精品解析：广东佛山市第三中学初中部2025-2026学年度第二学期 八年级 数学 期中学习质量检测

2025－2026学年度第二学期八年级数学期中学习质量检测 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1.本检测的选择题和非选择题都在答题卡上作答，解答题写上必要的解题步骤． 2.作图须描黑痕迹． 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，∵，根据不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴，故A不成立，不符合题意； B选项，∵，根据不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴，故B不成立，不符合题意； C选项，∵，根据不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变， ∴，故C一定成立，符合题意； D选项，当时，满足，但，故D不一定成立，不符合题意． 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集是， 如图， 故选A． 4. 下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合要求； B选项右边未化为几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合要求； C选项是将整式乘积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； D选项将多项式化为两个整式的乘积，变形正确，符合因式分解定义. 5. 若一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由于不能确定已知的等腰三角形的内角80°是顶角还是底角，需分是顶角或底角两种情况，分别利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°， ∴分两种情况讨论： ①当为顶角时，顶角度数即为． ②当为底角时，顶角度数为． 综上，该等腰三角形的顶角度数为或． 【点睛】灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 6. 如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则的值为（ ） A. 80 B. 96 C. 192 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出，，然后将整式因式分解化简整体带入求解即可 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴，， 则． 故选：B． 【点睛】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，因式分解，理解题意是解题关键． 7. 下列命题中真命题是（ ） A. 用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时候，第一步应假设“三角形中有一个内角小于” B. 三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等 C. 等腰三角形的高线、角平分线、中线重合 D. 三角形的外角等于它的两个内角之和 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的概念，三角形三个内角平分线交点的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时候，第一步应假设“三角形的三个内角都小于”，故A选项是假命题，不符合题意； B、三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等，故B选项是真命题，符合题意； C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C选项是假命题，不符合题意； D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故D选项是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题，反证法的概念，三角形三个内角平分线交点的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的概念，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 8. 已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，． 故选：A． 9. 如图，等边三角形中，，点在线段上，，则长度为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形“三线合一”的性质求出边长，利用勾股定理求出的长，再结合及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：是等边三角形，，， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 10. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①平分；②；③点在的垂直平分线上；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形内角和计算出，再利用基本作图对①进行判断；利用得到，则可对②进行判断；利用得到，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比． 【详解】解：由作法得平分，所以①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，所以②正确； ∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上，所以③正确； ∵如图，在直角中，， ∴， ∴，． ∴， ∴， ∴．即，故④错误． 故正确有①②③，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图．角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积．熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 二、填空题：共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知点，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点M，则点M的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加3，纵坐标减2即可得到点M的坐标． 【详解】解：∵将点，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点M， ∴点M的坐标是，即． 故答案为：． 12. “的3倍与2的和是负数”用不等式表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意将文字描述转化为代数式，结合负数的定义列出不等式即可． 【详解】解：的倍是，的倍与的和为， 负数是小于的数， 因此用不等式表示为． 13. 将一副直角三角板按如图放置，使两直角重合，则∠1的度数为______． 【答案】165° 【解析】 【分析】由三角板得∠C=30°，得到∠BAC的度数，利用邻补角关系得到∠1的度数． 【详解】解：如图，∵∠C=30°， ∴∠BAC=45°-30°=15°， ∴∠1=180°-∠BAC=165°， 故答案为：165°． 【点睛】此题考查了三角板有关的计算，正确掌握三角板各角的度数及邻补角的定义是解题的关键． 14. 已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式，多边形外角和定理是解题的关键． 根据题意，设这个多边形的边数为，由多边形的内角和公式和多边形的外角和定理，可得，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意，得， 解得：，即这个多边形是六边形． 故答案为：六． 15. 如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据为线段的垂直平分线，得到，再通过等量代换可得，然后根据勾股定理和中点的知识即可求解． 【详解】解：∵于点E，E为的中点， ∴为线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即， ∴， ∵E为的中点， ∴． 16. 如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及角平分线找到规律：后一个角是前一个角的一半，然后表示出即可． 【详解】解；∵平分，平分， ∴，， ∵由三角形外角的性质可得，， ∴， 以此类推， ， …… ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 三、解答题（一）（共3题，第17题8分，第18，19题每题6分，共20分） 17. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得． 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 （1）以上解题过程中，第一步的依据是_____，第_____步开始出现错误． （2）请你写出正确解答过程． 【答案】（1）不等式性质2；三 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质及一元一次不等式的求解 （1）根据不等式的性质作答即可；第三步开始出错，移项时没有变号，写出正确的步骤即可； （2）按照正确的解一元一次不等式步骤求解即可． 【小问1详解】 解：第一步的依据是不等式性质2. 第三步开始出现错误； 故答案为：不等式性质2；三． 【小问2详解】 解： 去分母，得  去括号，得  移项，得  合并同类项，得  系数化为1，得． 19. 如图，是上的一点，且， （1）求证：． （2）若，则等于______． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）等角对等边，得到，利用即可得证； （2）根据全等三角形的性质结合含30度角直角三角形的性质，即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， 在中， ， ∴ ． 四、解答题（二）（共3题，第20题8分，21题题10分，第22题每题9分，共27分） 20. 如图，在中，， （1）用尺规作出线段的垂直平分线交于点，交于点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，求线段的长度． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）根据勾股定理逆定理得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理，得，解得， 故. 21. 如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）将向左平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到．画出平移后得到的；如果把这个过程看成是经过一次平移，则平移距离为______个单位长度； （2）画出关于原点对称的； （3）将绕着点顺时针旋转画出旋转后得到的 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移规则画出；利用勾股定理求出平移距离即可； （2）根据中心对称的性质，画出即可； （3）根据旋转的性质，画出； 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 由题意，把这个过程看成是经过一次平移，则平移距离为个单位长度； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 22. 先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式． 解：， ∴原不等式可化为． 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得： ①，②． 解不等式组①得，解不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． （1）不等式解集为______； （2）不等式解集为______； （3）解不等式． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可； （2）利用提公因式法进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可； （3）根据有理数的除法法则，异号得负，且除数不为0，对分子和分母的符号进行讨论，列出对应不等式组，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①，②， 解不等式组①得，解不等式组②得， ∴原不等式的解集为或； 【小问2详解】 解：∵， ∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ①，②， 解不等式组①无解，解不等式组②得， ∴原不等式的解集为； 【小问3详解】 解：由有理数除法法则：两数相除，异号得负，且除数不为0，得 ①，②， 解不等式组①无解，解不等式组②，得， ∴原不等式 的解集为． 五、解答题（三）（共2题，第23题12分，第24题13分，共25分） 23. 为了抓住商机，某商店决定购进、两种艺术节纪念品，若购进种纪念品8件，种纪念品3件，需要950元；若购进种纪念品5件，种纪念品6件，需要800元． （1）求购进、两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，那么该商店最多可购进纪念品多少件？ （3）若销售每件件纪念品可获利润30元，每件种纪念品可获利润20元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）购进每件A种纪念品需100元，每件B种纪念品需50元；（2）该商店最多可购进A纪念品53件；（3）当购进A种纪念品53件，B种纪念品47件时，获利最大，最大利润是2530元． 【解析】 【分析】（1）设购进每件A种纪念品需x元，每件B种纪念品需y元，根据“若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设可购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（100-m）件，根据总价=单价×数量，结合于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （3）设获得的总利润为w元，根据总利润=每件的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】解：（1）设购进每件A种纪念品需x元，每件B种纪念品需y元， 依题意得： ， 解得：． 答：购进每件A种纪念品需100元，每件B种纪念品需50元； （2）设可购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（100-m）件， 依题意得：100m+50（100-m）≤7650， 解得：m≤53． 答：该商店最多可购进A纪念品53件； （3）设获得的总利润为w元，则w=30m+20（100-m）=10m+2000． ∵10＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m=53时，w取得最大值，最大值=10×53+2000=2530． 答：当购进A种纪念品53件，B种纪念品47件时，获利最大，最大利润是2530元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 24. 在学习《图形的平移与旋转》这一课时，李老师给我们展示了一道这样的数学题目： （1）【初步感知】 如图1，在中，，点为斜边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则______；若，则点D到点E的距离等于______． （2）【探究应用】 如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若、、三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】 如图3，在中，，平面内存在一点D，使于点，若，请直接写出的长． 【答案】（1）45； （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）先证明，得到 ，进而得到，勾股定理求出即可； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）分点在下方和点在上方，两种情况，进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：∵旋转， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵、、三点共线， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 【小问3详解】 解：①当点在下方时，如图，延长至点，使， ∵，于点， ∴ ， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， 在中，由勾股定理，得； ②当点在上方时，如图，作交于点， 则， ∴ ， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， 在中，由勾股定理，得； 综上：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期八年级数学期中学习质量检测 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1.本检测的选择题和非选择题都在答题卡上作答，解答题写上必要的解题步骤． 2.作图须描黑痕迹． 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 6. 如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则的值为（ ） A. 80 B. 96 C. 192 D. 240 7. 下列命题中真命题是（ ） A. 用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时候，第一步应假设“三角形中有一个内角小于” B. 三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等 C. 等腰三角形的高线、角平分线、中线重合 D. 三角形的外角等于它的两个内角之和 8. 已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等边三角形中，，点在线段上，，则长度为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①平分；②；③点在的垂直平分线上；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知点，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点M，则点M的坐标是_____． 12. “的3倍与2的和是负数”用不等式表示为_____． 13. 将一副直角三角板按如图放置，使两直角重合，则∠1的度数为______． 14. 已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是______边形． 15. 如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______． 16. 如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________． 三、解答题（一）（共3题，第17题8分，第18，19题每题6分，共20分） 17. 因式分解： （1） （2） 18. 下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得． 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 （1）以上解题过程中，第一步的依据是_____，第_____步开始出现错误． （2）请你写出正确解答过程． 19. 如图，是上的一点，且， （1）求证：． （2）若，则等于______． 四、解答题（二）（共3题，第20题8分，21题题10分，第22题每题9分，共27分） 20. 如图，在中，， （1）用尺规作出线段的垂直平分线交于点，交于点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，求线段的长度． 21. 如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）将向左平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到．画出平移后得到的；如果把这个过程看成是经过一次平移，则平移距离为______个单位长度； （2）画出关于原点对称的； （3）将绕着点顺时针旋转画出旋转后得到的 22. 先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式． 解：， ∴原不等式可化为． 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得： ①，②． 解不等式组①得，解不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． （1）不等式解集为______； （2）不等式解集为______； （3）解不等式． 五、解答题（三）（共2题，第23题12分，第24题13分，共25分） 23. 为了抓住商机，某商店决定购进、两种艺术节纪念品，若购进种纪念品8件，种纪念品3件，需要950元；若购进种纪念品5件，种纪念品6件，需要800元． （1）求购进、两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，那么该商店最多可购进纪念品多少件？ （3）若销售每件件纪念品可获利润30元，每件种纪念品可获利润20元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 24. 在学习《图形的平移与旋转》这一课时，李老师给我们展示了一道这样的数学题目： （1）【初步感知】 如图1，在中，，点为斜边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则______；若，则点D到点E的距离等于______． （2）【探究应用】 如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若、、三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】 如图3，在中，，平面内存在一点D，使于点，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $