2025-2026学年高二数学下学期6月月考模拟卷(五)（辽宁适用）

**基本信息** 本卷聚焦人教B版选择性必修第三册与一轮复习核心内容，通过梯度化题型设计，融合函数性质、数列综合、导数应用等模块，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配高二下学期阶段性学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、不等式充分条件、等差等比数列、导数切线、函数奇偶性单调性|单选基础巩固（如第3题等差数列求和），多选分层区分（如第9题数列增减性与最值分析）| |填空题|3题/15分|数列递推求项、方程根分布、函数零点|第14题函数零点问题考查数形结合，体现数学眼光| |解答题|5题/77分|集合关系、函数奇偶性与最值、等差等比数列综合、导数单调性与零点证明|第19题导数综合题（单调性讨论、零点范围及证明），突出逻辑推理与创新探究，契合数学思维要求|

2025-2026学年高二数学下学期6月月考模拟卷(五) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册+一轮复习至函数奇偶性单调性周期性。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，代入得，解得. 2．不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，解得，即不等式的解集为， 选项A：因为与解集完全相等，所以是不等式成立的充要条件； 选项B：因为，所以是不等式成立的必要不充分条件； 选项C：因为，所以是不等式成立的充分不必要条件； 选项D：因为与为交叉关系，所以是既不充分也不必要条件. 3．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 4．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】设公切线与的切点为， 因为，所以， 因为，所以， 则，得. 5．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用等差、等比数列的项的对称性性质，先求出、的值，再代入待求式计算即可. 【详解】已知数列是等差数列，数列是等比数列， 则，， 解得，进而，因此. 6．数列中，，则数列的前2026项和为（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 【答案】D 【详解】因， 则 数列呈周期性：，最小正周期为4， 故的前2026项和为. 7．若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义对定义域内所有x恒成立，求出参数a的值，再代入计算即可. 【详解】由得， 所以函数的定义域关于原点对称， 又函数为偶函数，则对任意，恒成立， 即， 整理得，该式对所有恒成立，故， ， 所以. 8．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用函数单调性与导数的关系，将问题转化为导函数非负恒成立，再通过分离参数转化为求新函数的最小值，最后利用导数求函数的极值与最值，确定参数的取值范围. 【详解】函数在上单调递增，则在上恒成立. 求导得，故对任意恒成立， 即在上恒成立. 令，，则. 求导得，令，解得（）. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此，在处取得最小值，. 故，即的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是等差数列的前项和，且，则下列选项正确的是（   ） A．数列为递增数列 B．的最大值为 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前项和公式逐项分析判断. 【详解】在等差数列中，，而，则， 对于A，等差数列的公差，数列为递减数列，A错误； 对于B，由选项A，知数列前7项均为正，从第8项起为负，因此的最大值为，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，则，D正确. 10．已知正实数，满足，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，即，解得， 又因为正实数，，所以，则有，当且仅当时取得等号，故A正确； 对于B，由A知，，所以，当且仅当时取得等号，故B错误； 对于C，由题可得所以，解得， ， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取得等号，故D正确． 11．已知，下列说法不正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递增区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 【答案】BD 【分析】根据导数的几何意义即可判断A；令即可求出函数的单调增区间，即可判断B；求出函数的减区间，再根据极大值的定义即可判断C；作出函数的大致图象，结合函数图象即可判断D. 【详解】由，得， 对于A，， 所以在处的切线方程为，故A正确； 对于B，令，则，所以的单调递增区间为，故B错误； 对于C，令，则，所以函数的单调递减区间为， 所以的极大值为，故C正确； 对于D，方程的解的个数， 即为函数图象交点的个数， 当时，，当时，且， 如图，作出函数的大致图象， 由图可知，方程仅有一个解，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知各项均为正数的数列满足对任意的正整数都有，，则_____. 【答案】/ 【分析】采用赋值法可证得数列为等比数列，从而求得或，结合等比数列通项公式或等比数列性质可求得结果. 【详解】方法一：取，则，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， ，， . 方法二：取，则，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， 取，则，又，； . 13．若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． 14．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】令，则问题可转化成函数与的图象有两个交点，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得结果. 【详解】，令， 函数 有两个零点等价于函数与函数的图象有两个交点， ，所以时，，所以在上单调递减，时，，所以在上单调递增， 所以，，，如图所示，所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合，集合，． (1)若时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解分式不等式、一元二次不等式求集合，再由集合的并运算求； （2）由题意，应用分类讨论确定集合，结合包含关系确定参数范围. 【详解】（1）由，得，解得，即． 由，得且，则，即， 所以； （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以． 又，， ①若，则，由，得． ②若，则，满足． ③若，则，由，得， 综上，实数的取值范围为. 16．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式. 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又因为为奇函数，则， 综上可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值． 17．已知等差数列的前项和为，且满足，. (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)100 (3) 【分析】（1）根据等差数列通项公式及前项和公式列方程组求解即可； （2）根据等差数列的性质求最值即可； （3）利用裂项相消法求和即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，解得， 所以； （2）令，得. 所以当时，；当时，， 所以的最大值为； （3）由题知. 所以. ． 18．已知数列为递增的等比数列，其前n项和为，已知，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项的概念和等比数列的基本性质，列出方程组，求出公比，写出等比数列通项公式即可； （2）根据等差数列的性质求出，进而求出数列的通项公式，再根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）设数列公比为，由题意可得，， 可得，解得， 所以， 化简得，解得或， 因为数列为递增数列，所以，则. （2）由题意可得，则， 设数列的前n项和为， 则， 即， 两式作差得， . 19．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围； (3)若有两个零点，，证明. 【答案】(1)当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分，讨论导函数的符号，可得函数的单调性. （2）根据函数的单调性，求函数的极值，根据极值的符号和函数零点的存在性判定定理求实数的取值范围. （3）问题转化为极值点偏移问题进行证明.设，分析函数的单调性，即可证明问题. 【详解】（1）因为， 所以. （ⅰ）若，则，所以在上单调递减； （ⅱ）若，则由得． 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点，不合题意； （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值为． ①当时，由于，故只有一个零点，不合题意； ②当时，因，即，故无零点，不合题意； ③当时，，即． 又，故在有一个零点． 设正整数满足， 则． 由于，因此在有一个零点． 综上，的取值范围为． （3）由（2）可设极值点，即，且，． 由（2）不妨设. 要证．只需证，其中. 而在单调递增，故只需证． 又，即证：． 令， 则， , 设，根据基本不等式，（因为，等号不可取）. 设，则为开口向上的抛物线，对称轴为. 因为当时，，所以在上单调递增. 因为. 所以当时，，即. 所以在上恒成立． 因此在单调递增，故． 即，结合，得， 因、，且函数在该区间单调递增，故． 整理得：，得证． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期6月月考模拟卷(五) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册+一轮复习至函数奇偶性单调性周期性。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 5．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（     ） A． B． C．2 D．3 6．数列中，，则数列的前2026项和为（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 7．若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 8．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是等差数列的前项和，且，则下列选项正确的是（   ） A．数列为递增数列 B．的最大值为 C． D． 10．已知正实数，满足，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 11．已知，下列说法不正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递增区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知各项均为正数的数列满足对任意的正整数都有，，则_____. 13．若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 14．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合，集合，． (1)若时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数k的取值范围． 16．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 17．已知等差数列的前项和为，且满足，. (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)记，求数列的前项和. 18．已知数列为递增的等比数列，其前n项和为，已知，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前n项和. 19．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围； (3)若有两个零点，，证明. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $