辽宁辽西重点高中2025～2026学年度下学期高二4月月考数学试题

辽西重点高中2025~2026学年度下学期高二月考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 2．下列是离散型随机变量的是（   ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念逐项判断即可. 【详解】因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 对于A，种子含水量的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，某品牌电视机的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于C，某网页在24小时内被浏览的次数能一一列举，是离散型随机变量； 对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量． 故选：C. 3．某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下： 1 2 3 4 5 4 7 12 20 33 经计算：，，令，，，，，，经分析．与呈线性相关关系，用最小二乘法求得线性回归方程，则关于的回归方程为（   ）（参考公式：，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定数据，利用最小二乘法求出关于的线性回归方程，进而求出关于的回归方程. 【详解】令，，由与呈线性相关关系，得线性回归方程， 则，， 因此，即，所以关于的回归方程为. 4．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故，故. 5．已知数列满足：，若，则的所有可能取值的和为（ ） A．62 B．169 C．170 D．190 【答案】D 【分析】利用递推公式，依次令即可求出答案. 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或； 当时，，解得或或； 当时，，解得或或或； 当时，，解得或或或或或； 所以的所有可能取值为， 它们的和为. 6．记为等差数列的前项和.若，设，关于的值，下列说法正确的是（    ） A．一定不大于 B．可能大于，但一定不大于 C．可能大于 D．当时， 【答案】B 【分析】根据条件，求出首项和公差，可得的表达式，即可得的表达式，根据裂项相消求和法，可得的表达式，分析即可得答案. 【详解】设等差数列的公差为d，则，可得， 又，得，则， 又，所以， 则，所以， 则 ， 故C、D错误； 当时，，故A错误，B正确. 7．记为数列的前n项和，若，且的值为的可能性相同，则是奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用递推思想,设 为 为奇数的概率,根据 的取值对 奇偶性的影响建立递推关系,再通过构造等比数列求出 的通项,代入 即可得概率. 【详解】记事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，是奇数的概率为． 当为奇数时，若，则仍然为奇数. 当为偶数时，若或3，则为奇数，从而， 即，即，整理可得． 又，所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以，故是奇数的概率为. 8．已知正项数列的前项和为，且.在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列，则的前88项和等于（   ） A．163 B．165 C．167 D．173 【答案】A 【分析】先通过已知条件求出的通项，再分析的插入结构，确定前88项对应的段，最后分为本身、插入部分、剩余项三部分求和得到结果. 【详解】因为，当，， 因为，所以，故.当时，适合上式， 所以； 当时，.. 又因为在数列的每相邻两项，之间依次插入， 得到数列，所以根据数列的定义可知： 数列， 故. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（    ） 0 1 0.6 A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据期望和方差的公式及线性运算性质，求解即可. 【详解】由分布列的性质得，所以. 则离散型随机变量X的数学期望为，故A正确； 而，故B正确； 而方差为，故C正确； 可得，故D错误. 10．下列说法正确的是（    ） A．在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，则 B．已知随机变量，则 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断与独立 D．若随机变量服从两点分布，且，则 【答案】BD 【分析】对于A：根据独立事件概率求法结合事件的运算求解；对于B：根据二项分布的期望公式以及期望的性质运算求解；对于C：根据独立性检验思想分析判断；对于D：根据两点分布的运算求解. 【详解】对于选项A：因为与相互独立，则， 所以，故A错误； 对于选项B：因为随机变量，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为， 根据的独立性检验原则，可知分类变量与相关，可判断与不独立，故C错误； 对于选项D：若随机变量服从两点分布，且，则，故D正确. 11．已知半径为的圆与射线：、x轴正半轴均相切，半径是的圆与射线l、x轴正半轴均相切，且与圆外切，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则数列是公比为2.24的等比数列 C．若，则点的坐标为 D．若，则数列的前n项和小于 【答案】AD 【分析】设角平分线与轴的夹角为，根据题意用和表示点坐标，利用两圆外切圆心距等于半径之和建立关于和的方程，进而求得，对于选项A、B、C代入即可求解；对于选项C、D，代入，结合等比数列通项公式和求和公式即可判断. 【详解】如图，过点，分别作，垂足分别为， 过点作，垂足为， 设， ，， 半径为的圆与射线轴正半轴均相切，且与圆外切， ，， ，， ，是首项为，公比为的等比数列， ， 选项A，，， ，故选项A正确； 选项B，，，公比为，故选项B错误； 选项C，，则，解得（舍去负根）， ，， 设，则，故选项C错误； 选项D，，， ，（舍去负根）， ，， ，， 数列的前n项和，故选项D正确； 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设正整数数列满足，则__________． 【答案】3 【详解】已知时，正整数数列满足，把替换为，则 ， ，即，故数列是周期为3的周期数列， 已知，令，得，则， 或， 令，得，则，故， 结合周期可知，若，则，满足， 若，则，满足， 一个周期为或， 周期为3，，故， ，故， ． 13．设为给定的大于2的整数．有个外表上没有区别的袋子，第个袋中有个红球，个白球．将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取出不放回）．求第三次取出的为白球的概率为_______． 【答案】 【分析】先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率． 【详解】设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为， 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形： （白，白，白），取法数为， （白，红，白），取法数为， （红，白，白），取法数为， （红，红，白），取法数为， 从而第三次取出的是白球的种数为： ， 则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率， 而选到第个袋子的概率为，故所求概率为： ． 14．已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足.设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是__________. 【答案】 【分析】先根据条件求出，，再根据探索数列的通项公式，代入，根据，分为奇数、偶数讨论的取值范围，最后根据为非零整数确定它的值. 【详解】因为，且 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，则， 可得， 即，则， 可得， 且，则， 且，可知数列是首项和公差均为1的等差数列， 则，可得， 对任意，有恒成立，则恒成立， 因为， 即， 若是奇数时，则，即，可得； 若为偶数时，则，即，可得； 综上可得：， 又因为是非零整数，所以． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15．某空间站有甲、乙等多名航天员共同负责一项科学实验，现按照一个以一周为周期的值班表安排该实验的值班人员．已知每名航天员的值班日期不完全相同． (1)若每名航天员每周安排两天值班，则甲、乙两人每周恰好有一天共同值班的安排方式共有多少种？ (2)求甲、乙每周各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）甲被安排两天值班有种情况， 无论甲如何安排，乙都有种情况使得两人恰有一天共同值班， 甲、乙每周恰好有一天共同值班的安排方法有种． （2）记甲、乙每周被安排三天值班为事件，甲、乙两人没有被安排共同值班为事件．被安排三天值班的情况有种， 则甲、乙每周各被安排三天值班，且两名航天员的值班日期安排不完全相同的安排方式共有种， 无论甲如何安排，乙都有种情况使得甲、乙没有任何一天共同值班， 故甲、乙两人没有被安排共同值班的情况有种， 所以在每人各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率为． 16．已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： (2)若，，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用关系求通项公式即可； （2）应用裂项相消法求. 【详解】（1）由，得， 两式相减得，则； （2）由（1）可知，则， 所以 . 17．为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长小时”和“整理错题时长小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量y，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 x 0 1 2 2 3 4 y 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义； (2)请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？ 参考数据与公式：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】(1)认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，答案见解析 (2)，145.5分，该结果与实际得分不一定相符合，原因见解析 【分析】（1）根据独立性检验的概念，求出，判断假设是否成立即可； （2）根据最小二乘估计公式求出经验回归方程，进而计算估计结果，判断其是否符合事实即可. 【详解】（1）零假设为：高中生数学成绩与每周自主整理错题时长无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，该推断犯错误的概率不超过0.001． （2）由数据得，，， ， ， 得，， 所以y关于x的经验回归方程为． 将代入经验回归方程得， 所以预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为145.5分． 该结果与实际得分不一定相符合，原因是把每周整理错题时长为4.5小时的学生数学成绩作为一个子总体，数学成绩为145.5分是这个子总体的均值的估计值，影响数学成绩还有其他的因素（言之合理即可）． 18．对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期. (1)判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由. (2)已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围； (3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)数列为周期数列，周期为2 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据周期数列的定义进行判断即可； （2）根据题意，分为偶数和为奇数时两种情况讨论求解即可； （3）假设存在非零常数，使得是周期为的数列，推导出数列是周期为的周期数列，进而得数列周期为，推出，由而该方程无解即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以数列是周期数列，其最小正周期为2； （2）因为无穷数列是周期为的周期数列，且，， 所以当为偶数时，； 当为奇数时，， 因为对一切正整数恒成立， 所以当为偶数时，，故只需即可； 当为奇数时，恒成立，故只需即可； 综上，对一切正整数恒成立，常数的取值范围为； （3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，所以，即， 所以，即， 所以，即， 所以数列是周期为的周期数列， 因为， 即，因为， 所以，， 所以数列的周期为， 所以，即，显然方程无解， 所以不存在非零常数，使得是周期数列. 19．已知一个不透明的盒中有个小球（小球除编号不同外其余均相同），这个小球的编号分别为1，2，3，…，（，）．现进行如下摸球活动： (1)若，从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率； (2)如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中个小球（，），记录编号后放回，再重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为． （ⅰ）若，，求概率； （ⅱ）求使概率取得最大值时m的值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）先找出编号相邻的情况有4种.用组合数算出从5个里选2个的总情况数，再用1减去编号相邻的概率，就得到不相邻概率. （2）（i）运用古典概型，结合组合数计算得到概率. （ii）先确定“”的事件总数，再得出表达式.通过与1比较大小，得到的范围.比较和、大小.最后根据能否被整除，得出取最大值时的值.当时，也符合不能整除的情况. 【详解】（1）编号相邻的可能有“1，2”、“2，3”、“3，4”、“4，5”四种可能，所以2个小球编号不相邻的概率为． （2）（ⅰ）． （ⅱ）当时，整数m满足，其中为0和的较大者，即． “”所包含的事件总数为， ∴， 设， ． 令． ①当时，（比较与k大小） ②当时，（比较与大小） ∴． 则当能被整除即时，在或处达到最大值： 当不能被整除即时，在（表示不超过x的最大整数）． 当时，只能取，此时符合上述不能被整除的情况． 综上：使概率取得最大值时． 第4页，共17页 第3页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽西重点高中2025~2026学年度下学期高二月考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（   ） A． B． C． D． 2．下列是离散型随机变量的是（   ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 3．某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下： 1 2 3 4 5 4 7 12 20 33 经计算：，，令，，，，，，经分析．与呈线性相关关系，用最小二乘法求得线性回归方程，则关于的回归方程为（   ）（参考公式：，） A． B． C． D． 4．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足：，若，则的所有可能取值的和为（ ） A．62 B．169 C．170 D．190 6．记为等差数列的前项和.若，设，关于的值，下列说法正确的是（    ） A．一定不大于 B．可能大于，但一定不大于 C．可能大于 D．当时， 7．记为数列的前n项和，若，且的值为的可能性相同，则是奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知正项数列的前项和为，且.在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列，则的前88项和等于（   ） A．163 B．165 C．167 D．173 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（    ） 0 1 0.6 A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，则 B．已知随机变量，则 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断与独立 D．若随机变量服从两点分布，且，则 11．已知半径为的圆与射线：、x轴正半轴均相切，半径是的圆与射线l、x轴正半轴均相切，且与圆外切，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则数列是公比为2.24的等比数列 C．若，则点的坐标为 D．若，则数列的前n项和小于 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设正整数数列满足，则__________． 13．设为给定的大于2的整数．有个外表上没有区别的袋子，第个袋中有个红球，个白球．将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取出不放回）．求第三次取出的为白球的概率为_______． 14．已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足.设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15．某空间站有甲、乙等多名航天员共同负责一项科学实验，现按照一个以一周为周期的值班表安排该实验的值班人员．已知每名航天员的值班日期不完全相同． (1)若每名航天员每周安排两天值班，则甲、乙两人每周恰好有一天共同值班的安排方式共有多少种？ (2)求甲、乙每周各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率． 16．已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： (2)若，，求． 17．为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长小时”和“整理错题时长小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量y，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 x 0 1 2 2 3 4 y 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义； (2)请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？ 参考数据与公式：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 18．对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期. (1)判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由. (2)已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围； (3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由. 19．已知一个不透明的盒中有个小球（小球除编号不同外其余均相同），这个小球的编号分别为1，2，3，…，（，）．现进行如下摸球活动： (1)若，从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率； (2)如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中个小球（，），记录编号后放回，再重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为． （ⅰ）若，，求概率； （ⅱ）求使概率取得最大值时m的值． 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $