2025-2026学年高二数学下学期6月月考模拟卷(三)（辽宁适用）

**基本信息** 聚焦高二选择性必修第三册与一轮复习核心内容，通过函数、数列、导数等模块的基础巩固与综合应用，考查抽象能力、推理能力及问题解决能力，适配月考阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、函数性质、数列基本量|第8题导数不等式恒成立，考查逻辑推理；第9题函数奇偶性与单调性判断，强化抽象能力| |填空题|3题15分|数列求和、不等式解法、函数极值|第14题结合极值点与恒成立，体现应用意识| |解答题|5题77分|导数应用、数列综合、不等式证明|第19题导数双极值点问题，融合分类讨论与证明，对接高考命题趋势|

2025-2026学年高二数学下学期6月月考模拟卷(三) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册+一轮复习至函数奇偶性单调性周期性。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 所以. 2．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，故，则， 若，解得或， 故是的充分不必要条件. 3．设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（    ） A．6 B．3 C．-3 D．-4 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，根据求和公式和通项公式代入求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， ， 所以， 即， 整理得：， 解得 4．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 5．已知函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象的单调性，分析图象的符号判断选项. 【详解】对原函数分区间讨论单调性： 当时（其中是原函数左极小值点），单调递减 ； 当时单调递增 ； 当时（其中是原函数右极小值点），单调递减 ； 当时，单调递增 ； 符合上述符号变化的只有选项D. 6．已知数列为等差数列，为等比数列，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列及等比数列下标和性质结合基本不等式计算求解判断. 【详解】数列为等差数列， 数列为等比数列， ．又 ．当且仅当时取等号，A错误，B正确． 当时，； 当时，，当且仅当时取等号， 与的大小不确定，所以C，D，错误； 7．若函数在不单调，则a可能为（    ） A． B．-1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】令求出，令，求出的单调性，求出，求出的取值范围即可求解. 【详解】令得， 令，， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 当时，， 所以，又在上不单调， 所以的取值范围是（当时，在恒成立，此时单调递减，不满足题意）， 结合选项得可能为． 故选：B. 8．已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解. 【详解】令，依题意，． 函数在上单调递增． 对，不等式恒成立， , 即， ． 当时，， 则， 则；； 故在单调递减，在单调递增； 可得时，函数取得极小值即最小值， ． 当时，，此时，在上单调递减， 又时，，且，则 则的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先依据奇函数定义判断各函数的奇偶性，排除奇偶性不符的选项，再验证剩余函数的单调性，选出同时满足两个条件的选项 【详解】对选项A：，满足，是偶函数，且在上单调递增，上单调递减，不符合要求，故A错误； 对选项B：设，满足，是奇函数，且在上单调递增，故B正确； 对选项C：设，满足，是奇函数，其斜率，故在上单调递增，故C正确； 对选项D：，满足且，是非奇非偶函数，不符合要求，故D错误。 10．下列说法正确的是（ ） A．已知 若则 B．已知则 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【详解】选项A：由，得. 因为，所以 ，即. 所以，，即，.故A不正确. 选项B：设，，则，. 由，得，. 所以，. 由得，. 由得，. 所以，.故B正确. 选项C：当时，恒成立； 当时，要使得不等式对一切实数恒成立，则需要满足： ，解得，. 综上所述，的取值范围为.故C项不正确. 选项D：因为函数的定义域为，所以，函数的定义域满足: ，解得，. 则函数的定义域为.故D项正确. 11．已知数列，的前项和分别为，，且满足，，，则下列结论正确的是（） A． B． C．是等差数列 D． 【答案】BCD 【分析】先利用与的关系式变形推出为等差数列，求出进而得到通项，判定A错C对，再求出与的值验证等式成立确定B正确，最后把从第二项起两两分组求和，每组和为，化简得到对应式子证得D正确。 【详解】由，且. 得，整理得， 所以.又，故， 因此是首项为，公差为的等差数列，选项C正确. 选项A，由等差数列通项公式，，故. 当时，， 验证时，，符合题意，即，选项A错误. 选项B：. 由，. 得，，，，， 所以.故，选项B正确. 选项D：， . 第项一组，第项一组，…，第项一组，共组. 每组和：（）， 因此，选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．等差数列的通项公式是，其前项和为，则数列的前项和为________． 【答案】 【分析】求出，可得出数列的通项公式，再利用等差数列的求和公式可求得数列的前项的和. 【详解】因为，所以，所以，所以， 所以， 所以是公差为，首项为的等差数列， 所以数列的前项和为． 故答案为：. 13．不等式 的解集为______；不等式 的解集为______. 【答案】 【详解】，解得. 对于 ， （方法一）当 时， ，得； 当时， ，得. 故 的解集为. （方法二），得. （方法三）显然，两边平方，得. 故填； 14．已知函数的极值点为，函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据函数的极值点求出的值，将所求不等式变形为，令，则有，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，并求出函数的值域，结合题意得出，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的极值点为，则， 由题意可得，解得， 此时，则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，符合题意， 对任意的，恒成立，即，且有， 即， 令，则有， 构造函数，其中，且有，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 故当时，，当时，， 对函数求导得， 当时，；当时，. 所以函数在上递增，在上递减， 所以，即， 要使得，则，即，解得， 故实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)1和2 (2)答案见详解 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理可得，令求解即可； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 可知与是方程的两个实数根，且， 则，解得：，， 令，解得或， 所以函数的零点为1和2. （2）由（1）知不等式即为，即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 16．已知数列的前项和为，且；等差数列满足;； (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1），，两式相减即可得是等比数列，进而求的通项公式，再结合条件;及是等差数列求解即可； （2）分组后采用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由已知，当时，，即，． 当时，，， 两式相减，得，即，， ∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列， ∴数列的通项公式为． ；；， 设等差数列的公差为，则, 所以； （2）由第（1）问，， ∴设，① ①，得，，② ∴①-②，得， ， 另一部分的前n项和为 所以. 17．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【分析】（1）当时，求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合已知点坐标求出切线方程； （2）求导，结合函数定义域，按进行分情况讨论，并结合导数判定函数的单调性． 【详解】（1）当时，，求导得， ，， 在点处的切线方程为，化简得． （2）由，得 ， 的定义域为， 当时：，在区间单调递增； 当时： 当时，；当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上，当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 18．等差数列和等比数列满足，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知：①；②，使．设为数列中同时满足条件①和②的所有的项的和，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差公差为、等比公比为，利用求出，再由结合得，写出两个数列通项. （2）由限定，再由整理出的表达式，筛选使为正整数的，对应项求和得. 【详解】（1）由等差数列和等比数列满足，，，且， 设的公差为，的公比为，可得 将代入，解得，由，则取， 故，． （2）由，，令， 由于，， 故，即，，使，故令， 则，由于， ， ， 故可以看出当时，成立， 故 19．已知函数存在两个不同的极值点． (1)求实数的取值范围； (2)设，求的最大值； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意知有两个不同的实根，即方程有两个不同实根，令，通过求导求出的单调性，结合图象即可求出答案； （2），通过求导求出的单调性，即可求出答案； （3）函数，证明出，再证明在上单调递减，从而得到，结合第（2）问即可求出答案. 【详解】（1）由题意知． 因存在两个不同的极值点，故有两个不同的实根， 即方程有两个不同实根． 令，则． 令，因恒成立，故在上单调递减． 又，故： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 所以在处取得极大值即最大值，且． 又，，当，， 要使直线与图象有两个不同交点，必须满足． 当时，易知函数存在两个不同的极值点，符合题意， 故实数的取值范围是． （2）， ， 令， 所以单调递增，又， 所以当时，，则在上单调递减； 当时，，则，在上单调递增． 因此在处取得最大值，． 即的最大值为． （3）由（1）知．不妨设． 因在上递增，上递减，且，故必有． 构造函数， 当时，，即恒成立． 因为，所以．又，故． 因为，且在上单调递减， 所以，即． 当时，，此时，故在上单调递减． 由于，故． 于是． 由（2）知，当时，． 因为，所以． 综上可得，，原命题得证． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期6月月考模拟卷(三) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册+一轮复习至函数奇偶性单调性周期性。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 2．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（    ） A．6 B．3 C．-3 D．-4 4．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 5．已知函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．已知数列为等差数列，为等比数列，，则（     ） A． B． C． D． 7．若函数在不单调，则a可能为（    ） A． B．-1 C．0 D．1 8．已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（ ） A．已知 若则 B．已知则 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 11．已知数列，的前项和分别为，，且满足，，，则下列结论正确的是（） A． B． C．是等差数列 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．等差数列的通项公式是，其前项和为，则数列的前项和为________． 13．不等式 的解集为______；不等式 的解集为______. 14．已知函数的极值点为，函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 16．已知数列的前项和为，且；等差数列满足;； (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 18．等差数列和等比数列满足，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知：①；②，使．设为数列中同时满足条件①和②的所有的项的和，求的值． 19．已知函数存在两个不同的极值点． (1)求实数的取值范围； (2)设，求的最大值； (3)求证：． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $