出切线方程，又因为切线过点，求出，得到切点坐标，进而可求线段及到的距离最后计算出的面积； 解法二：先设出切线方程与曲线方程联立通过得出切线的斜率进而得到切点坐标，进而可求线段及到的距离最后计算出的面积. 【详解】解法一：因为，所以， 设切点，所以在处的切线斜率， 所以在处的切线方程为， 又点在曲线上，所以， 所以在处的切线方程为， 因为此切线过点，所以）， 解得，即，当时，，当时，， 所以不妨设，所以直线的方程为， 整理得，又到的距离， 则. 解法二：过原点且斜率不存在的直线为易知它与曲线相交， 故过原点且与曲线相切的直线斜率存在， 设切线方程为，切点为，，联立， 整理得0，令，得或， 由，得，所以， 当时，，当时，， 不妨设，所以， 所以直线的方程为，即0， 又到的距离，则. 故选：A （24-25高二下·上海·月考）已知函数，曲线经过点的切线方程为___________.经典例题2例题 【答案】或 【分析】求导，设切点，求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，又切线过，将 代入切线方程得到的方程，解出的值，代入切线方程得解. 【详解】， 则设切点为， 可得过点的切线方程为， 代入点的坐标有， 整理为 因式分解为， 即， 解得或. ①当时，所求切线方程为， 整理为； ②当时，所求切线方程为， 整理为， 故曲线经过点的切线方程为或. 故答案为：或. （24-25高二下·江西吉安·期末）已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】首先讨论当时，去绝对值得到函数的解析式，然后求导求出切线斜率，然后将点代入得到切线方程，最后根据函数是偶函数，可求出时的切线方程，从而得到答案. 【详解】当时，，设切点为， 则切线斜率为，那么切线方程为， 将代入方程中解得，故切线方程为； 由于为偶函数，其图像关于轴对称， 故当时，切线方程为. 综上可知，切线方程为和. 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习）已知函数.求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.小试牛刀2 【答案】和 【分析】首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则：， 整理可得：，即：， 解得：，则， 切线方程为：， 与联立得， 化简得，由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为 解得，， 综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和. （24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数小试牛刀3 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用商的导数来求正切函数的导数，即可求在某点处的切线方程； （2）利用导数公式来求经过某点的切线方程. 【详解】（1）由， 则，， 则所求的切线方程为：， 即 （2）由，设切点为， 则， 切线方程为： 又在切线上，则，得. 所以的方程为：， 即 【B·能力提升题型】 【题型1：有切线方程求参数】 【练方法】 知识梳理 1.核心等量关系切线的斜率等于函数在切点处的导数切点既在曲线上又在切线上 2.解题关键建立关于参数的方程组利用“斜率相等”和“点在曲线上”两个条件求解 解题思路 1.求导数计算表示出切点处的斜率 2.列方程组设切点为则 3.解方程组代入含参数的表达式求解参数的值 4.验解验证参数值是否满足函数和切线的约束条件 名师点睛 若切线方程含参数需先将切线方程整理为点斜式明确斜率和截距 方程组可能有多解需结合题意舍去不合理解 对于含多个参数的问题优先消元转化为单参数方程求解 （25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线与曲线在处的切线垂直，则________．经典例题1例题 【答案】 【分析】先对曲线求导得到在处的切线斜率，再利用两直线垂直时斜率乘积为的关系求出参数的值. 【详解】，则曲线在处的切线的斜率， 由切线垂直得：，即． 故答案为： （25-26高二下·全国·课后作业）直线是曲线的一条切线，则实数的值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线斜率，求出切点坐标，代入切线方程，即可得出结果. 【详解】因为的导数，所以令，得，所以切点为． 代入直线，得． 故选：C （26-27高二上·云南·期末）若直线是曲线（且）的一条切线，则_________．小试牛刀1 【答案】 【分析】设曲线，求导得，由切线方程得出，设，验证解的唯一性. 【详解】设切点坐标为，曲线， 求导得， 由题知， 显然，即， ，得， 即，则， 即，代入， 化简得，即，即 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又，故， 故． 故答案为：． （25-26高三上·河北承德·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线方程为___________．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据两直线垂直的关系得到切线斜率，再利用点在的图象上求出，利用点斜式写出直线方程即可. 【详解】由直线与切线垂直可得切线斜率， 又，即， 所以，解得得， 即切点坐标为， 故切线方程为，整理得：. 故答案为： （25-26高二上·云南昭通·月考）已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ）小试牛刀3 A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再设出切点为，再利用导数的几何意义求解作答. 【详解】由，则， 设直线与曲线相切的切点为， 则根据题意可知且，解得，故B正确. 故选：B. 【题型2：公切线问题】 【练方法】 知识梳理 1.公切线定义同时与两条曲线相切的直线分为“外公切线”和“内公切线” 2.核心条件公切线在两个切点处的斜率相等且切线方程表示形式一致 解题思路 1.设切点分别设公切线与曲线的切点为与曲线的切点为 2.表斜率与方程分别写出以及两条曲线的切线方程 3.列方程令两条切线方程的斜率和截距分别相等建立方程组 4.解方程组求出进而求出公切线方程 名师点睛 公切线问题的核心是“斜率相等”和“方程同解”两个条件缺一不可 若两条曲线为二次函数可结合判别式法即切线与曲线联立后求解 注意公切线的条数可能有1条、2条或多条需全面求解 （2026·浙江·模拟预测）已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________.经典例题1例题 【答案】/ 【分析】首先设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求切点坐标和切线方程，再设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求实数的值. 【详解】，设直线l与曲线切于点， 则，得，所以直线l的方程为， 设直线l与曲线切于点，则， 所以点在直线l上，故，得. 故答案为： （25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______.经典例题2例题 【答案】 【分析】应用导数的几何意义求得在处的切线，对求导，结合已知得切点在直线上，即可得. 【详解】由题设，则，则处切线为，即， 对于，有，又也是的切线， 令，可得，则，即切点在直线上， 所以 . 故答案为：2 （2025高二·全国·专题练习）若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则_________．小试牛刀1 【答案】 【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，利用导数求得切线方程，由斜率及在轴上的截距相等列式求得切点，代入切线方程求解值． 【详解】设直线与曲线相切于， 则直线方程为 ； 设直线与曲线相切于点， 则直线方程为 ． 得， 得， 该直线与曲线相切于， 即，得． 故答案为：． （25-26高三上·陕西西安·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ）小试牛刀2 A． B．2 C． D．2 【答案】B 【分析】设出两个切点的横坐标，根据公切线可得关于切点横坐标的方程组，求出其解后可得直线的斜率. 【详解】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. （24-25高二下·广东深圳·期末）直线与函数和的图象都相切，则______．小试牛刀3 【答案】 【分析】设直线与函数图象的切点为，设直线与函数图象的切点为，利用导数的几何意义可得出关于直线的两种形式，求出、的值，可得出、的值，即可得出结果. 【详解】设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 所以，由可得， 所以，解得，故， 则，故. 故答案为：. 【题型3：切线的平行垂直重合】 【练方法】 知识梳理 1.切线平行两条切线的斜率相等但截距不同 2.切线重合两条切线的斜率和截距都相等 3.核心工具导函数的值域决定切线斜率的可能取值结合直线平行、重合的条件列方程 解题思路 1.求导函数计算两个函数的导函数和 2.列平行条件令求解自变量的取值再验证切线截距是否不同 3.列重合条件令且切线方程的截距相等建立方程组求解 4.得结论根据求解结果判断切线平行或重合的情况 名师点睛 切线平行时需保证两条切线不重合避免误判 对于含参数的函数导函数的单调性决定了斜率的取值范围可结合单调性求最值 重合问题可转化为“切线方程完全相同”即斜率和截距分别相等 （2024高三下·全国·专题练习）已知函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在这两点处的切线重合，则点的横坐标的取值范围可能是（    ）经典例题1例题 A．， B． C．， D． 【答案】A 【分析】方法一：设，，不妨设，利用导数的几何意义判断出，写出函数在两点处的切线方程，再根据两直线重合列式，消去，得，构造函数，由，，可求出结果. 方法二：易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线，两区间一定属于同一单调区间，分析函数的单调区间即可得出结果. 【详解】解法一： 当时，的导数为； 当时，的导数为， 设，为该函数图象上的两点，且， 当，或时，，故， 当时，函数在点处的切线方程为；当时，函数在点处的切线方程为． 两直线重合的充要条件是①，②， 由得，由①②可得， 设，由，，可得，可能； 由，B不正确； 由①可得，由②可得，即有，则C，D不正确． 解法二： 如图，易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线，两区间一定属于同一单调区间，时，属于单调增区间，故当时，的单调增区间为，根据图像，可以位于此区间，另一个点B所在区间，不好把握. 故选：A． （2024·北京朝阳·一模）已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为_________.经典例题2例题 【答案】(答案不唯一) 【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知，，再根据函数的取值，即可求解. 【详解】，由题意可知，， 即，所以，得，，， 或，得，，， 所以，，, 所以的一个取值为. 故答案为：(答案不唯一) （23-24高三下·重庆·月考）已知函数的图象在点和处的两条切线互相垂直，且分别交轴于两点，则的取值范围为__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】由题意分别表示出，，两直线相互垂直可得，进而根据切线方程，结合两点间的距离公式可得，再根据求解即可. 【详解】作图可得的零点为1，故不妨设，， 则，， 当时，， 当时， 由导数的几何意义知，． 因为的图象在P，Q两点处的切线互相垂直，所以，即． 因为：，即， ：，即， 则，，因为，且， 故，故的取值范围为. 故答案为： （23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知，，若与的图象在交点处的切线重合，则______．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】设与的图象交点为，再根据导数的几何意义列方程化简求解即可. 【详解】设与的图象交点为，则，即，故. 又则，解得，则. 故答案为： （22-23高三上·江西吉安·期末）已知函数图像在点和点处的两条切线互相垂直，若，则实数a的范围是________．小试牛刀3 【答案】 【分析】假设两切点坐标，得出对应的切线的斜率，分析题意可得，即可解得a的范围. 【详解】解：由题意，则 不妨设，点和点，两切线的斜率分别为， ∴，∴， ∴等价于， 等价于或 解得，或．故a的范围是． 故答案为：. 【题型4：切线条数问题】 【练方法】 知识梳理 1.核心本质切线条数等价于“过已知点作曲线的切线切点的个数” 2.转化思路将切线条数问题转化为方程解的个数问题利用函数单调性、极值判断方程解的个数 解题思路 1.设切点设切点为写出切线方程 2.代入已知点将已知点代入切线方程整理得到关于的方程 3.分析方程解的个数求研究的单调性、极值结合函数图像判断零点个数 4.得结论零点个数即为切线条数 名师点睛 切线条数问题常转化为三次方程解的个数需重点分析三次函数的极值符号 若的极大值>0且极小值<0方程有3个解对应3条切线以此类推 可结合数形结合法直观判断切线条数辅助验证代数计算结果 （2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（    ）经典例题1例题 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得. 【详解】， ， 设切点为，切线方程为， 将原点代入切线方程可得， 所以， 化简可得，解得或， 当时，，，切线方程为； 当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为； 所以共有3条不同的切线. 故选：C （24-25高二下·江西·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围. 【详解】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故答案为：D. （23-24高二下·湖北·期末）过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】设切点，即可求解切线方程， 将代入切线方程中得，构造，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】由得， 设直线与曲线的切点为，则切线方程为， 将代入切线方程中得. 令，则，令，解得， 所以在和单调递减，在单调递增， 且当时，，当时，，而，， 要使只有一个实数根，则. 故答案为： （23-24高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有实数根，求得的取值范围. 【详解】∵， ∴， 设切点为，则，切线斜率， ∴切线方程为， ∵切线过原点， ∴，整理得： ∵存在过坐标原点的切线， ∴，解得或， ∴实数的取值范围是. 故选：B. （23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______.小试牛刀3 【答案】 【分析】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【题型5：切线方程的综合题型】 【练方法】 知识梳理 1.综合载体切线问题与函数单调性、极值、最值、不等式等结合 2.核心思路以切线的斜率、方程为桥梁连接导数与函数的其他性质分步拆解问题 解题思路 1.拆解问题将综合问题分解为“求切线方程”“利用切线条件求参数”“分析函数性质”等基础步骤 2.分步求解先根据切线条件求出参数或切点再利用导数研究函数的单调性、极值等性质 3.整合结论将各步骤的结果结合解决最终的综合问题如证明不等式、求最值范围等 名师点睛 综合题型的关键是“抓主线”切线条件通常是解题的突破口先利用切线求出核心参数 结合函数图像分析可快速找到解题方向避免复杂的代数运算 注意各知识点之间的关联如切线斜率与函数单调性的关系切线方程与不等式的结合 （23-24高二下·福建宁德·月考）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（   ）经典例题1例题 A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】求的最小值转化为求到直线的最小距离，然后求曲线上斜率为1的切线方程式.进一步解析即可得出答案. 【详解】 和互为反函数，问题可以转化为直线到距离的两倍. 令得故切点为 由，所以. 故选：C. （23-24高二下·江苏扬州·月考）已知实数，，，满足，则的最小值为（   ）经典例题2例题 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 将的最小值转化为直线上的点与函数上的点间距离最小值的平方，由导数的几何意义求函数的切线，从而得解. 【详解】由已知， 则，即为直线上的点， 为函数上的点， 则， 设与相切，由， 则，可得，所以切点为，则， 则切点到直线的距离为， 所以最小值为2. 故选：B. （23-24高三下·湖南长沙·月考）已知动点在圆上，动点Q在曲线上．若对任意的，恒成立，则的最大值是______．小试牛刀1 【答案】 【分析】求得圆心的轨迹，结合导数的几何意义，求得的最小值，再求的最小值即可. 【详解】由题意可知的圆心在直线上， 曲线， ，曲线在点处的切线为，与平行； 故曲线上的动点Q到直线的最小距离为到的距离为， 因此，故n的最大值是． 故答案为：. （24-25高三上·北京朝阳·期中）已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过导数求出直线与分段函数各段相切对应的值，并结合图象即可求解. 【详解】当时，函数，则， 令，解得， 故直线与相切，即. 当时，函数，则， 令，解得， 故直线与相切，即. 如图所示，当或时，直线与分段函数有且仅有一个公共点. 故实数的取值范围为或. 故选：B. （24-25高三下·河北·月考）已知函数，若方程恰有四个不同实数根，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，作出函数的图象，然后求得与相切时的值，然后分，以及讨论两函数图像交点个数，即可得到结果. 【详解】如图所示，作出函数的图象， 易知， 先求与相切时的值， 设切点为，则切线方程为， 将代入，化简得，易知函数单调递增，，所以， 所以当时，与有两个交点； 当时，与有一个交点， 当时，与没有交点. 易知两函数图象均关于对称，可联立 得，，则， 此时切点横坐标为， 当过点时，， 所以当时，与有两个交点； 当时，与没有交点； 当时，与有三个交点. 综上，若与有四个交点， 则， 故选：D. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·陕西·月考）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，则当其瞬时速度为时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的意义求解． 【详解】根据导数定义， 令，即，得， 故选：B． 2．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义直接求得. 【详解】由题意可知， . 故选：D. 3．（23-24高二下·湖北·月考）函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义和两点的斜率公式，结合图像判断即可. 【详解】设，，由图可得， 而， 故. 故选：C. 4．（23-24高二上·北京朝阳·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【分析】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 【详解】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误； 选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误； 选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确. 故选：D. 5．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义即可求解． 【详解】， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以切线斜率，解得． 故选：D． 6．（2025高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】首先利用导数求解曲线的切线方程，并求解出切线与坐标轴的交点坐标，最后再根据面积公式进行求解即可. 【详解】已知，得：，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得. 直线与轴交于点，与轴交于点， 因此所求三角形的面积为. 故选：A 7．（25-26高三上·四川成都·月考）已知为函数的导函数，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．2024 【答案】B 【分析】求出导数，代入计算即可. 【详解】由题可得：，所以， 则, 则, 则. 故选：B 8．（25-26高三上·广东·月考）已知曲线在点处的切线与曲线恰有两个交点，若关于对称，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数几何意义可求得切线方程，利用对称性可知，，可知为一元二次方程的两个不等实根，解出方程的根后，代入直线与曲线相交的方程可化简整理求得结果. 【详解】，曲线在点处的切线斜率， 切线方程为：， 设， 则，，即， ，， ， 当，即时，切线方程为：，与有唯一交点，不合题意； 当时，由，知为一元二次方程的两个不等实根， ，又，； 不妨令， 代入得：， 设，则， ， ； 则当时，等号成立，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与曲线交点相关问题的求解，解题关键是根据韦达定理得到为一元二次方程的两个不等实根，进而用表示出方程的根，代入已知方程来进行求解. 9．（25-26高三上·江苏·月考）已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数在分界点处有公切线，从而猜想点在公切线上即可求解. 【详解】作出函数的图象， 求导得：， 由于函数在处的切线为， 而函数在处的切线为， 由于两分段函数在分界点处的切线相同， 所以可取公切线上的点，再作函数的另一条切线即可， 根据选项分析，只有在公切线上， 故选：B 10．（24-25高二下·广东深圳·期末）若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（   ） A．0 B．4 C．-6 D．4或-6 【答案】B 【分析】利用导数求曲线上一点到直线的最小距离，先在曲线上求与直线平行的直线，得到切点，再求切点到直线的距离即可. 【详解】由，求导得，其中直线的斜率为2， 令，解得： 当时，则，故到直线的距离最小， 由点到直线的距离公式得最小值为，解得或， 且时，曲线与直线有交点，距离最小值为0，舍去． 故选：B. 二、填空题 11．（24-25高二下·重庆·月考）设函数，当x由1变到时，的平均变化率为____. 【答案】 【分析】直接根据平均变化率的定义可得. 【详解】因为函数，， ∵，∴当x由1变到时，的平均变化率为. 故答案为： 12．（2025·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_______． 【答案】 【分析】先求出的导函数，将切点的横坐标代入求出的是切线的斜率，利用点斜式得到的切线方程，这个切线方程就是曲线的切线方程，求的导函数，则这个等于切线的斜率，从中求出曲线的切线的切点的横坐标，将其代入切线方程，从而得到曲线的切线的切点，将这个切点代入得到值. 【详解】由，求导可得，将切点的横坐标代入， 得到切线的斜率，则切线方程为，即， 由，求导可得， 由曲线在点处的切线与曲线相切， 则曲线的切线为， 令，解得， 将代入，可得，得到曲线上切线的切点为， 将代入，可得，解得． 故答案为:． 13．（24-25高三上·福建厦门·月考）若直线是函数的一条切线，则的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】设切点为，求得切线方程，进而可得，进而可求的最小值. 【详解】设切点为，，， 函数的切线方程为， 即， 又直线是函数的一条切线，， 由，得，故，， 联立，， ，当且仅当时取等号. 故答案为： 14．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知函数，若方程有个不同的实根，则非零实数的取值范围是___________ 【答案】或或 【分析】先根据导数的几何意义求出直线与曲线相切时的值，再对分类讨论得到根的个数，进而求出实数的取值范围. 【详解】根据题意，， 当时，， 当直线与曲线相切时，设切点为， 因为，则切线的，得，所以切点为， 将切点代入直线，得， 当时，， 令，即， ①当时，有一个实根，此时有一个实根，满足条件； ②当时，有两个实根，此时有一个实根，不满足条件； ③当时，无实根，此时要使有两个实根，则且，又是非零实数，所以即且. 综上所述，实数的取值范围是或或. 故答案为：或或 15．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知函数的图象与直线相切，则实数________． 【答案】1 【分析】设切点，根据导数的几何意义得到切线方程，结合函数与相切，得到即可求解． 【详解】设切点为， ，则， 切线方程为，即， 又因为函数的图象与直线相切， 所以，解得． 故答案为：1． 16．（24-25高三上·福建漳州·月考）若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则______. 【答案】 【分析】首先求曲线在处的切线，再设曲线上的切点，结合导数的几何意义，列式求解. 【详解】设，，则，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 设，切点为，， 所以，得，，. 故答案为： 17．（2025·辽宁·模拟预测）已知点，点，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】根据函数关系，找出得轨迹,根据轨迹分析最小值的情况,列出表达式,通过函数导数判断表达式单调性,求出最小值. 【详解】易知点在函数上, 设,化简得,即 则点在以为圆心,半径为1的圆周上, 如图所示,可知两点间的最小值,即为点到圆心得最小值减去半径即可. 设圆心为,可知, 设函数,求导得 易知为单调增函数,且, 所以当时，,在单调递减, 当时，,在单调递增, 在上有最小值,最小值, 所以的最小值为. 故答案为: . 三、解答题 18．（25-26高二上·湖南岳阳·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程 (2)若曲线在点处的切线方程与曲线也相切，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解切线方程； （2）先求出曲线在点处的切线，然后设该切线与曲线的切点，利用导数的几何意义和题干已知条件列出方程即可求解. 【详解】（1），则， 则函数在点处的切线为，即. （2）， 在点处的切线与曲线也相切， 设切线与曲线的切点为，则， 故切线为，即， 即，解得. 19．（25-26高三上·北京·月考）已知函数（），.记，已知曲线在点 处的切线方程为. (1)求实数，的值： (2)若直线既是曲线的切线又是曲线的切线，试判断的条数，并给出证明. 【答案】(1)，. (2)切线仅有2条，证明见解析 【分析】（1）首先根据切线方程求出和的值，然后通过导数的运算法则求出,最后代入和的值，联立方程组求解和的值； （2）设出直线与和的切点，分别求出切线方程，然后根据两切线方程相同列出方程组，通过构造函数并分析其单调性，判断方程组解的个数，从而确定切线的条数. 【详解】（1）因为曲线在点处的切线方程为， 所以，. ，，∴. ，，∴. 综上，，. （2）设直线与的切点为（），， 则切线斜率，切线方程为，即. 设直线与的切点为，， 则切线斜率，切线方程为， 即. 因为直线是公切线，所以， 由①可得，代入②中，得， 整理得， 令（），， 因为恒成立，所以， 当时，为上的增函数， 当时，为上的减函数， 因为，所以在区间上存在唯一一个零点. 因为，， 所以在区间上存在唯一一个零点. 综上，在上仅有个零点，即切线仅有条. 20．（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义写出切线方程，再把原点带入切线方程即可求解； （2）联立与切线计算出点的坐标，再利用导数的几何意义分别求出即可求解. 【详解】（1）设点的坐标为，则， 因为，所以切线的方程为， 由切线经过原点，把带入切线方程得：， 即或， 所以点的横坐标为或. （2）设点的坐标为，由（1）可知， 切线的方程为，整理得：，与联立得：， 即或， 所以，故， 因此. 1 学科网（北京）股份有限公司 $