精品解析：山东省青岛市崂山区育才学校2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年度第二学期期中质量监测 八年级数学（试题） （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第1卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 5. 某平板电脑键盘支架如图所示，其中，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置．若，，，则阴影部分的面积为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 7. 如图，直线与直线相交于点，与x轴交于点，则关于x的不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，将含有锐角的三角板绕的锐角顶点C逆时针旋转到，、相交于点F，连接，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 若不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 不等式组的所有整数解的和等于______． 12. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是____． 13. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点C顺时针旋转一定角度，到的位置，使得点E在线段上，则_________． 14. 如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC，则∠PCQ的度数为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B的坐标是，长为2的线段在y轴上移动，则的最小值是______． 16. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是_______． 三、作图题（本题满分6分） 17. 如图所示的平面直角坐标系中，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上．将向右平移6个单位长度，向上平移2个单位长度，得到，关于点O的中心对称图形是． （1）请画出； （2）请画出； （3）若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标是_________． 四、解答题（本大题共8小题，共66分） 18. 分解因式： （1） （2） （3） 19. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上： 20. 如图，在 中，，，垂足为 ． 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，． （1）求 的度数 （2）若 ，求 的长度 21. 小明需要寄送一批包裹，现了解到A、B两个快递公司的收费标准如下表： 首重费用 续重费用 A公司 包裹重量，收费12元 超过，每增加加收3元（不足按计算） B公司 统一收费 无论重量，均按5元计算，最低收费10元（即不足也按10元计算） 设小明需要寄送包裹的重量为（）． （1）若小明寄送包裹的重量为，A公司的收费为_______元，B公司的收费为_______元； （2）若小明寄送包裹的重量超过，则他去哪个公司寄送更划算？ 22. 如图，平分，于点E，于点F，且． （1）求证：． （2）若．求的值． 23. 类比推理是一种特殊的归纳推理，人们在探讨一些尚未观察到的事物性质时，以某些事物、道理之间存在相似性质为依据，推断出该事物可能与其他事物有着相似的性质，它是人类试图理解世界和做出决策的最常用方法之一．在日常数学学习中，我们常常借助类比推理研究新的知识，如：分式的基本性质与运算法则都是通过与分数类比得到的． 小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法： 即，所以． 【初步探究】 小明看到这样一道被墨水污染了无法辨认的因式分解题：，（其中□、☆分别代表被污染的系数和常数），他列出了下列竖式： 通过计算，求得：□所代表的系数是______，☆所代表的常数是______； 【深入探究】 小明用上述方法对多项式进行因式分解，得到：（※）（※代表一个多项式），则※所代表的多项式为______； 【拓展应用】 我们知道，若则或，例如：，则或，由此我们可以求出关于x的方程的一个解为，另一个解为．结合上述信息解答下列问题： （1）若关于x的方程的一个解为，则另一个解为_____； （2）若关于x的方程有两个解为，，则第三个解为______． 24. 某商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调的每台进价比乙种贵300元，用36000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题： （1）甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元； （2）若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价2000元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调的数量m（台）之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过34500元购进两种空调，则甲、乙两种空调各购进多少台时，该商场获得的利润最大？最大利润是多少元？ 25. 如图1，直线与x、y轴分别交于A，B两点，以为直角边在第一象限内作等腰直角，，． （1）C点坐标为_______； （2）如图2，点E为线段上的一个动点（E不与B，O重合），连接，以为直角边作等腰直角，，连接交x轴于G，求证：G是的中点； （3）如图3，将沿着x轴向左平移得到，直线与y轴交于点M，当以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中质量监测 八年级数学（试题） （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第1卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； D、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个选项中，只有C选项中的不等式成立， 故选C． 3. 下列变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，是因式分解，符合题意； C、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 4. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【解析】 【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB 【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE=PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理． 5. 某平板电脑键盘支架如图所示，其中，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及外角的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置．若，，，则阴影部分的面积为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握平移的性质是解题关键．过点作于点，与交于点，由平移的性质可知，，，，，进而推出，根据30度角所对的直角边等于斜边一半得出，再结合阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，与交于点， ， ， 由平移的性质可知，，，，， ， ， ， 在中，，， ， ， 阴影部分的面积， 故选：B． 7. 如图，直线与直线相交于点，与x轴交于点，则关于x的不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、一元一次不等式和图象的关系，看懂题意、图形是解答的关键．可结合图形与函数的关系，从图中直接得出答案即可． 【详解】解：由图可得， 的解集为：， 的解集为：， 不等式组的解集为：； 故选：C． 8. 如图，将含有锐角的三角板绕的锐角顶点C逆时针旋转到，、相交于点F，连接，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，则，由可得，则，所以，即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 根据旋转的性质可得，，则， ∵， ∴， ∴， 由可得， 解得， 故选：B 【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，列出方程． 9. 若不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式组整数解，分别解不等式组中的两个不等式，根据不等式组的整数解情况可得a的范围． 【详解】解：由得：， 由得：， 因为不等式组有3个整数解， 所以不等式组的整数解为0、、， 则， 故选：A． 10. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，三角形三边关系灵活运用完全平方公式是解题的关键．根据三角形三边关系可判断①正确；根据完全平方公式即可得到②③正确；将不等式两边平方再相减即可得出④正确． 【详解】解：①由三角形的两边之和大于第三边可知，故①正确； ②，， 即，故②正确； ③，， ，故③正确； ④， ， 、、都大于0， ，故④正确； 故选：D． 二、填空题（满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 不等式组的所有整数解的和等于______． 【答案】0 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，并把整数解相加即可得出答案． 【详解】解：两边同时加1得： 两边同时除以2得： ， 所以整数解有：-2、-1，0，1，2. -2-1+0+1+2＝0 故答案为0. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出不等式组的解集是解此题的关键． 12. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是____． 【答案】10 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式与多边形外角和恒为，结合题目给出的倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意可得， 解得． 13. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点C顺时针旋转一定角度，到的位置，使得点E在线段上，则_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，则由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC，则∠PCQ的度数为________． 【答案】（）° 【解析】 【分析】根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB，∠A=∠AQP，∠QPC=∠QCP，∠BQC=∠B，设∠A=x°，则∠AQP=x°，根据三角形的外角性质求出∠QPC=∠PCQ=2x°，∠BQC=3x°，∠ACB=∠B=3x°．在△ABC中根据三角形的内角和定理得出方程x°+3x°+3x°=180°，解方程求出即可． 【详解】∵AB=AC，AP=PQ，QP=QC，QC=BC， ∴∠ABC=∠ACB，∠A=∠AQP，∠QPC=∠QCP，∠BQC=∠B（等边对等角）， 设∠A=x°，则∠AQP=x°， ∵在△AQP中，∠QPB是外角， ∴∠QPC=∠A+∠AQP=2x°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， ∵在△BCQ中，∠BQC是外角， ∴∠BQC=∠ACQ+∠A（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∴∠BQC=3x°， ∴∠B=3x°， ∴∠ABC=3x°， ∵在△ABC中，∠A+∠ACB+∠B=180°， ∴x°+3x°+3x°=180°（三角形三个内角的和等于180°）， 解得：x=（）°， ∴∠PCQ=2x=（）°． 故答案为（）°． 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能得到方程x°+3x°+3x°=180°是解答此题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B的坐标是，长为2的线段在y轴上移动，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查平移的性质，勾股定理；将把向下平移2个单位长度得到线段，连接，则，进而得出的最小值为长，即可求解答案． 【详解】解：如图，把向下平移2个单位长度得到线段，连接，则， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 16. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，进而得到，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：； 故答案为：． 三、作图题（本题满分6分） 17. 如图所示的平面直角坐标系中，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上．将向右平移6个单位长度，向上平移2个单位长度，得到，关于点O的中心对称图形是． （1）请画出； （2）请画出； （3）若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标是_________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移、中心对称，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据平移方式，画出顶点的对应点分别为，，，再顺次连接即可得到； （2）根据中心对称方式，画出顶点的对应点分别为，，，再顺次连接即可得到； （3）结合图形得到，，，，，的坐标，再根据旋转中心在旋转对应点连线的垂直平分线上即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 由图可得：，，，，，，，，，，，， 的中点为，，的中点为，，的中点为，， 点，同时在，，的垂直平分线上， 又将绕某一点旋转可得到， 旋转中心的坐标为，， 故答案为：，． 四、解答题（本大题共8小题，共66分） 18. 分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 19. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上： 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查求一元一次不等式组的解集，把解集表示在数轴上，根据不等式的性质分别求出不等式的解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解． 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得， 在同一条数轴上表示不等式①，②的解集，如图 所以，原不等式组的解集是． 20. 如图，在 中，，，垂足为 ． 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，． （1）求 的度数 （2）若 ，求 的长度 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，结合，得出，根据三角形内角和定理求得，进而求得； （2）先证明是等边三角形，得出，结合得出，根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 【小问2详解】 ∵ ∴是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 21. 小明需要寄送一批包裹，现了解到A、B两个快递公司的收费标准如下表： 首重费用 续重费用 A公司 包裹重量，收费12元 超过，每增加加收3元（不足按计算） B公司 统一收费 无论重量，均按5元计算，最低收费10元（即不足也按10元计算） 设小明需要寄送包裹的重量为（）． （1）若小明寄送包裹的重量为，A公司的收费为_______元，B公司的收费为_______元； （2）若小明寄送包裹的重量超过，则他去哪个公司寄送更划算？ 【答案】（1）12，10 （2）当小明寄送包裹重量在以上以下，或在以上以下，则选择B公司划算；当小明寄送包裹重量恰好为或时，则选择A公司，B公司费用一样；当小明寄送包裹重量在到之间时或超过时，则选择A公司划算 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，解题的关键是正确理解题意，利用数形结合的思想求解． （1）根据题意即可求解； （2）画出函数图象进行分析即可． 【小问1详解】 解：A公司：，则收费12元； B公司：，则收费10元， 故答案为：12，10； 【小问2详解】 解：设公司收费为元，公司收费为元， ， 画出函数图象： 由函数图象可得： 时，或 或； 当时，或 当时，， ∴当小明寄送包裹重量在以上以下，或在以上以下，则选择B公司划算；当小明寄送包裹重量恰好为或时，则选择A公司，B公司费用一样；当小明寄送包裹重量在到之间时或超过时，则选择A公司划算． 22. 如图，平分，于点E，于点F，且． （1）求证：． （2）若．求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键． （1）先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段的和差即可得． 【小问1详解】 证明：平分，，， ． 在和中， ∵ ． 【小问2详解】 解：由（1），得， ． ，， ． 在和中， ∵ ， ， ， ． 23. 类比推理是一种特殊的归纳推理，人们在探讨一些尚未观察到的事物性质时，以某些事物、道理之间存在相似性质为依据，推断出该事物可能与其他事物有着相似的性质，它是人类试图理解世界和做出决策的最常用方法之一．在日常数学学习中，我们常常借助类比推理研究新的知识，如：分式的基本性质与运算法则都是通过与分数类比得到的． 小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法： 即，所以． 【初步探究】 小明看到这样一道被墨水污染了无法辨认的因式分解题：，（其中□、☆分别代表被污染的系数和常数），他列出了下列竖式： 通过计算，求得：□所代表的系数是______，☆所代表的常数是______； 【深入探究】 小明用上述方法对多项式进行因式分解，得到：（※）（※代表一个多项式），则※所代表的多项式为______； 【拓展应用】 我们知道，若则或，例如：，则或，由此我们可以求出关于x的方程的一个解为，另一个解为．结合上述信息解答下列问题： （1）若关于x的方程的一个解为，则另一个解为_____； （2）若关于x的方程有两个解为，，则第三个解为______． 【答案】初步探究：；深入探究：；拓展应用：（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解、二元一次方程组的求解、归纳与类比，会利用类比的方法，关键在于掌握类比推理的思想方法． 初步探究：根据，即可求解； 深入探究：对该多项式列出竖式进行因式分解，即可求解※所代表的多项式； 拓展应用：（1）将方程左边进行因式分解，即可得到另一个解； （2）将方程左边进行因式分解，即可得到第三个解； 【详解】解：初步探究：根据题意，，， 解得：，； 深入探究：根据题意，列出竖式如下： 则※所代表的多项式为：； 拓展应用：（1）∵关于x的方程的一个解为， 则将方程左边进行因式分解，得到其中一个因式为，列竖式如下图： 则，则另一个解为； （2）∵关于x的方程有两个解为，， 则将方程左边进行因式分解，得到其中两个因式为，列竖式如下图： 则，则第三个解为． 24. 某商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调的每台进价比乙种贵300元，用36000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题： （1）甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元； （2）若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价2000元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调的数量m（台）之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过34500元购进两种空调，则甲、乙两种空调各购进多少台时，该商场获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）1800，1500 （2） （3）购进甲种空调15台、乙种空调5台，最大利润是11500元 【解析】 【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）设乙种空调每台的进价是元，则甲种空调每台的进价是元，根据“购进某种空调的数量=购进该种空调金额该种空调每台进价”列方程并求解即可； （2）购进乙种空调的数量为台，根据“所获利润＝甲种空调每台利润甲种空调数量+乙种空调每台利润乙种空调数量"写出与之间的函数关系式即可； （3）根据“甲种空调每台的进价购进甲种空调的数量+乙种空调每台的进价购进乙种空调的数量”列关于的一元一次不等式并求解；根据（2）中求得的函数关系式的增减性和的取值范围，确定当为何值时值最大，求出其最大值及对应的的值即可． 【小问1详解】 解：设乙种空调每台的进价是元，则甲种空调每台的进价是元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， (元)， ∴甲种空调每台的进价是1800元，乙种空调每台的进价是1500元． 【小问2详解】 解：由题意可知，购进乙种空调的数量为台． ， ∴与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：根据题意，得， 解得； ， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大，（台）， ∴购进甲种空调15台、乙种空调5台时，该商场获得的利润最大，最大利润是11500元． 25. 如图1，直线与x、y轴分别交于A，B两点，以为直角边在第一象限内作等腰直角，，． （1）C点坐标为_______； （2）如图2，点E为线段上的一个动点（E不与B，O重合），连接，以为直角边作等腰直角，，连接交x轴于G，求证：G是的中点； （3）如图3，将沿着x轴向左平移得到，直线与y轴交于点M，当以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2）见解析 （3）点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）过点作轴，交轴于点，利用定理证明，然后结合一次函数性质求得点坐标； （2）在轴上截取，连接，利用定理证明，定理证明，从而求解； （3）由平移的性质，设直线的解析式为，由一次函数的性质求得点坐标为，点坐标为，然后分，，三种情况列方程求解． 【小问1详解】 解：过点作轴，交轴于点， 与、轴分别交于，两点， 当时，， 当时，，解得：， ，， ，轴， ，，， ， 又， ， ，， ， 点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：在轴上截取，连接， 在等腰直角中，，， 由（1）可得， ， ，， 在等腰直角中，，， ， 又， ， ， ， 又，， ， ， 即是的中点； 【小问3详解】 解：由平移的性质，设直线的解析式为， 当时，， 当时，， 点坐标为，点坐标为， 又，， ，， 当以、、为顶点的三角形是等腰三角形时， ①当时，，解得：， 此时点坐标为； ②当时，，解得：（与重合，舍去），， 此时点坐标为； ③当时，，解得：， 此时点坐标为， 综上，点坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数的几何应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，掌握一次函数的性质和全等三角形的判定和性质，利用数形结合思想解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $