23.4 实际问题与一次函数 第3课时（最大利润问题） 闯关练 2025-2026学年 人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数最大利润问题，通过基础巩固、中档提升、综合拓展三层设计，实现从单一函数应用到复杂情境建模的进阶，培养模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一次函数解析式、简单利润计算|单选1-2题结合图像/表格直接求利润，填空6-7题列基本利润方程，夯实建模基础| |中档|含约束条件的最值、函数与不等式结合|单选3-5题引入销售量限制（如不小于3倍），填空8-10题需列不等式确定自变量范围，提升推理能力| |综合|多变量问题、分段函数应用|填空11-12题涉及单价误算等复杂情境，解答15-18题融合生产方案优化（如原料限制），发展综合建模与创新意识|

23.4 实际问题与一次函数 第3课时（最大利润问题） 闯关练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册 一、单选题 1．乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（    ） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 2．某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 3．如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元 C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 4．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 5．商场销售甲种服装每件的利润为40元，乙种服装每件的利润为30元．计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件，不超过75件．在5月1日当天对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，则商场进货(　　)件甲种服装能获得最大利润． A．65 B．70 C．75 D．100 二、填空题 6．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程：___________． 7．炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元． 8．某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是_____元． 9．某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共棵，经招标，承包商以万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 政府要求栽植这批树苗的成活率不低于．则承包商购买种树苗_____棵时才能获得最大利润，最大利润是_____元． 10．某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为____________．(其中) 11．某公司以A、B两种材料，利用不同的搭配方式推出了两款产品，其中，甲产品每份含克A、克B；乙产品每份含克A、克B，甲乙两种产品每份成本价分别为A、B两种材料的成本之和，若甲产品每份成本为元，公司在核算成本的时候把A、B两种材料单价看反了，实际成本比核算时的成本多元，如果每天甲销量的倍和乙销量的倍之和不超过份，那么公司每天的实际成本最多为______ 元 12．中秋将至，某公司为员工准备了五仁月饼、莲蓉蛋黄月饼和云腿月饼，已知五仁月饼、莲蓉蛋黄月饼和云腿月饼的单价之和为22元，其中云腿月饼的单价为10元．计划购买五仁月饼、莲蓉蛋黄月饼和云腿月饼的数量总共不超过200个．其中云腿月饼购买50个，五仁月饼的数量不多于莲蓉蛋黄月饼数量的一半，但至少购买30个．但在做计划时，将五仁月饼和莲蓉蛋黄月饼的单价弄反了，结果在实际购买时，总费用比计划多了80元．若五仁月饼和莲蓉蛋黄月饼的单价均为整数，则实际购买五仁月饼、莲蓉蛋黄月饼和云腿月饼的总费用最多需要花费___________元． 三、解答题 13．为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 14．某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 15．某服装店经销A，B两种T恤衫，根据资金安排，服装店分两次进货，已知第一次进价和售价如表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 第一次进货后，很快售完，获利2880元．第二次进货时，服装店计划再购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．由于受市场因素影响，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．设第二次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． (1)求出W与m的函数关系式，并注明自变量m的取值范围； (2)服装店第二次获利会不会超过第一次获利？请说明理由． 16．某扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行盆景的培植和销售，在第一期培植销售完成后，统计发现，若盆种盆景和盆种盆景共获利润元；如果盆种盆景和盆种盆景共获利润元． (1)每盆种盆景、种盆景的利润各是多少元？ (2)为更好服务于农户，扶贫小组决定进行二期盆景培植，培植种、种盆景的总数量盆，若要求第二期种盆景的数量不多于盆，当种、种盆景各多少盆时，总利润最高，最高利润是多少？ 17．某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图像，图中的折线表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系．已知线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件． (1)第24天的日销售量是__________件，日销售利润是__________元； (2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)试销售期间，日销售最大利润是多少元？ 18．今年，土瓜冲村在云南备受瞩目，这个位于曲靖市马龙区通泉街道杨官田社区的村落，因打造乡村旅居示范点，在乡村振兴之路上的卓越表现而备受赞誉．我市某村走访了土瓜冲村，学习、了解土瓜冲村的发展模式，并决定充分利用乡村资源，结合先进理念，平衡群众、集体和企业的利益，从而推动文旅产业的新发展，助力乡村振兴．经过深入的调查研究，该村决定利用当地盛产的甲、乙两种原料开发、两种商品． 如何设计合理的生产方案 素材一 为科学决策，他们试生产、两种商品共100千克进行深入研究，已知现有甲种原料270千克，乙种原料254千克． 素材二 生产1千克商品，1千克商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如表所示： 甲种原料（单位：千克） 乙种原料（单位：千克） 生产成本（单位：元） A商品 3 2 100 B商品 2 3 180 设生产种商品千克，生产、两种商品共100千克的总成本为元（为整数）． 根据以上素材，完成下列两个任务的解答 任务一 （1）请你利用不等式的相关知识说明有多少种生产方案； 任务二 （2）求与的函数解析式，并求出当取何值时，应如何安排生产方案才能使总成本最小？最小成本为多少元？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 B B C D C 1．B 根据题意，利用待定系数法求出与的一次函数关系式，然后将代入即可求出销售量，最后利用销售收入减去成本支出即可求出销售利润． 解：设与的一次函数关系式为， 由图可得， 解得， 所以与的一次函数关系式为， 把代入可得， 所以销售利润为（元）． 故选B． 本题考查求一次函数的关系式和利润问题，熟练掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 2．B 本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围． 设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台， 根据题意得：． 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为(元)， 答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元． 故选：B． 3．C 根据函数图象分别求出当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为，当时，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断． A、根据图①可得第25天的销售量为200件， 故此选项正确，不符合题意； B、设当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，， 故此选项正确，不符合题意； C、当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，日销售利润为（元）； 当时，日销售利润为（元）， ∴第20天和第30天销售利润不相等， 故此选项错误，符合题意； D、当时，日销售利润为（元）， 当时，日销售利润为（元）． ∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润， 故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式． 4．D 通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式． 5．C 利用总利润＝销售甲种服装的利润＋销售乙种服装的利润，建立函数关系式，利用一次函数的性质求利润的最大值即可． 解：设甲种服装购进件，总利润为元，根据题意得 ∴，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件． 故选：C． 本题考查一次函数的实际应用，掌握列一次函数关系式与利用一次函数的性质求最大值是解题关键． 6．或 设，根据题意，得，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，利润问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 解：设， 根据题意，得 解得， 故解析式为， 故或， 故答案为：或． 7．780 本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用， 设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，再根据不等式关系得，进而得出取值范围，然后根据利润得出一次函数，最后结合自变量取值范围讨论最大值即可． 解：设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，每天获得利润为y元，根据题意，得 ， 解得，且． ∵， ∴函数值y随着x的增大而减小， 即当时，（元）． 所以该超市每天获得的最大利润是780元． 故答案为：780． 8．6600 根据图象求出线段AB的解析式，求出当x=8时的y值，再根据利润公式计算即可． 解：设线段AB的解析式为y=kx+b，点A、B的坐标代入，得 ，解得， ∴y=-600x+7000， 当x=8时，y=， ∴这天销售苹果的盈利是=6600（元）， 故答案为：6600． 此题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象求出线段AB的解析式是解题的关键． 9． 本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确列出式子是解题的关键．先根据题意和表格中的数据可以得到与的函数关系式，再根据题意可以的得到相应的不等式，从而可以解答本题． 解：设承包商购买种树苗棵，承包商获得的利润为元， 根据题意可得， 即与之间的函数关系式是； ∵政府要求栽植这批树苗的成活率不低于， ∴， 解得， ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 即承包商购买种树苗棵，能获得最大利润，最大利润是元， 故答案为：；． 10．9 本题考查一次函数的实际应用，设商场获得的利润为，根据总利润等于两种服装的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，结合商场获利最大利润为4950元，进行求解即可． 解：设商场获得的利润为，由题意，得： ， 整理，得：， ∵， 当，即：时，随的增大而减小， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：（舍去）； 当时，即：时，随的增大而增大， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：； 故答案为：9． 11． 设每克A种材料的成本价为元，每天销售份甲产品，份乙产品，公司每天实际成本为元，则每克B种材料的成本价为元，根据实际成本比核算时的成本多元，即可得出，利用餐厅每天实际成本每份甲产品的成本销售数量每份乙产品的成本销售数量，可得出，由每天甲销量的倍和乙销量的倍之和不超过份，可得出，将其代入w中可求出w的取值范围，取其最大值即可得出结论． 解：设每克A种材料的成本价为元，每天销售份甲产品，份乙产品，每天公司实际成本为元，则每克B种材料的成本价为元， 依题意，得：， 化简，得：． ，， ． ∴公司每天实际成本最多为元． 故答案为：． 本题考查了二元一次不定方程的应用，根据各数量之间的关系，找出与（4m＋3n）之间的关系是解题的关键． 12． 设购买五仁月饼个，莲蓉蛋黄月饼个，五仁月饼的单价为元，依据实际购买总费用比预算多了80元列出方程，化简得出，根据题中不等关系得到的值，由购买五仁月饼、莲蓉蛋黄月饼和云腿月饼的数量总共不超过200个及之间的关系，可得一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，即可求解． 解：设购买五仁月饼个，莲蓉蛋黄月饼个，五仁月饼的单价为元， 则莲蓉蛋黄月饼的单价为元， 依题意可得： 化简可得： 由题意可得：，则，即 ∴ 又∵均为正整数 ∴，即 ∵ ∴ 当时，，， ∴ ∴ 购买五仁月饼、莲蓉蛋黄月饼和云腿月饼的总费用为元 当时，费用最多，为元， 故答案为： 本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 13．(1)， (2)方案一更划算，理由见解析 本题主要考查了函数关系式，求函数值，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据两种不同的优惠方案列出函数关系式即可； （2）把分别代入（1）中函数关系式，然后进行比较即可． （1）解：， （2）解：当时，， ， 方案一更划算． 14．(1)方案1：；方案2： (2)工厂采用方案1时利润最大，见解析 (3)见解析 本题考查一次函数的应用和方案设计问题． （1）每件产品出厂价为50，共x件，则总收入为：，成本费为，产生的污水总量为，按方案一处理污水应花费：，按方案二处理应花费：．根据利润=总收入-总支出即可得到y与x的关系； （2）根据（1）中得到的x与y的关系，将代入，比较y的大小即可得采用哪种方案工厂利润最多． （3）根据（1）中得到的x与y的关系，列不等式即可求解. （1）按方案1处理污水时，． 按方案2处理污水时，； （2）当时，； ． 因为， 所以工厂采用方案1时所获利润更大． （3）当时，解得，即当每月生产量超过5000件时，工厂采用方案1时利润更多； 当时，解得，即当每月生产量等于5000件时，工厂采用任意一种方案的利润相同； 当时，解得，即当每月生产量小于5000件时，工厂采用方案2时利润更多． 15．(1) (2)服装店第二次获利不会超过第一次获利，理由见解析 本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）第二次购进B种T恤衫件，根据题意列关于m的一元一次不等式组并求其解集，根据获利种T恤衫的利润种T恤衫的利润写出W与m的函数关系式即可； （2）根据一次函数的增减性求出W的最大值并与2880元比较大小即可得出结论． （1）解：第二次购进B种T恤衫件， 根据题意，得， 解得：， ， ∴W与m的函数关系式及自变量m的取值范围是： ． （2）解：服装店第二次获利不会超过第一次获利．理由如下： ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵， ∴当时W值最大，， ∵， ∴服装店第二次获利不会超过第一次获利． 16．(1)每盆种盆景的利润为元、种盆景的利润是元 (2)当种盆、种盆景盆时，总利润最高，最高利润是元 本题考查了一次函数的应用和二元一次方程的应用，找到等量关系和掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据“盆种盆景和盆种盆景共获利润元；如果盆种盆景和盆种盆景共获利润元”列方程组求解； （2）先根据“、的利润和等于总利润”列出函数表达式，再根据函数的性质求解． （1）解：设每盆种盆景的利润为元、种盆景的利润是元， 由题意得： 解得：， 答：每盆种盆景的利润为元、种盆景的利润是元； （2）设利润为元，种盆景盆， 则， ， 随的增大而增大， ， 当时，取最大值，最大值为：元， 答：当种盆、种盆景盆时，总利润最高，最高利润是元． 17．(1)330，660 (2) (3)720 （1）先确定第24天处于段，利用段“时间每增加1天，日销售量减少5件”的规律计算日销售量，再结合“利润（售价成本价）日销售量”求日销售利润； （2）分段和段分别求函数关系式：段为正比例函数，通过图像上已知点求解析式；段为一次函数，利用待定系数法求解析式，再确定两段的取值范围； （3）根据“利润（售价成本价）日销售量”，结合日销售量的最大值（由段函数性质确定）计算最大利润． （1）解：由线段中时间每增加1天，日销售量减少5件，观察图像，当时，（即第22天日销售量为340件）， 第24天与第22天间隔天，因此日销售量减少件， 所以第24天的日销售量为件； 已知产品成本价为6元/件，售价为8元/件，每件利润为元， 日销售利润 每件利润 日销售量，即元． 故答案为：330，660； （2）解：段为过原点的正比例函数，设其解析式为， 由图像可知，当时，，代入得，解得， 段的函数关系式为； 段为一次函数，设其解析式为， 由（1）知，当时，， 将代入，得， 解得，， 段的函数关系式为， 解方程组得，， 综上，； （3）解：日销售利润 每件利润 日销售量，其中售价成本价 元（定值），因此日销售量最大时，利润最大， 段函数中，，随增大而增大；段函数中，，随增大而减小， 因此，日销售量的最大值出现在段的终点（即时）， 当时，代入段函数，得件， 日销售最大利润 元， 本题考查了函数的概念及应用，一次函数和正比例函数，函数图像的理解，函数的最大值和最小值，数学建模思想，关键在于理解分段函数的分界点及各段函数的变化规律，通过函数性质确定最值． 18．（1）有种生产方案（2）安排生产种商品70千克，生产B种商品千克，才能使总成本最小,最小成本为元． 本题考查了不等式组的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据生产、两种商品共100千克进行深入研究，已知现有甲种原料270千克，乙种原料254千克，进行列出不等式，再解得，进行分析，即可作答． （2）先理解题意，根据、两种商品的生产成本进行列式化简得，结合一次函数的性质以及进行分析，即可作答． 解：（1）∵设生产种商品千克，生产、两种商品共100千克 ∴生产B种商品千克 则， 解得， ∵为整数， ∴（种） ∴有种生产方案； （2）依题意， 由（1）得，且为整数， ∵， ∴在中，随着的增大而减小 故当时，，则有最小值， 即， ， ∴安排生产种商品70千克，生产B种商品千克，才能使总成本最小,最小成本为元． 学科网（北京）股份有限公司 $