精品解析：2026年广东省广州市铁一中学中考二模数学试题

2025学年第二学期期中诊断性调研 九年级数学学科 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分．在每小题的选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　　　　）． A. 温州博物馆 B. 西藏博物馆 C. 广东博物馆 D. 湖北博物馆 2. 太阳的半径约为，将数据696000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和众数分别是（　　） A. 中位数31，众数是22 B. 中位数是22，众数是31 C. 中位数是26，众数是22 D. 中位数是22，众数是26 5. 已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在（　　） A. 的内部 B. 的外部 C. 上或的内部 D. 上或的外部 6. 《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，是的切线，点B为切点，若，，则劣弧长为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线经过两点，下列结论：①②抛物线在处取得最值；③无论m取何值，均满足；④若为该抛物线上的点，当时，一定成立．正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 要使有意义，则x的取值范围是______． 12. 如图，，，垂足为，，则__________． 13. 一次函数的图象经过原点，则y随x的增大而 ___ .（填“增大”或“减小”） 14. 如图，在RtABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，线段AB的垂直平分线ED分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD，则AD的长为_____． 15. 定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程：有两个实数根，则k的取值范围是______． 16. 如图，在边长为的正方形的对角线上取一点，使，连结并延长至点，连结，使，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，连结交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有______．（填序号） 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式组． 18. 如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：． 19. 已知． （1）化简； （2）若为方程的一个解，求的值． 20. 某单位食堂为全体职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为_______； （2）该单位全体职工共960名，请依据本次调查结果估计全体职工中最喜欢B套餐的人数为__________； （3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，请用树状图或列表法求甲被选到的概率． 21. 如图，已知在等腰中，，点D为边上一点，且，为的外接圆． （1）尺规作图：求作（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）求证：是切线． 22. 如图，在矩形中，A，C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上． 反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，D两点，已知点D的横坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出一次函数大于反比例时x的取值范围； （3）在反比例函数的图象上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 水果批发市场的水果批发价格每天随市场供需变化而波动．第一次商家甲用600元买某种水果，商家乙用900元买同一种水果，结果乙买到的重量比甲多30千克． （1）求该水果第一次的批发价格； （2）若第二次水果价格发生变化，每千克批发价比第一次降低了2元．商家甲仍购买与第一次相同重量的这种水果，商家乙仍花费与第一次相同的金额购买这种水果．分别求甲、乙两次购买这种水果的平均单价； （3）在水果批发市场中，有人习惯每次进固定重量的货，有人习惯每次花固定金额进货．从长期来看，哪种进货方式更合算?请运用所学的数学知识说明理由． 24. 已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）为抛物线上一点，若点关于直线对称点落在轴上，求点坐标； （3）现将抛物线平移，保持顶点在直线，若平移后的抛物线与直线交于、两点． ①求证：的长度为定值； ②结合（2）的条件，求的周长的最小值． 25. 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别是上的点，连接，，则线段与的数量关系为_____； 【问题研究】 （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，点G是边上一点，连接，若，求的值； 【问题研究】 （3）如图3，在矩形中，，，点E、F分别在边上，将四边形沿翻折，点B的对应点G恰好落在上，点A的对应点是点H，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中诊断性调研 九年级数学学科 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分．在每小题的选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　　　　）． A. 温州博物馆 B. 西藏博物馆 C. 广东博物馆 D. 湖北博物馆 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各个选项进行判断即可． 【详解】解：、该图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意； 、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不合题意； 、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不合题意； 、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 2. 太阳的半径约为，将数据696000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：将696000用科学记数法表示为：． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的相关运算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：，故A错误； 不是同类项，不能合并，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：C 4. 如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和众数分别是（　　） A. 中位数31，众数是22 B. 中位数是22，众数是31 C. 中位数是26，众数是22 D. 中位数是22，众数是26 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数，众数的定义即可判断． 【详解】七个整点时数据为：22，22，23，26，28，30，31 所以中位数为26，众数为22 故选C． 【点睛】此题考查中位数，众数的定义，解题关键在于看懂图中数据 5. 已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在（　　） A. 的内部 B. 的外部 C. 上或的内部 D. 上或的外部 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比较d与半径8的大小，若，则点P在的外部，若，则点P在的内部，若，则点P在上，即可解答． 【详解】解：解方程可得，，， ∵点P到圆心O的距离d为方程的一个根， ∴， ∴点P在的内部， 故选A 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、解一元二次方程，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解答的关键． 6. 《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意找出两个等量关系，即可列出对应方程组． 【详解】解：∵设罗类丝绸每尺价格为文，绫类丝绸每尺价格为文， 根据“7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸价格相等”，可得， 根据“每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文”，可得， ∴所列方程组为，对应选项A． 7. 如图，是的直径，是的切线，点B为切点，若，，则劣弧长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆的切线的性质得到，然后解直角三角形求出，，再由圆周角定理得到，最后根据弧长公式求解． 【详解】解：∵是的直径，是的切线， ∴， ∵，， ∴， ， ∴，， ∴劣弧的长为． 8. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的底面周长求出底面半径，根据扇形面积公式求出母线长，再根据勾股定理求出高即可． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， ∵侧面积为， ∴圆锥的母线长为， ∴该吊灯外罩的高是． 9. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、图形旋转的性质和坐标规律探究，掌握通过多次旋转操作归纳坐标周期规律，再利用规律求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再通过前几次旋转找到点​的坐标规律，最后根据规律计算的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为 ，点的坐标为 ，点为坐标原点 ∴， ∴在中，根据勾股定理可得： ∵ 将绕点顺时针旋转到​，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵将 绕点顺时针旋转到​ ，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上 ∴，点在的正上方，点的坐标为 ∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上 ∴，点的坐标为，点的坐标为 ∵ 将绕点顺时针旋转到​ ，点在轴上 ∴，点的坐标为  ∵ 将绕点顺时针旋转到 ∴ ，点在的正上方，所以点的坐标为 通过观察点和 的坐标，可以发现规律： 对于偶数下标点，其坐标恒为，坐标为 即点的坐标为 ∵的下标为，是偶数 ∴令，解得 ∴点的坐标为 ∴点的坐标为． 故选：B． 10. 已知抛物线经过两点，下列结论：①②抛物线在处取得最值；③无论m取何值，均满足；④若为该抛物线上的点，当时，一定成立．正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由于m的值不确定，无法判断抛物线与x轴有没有交点，可以判断①；根据抛物线经过两点，可以求出抛物线的对称轴为，故可以判断②；把代入可以判断③；根据和时，由函数的性质可以判断④． 【详解】解：当时，抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∵m的值不确定， ∴不一定成立， 故①错误； ∵抛物线过两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，抛物线取得最值， 故②正确； ∵两点均在抛物线上， ∴， 解得， 故无论m取何值，均满足， 故③正确； 当时，抛物线开口向上， ∴在直线1的左侧，y随x的增大而减小， ∴当时，； 当时，抛物线开口向下， ∴在直线的左侧，y随x的增大而增大， 当时，此时， 故④错误． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题的关键是对二次函数性质的掌握和运用． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 要使有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，二次根式的被开方数为非负数， 因此可得， 解得． 12. 如图，，，垂足为，，则__________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】根据三角形内角和求出，再利用平行线的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和和平行线的性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理计算． 13. 一次函数的图象经过原点，则y随x的增大而 ___ .（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【解析】 【分析】由题意可得：且，求得，即可求解． 【详解】解：由题意可得：且，解得 则一次函数为： 因为 所以y随x的增大而增大， 故答案为：增大 【点睛】此题考查了一次函数的定义，图像与性质，解题的关键是根据题意正确求得的值． 14. 如图，在RtABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，线段AB的垂直平分线ED分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD，则AD的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BD的长，进而求解． 【详解】解：∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∵∠A＝15°， ∴∠ABD＝15°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°， ∵∠C＝90°，CD， ∴BC＝1， ∴BD＝2BC＝2， ∴AD＝BD＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线，含30° 角的直角三角形的性质，求得AD=BD是解题的关键． 15. 定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程：有两个实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】由新定义的运算法则可得出关于x的方程为，由该方程有两个实数根得出其为一元二次方程，且，即且，解出k的解集即可． 【详解】由新定义的运算法则可得出：． ∵， ∴． ∵该方程有两个实数根， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 16. 如图，在边长为的正方形的对角线上取一点，使，连结并延长至点，连结，使，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，连结交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】证明即可判断①，在上取一点，使得，证明，进而判断②；过点分别作的垂线，垂足分别为，则，根据相似三角形的性质即可判断③，取的中点，连接，根据题意得出在以为直径的圆上运动，进而得出当在上时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，点是正方形的对角线上的点， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，在上取一点，使得， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故②正确； 如图，连接交于点，则，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ ∴，故③错误 如图 ∵ ∴ 即 ∵点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处， ∴ ∴ ∴在以为直径的圆上运动 取的中点，连接， ∴当在上时，取得最小值，最小值为的长， ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】 解不等式①，去括号得， 移项，合并同类项得，； 解不等式②，去分母得， 移项，合并同类项得，； 故不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18. 如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形性质等知识，由菱形性质结合条件，利用全等三角形的判定与性质即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】证明：在四边形是菱形，， ， ， 在和中， ， ∴． 19. 已知． （1）化简； （2）若为方程的一个解，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据分式的运算法则，对分式进行通分、合并、约分化简即可； （2）依题意将代入方程整理可得即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 是方程的解， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值；解题的关键是熟练掌握分式的运算法则正确化简． 20. 某单位食堂为全体职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为_______； （2）该单位全体职工共960名，请依据本次调查结果估计全体职工中最喜欢B套餐的人数为__________； （3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，请用树状图或列表法求甲被选到的概率． 【答案】（1）108 （2）336 （3） 【解析】 【分析】（1）根据A所占的比例求出喜欢A餐的人数，进而求出喜欢C餐的人数，再计算C餐所占的比例，再乘以，得出结果； （2）先求出抽查中喜欢B餐，所占的比例，再用全体人数乘以这个比例，即可求出全体职工喜欢B餐的人数； （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：喜欢A餐的人数：（人）， 喜欢C餐的人数：（人）， “C”对应扇形的圆心角为：． 【小问2详解】 解：喜欢B餐的人所占的比例， 全体职工中喜欢B套餐的人数为（人）． 【小问3详解】 解：画树状图得出所有等可能的结果，如下图： 一共12种结果，选两人，甲被选到的结果数为6， 甲被选中的概率为． 21. 如图，已知在等腰中，，点D为边上一点，且，为的外接圆． （1）尺规作图：求作（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）求证：是切线． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）由已知可知，因此作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，即为所求； （2）连接，由垂直可知，进而根据，得，即可求解． 【小问1详解】 解：作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，即为所求； 【小问2详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∴是的直径， ∴是的半径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 22. 如图，在矩形中，A，C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上． 反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，D两点，已知点D的横坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出一次函数大于反比例时x的取值范围； （3）在反比例函数的图象上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数的表达式为 （2）或 （3）存在，点或 【解析】 【分析】（1）将点的横纵坐标相乘，求出的值，进而求出点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）直接观察图象，即可求解； （3）先求出，利用进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵在双曲线上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴； ∵，在直线上， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴一次函数大于反比例时x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：存在； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点的横坐标为， ， ∵， ∴， 解得：或， 当时，；当时，； ∴存在点或，使． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 23. 水果批发市场的水果批发价格每天随市场供需变化而波动．第一次商家甲用600元买某种水果，商家乙用900元买同一种水果，结果乙买到的重量比甲多30千克． （1）求该水果第一次的批发价格； （2）若第二次水果价格发生变化，每千克批发价比第一次降低了2元．商家甲仍购买与第一次相同重量的这种水果，商家乙仍花费与第一次相同的金额购买这种水果．分别求甲、乙两次购买这种水果的平均单价； （3）在水果批发市场中，有人习惯每次进固定重量的货，有人习惯每次花固定金额进货．从长期来看，哪种进货方式更合算?请运用所学的数学知识说明理由． 【答案】（1）元/千克； （2）甲的平均单价为9元/千克，乙的平均单价为元/千克； （3）从长期来看，每次花固定金额进货更合算． 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，以及有理数的混合运算，找准等量关系，列出正确的方程是解题的关键． （1）设该水果第一次的批发价格为元/千克，商家甲买到的重量为千克，根据题意列二元一次方程组，求解即可； （2）根据平均单价=总价钱/总质量，分别计算出甲、乙两次购买这种水果的单价即可； （3）比较第（2）的计算结果进行解答即可． 【小问1详解】 解：设该水果第一次的批发价格为元/千克，商家甲买到的重量为千克， 根据题意得：， 解得：， 答：该水果第一次的批发价格为元/千克； 【小问2详解】 由（1）得该水果第一次的批发价格为元/千克，商家甲第一次买到的重量为千克，商家乙第一次买到的重量为千克， 所以第二次水果价格为（元/千克）， 商家甲购买这种水果的平均单价为：（元/千克）， 商家乙购买这种水果的平均单价为：（元/千克）； 【小问3详解】 由（2）可知， 所以从长期来看，每次花固定金额进货更合算． 24. 已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）为抛物线上一点，若点关于直线对称点落在轴上，求点坐标； （3）现将抛物线平移，保持顶点在直线，若平移后的抛物线与直线交于、两点． ①求证：的长度为定值； ②结合（2）的条件，求的周长的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①见解析② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线的平移，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题关键． （1）求出A，C点的坐标，再将点坐标代入，即可得解； （2）先求出，再由对称性可知轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果； （3）①先求出平移后的抛物线，再利用，得，，最后利用两点间的距离公式求解即可； ②作，连接，先求出的最小值，即的长，最后根据的周长的最小值，即，得解． 【小问1详解】 解：在中，令，得，令，得， ∴，； ∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴将点，坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵点P关于的对称点Q在y轴上， ∴， ∴,即轴， ∴点P的纵坐标为， 令， 解得或（舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：①设平移后的抛物线的顶点为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 令， 整理得， 设，， ∴，， ∴， ∴的长度为； ②如图，作，并令，连接， 由（2）得点关于对称， ∴； 由题可知，，，，则只需要求的最小值即可． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即的最小值，即的长， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 25. 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别是上的点，连接，，则线段与的数量关系为_____； 【问题研究】 （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，点G是边上一点，连接，若，求的值； 【问题研究】 （3）如图3，在矩形中，，，点E、F分别在边上，将四边形沿翻折，点B的对应点G恰好落在上，点A的对应点是点H，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）设、交于点O，根据正方形的性质证明，即可求解； （2）作，交于X，先四边形是平行四边形，得到，再证明，利用相似三角形的性质可得答案； （3）连接，，作点B关于的对称点R，连接，，由对称性可得，，，，由（2）可得；当A、G、R共线时，有最小值，即最小，最小值为的长，利用勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：（1）如图1， 设、交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图2， 作，交于X， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理（1）可得：， ∴， ∴， ∴； （3）如图4 连接，，作点B关于的对称点R，连接，， 由对称性可得，，，， 由（2）得，， ∴， 当A、G、R共线时，有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为的长， ∴的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值， 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题等知识，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $