精品解析：广东省深圳市坪山区中山中学2025-2026学年第二学期期中质量监测 八年级数学试题卷

2025－2026学年第二学期期中质量监测初二数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题、填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，第Ⅰ卷为1－13题，共39分，第Ⅱ卷为14－20题，共61分．全卷共计100分．考试时间为90分钟． 注意事项： 1．答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置． 2．选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第Ⅰ卷（本卷共计39分） 一、选择题：（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计24分） 1. 数学之美，藏在图形的对称里：轴对称让图形拥有“镜像重合”的平衡感，中心对称让图形拥有“旋转重合”的和谐感．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此项符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此项不符合题意． 2. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于A，若，满足，此时 ，故A错误； 对于B，若，则 ，若，则 ，故B错误； 对于C，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，则，故C错误； 对于D，不等式两边同时减同一个数1，不等号方向不变，则，故D正确． 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：不等式组的解集为， 在数轴上表示是： 4. 如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（ ） A. 在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线判定得出BP平分∠DPE，根据平行线的性质推出∠DBP＝∠EBP，即可得出答案． 【详解】解：∵∠M＝∠N＝90°，BM＝BN， ∴BP平分∠DPE， ∴∠DPB＝∠EPB， ∵DP∥BC，PE∥BD， ∴∠DPB＝∠PBE，∠EPB＝∠DBP， ∴∠DBP＝∠EBC， 即在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，平行线的性质的应用，注意：角的内部到角的两边距离相等得点在角的平分线上． 5. 在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据点平移后的对应点为，得出平移的方式，再根据平移的规律，即可得出答案． 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向左平移个单位，向下平移4个单位， ∴点平移后的对应点的坐标是． 6. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，若已知，则的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据中垂线的性质，得到，即可求解． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， ∵， ∴的周长为 ． 7. 如图是小红在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线，即），已知小红的眼睛D到鞋底A处的距离，，若，且，，则小红的鞋底A处到镜子底端O的距离为（ ）m． A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出的度数，结合法线的定义求出，利用光的反射定律得出，进而求出，最后在中利用含角的直角三角形性质及勾股定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 根据镜面的反射性质，反射角等于入射角，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 小红的鞋底A处到镜子底端O的距离为． 8. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象交点右侧直线图象在直线图象的上面，即可得出的解集． 【详解】解：∵直线和直线交于点， ∴由图象可得，不等式的解集为． 即关于的不等式的解集为． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共计15分） 9. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解不等式即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得， 解不等式得． 10. 如图，小明从A点出发，沿直线前进3米后向左转，再沿直线前进3米，又向左转，……，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为______米． 【答案】24 【解析】 【分析】由已知条件得走的图形是正多边形，且每个外角为，由外角和求出边数，即可求解． 【详解】解：第一次回到出发点A时， 走的图形是正多边形，且每个外角为， ， 解得， 共走路程为（米）． 11. 下列命题是真命题的有______． ①对顶角相等；②一个三角形中相等的边所对的角相等；③内错角相等，两直线平行；④如果，那么且． 【答案】 ①②③ 【解析】 【详解】解：①对顶角相等是对顶角的基本性质，是真命题； ②一个三角形中相等的边所对的角相等，即等边对等角，是等腰三角形的性质，是真命题； ③内错角相等，两直线平行是平行线的判定定理，是真命题； ④如果，根据有理数乘法法则，可得或，只需其中一个为0即可，不需要且，因此该命题是假命题； 综上，是真命题的有①②③． 12. 如图，在锐角中，，，的角平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】如图，作点B关于AD的对称点B′， 由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短， 由轴对称性质，BM=B′M， ∴BM+MN=B′M+MN=B′N， 由轴对称的性质，AD垂直平分BB′， ∴AB=AB′， ∵∠BAC=60°， ∴△ABB′是等边三角形， ∵AB=6， ∴B′N=6×=， 即BM+MN的最小值是． 故答案为． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观． 13. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 _____． 【答案】25 【解析】 【分析】过A作于D，根据旋转的性质得出，，利用含30度角的直角三角形的性质得出，结合图形得出即可求解． 【详解】解：过A作于D，如图： 在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， 故答案为：25． 【点睛】题目主要考查旋转的性质及含30度角的直角三角形的性质，结合图形，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 第II卷（本卷共计61分） 三、解答题：（本大题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题7分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，共计61分） 14. 解不等式（组） （1）解不等式； （2）解不等式组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 解不等式得， 解不等式得， 则不等式组的解集为． 15. 如图，的顶点坐标分别为． （1）以原点为对称中心，画出与成中心对称的图形； （2）将平移后得到，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）和关于点P中心对称，请直接写出P点坐标_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质即可作图； （2）由点的对应点，得到平移方式，即可作图； （3）连接交于点，即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求； 【小问2详解】 解：∵点的对应点，且 ， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴如图，即为所求， 【小问3详解】 解：如图，连接交于点， 则． 16. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）尺规作图：求作的高线，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了经过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点D作的垂线即可； （2）由角平分线的性质得，证明得，再证明即可得出． 【小问1详解】 解：的高线，如图即为所求： 【小问2详解】 证明： ． 是的平分线，， ， 在和中． ， ， ． ， ， ， ． 17. 4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动． 甲书店：所有书籍按原价9折出售； 乙书店：一次购书中不超过100元的部分按原价计费，超过100元的部分打8折．（单位：元）表示在甲书店应支付金额，（单位：元）表示在乙书店应支付金额，购书原价为x元（）． （1）根据两家书店的优惠方式，分别求出，关于x的函数表达式； （2）“世界读书日”这一天，八年级学生小明计划去甲、乙两个书店购书，选择哪家书店购书更省钱？ 【答案】（1） ，； （2） 当时，选择甲书店购书更省钱；当时，两家书店购书费用相同；当时，选择乙书店购书更省钱． 【解析】 【分析】（1）直接根据题意列出函数表达式即可； （2）根据（1）中的函数关系式，分三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 甲书店：， 乙书店：； 【小问2详解】 解：当时，则 ，解得， 当时，则 ，解得， 当时，则 ，解得， 答：当时，选择甲书店购书更省钱；当时，两家书店购书费用相同；当时，选择乙书店购书更省钱． 18. 某品牌共享单车停放在水平地面的实物图如图1，其简易图如图2，其中与地平线l平行，点M、C、D在同一直线上．已知，平分． （1）求证：； （2）现测得，坐垫点E在中管的延长线上且高度可调节，后车轮圆心点D到地面的距离为．当时，求坐垫点E到地面的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）见解析 （2）车座点E到地面的距离为． 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角，三角形外角性质以及角平分线定义可得到，根据同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）过点E作交于点F，先根据已知条件证明是等边三角形，再由等边三角形的性质和角平分线定理得出，结合已知条件求出的长，再通过解直角三角形和勾股定理求出的长，从而得出结果． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点E作交于点F， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵后车轮圆心点D到地面的距离为， ∴车座点E到地面的距离为． 19. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组．的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组．的“关联方程”． （1）方程_____（填“是”或“不是”）不等式组．的“关联方程”； （2）关于x的方程是不等式组．的“关联方程”，求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有2个整数解，试求m的取值范围． 【答案】（1）是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可； （2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可； （3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有2个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解：， 解得， 解不等式组， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵在的范围内， ∴方程是不等式组．的“关联方程”； 【小问2详解】 解： ， 解得， ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 ， ∵关于x的方程是不等式组的“关联方程”， ∴ ， 解得； 【小问3详解】 解： ， 去分母得， 移项合并同类项得， ； ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 ∴ ， 解得 ， ∵不等式组有2个整数解， ∴ ， 解得， ∴． 20. 若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）【操作感知】如图1，已知点O，A，B在的网格格点上（小正方形的顶点），若M为格点，请在图1的网格中直接画出一个以为勾股边且对角线相等的勾股四边形． （2）【探究论证】如图2，和都是等腰直角三角形，，将绕点B旋转，当时，求证：四边形是以为勾股边且对角线相等的勾股四边形． （3）【迁移探究】如图3，和都是等边三角形，将绕点B旋转，连接，若，在旋转的过程中，当四边形是以为勾股边的勾股四边形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算画图即可； （2）先证明，得到，易求，进而得到，利用勾股定理得到，从而得到，然后根据题中定义可判断四边形是勾股四边形； （3）连接，，过点B作于点F，证明，得到，进而得到，即是直角三角形，且，求出，进而求出，利用勾股定理求出，，分点在线段上，点在延长线上，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形，即为所求； 连接，，， ， ，，， ， 四边形，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是以为勾股边且对角线相等的勾股四边形； 【小问3详解】 解：连接，，过点B作于点F， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴． 即， 在和中，， ∴， ∴， ∵四边形是以为勾股边的勾股四边形， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在中，，，， ∴，， ∴， 当点在线段上时，如图， ∴； 当点在延长线上时，如图， ∴ ； 综上，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期期中质量监测初二数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题、填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，第Ⅰ卷为1－13题，共39分，第Ⅱ卷为14－20题，共61分．全卷共计100分．考试时间为90分钟． 注意事项： 1．答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置． 2．选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第Ⅰ卷（本卷共计39分） 一、选择题：（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计24分） 1. 数学之美，藏在图形的对称里：轴对称让图形拥有“镜像重合”的平衡感，中心对称让图形拥有“旋转重合”的和谐感．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（ ） A. 在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等 5. 在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，若已知，则的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 13 D. 15 7. 如图是小红在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线，即），已知小红的眼睛D到鞋底A处的距离，，若，且，，则小红的鞋底A处到镜子底端O的距离为（ ）m． A. B. 2 C. D. 4 8. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共计15分） 9. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 10. 如图，小明从A点出发，沿直线前进3米后向左转，再沿直线前进3米，又向左转，……，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为______米． 11. 下列命题是真命题的有______． ①对顶角相等；②一个三角形中相等的边所对的角相等；③内错角相等，两直线平行；④如果，那么且． 12. 如图，在锐角中，，，的角平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是________． 13. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 _____． 第II卷（本卷共计61分） 三、解答题：（本大题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题7分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，共计61分） 14. 解不等式（组） （1）解不等式 ； （2）解不等式组． 15. 如图，的顶点坐标分别为． （1）以原点为对称中心，画出与成中心对称的图形； （2）将平移后得到，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）和关于点P中心对称，请直接写出P点坐标_____． 16. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）尺规作图：求作的高线，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 17. 4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动． 甲书店：所有书籍按原价9折出售； 乙书店：一次购书中不超过100元的部分按原价计费，超过100元的部分打8折．（单位：元）表示在甲书店应支付金额，（单位：元）表示在乙书店应支付金额，购书原价为x元（）． （1）根据两家书店的优惠方式，分别求出，关于x的函数表达式； （2）“世界读书日”这一天，八年级学生小明计划去甲、乙两个书店购书，选择哪家书店购书更省钱？ 18. 某品牌共享单车停放在水平地面的实物图如图1，其简易图如图2，其中与地平线l平行，点M、C、D在同一直线上．已知，平分． （1）求证：； （2）现测得，坐垫点E在中管的延长线上且高度可调节，后车轮圆心点D到地面的距离为．当时，求坐垫点E到地面的距离（结果保留根号）． 19. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组．的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组．的“关联方程”． （1）方程_____（填“是”或“不是”）不等式组．的“关联方程”； （2）关于x的方程是不等式组．的“关联方程”，求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有2个整数解，试求m的取值范围． 20. 若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）【操作感知】如图1，已知点O，A，B在的网格格点上（小正方形的顶点），若M为格点，请在图1的网格中直接画出一个以为勾股边且对角线相等的勾股四边形． （2）【探究论证】如图2，和都是等腰直角三角形，，将绕点B旋转，当时，求证：四边形是以为勾股边且对角线相等的勾股四边形． （3）【迁移探究】如图3，和都是等边三角形，将绕点B旋转，连接，若，在旋转的过程中，当四边形是以为勾股边的勾股四边形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $