2025-2026学年高二数学下学期6月月考模拟卷(四)（辽宁适用）

**基本信息** 聚焦选择性必修三与函数性质复习，通过生态水果利润计算、细菌分裂等情境题，融合数学建模与逻辑推理，适配高二6月月考综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、数列性质、函数单调性|第4题细菌分裂结合等比数列，考查数学眼光观察现实问题| |填空题|3题/15分|不等式最值、数列求和、函数奇偶性|第14题奇函数单调性，综合函数性质与逻辑推理| |解答题|5题/77分|导数应用、数列通项与求和、数学建模|第15题生态水果利润建模，第19题导数极值点分类讨论，体现数学语言表达与思维严谨性|

2025-2026学年高二数学下学期6月月考模拟卷(四) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册+一轮复习至函数奇偶性单调性周期性。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故. 2．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可． 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 3．已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且. 所以可设. 所以，所以. 4．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（   ） A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 【答案】B 【分析】由题意，每秒末细菌的个数构成首项为1，公比为2的等比数列，被杀死的病毒总数即为该数列的前项和，结合等比数列的求和公式，列出不等式，即可求解. 【详解】依题意．得， 又∵，，且为整数， ∴的最小值为7， 则细菌将病毒全部杀死至少需要7秒钟． 故选：B 5．已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，数列单调递减，， 所以，即，解得. 6．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因为，函数在上存在最小值， 所以，得， 故a的可能取值为. 7．若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得在上有解，进而得到在上有解，再利用导数工具求出函数的最小值即可得解. 【详解】由题得在上有解， 即在上有解， 因为， 所以当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围是. 故选：A 8．已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，进而得到，则，再由基本不等式求解即可． 【详解】， 关于点对称，又， 在和单调递减，且时，时，， 又，， ， 又（当且仅当时取等）， 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 10．在数列中，若，，则（    ） A．数列为等比数列 B．数列是递减数列 C．若数列的前n项和为，则 D．若数列的前n项和为，则 【答案】ABD 【详解】数列中，若，，则， 所以，即， 即，且. 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以A正确. 所以，，， 因为，所以，所以数列是递减数列，所以B正确. 若数列的前n项和为， 则 ，所以C错误. 因为，所以. 若数列的前n项和为， 则， 其中.所以D正确. 11．函数满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件构造新函数，利用函数导数与函数的单调性，逐项比较大小即可. 【详解】令，由， 又且， 所以，所以函数在上单调递减； 对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，所以，故D正确； 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知正数x，y满足，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】由题意得 ，当且仅当时成立. 13．在数列中，，，，则的前100项和为_________. 【答案】235 【分析】先根据已知的首项和递推公式计算数列的前若干项，找出数列的周期规律，再利用周期分组计算该数列前项的和. 【详解】因为，所以，所以，所以是周期为6的数列. 因为，，，， 所以的前100项和为. 14．已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称. 又在上单调递增，则在区间上也单调递增. 当时，，对称轴为； 当时，的图象开口向下，且， 此时在区间上单调递减，不合题意，所以， 解得，所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． (2)若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)，540元 【分析】（1）分与两种情况，求解出利润y（单位：元）表示为施用肥料x的函数； （2）利用基本不等式求解出利润的最大值即可． 【详解】（1）由题意可知，当时， ； 当时，， 综上，. （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，该水果树的单株利润最大，最大利润是540元． 16．已知函数. (1)求； (2)求函数的单调区间； (3)求在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，无单调递减区间 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据基本初等函数求导法则计算导数； （2）结合定义域分析导数符号得到单调区间； （3）根据单调性求解闭区间上的最值. 【详解】（1）函数的定义域为， ； （2）将导数通分整理得： ， 分母，对分子配方得， 由可知分子恒大于，因此在上恒成立， 故的单调递增区间为，无单调递减区间； （3）由（2）可知在上单调递增， 因此在闭区间上也单调递增，最值在区间端点处取得： ，， 因此在上的最大值为，最小值为. 17．已知是等差数列，其前n项和为是等比数列，已知是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）由求出的通项公式，再由和的等比中项可求出的通项公式； （2）利用裂项相消法和分组求和法求前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 可得，所以，解得， 所以， 则， 是和的等比中项，可得，所以， 设等比数列的公比为，则，解得， 所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为． （2）． 又因为， 所以的前项和． 记的前项和为， 当为偶数时，； 当为奇数时，， 综上： 18．已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用递推公式分奇数偶数计算求解通项公式； （2）分奇偶结合裂项相消法及分组求和计算求解. 【详解】（1）当为奇数，且，为偶数时，依题意得：，     因为也满足，     所以为奇数时，；     当为偶数时，为奇数时，；     所以 （2）为偶数时，      ，         为奇数时， ；     19．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若是函数的极小值点，求的取值范围； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）利用二阶导，对分类讨论即可； （3）求出，让其大于等于零即可求出的范围. 【详解】（1）时，，， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为. （2）由题知的定义域为，， 令，则. ①当时，，函数单调递增，又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以是函数的极小值点，满足题意. ②当时，. （ⅰ）当，时，令，得； 令，得，故函数在上单调递增，在上单调递减，又由，所以， 即，函数单调递减，所以不是函数的极小值点. （ii）当，时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以是函数的极小值点，满足题意. （ⅲ）当，时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以是函数的极大值点，不满足题意. 综上，的取值范围为. （3）①当时，， 当时，有，，，所以，不合题意. ②当时，由（2）知函数在上单调递减，在上单调递增， 若恒成立，只需，解得. 故的取值范围为. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期6月月考模拟卷(四) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册+一轮复习至函数奇偶性单调性周期性。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（   ） A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 5．已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 7．若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 10．在数列中，若，，则（    ） A．数列为等比数列 B．数列是递减数列 C．若数列的前n项和为，则 D．若数列的前n项和为，则 11．函数满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知正数x，y满足，则的最小值为_________． 13．在数列中，，，，则的前100项和为_________. 14．已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． (2)若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 16．已知函数. (1)求； (2)求函数的单调区间； (3)求在区间上的最大值与最小值. 17．已知是等差数列，其前n项和为是等比数列，已知是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和 18．已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 19．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若是函数的极小值点，求的取值范围； (3)若，求的取值范围. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $