精品解析：山东省青岛市 崂山区实验初级中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

2024－2025学年第二学期八年级数学学科期中检测 考试时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（共30分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 3. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1 200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最多可打（ ）折． A. 六 B. 七 C. 八 D. 九 6. 如图，在中，，是的平分线，若，则点D到的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（　　） A. B. C. D. 8. 如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转，那么图中阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 10. 已知、、是的三边，下列条件：①，，；②，；③；④，能够判断为直角三角形的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（共18分） 11. 把多项式分解因式的结果是_________． 12. 若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是__________． 13. 已知，则_________． 14. 如图，将周长为的沿方向平移个单位长度得到，则四边形的周长为________． 15. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是______． 16. 如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________________（写出所有正确结论的序号） 三、作图题（共4分） 17. 已知：如图，四边形，E为边上一点． 求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等． 四、解答题（共68分） 18. （1）解不等式，并写出它的所有非负整数解； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 19. 把下列多项式分解因式 （1）； （2）； （3）； （4） 20. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，，求证：． 21. 某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 （1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ （2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 22. 如图，已知，，于点，于点，点是的中点． （1）求证：平分； （2）求证：是等边三角形 23. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同． （1）求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价； （2）商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售． 厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒盒，设去A厂家购买应付元，去厂家购买应付元，其函数图象如图所示： ①分别求出，与之间的函数关系； ②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？ 24. 已知：如图1：在中，，，，在下方作于点，，动点从点开始沿边以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： （1）连接，当为何值时，点在线段的垂直平分线上； （2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，请直接写出的面积． 25. 【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∴ 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则 ______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______； （3）如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______． （4）在中，，，是边上的高． 求：①与的面积之比； ②若，求和的具体值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期八年级数学学科期中检测 考试时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（共30分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反证法中的假设，反证法的第一步是假设结论的反面成立，进行判断即可． 【详解】解：由题意，应假设这个三角形中每一个内角都大于； 故选C． 3. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得提取即可得到答案． 【详解】解： ， 故选C． 【点睛】本题考查了提公因式分解因式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 4. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质推出，则． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选A． 5. 某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1 200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最多可打（ ）折． A. 六 B. 七 C. 八 D. 九 【答案】B 【解析】 【分析】设该自行车最多能打x折，则根据利润率不低于，可得出一元一次不等式，解出即可得出答案． 【详解】解：设该自行车最多能打x折， 由题意得， 解得：，即最多可打7折． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出一元一次不等式是解题的关键． 6. 如图，在中，，是的平分线，若，则点D到的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，作，得，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是： 故选：A 7. 如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；解题的关键是熟练掌握等边对等角． 先根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 8. 如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为；如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明，得到，则，即点A的对应点的坐标是． 【详解】解：由题意得，平移前， ∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合， ∴平移方式为向右平移3个单位长度， ∴平移后点A的对应点坐标为， 如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A的对应点的坐标是， 故选：A． 9. 如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转，那么图中阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接BM，根据旋转的性质和四边形的性质，证明△ABM≌△C′BM，得到∠2＝∠3＝30°，利用三角函数和三角形面积公式求出△ABM的面积，再利用阴影部分面积＝正方形面积−2△ABM的面积即可得到答案． 【详解】连接BM， 在△ABM和△C′BM中， ∴△ABM≌△C′BM， ∠2＝∠3＝＝30°， 在△ABM中，AM＝×tan30°＝1， S△ABM＝×AM×AB＝， 正方形的面积为：()2＝3， 阴影部分的面积为：3−2×＝3−， 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质和正方形的性质，利用旋转的性质和正方形的性质证明两三角形全等是解决本题的关键． 10. 已知、、是的三边，下列条件：①，，；②，；③；④，能够判断为直角三角形的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理求解即可．本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，难度适中． 【详解】解：①， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ②，，， ， 是钝角三角形， 故本选项不符合题意； ③， ， ， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ④， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； 综上，能够判断为直角三角形的有3个， 故选：D． 二、填空题（共18分） 11. 把多项式分解因式的结果是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在第二象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可． 【详解】∵点在第二象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和点的坐标，能得出关于x的不等式组是解此题的关键．也考查了直角坐标系各个象限坐标特点． 13. 已知，则_________． 【答案】36 【解析】 【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可． 【详解】∵， ∴原式=， 故答案是：36． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键． 14. 如图，将周长为的沿方向平移个单位长度得到，则四边形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解． 【详解】沿方向平移个单位长度得到 ，， 四边形的周长 的周长， 四边形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质得到相等的线段是解本题的关键． 15. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数形结合思想，一次函数与一元一次不等式：根据两条直线的交点求不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为函数和的图象交于点，则的解集是，即可作答． 【详解】解：∵因为函数和的图象交于点， 则的解集是， 即不等式的解集是， 故答案为： 16. 如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________________（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．证得，从而推得①正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明，得出，，则③正确，同理，得出，则，证明．可得出结论④正确． 【详解】解：， ，即， 又，， ， ，故①正确； ， ， ， 设与相交于点， ， ；故②正确； 过点作于点，过点作交的延长线于点， ， ，， ， 又， ， ，， 故③正确， 同理， ， ， ，， ， ， ， ，故④正确． 故选：①②③④． 三、作图题（共4分） 17. 已知：如图，四边形，E为边上一点． 求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法．作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，点P即为所求． 【详解】解：作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，如图，点P即为所求． 四、解答题（共68分） 18. （1）解不等式，并写出它的所有非负整数解； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；非负整数解为：，，，，；（2）；图见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的运算及不等式组的运算，数轴上表示不等式的解集，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用运算法则运算求解即可； （2）利用运算法则运算求解即可，再把解集在数轴上作出来即可． 【详解】（1）解： ∴不等式的非负整数解为：，，，，； （2）解： 解①可得： 解②可得： ∴不等式组的解集为：， ∴在数轴上表示为： 19. 把下列多项式分解因式 （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式，二次三项式的因式分解，是解题的关键． （1）用提取公因式法提取，直接求解即可； （2）先提取公因式，另一因式再利用平方差公式即可得到结果； （3）先提取公因式x，另一因式再利用完全平方公式即可得到结果； （4）直接用二次三项式的因式分解方法求解即可．把常数项分解两个因数，两个因数的和等于一次项系数． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：． 【小问4详解】 解：． 20. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质．根据垂直平分线的性质可得则进而根据已知求得，根据等角对等边，即可得证． 【详解】证明：∵是的垂直平分线， ∴, ∵， ∴； ∵， ∴, 在中，, ∴, ∴． 21. 某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 （1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ （2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】（1）2880元 （2）①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，购进恤衫件，购进恤衫件，列出方程组解出、值，最后求出获利数； （2）①根据条件，可列，整理即可； ②由①可知，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值计算出来和第一次获利比较即可． 【小问1详解】 解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，根据题意列出方程组为： ， 解得， 全部售完获利（元）． 【小问2详解】 ①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据题意，即， ， ②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下： 由①可知，， ，一次函数随的增大而减小， 当时，取最大值，（元）， ， 服装店第二次获利不能超过第一次获利． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键． 22. 如图，已知，，于点，于点，点是的中点． （1）求证：平分； （2）求证：是等边三角形 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，等边三角形的判定，全等三角形的判定及性质． （1）证明得，即可得出结论； （2）先由角平分线的性质得，再根据直角三角形的性质得，进而得，，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵于点，于点， ∴在和中， ， ∴， ∴， 即平分； 【小问2详解】 证明：∵，平分， ∴， ∵于点，点是的中点， ∴， ∴，， ∴是等边三角形． 23. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同． （1）求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价； （2）商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售． 厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒盒，设去A厂家购买应付元，去厂家购买应付元，其函数图象如图所示： ①分别求出，与之间的函数关系； ②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？ 【答案】（1）每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元 （2）①（且为整数）；；②购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去厂家购买划算 【解析】 【分析】（1）设每盒豆沙粽的进价为元，则每盒肉粽的进价为元，列分式方程求解即可； （2）①根据售价与数量、单价间的关系即可列一次函数得解；②由得，解得，结合图象即可得解． 【小问1详解】 解：设每盒豆沙粽的进价为元，则每盒肉粽的进价为元 方程两边乘，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的解 答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元． 【小问2详解】 解：①（且为整数） 当且为整数时， 当且为整数时， ∴ ②当且为整数， 时 由图象可知：购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去厂家购买划算． 【点睛】本题考查了求一次函数得解析式，分式方程的应用以及一次函数的图像及性质，正确找出等量关系列分式方程是解题的关键． 24. 已知：如图1：在中，，，，在下方作于点，，动点从点开始沿边以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： （1）连接，当为何值时，点在线段的垂直平分线上； （2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点在线段的垂直平分线上可得，列方程计算即可； （2）根据得到，进而得到和的关系，列方程计算即可； （3）分类讨论：①当时，②当时，逐项分析求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵，，， ∴，， 连接， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴，解得， 即当时，点在线段的垂直平分线上； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴，解得， 当时，， ∴， ∴，解得，符合题意， 综上所述，当或时，是直角三角形； 【小问3详解】 解：①当时，作，交的延长线于G，如图1， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴，， ∴； ②当时，，作，交的延长线于H，作于R，如图2， 同理可得：，， ∴，，， ∴． 综上，的面积为或． 25. 【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∴ 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则 ______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______； （3）如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______． （4）在中，，，是边上的高． 求：①与的面积之比； ②若，求和的具体值． 【答案】（1） （2）， （3） （4）①；②， 【解析】 【分析】本题主要考查了等高三角形的定义、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． （1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． （4）①设，利用含30度角的直角三角形的性质分别求得，，然后根据“等高三角形”的面积关系可得结论； ②根据①中面积关系求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于E， 则，， ∴； 【小问2详解】 解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：如图，设， ∵在中，，，是边上的高， ∴，， ∴， ∴，则， ∵与是等高三角形， ∴； ②∵，， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $