精品解析：2026年广东省广州市第二中学中考二模考试数学试题

广州市第二中学2025学年第二学期第三阶段学情反馈 初三年级 数学试卷 （满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】根据正数大于0，0大于负数，可得，，故C、D错误； ，，， ， ，，故A正确，B错误． 2. 如图所示，这个图案可以看作以“基本图案”——原图案的四分之一经过变换形成的，但一定不能通过哪种变换得到（ ） A. 旋转 B. 轴对称 C. 平移 D. 对称和旋转 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转或轴对称的性质解答即可． 【详解】解：这个图案可以通过旋转或轴对称或对称和旋转得到， 故A，B，D选项不符合题意；C选项符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算法则和立方根的定义逐一计算选项即可判断对错． 【详解】解：对于选项A： ∵幂的乘方法则为 ， ∴，A错误； 对于选项B： ∵积的乘方法则为 ， ∴，B错误； 对于选项C： ∵ ∴，C正确； 对于选项D： ∵，∴D错误 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算判别式的值即可判断根的情况，根据判别式与0的大小关系即可得出结论． 【详解】解：∵对于一元二次方程，其中，，， ∴根的判别式， ∴该方程有两个不相等的实数根． 5. 如图，该几何体的展开图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】阴影面和带点面相邻，所以选C. 6. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（ ）． A. 160 B. 140 C. 100 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率估计概率解答即可． 【详解】解：由统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在， ∴点落在不规则图案上的概率为． ∴估计阴影部分面积约为． 7. 如图，在中，延长至点E，使，连接与于点F，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，，得，，故． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 8. 如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的坐标，判断直线是怎样平移，再用的坐标推出坐标． 【详解】解：将代入， 得，即， 即先向左平移8个单位长度，再向上平移2个单位长度． 将代入， 得，即， 则． 9. 如图，线段的两端点分别在轴正半轴和轴负半轴上，且的面积为，若双曲线恰好经过线段的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，，从而得到线段的中点，根据点在双曲线上得到，再结合的面积为求出的值即可得解． 【详解】解：线段的两端点分别在轴正半轴和轴负半轴上， 可设点，， 则线段的中点， 双曲线恰好经过点， ， 的面积为， ，即， ， ，选项符合题意． 10. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程有实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．首先根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置判断、、的符号及代数式的值，然后利用二次函数的增减性及最值判断其余结论即可． 【详解】 解：①抛物线开口向上， ． 对称轴为直线， ，即．  抛物线与轴交点在轴下方， ，  ，故①符合题意； ②抛物线与轴的一个交点为，对称轴为，  抛物线与轴的另一个交点为，  当时，， 当时，，  ， 即，  ，故②符合题意；  ③，  ， 即点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离． 抛物线开口向上， ，故③不符合题意； ④抛物线的顶点坐标为，且开口向上，  函数的最小值为，即，  ，  方程无实数根，故④不符合题意． 综上所述，正确的结论有①②，共个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 单项式的系数是___________，次数是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查单项式的系数、次数．解题的关键是掌握：只含有数与字母的积的式子叫做单项式；单项式中数字因数叫做单项式的系数；单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．据此解答即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是． 故答案为：；． 12. 是由中国某公司开发的通用人工智能系统．截至年月，的全球日活跃用户总量达到亿．将数据用科学记数法表示是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：． 13. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零；二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，且， 解得． 故答案为：． 14. 如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，利用垂径定理可得，再由勾股定理可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：连接， ∵直线，， ∴， 在中，， ∴， ∵直线l沿所在直线平移后与相切， ∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点， ∴当直线向下平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 当直线向上平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 综上所述，平移的距离是或． 15. 如图，在中，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，则，根据已知求出，，求出、的长，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过作于，则， ，， ，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，动点在直线上，动点在半径为的上（为坐标原点），过点作的一条切线，为切点， （1）原点到该直线的距离为________； （2）当的值为最小时，的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）设直线与x轴，y轴分别交于点A，B，过点O作于点K，求出点A，B的坐标可得，再由等腰三角形的性质解答即可； （2）连接，则，根据切线的性质可得，当最小时，均取得最小值，此时的值最小，且当时，的值最小，即可求解． 【详解】解：（1）如图，设直线与x轴，y轴分别交于点A，B，过点O作于点K， 当时，，当时，， ∴点， ∴， ∴， ∴，即原点到该直线的距离为2； （2）如图，连接，则， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小， ∴当时，的值最小， 由（1）得：此时的最小值为2， 此时 ， ∴此时． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，再求解集的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以，不等式组的解集为． 18. 如图，已知，，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过得出． 根据可得，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先将括号内通分，除法化为乘法，同时进行因式分解，再进行约分，将结果化为最简分式，代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了分式化简求值问题，分式混合运算，掌握分式化简的步骤是解题的关键． 20. 为积极备战市里将要举行的数学竞赛，某班积极组织学生进行模拟练习，在一次数学模拟考试中，随机抽取名学生的成绩分（满分分），根据等级评定：等（），等（），等（），等（）列出频数分布表，请回答问题： 等级 频数 （1）填空：这位学生的成绩的中位数落在____等级． （2）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如等：的中间值为）来代替，试估算这位学生的平均成绩． （3）若分以上（不含分）评为优秀等级，试估计全校名学生中有多少名是优秀等级？ 【答案】（1） （2）分 （3）名 【解析】 【分析】（）根据中位数的定义解答即可； （）根据加权平均数的定义解答即可； （）用总人数乘以样本中优秀人数的占比即可． 【小问1详解】 解：∵一共抽取了名学生的成绩， ∴将成绩从小到大排列后，中位数为第名和第名成绩的平均数， 又∵由频数分布表可知，等级共人，等级和等级共人， ∴第名和第名成绩都落在等级， ∴中位数落在等级； 【小问2详解】 解：由题意得各组数据的中间值分别为：等，等，等，等， ∴平均成绩为 （分）， 答：估算这位学生的平均成绩为分； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计全校名学生中有名是优秀等级． 21. 学校带领学生去农场体验农耕劳动，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少捆． （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． （2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗（两种都需要购买）共捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买总费用（元）与购买A种菜苗捆数之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1）元 （2）函数关系式为，自变量的取值范围是，且为正整数 【解析】 【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗价格为x元，根据“市场上价格是基地的2倍”以及“120元在市场买比在基地少3捆”列分式方程求解；（2）由A、B的单价及九折优惠求实际单价，设购买A种m捆则B种为捆，根据总费用列函数关系式，再结合“两种都需购买”及“A不超过B”确定m的取值范围． 【小问1详解】 解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为元． 根据题意列方程： 解得． 经检验，是原方程的根且符合题意． ∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为元； 【小问2详解】 解：设购买A种捆，则购买B种捆， 两种菜苗都需要购买， 且，即； A种捆数不超过B种捆数， ，即． 又为正整数， 的取值范围为(m为整数）． 22. 如图，在中，，点O在边上，经过点B并且与相切于点D，连接． （1）尺规作图：过点D作，垂足为点E； (保留作图痕迹，不写作法) （2）在 (1)所作的图形中， ①求证：平分； ②若四边形的周长与面积均为18，求的长． 【答案】（1）图见解析 （2）①见解析② 【解析】 【分析】（1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）①等边对等角，得到，切线的性质结合平行线的判定推出，得到，进而得到，即可得证； ②角平分线的性质，得到，证明，得到，根据题意得到，，利用勾股定理和完全平方公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 ①∵经过点B并且与相切于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形的周长与面积均为18， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查尺规作垂线，切线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键． 23. 甲、乙两组参加“扇面制作”综合与实践活动．请根据活动情境完成以下三个任务： 【活动情景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 【任务一】确定弦的长度． （1）如图2，求出弦的长度． 【任务二】设计甲组扇面． （2）如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．甲组同学在圆形卡纸中设计出与图2相同的扇面，试求出需要剪掉的卡纸面积． 【任务三】确定卡纸大小． （3）如图4，乙组利用矩形卡纸恰好能设计出与图2相同的扇面，试确定乙组需要准备的卡纸规格（即求和的长度）． 【答案】[任务一] ；[任务二] ；[任务三] ， 【解析】 【分析】任务一：由弧所对的圆心角为，可得，求得，应用勾股定理求出，即可求解； 任务二：根据需要剪掉的卡纸面积为，结合扇形面积公式即可求解； 任务三：由题意得：设矩形的边与相切于点M，延长交于点，连接交于点N，连接， 由题意知，，由上得，可得，则，，由勾股定理得，那么，即，同理：，则，即． 【详解】任务一：解：过点O作，交于点， ，， ， ， ，， ； 任务二：解：需要剪掉的卡纸面积为 ； 任务三：解：如图 由题意得：设矩形的边与相切于点M，延长交于点，连接，连接交于点N，交于点， 由题意知，， 由上得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴， 同理：， ∴， 同理：四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，圆的切线的性质，扇形面积的求解，矩形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 24. 定义：若两个函数的图象关于某一点中心对称，则称这两个函数关于点互为“伴随函数”．例如，函数与关于原点互为“伴随函数”．举例：求函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式． 解：设函数关于原点的“伴随函数”上的任一点为， 则该点关于原点的对称点为， 将代入函数得： ， ． 函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式为； （1）函数的顶点坐标是________，它关于原点的“伴随函数”的函数解析式为________； （2）已知函数与函数关于点互为“伴随函数”．若当时，函数与函数的函数值都随自变量的增大而减小，求的取值范围； （3）已知点，点，点，二次函数与函数关于点互为“伴随函数”，将二次函数与函数的图象组成的图形记为，若图形与线段恰有2个公共点，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据顶点式的性质，即可得到顶点坐标；将代入原函数，即可得到关于原点的“伴随函数”； （2）分别求出两个二次函数y随x增大而减小的x的范围，根据题目要求列不等式，求解m的范围； （3）求出函数N的解析式，结合线段的位置，分类讨论交点个数，得到a的取值范围． 【小问1详解】 解：为顶点式， 顶点坐标为， 设原函数关于原点的“伴随函数”上的任一点为， 则该点关于原点的对称点为， 将代入函数，得， ． 【小问2详解】 解：化为顶点式，得， 开口向下，顶点坐标，时，函数随x增加而减小， 设，点是的点与函数上的对应点的中点， 关于点对应点的坐标为， 代入，得， 化简得， 开口向上，顶点坐标，当时，函数随x增加而减小， ， 解得． 【小问3详解】 解：过点、点的线段，方程为， 设，关于的对称点是， 代入得， ， ，开口向下，顶点，在第一象限，y轴交点，交于y轴负半轴，与x轴交点， 原二次函数整理得， ，开口向上，顶点，在第四象限，y轴交点，交于y轴负半轴，与x轴交点， 与至多一个交点，即在上，无交点或者一个交点，处，取得最大值，最大值为， 分类讨论交点总个数为2的情况： ① 原函数无交点，N有两个交点，如下图 原函数无交点，最大值为，则，得， N在有两个交点，则顶点纵坐标，得， 且处N的函数值，得， 综上，a的取值范围为； ②原函数有一个交点，N有两个交点，且原函数与N函数，与有一个公共交点， 如下图， 即， 解得， ， 舍去， 将代入，解得； ③原函数有一个交点，N函数有一个交点， 在，原函数，得， N函数，得， ； 综上所述，满足条件的a的取值范围是或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，中心对称图形的性质，抛物线上点的坐标的特征，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练应用以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 如图，矩形的边，，点从点出发，沿射线移动．以为直径作，点为与射线的公共点，连接，．过点作，与相交于点，连接． （1）判断四边形是什么形状，试说明理由； （2）当与射线相切时，点停止移动，在点移动的过程中． ①矩形的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由； ②连接，取线段的中点，求点移动轨迹的长． 【答案】（1）四边形是矩形，理由见详解 （2）①矩形的面积存在最小值，最小值为，理由见详解；②点移动轨迹的长为 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，结合“有三个角是直角的四边形是矩形”即可求解； （2）①根据题意证明，根据相似三角形的性质得到面积比等于相似比的平方得到，则，当时，的值最小，则矩形的面积最小，由勾股定理得到，由等面积法得到，由此即可求解； ②根据题意当点F，D重合，时，点E停止运动，如图所示，点移动轨迹长为线段的长，证明即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，理由如下， 在中，是直径， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：①矩形的面积存在最小值，最小值为，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，是直径， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴当的值最小时，矩形的面积最小， ∵点为与射线的公共点， ∴当时，的值最小，则矩形的面积最小， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积的最小值为； ②∵是直径，即，点在射线上运动，点在射线上运动，连接， ∴当点F，D重合，时，点E停止运动，如图所示， ∴，， ∵当与射线相切时，点停止移动， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，点三点共线， ∴点移动轨迹长为线段的长， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴点移动轨迹的长为． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，矩形的判定和性质，勾股定理，等面积法求高，相似三角形的判定和性质等知识的综合，理解点的运动，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第二中学2025学年第二学期第三阶段学情反馈 初三年级 数学试卷 （满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 如图所示，这个图案可以看作以“基本图案”——原图案的四分之一经过变换形成的，但一定不能通过哪种变换得到（ ） A. 旋转 B. 轴对称 C. 平移 D. 对称和旋转 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 5. 如图，该几何体的展开图是（　　） A. B. C. D. 6. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（ ）． A. 160 B. 140 C. 100 D. 70 7. 如图，在中，延长至点E，使，连接与于点F，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，线段的两端点分别在轴正半轴和轴负半轴上，且的面积为，若双曲线恰好经过线段的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程有实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 单项式的系数是___________，次数是___________． 12. 是由中国某公司开发的通用人工智能系统．截至年月，的全球日活跃用户总量达到亿．将数据用科学记数法表示是________． 13. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 14. 如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 15. 如图，在中，，，，则的长为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，动点在直线上，动点在半径为的上（为坐标原点），过点作的一条切线，为切点， （1）原点到该直线的距离为________； （2）当的值为最小时，的值为________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式组： 18. 如图，已知，，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为积极备战市里将要举行的数学竞赛，某班积极组织学生进行模拟练习，在一次数学模拟考试中，随机抽取名学生的成绩分（满分分），根据等级评定：等（），等（），等（），等（）列出频数分布表，请回答问题： 等级 频数 （1）填空：这位学生的成绩的中位数落在____等级． （2）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如等：的中间值为）来代替，试估算这位学生的平均成绩． （3）若分以上（不含分）评为优秀等级，试估计全校名学生中有多少名是优秀等级？ 21. 学校带领学生去农场体验农耕劳动，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少捆． （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． （2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗（两种都需要购买）共捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买总费用（元）与购买A种菜苗捆数之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 22. 如图，在中，，点O在边上，经过点B并且与相切于点D，连接． （1）尺规作图：过点D作，垂足为点E； (保留作图痕迹，不写作法) （2）在 (1)所作的图形中， ①求证：平分； ②若四边形的周长与面积均为18，求的长． 23. 甲、乙两组参加“扇面制作”综合与实践活动．请根据活动情境完成以下三个任务： 【活动情景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 【任务一】确定弦的长度． （1）如图2，求出弦的长度． 【任务二】设计甲组扇面． （2）如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．甲组同学在圆形卡纸中设计出与图2相同的扇面，试求出需要剪掉的卡纸面积． 【任务三】确定卡纸大小． （3）如图4，乙组利用矩形卡纸恰好能设计出与图2相同的扇面，试确定乙组需要准备的卡纸规格（即求和的长度）． 24. 定义：若两个函数的图象关于某一点中心对称，则称这两个函数关于点互为“伴随函数”．例如，函数与关于原点互为“伴随函数”．举例：求函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式． 解：设函数关于原点的“伴随函数”上的任一点为， 则该点关于原点的对称点为， 将代入函数得： ， ． 函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式为； （1）函数的顶点坐标是________，它关于原点的“伴随函数”的函数解析式为________； （2）已知函数与函数关于点互为“伴随函数”．若当时，函数与函数的函数值都随自变量的增大而减小，求的取值范围； （3）已知点，点，点，二次函数与函数关于点互为“伴随函数”，将二次函数与函数的图象组成的图形记为，若图形与线段恰有2个公共点，求的取值范围． 25. 如图，矩形的边，，点从点出发，沿射线移动．以为直径作，点为与射线的公共点，连接，．过点作，与相交于点，连接． （1）判断四边形是什么形状，试说明理由； （2）当与射线相切时，点停止移动，在点移动的过程中． ①矩形的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由； ②连接，取线段的中点，求点移动轨迹的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $