精品解析：广东梅州市兴宁市部分学校 2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

2025-2026学年八年级第二学期数学期中试卷 满分120分，考试用时120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，能与合并的是（　　） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】能与合并的二次根式是化简后被开方数为的同类二次根式，只需将各选项化简后，判断被开方数是否相同即可． 【详解】解：A选项：，化简后不含，不能与合并； B选项：是整数，不含，不能与合并； C选项：，化简后被开方数为，不是，不能与合并； D选项：，化简后被开方数为，与是同类二次根式，能与合并． 2. 已知，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， ∴． 3. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意，得， 解得且， ∴的取值范围是且． 4. 已知a，b，c为的三条边，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若，则为直角三角形 C. 若，则为直角三角形 D. 若，则为直角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．∵，两边平方得， ∴，不能构成三角形，故不符合题意； B．∵，移项得，符合勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形，故符合题意； C．∵ 设，，，，c为最长边， ∵，，， ∴不是直角三角形，故不符合题意； D．∵，，， ∴不是直角三角形，故不符合题意． 5. 以下各组数据为三条线段的长度，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，7 C. 3，4，5 D. 1，2，3 【答案】C 【解析】 【详解】解：A最长边为，，，，不能构成直角三角形； B最长边为，，，，不能构成直角三角形； C最长边为，，能构成直角三角形，符合题意； D最长边为，，不满足三角形三边关系，不能构成直角三角形． 6. 如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是）中，标记格点（网格线的交点），，，，则下列线段中，长度为的是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理分别计算各线段的长即可得解． 【详解】解：由图可知，，  ，  ，  ，  长度为的是线段． 7. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据两点间的距离公式求出，进而根据矩形的对角线相等即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 8. 镜，古称“鉴”，如图，是六边形镜及其抽象出的正六边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 9. 如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 10. 如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（ ）；；； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明，再利用角的关系求得，即可判断；沿对折，得到，利用角的关系求出，从而判断；设，则，，利用勾股定理可得，即，解得，从而判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 所以，正确； 根据折叠的对称性可知， ∵， ∴， ∴， ∴，正确； 设，则， ∵， ∴， 在中，利用勾股定理可得， 即， 解得，即，正确， 综上可得：正确，共个． 二、填空题（本大题共5小体，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】解：． 12. 已知，，则式子的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式变形为 ，再分别计算与的值，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： 已知，， ∴ ， ∴． 13. 如图①，在中，，为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图②所示，则的长为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12，此时，所以，再根据勾股定理求得即可． 【详解】解：由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12． 点是的中点， 当点运动到点时，， ， ， ． 14. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，若，，点B的坐标为，则点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出的长度，构造直角三角形，利用已知点的坐标点和勾股定理求出点的坐标，再利用平行四边形的性质证三角形全等，从而求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形，， 在中，， 如图所示，分别过点向作垂线，垂足分别为， 则， ， ∵点B的坐标为， ∴， 在中，， 在和中，， ∴，， 又∵点D在第二象限， ∴点D的坐标为． 15. 如图，已知为正六边形的一条对角线，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质可知，，根据等边对等角计算即可． 【详解】解：正六边形， ∴，， ∴． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 17. 先化简．再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号内的分式进行通分计算，再将除法转化为乘法，利用因式分解和约分进行化简，最后将给定的y值代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时，原式． 18. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，． 求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而得出，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再利用线段的差得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 如图，在中，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，并延长交于点E，且． （1）求证：； （2）若E为中点，，求的值． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，结合证明，进而可得，即可证明结论； （2）设，首先证明垂直平分，易得，再根据垂直平分线的性质证明，进而可得，在中，由勾股定理解得的值，进一步求解即可获得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：设， ∵E为中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即，解得（负值舍去）， ∴， ∴． 20. 如图，在中，， （1）尺规作图：作的边上的中线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，连接，则线段即为所求； （）由直角三角形的性质得，即得，，再利用勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 21. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由对角线互相平分可证明四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是矩形； （2）先得到是等边三角形，再由含有的直角三角形设出未知数，结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：是的中点， ， 四边形是平行四边形． ， ． ， ． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ． 是等边三角形，即， 在中，． 设，则， ，即， 解得，即， ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图（1），中，，，，的平分线交于C，过O点作与垂直的直线．动点P从点B出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动． （1）求、的长： （2）当，时，求的面积； （3）当P在上，Q在上运动时，如图（2），设与交于点M，当t为何值时，为等腰三角形？求出所有满足条件的t值． 【答案】（1）， （2） （3）t值为或 【解析】 【分析】（1）求出，得到，利用勾股定理求出，求出，得到，进而求解即可； （2）如图，作于H，证明出，得到，求出，，即可解决问题； （3）首先求出，表示出，，然后分三种情况讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图中，作于H．当时，P在上，Q在上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 根据题意得，， ∴ ①当时，如图， ， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②当时， 此时， ∴， ∵， ∴， ∴此时不存在； ③当时，过P作于G，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 解得：． 综上，当t为或时，是等腰三角形． 23. 四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． （1）如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； （2）如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是，证明见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形即可得到四边形是正方形； （2）当点在边上时，作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； 当点在的延长线上时，过点分别作于点，于点，同样根据正方形的判定即可得证； （3）结合正方形的性质可证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出结论. 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形，点为对角线中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 证明：当点在边上时， 过点作于，于，如图1，     ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴，． ∴四边形为正方形， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 当点在的延长线上时， 如图，过点分别作于点，于点，     ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； 【小问3详解】 解： 理由如下： 由（2）可知，矩形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级第二学期数学期中试卷 满分120分，考试用时120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，能与合并的是（　　） A. B. 4 C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 3. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 已知a，b，c为的三条边，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若，则为直角三角形 C. 若，则为直角三角形 D. 若，则为直角三角形 5. 以下各组数据为三条线段的长度，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，7 C. 3，4，5 D. 1，2，3 6. 如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是）中，标记格点（网格线的交点），，，，则下列线段中，长度为的是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 7. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 5 8. 镜，古称“鉴”，如图，是六边形镜及其抽象出的正六边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定 10. 如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（ ）；；； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小体，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 已知，，则式子的值为_________． 13. 如图①，在中，，为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图②所示，则的长为___________． 14. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，若，，点B的坐标为，则点D的坐标为______． 15. 如图，已知为正六边形的一条对角线，则的度数为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算：． 17. 先化简．再求值：，其中． 18. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，． 求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 如图，在中，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，并延长交于点E，且． （1）求证：； （2）若E为中点，，求的值． 20. 如图，在中，， （1）尺规作图：作的边上的中线； （2）若，，求的长． 21. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图（1），中，，，，的平分线交于C，过O点作与垂直的直线．动点P从点B出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动． （1）求、的长： （2）当，时，求的面积； （3）当P在上，Q在上运动时，如图（2），设与交于点M，当t为何值时，为等腰三角形？求出所有满足条件的t值． 23. 四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． （1）如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； （2）如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $