专题3平面直角坐标系易错题型专项训练（10大题型）2025-2026学年人教版七年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦平面直角坐标系10大高频易错题型，以典型误区剖析为核心，通过“概念辨析-技巧提炼-综合应用”构建系统性解题方法体系，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |象限参数|4题/点坐标符号|象限符号法则应用|从坐标定义到参数计算，强化概念辨析| |图形综合|4题/矩形坐标|图形性质与坐标转化|结合几何图形性质，培养空间观念| |平移变换|16题/平移方向与坐标|平移坐标变化规律|正向/逆向平移推理，提升推理意识| |动点问题|4题/四边形环绕运动|动点轨迹与分类讨论|动态问题建模，发展应用意识| |规律探索|4题/反弹与跳动规律|周期性规律归纳|从特殊到一般，培养创新意识|

专题3 平面直角坐标系易错题型专项训练 【温馨提示】本专题梳理平面直角坐标系 10 大高频易错题型，聚焦点的坐标特征、象限判断、平移、对称、距离计算等易错点，剖析典型误区，点拨解题思路，帮助规避失分陷阱，夯实坐标相关知识。 题型1 已知点所在象限求参数 题型6 已知图形的平移，求点的坐标 题型2 坐标与图形综合 题型7 已知平移后的坐标求原坐标 题型3 用方向角加距离确定物体的位置 题型8 坐标系中的动点问题（不含函数） 题型4 由平移方式确定点的坐标 题型9 中点坐标 题型5 已知点平移前后坐标判断平移方式 题型10 点坐标规律探索 题型1 已知点所在象限求参数 1．平面直角坐标系中，第二象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为（   ） A． B．8 C． D．3 2．已知点在x轴上，则点Q的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，到两坐标轴的距离相等，则的值为___________． 4．在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，那么的值为________． 题型2 坐标与图形综合 5．如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 6．如图，以长方形的边所在的直线为轴，以边的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．已知，，线段交轴于点，求的坐标_____． 8．综合与实践 如图，学校有一个四边形劳动基地，与交于点，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为，且，满足，点的坐标为． (1)求点和点的坐标． (2)若三角形的面积和三角形的面积相等，求点的坐标． (3)学校计划扩展劳动基地的面积，使其变为五边形，点的坐标为，其中，请直接写出三角形的面积．（用含的代数式表示） 题型3 用方向角加距离确定物体的位置 9．如图，关于公交车站相对于学校的位置，下列描述正确的是（     ） A．南偏西， B．南偏东， C．北偏东， D．北偏西， 10．在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点，，，，，按照规定的目标表示方法，目标点，的位置分别表示为，，按照此方法目标点的位置表示为（   ）    A． B． C． D． 11．乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，如果用方位和距离描述，乐成镇在雁荡山的______． 12．如图，货轮与灯塔相距． (1)用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位置：灯塔在货轮的南偏东_______，处； (2)客轮在货轮的正南方向，在灯塔的南偏西方向，请你在图中标出客轮的位置． 题型4 由平移方式确定点的坐标 13．平面坐标系建立后，对于平面上的图形移动，一方面，我们可以通过平移作图规律进行研究，另一方面，也可以通过坐标变化规律进行研究．例如，点向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到点Q，则点Q坐标为（   ） A． B． C． D． 14．如图，将“笑脸”平移后，图中眼睛的对应点坐标是，则原图中点的对应点坐标是（    ） A． B． C． D． 15．在平面直角坐标系中，将点先向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到点，则________． 16．在平面直角坐标系中，如果将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为_________． 题型5 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 17．如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 18．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，点，的坐标分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 19．如图，的顶点B，C的坐标分别为，，将沿方向平移得到，若点A的对应点D的坐标是，则点A的坐标为________． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，若平移后点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为__________． 题型6 已知图形的平移，求点的坐标 21．如图，已知两点的坐标分别为，将线段平移得到线段．点的对应点是，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 22．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 23．如图，点A、C的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，得到，点O的对应点D在线段上，若，则点A的对应点B的坐标为 ________． 24．如图，已知点，，连接，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是_____． 题型7 已知平移后的坐标求原坐标 25．在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 26．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 27．将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，那么的值为_________． 28．如果点向上平移3个单位长度正好落在x轴上，那么点P的坐标为______． 题型8 坐标系中的动点问题（不含函数） 29．如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 30．如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）． (1)连接，，，，求的度数． (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由． 31．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段AB平移得线段，点A对应点D，点B对应点C，点A的对应点D在x轴上，点B的对应点C在y轴上． (1)直接写出A、B、C三点的坐标； (2)如图②，点P是坐标轴上的一个动点，当三角形的面积是30时，求点P的坐标； (3)如图③，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是，运动过程中直线和交于点N，若三角形的面积等于9，求出点N的坐标． 32．如图1，长方形在平面直角坐标系中，点，，． (1)请直接写出D点的坐标_____． (2)如图1，连接，，交于点E，的平分线和的平分线交于点F． ①当的度数为n，的度数为m时，求的度数（用含m、n的式子表示）． ②请直接写出和之间的数量关系． (3)如图2，若长方形以每秒2个单位的速度向下运动，设运动的时间为t秒．在边上取一点G，使得的面积是面积的2倍，连接，若的面积等于的面积，求t的值． 题型9 中点坐标 33．已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 34．若线段轴，点是线段的中点，且，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 35．定义：在平面直角坐标系中，若两点，所连线段的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段的中点的坐标为，即．请利用以上结论解决问题： （1）在平面直角坐标系中，若点，线段的中点的坐标为，则点的坐标为___________； （2）在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是2，则的值等于___________． 36．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 题型10 点坐标规律探索 37．小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形，小球从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，当小球第2026次碰到长方形的边时，若不考虑阻力，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 38．如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，半圆，半圆，半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2026秒时，点的坐标是（ ） A． B． C． D． 39．如图，点，点，点，点，按照这样的规律下去，点的坐标为___________，点的坐标为___________． 40．如图，动点P在平面直角坐标系中按“→”所示方向跳动，第一次从跳到点，第二次跳到点，第三次跳到，第四次跳到，第五次跳到，第六次跳到．第七次跳到，第八次跳到，第九次跳到，…，按这样的跳动规律，点的坐标是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 平面直角坐标系易错题型专项训练 【温馨提示】本专题梳理平面直角坐标系 10 大高频易错题型，聚焦点的坐标特征、象限判断、平移、对称、距离计算等易错点，剖析典型误区，点拨解题思路，帮助规避失分陷阱，夯实坐标相关知识。 题型1 已知点所在象限求参数 题型6 已知图形的平移，求点的坐标 题型2 坐标与图形综合 题型7 已知平移后的坐标求原坐标 题型3 用方向角加距离确定物体的位置 题型8 坐标系中的动点问题（不含函数） 题型4 由平移方式确定点的坐标 题型9 中点坐标 题型5 已知点平移前后坐标判断平移方式 题型10 点坐标规律探索 题型1 已知点所在象限求参数 1．平面直角坐标系中，第二象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为（   ） A． B．8 C． D．3 【答案】A 【分析】点到y轴的距离等于点横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，且到y轴的距离是5， ∴，且， ∴， 解得， 此时，符合题意． 2．已知点在x轴上，则点Q的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征．利用x轴上的点的纵坐标为0的性质求解n，即可作答． 【详解】解：根据题意有：，即：， ∴， 则Q点坐标为． 3．在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，到两坐标轴的距离相等，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据点到两坐标轴的距离相等列出方程，再结合第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负，求解即可． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 解得． 4．在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，那么的值为________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特征．根据在平面直角坐标系中，轴上的点纵坐标为，轴上的点横坐标为，可得，，即可求得的值． 【详解】解：点在轴上， ，解得， 点在轴上， ，解得， ． 题型2 坐标与图形综合 5．如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标以及平行线的性质． 根据已知条件求出和的长度，再结合平行线的性质确定点的坐标． 【详解】解：∵ , , ∴， ∵，， 又∵，， ∴，， ∴点横坐标为，点纵坐标为， ∴． 故选：． 6．如图，以长方形的边所在的直线为轴，以边的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、长方形的性质，解题的关键是将坐标与长方形的性质联系起来．根据平面直角坐标系是以长方形的边所在的直线为轴，以边的垂直平分线为轴所构建的，可知为中点，所以，再根据点的坐标为，结合点在轴负半轴即可解答． 【详解】由题意可知，为中点， ， 点的坐标为， ， 点在轴负半轴， 点的坐标为， 故选：． 7．已知，，线段交轴于点，求的坐标_____． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，设，利用面积相等即可求解． 【详解】解：设，则； ∵，， ∴； ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 8．综合与实践 如图，学校有一个四边形劳动基地，与交于点，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为，且，满足，点的坐标为． (1)求点和点的坐标． (2)若三角形的面积和三角形的面积相等，求点的坐标． (3)学校计划扩展劳动基地的面积，使其变为五边形，点的坐标为，其中，请直接写出三角形的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1)点， (2) (3) 【分析】（1）利用平方数与绝对值的非负性，若两个非负数的和为 0，则各自为 0，求出 、 的值，即可得到坐标； （2）利用三角形面积公式，根据建立等式，求出长度，结合在轴负半轴确定坐标； （3）用割补法：过点作轴于，利用梯形、三角形面积和差求解． 【详解】（1）解：， 且 ，， ，， 解得 ，， 点 ，点 ． （2）解：由题意：，，， ，，， ， 设，， ， ， ， 解得， ． （3）解：过点作轴于， 则，，，，， ． 题型3 用方向角加距离确定物体的位置 9．如图，关于公交车站相对于学校的位置，下列描述正确的是（     ） A．南偏西， B．南偏东， C．北偏东， D．北偏西， 【答案】A 【分析】根据图示得出学校相对于公交车站的位置，利用相对位置方向相反、角度相等、距离不变的性质即可得出答案． 【详解】解：由图可得，以公交车站为观测点，学校在北偏东方向，距离为， 所以公交车站相对于学校的位置为：南偏西，． 10．在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点，，，，，按照规定的目标表示方法，目标点，的位置分别表示为，，按照此方法目标点的位置表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得，目标点的位置表示为． 11．乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，如果用方位和距离描述，乐成镇在雁荡山的______． 【答案】南偏西的处 【分析】根据方位角的概念及位置的相对性，两地互为观测点时，方向相反，角度相等，距离相等，据此即可求解． 【详解】解：由图象可知，以乐成镇为观测点，雁荡山在乐成镇的北偏东方向，距离处． 根据位置的相对性，若以雁荡山为观测点，则乐成镇在雁荡山的相反方向，且距离不变． 北偏东的相反方向为南偏西． 所以乐成镇在雁荡山的南偏西的处． 12．如图，货轮与灯塔相距． (1)用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位置：灯塔在货轮的南偏东_______，处； (2)客轮在货轮的正南方向，在灯塔的南偏西方向，请你在图中标出客轮的位置． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用方位角解题即可； （2）根据方位角和距离画出图形即可． 【详解】（1）解：由图可知灯塔在货轮的南偏东，处； （2）解：如图即为客轮位置． 题型4 由平移方式确定点的坐标 13．平面坐标系建立后，对于平面上的图形移动，一方面，我们可以通过平移作图规律进行研究，另一方面，也可以通过坐标变化规律进行研究．例如，点向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到点Q，则点Q坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平移规律为横坐标左移减、右移加，纵坐标上移加、下移减，按规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵，将其向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点Q， ∴ 根据平移坐标规律，点Q的横坐标为，纵坐标为， 即点Q的坐标为． 14．如图，将“笑脸”平移后，图中眼睛的对应点坐标是，则原图中点的对应点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点平移至点的坐标变化得出平移的方向和距离，然后再把点按照这个方向和距离进行平移即可得出对应点的坐标． 【详解】解：∵将“笑脸”平移后，图中眼睛的对应点坐标是， ∴横坐标加4，纵坐标减4， ∴点A向右平移4个单位，向下平移4个单位得到点， ∴点向右平移4个单位，向下平移4个单位得到的对应点坐标为． 15．在平面直角坐标系中，将点先向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到点，则________． 【答案】 【分析】根据点的平移-横坐标左减右加，纵坐标上加下减，求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：将点先向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到点， 则，， 解得：，， 则． 16．在平面直角坐标系中，如果将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据点的平移规律，横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，计算平移后点的坐标即可． 【详解】解：点的对应点的坐标为，即． 题型5 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 17．如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合点A和点的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标． 【详解】解：∵点平移后的对应点是， ∴线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∵点， ∴点B的对应点D的坐标是，即． 18．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，点，的坐标分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点、平移后横纵坐标的变化可得线段向右平移个单位，向上平移了个单位得到线段，然后再确定、的值，进而可得答案． 【详解】解：点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，， 线段向右平移个单位，向上平移了个单位得到线段， 点，的坐标分别为，， ，， ， 故选：A． 19．如图，的顶点B，C的坐标分别为，，将沿方向平移得到，若点A的对应点D的坐标是，则点A的坐标为________． 【答案】 【分析】由图可知：根据点A和点D的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度；点A的对应点D的坐标是，再反向平移即可得到点A的坐标． 【详解】解：由题可知点平移后得到点； ∴平移方式是先向左平移1个单位长度，在再向下平移2个单位长度； ∵点A的对应点D的坐标是， ∴点A的坐标为． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，若平移后点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，掌握坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先根据平移后点的对应点D的坐标为，得出是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到，再由坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”得出点C的坐标即可． 【详解】解：∵将平移后得到，平移后点的对应点D的坐标为， ∴是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到， ∴点是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到点C， ∴点C的坐标为，即． 题型6 已知图形的平移，求点的坐标 21．如图，已知两点的坐标分别为，将线段平移得到线段．点的对应点是，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点和点的坐标确定平移规律，再将该规律应用到点上即可求出点的坐标． 【详解】解：点 平移后的对应点是， 线段平移的方式为向右平移 个单位长度，再向上平移个单位长度， 点， 点的对应点的坐标是 ，即． 22．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点A及其对应点的坐标得出平移规律，再根据平移规律可求出点的坐标． 【详解】解：点平移后的对应点为， 平移规律为：横坐标，纵坐标，即向右平移3个单位，向上平移3个单位， 的横坐标为，纵坐标为，即． 23．如图，点A、C的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，得到，点O的对应点D在线段上，若，则点A的对应点B的坐标为 ________． 【答案】 【分析】由题意可得，从而得出，即，进而得出平移方式，由此即可得出结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵点O的对应点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴将沿x轴向右平移个单位长度，得到， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为，即． 24．如图，已知点，，连接，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据点B和其对应点D的坐标，计算出平移的横坐标变化量和纵坐标变化量．利用上述计算出的变化量，结合点A的坐标求出点C的坐标． 【详解】∵点平移后得到对应点， ∴横坐标变化：，纵坐标变化：． ∵， ∴的横坐标：，的纵坐标：， ∴的坐标为． 题型7 已知平移后的坐标求原坐标 25．在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，且， 将线段向右平移2个单位，向下平移4个单位得到线段， ∵点B的对应点为， ∴， 点的坐标为． 26．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”的平移规律，逆推即可得到点的坐标． 【详解】解：∵将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到 ， ∴将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标为， ∴点的坐标为即． 27．将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，那么的值为_________． 【答案】2 【分析】平面直角坐标系中，点的平移遵循规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．据此列方程组解答． 【详解】解：，先向下平移4个单位（纵坐标减4），再向右平移3个单位（横坐标加3），得到，因此可得方程组： 横坐标：，解得； 纵坐标：，解得； 因此． 28．如果点向上平移3个单位长度正好落在x轴上，那么点P的坐标为______． 【答案】 【分析】根据坐标平移变化规律，向上平移纵坐标增加，横坐标不变，得到平移后点的坐标，结合x轴上点的纵坐标为0，求出的值，代入即可得到点的坐标． 【详解】解：点向上平移个单位长度后，所得点的坐标为，即． 平移后点落在轴上， ． 将代入点的坐标得，横坐标，纵坐标， 则点的坐标为． 题型8 坐标系中的动点问题（不含函数） 29．如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据坐标与图形可得四边形的各边长，结合点、的速度求得两点相遇点的坐标，找出坐标变化规律即可求解． 【详解】解：∵点，，，， ，， ∴四边形的周长为， 由题意，经过1秒时，两点在点处相遇， 随后，两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇， 相邻两次相遇间隔时间为（秒）， ∴第二次相遇点是边的中点； 第三次相遇点是点； 第四次相遇点为点 ； 第五次相遇点为点 ； 第六次相遇点为点， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ， ∴第2026次相遇点与第一次相遇点重合，即点． 30．如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）． (1)连接，，，，求的度数． (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或 (3)的值不会变化，，理由见解析 【分析】（1）过点F作，根据平行线的性质求解即可； （2）先求出，再分类讨论，当点P在y轴正半轴上时，当点P在y轴负半轴上时，再根据面积关系列方程求解即可； （3）设，，，则，，根据平行线的性质可得，由（1）可知，即可求出n值，进而得解． 【详解】（1）解：过点F作， ， ，， ， ， ， ． （2）解：存在， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作轴，轴，轴， 设， ， ， 解得，则； 当点P在y轴负半轴上时，如图， ， ， 解得，则； 综上，点的坐标为或； （3）解：的值不会变化，，理由如下： 设，，，则，， 始终平分， ， ， ， ，即， 由（1）可知，， ，即， ， ， ， ， ∴的值不会变化，． 31．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段AB平移得线段，点A对应点D，点B对应点C，点A的对应点D在x轴上，点B的对应点C在y轴上． (1)直接写出A、B、C三点的坐标； (2)如图②，点P是坐标轴上的一个动点，当三角形的面积是30时，求点P的坐标； (3)如图③，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是，运动过程中直线和交于点N，若三角形的面积等于9，求出点N的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）求出点D坐标，分别讨论当点P在x轴或y轴的情况，以为未知量，以面积为等式构造方程，求出点P坐标即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， ，， 平移到向下平移了单位，向右平移5个单位， 到向下平移了单位， ； （2）解：由（1）， 当点P在y轴上时， ， ， 解得：， 点P的坐标或； 当点P在x轴上时， ， ， 解得：， 点P的坐标为或； 故点P的坐标或或或． （3）解：， 不在内， 设， ，运动速度之比是， ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，作轴于，轴于，如图： ， ， ， ， ， 解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割补法求三角形面积是本题解题的关键． 32．如图1，长方形在平面直角坐标系中，点，，． (1)请直接写出D点的坐标_____． (2)如图1，连接，，交于点E，的平分线和的平分线交于点F． ①当的度数为n，的度数为m时，求的度数（用含m、n的式子表示）． ②请直接写出和之间的数量关系． (3)如图2，若长方形以每秒2个单位的速度向下运动，设运动的时间为t秒．在边上取一点G，使得的面积是面积的2倍，连接，若的面积等于的面积，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）因为长方形对边平行且相等，点A与D纵坐标相同，点C与D横坐标相同，所以直接根据已知点坐标推导D点坐标； （2）①因为平分，平分，所以先得到两个角平分线分出来的角与m、n的关系；如果过F作x轴平行线，那么可以利用平行线的内错角相等，将转化为两个角的和，进而用m、n表示； ②先根据角的和差关系表示出，再找出与的关系； （3）首先根据运动规则写出运动t秒后B、C、D三点的坐标，因为和同高，面积比等于底与的比，再分别用割补法表示和的面积，根据面积相等列方程求解t． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， 且，，， ∴， ∴． （2）解：过点F作轴， ∵轴， ∴轴， ∴，， 又∵的平分线和的平分线交于点F， 且的度数为n，的度数为m ∴，， ∴， ∴， ∴； ②由图可得，， 且，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：连接， ∵的面积是面积的2倍， 且，， ∴， ∴，， ∵长方形以每秒2个单位的速度向下运动，设运动的时间为t秒， ∴，，，， ∴， ， ∵， ∴， 整理得， 当时，上式，解得， 当时，上式，解得（舍去）， 当时，上式，解得， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了长方形的性质、平面直角坐标系中点的坐标确定、角平分线的定义、三角形外角性质、图形平移的坐标变化规律以及三角形面积计算等知识点，其中结合图形性质理清点坐标、角度与面积之间的数量关系，对应利用相关性质和公式推导计算是解题的关键． 题型9 中点坐标 33．已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据中点坐标公式依次求出前几个对称点的坐标，找出坐标的循环周期，再计算2026除以周期的余数，根据余数确定的坐标． 【详解】解：设， ∵点关于点的对称点为，是的中点， ∴ ， ， 解得，，即 ， 同理可得 ， ， ， ， ， ∴点的坐标每次循环一次， ∵ ，余数为， ∴ 的坐标与坐标相同，为． 34．若线段轴，点是线段的中点，且，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】先利用平行于轴的线段上所有点横坐标相等的性质，确定M点的横坐标，再结合中点坐标与线段长度计算M点的纵坐标，即可得到结果． 【详解】解：∵ 轴， ∴ 和的横坐标相等． ∵ 是线段的中点， ∴ 点的横坐标为． 设， ∵ ， ∴或， 解得或， 因此点坐标为或． 35．定义：在平面直角坐标系中，若两点，所连线段的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段的中点的坐标为，即．请利用以上结论解决问题： （1）在平面直角坐标系中，若点，线段的中点的坐标为，则点的坐标为___________； （2）在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是2，则的值等于___________． 【答案】 8或0 【分析】（1）设点的坐标为，根据中点坐标公式计算即可； （2）根据中点坐标公式得，，根据题意分类讨论：当点在轴的负半轴上时和当点在轴的正半轴上时，利用中点坐标列方程即可求解． 【详解】解：（1）设点的坐标为， ∵点，线段的中点的坐标为， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （2）依题意得：点的横坐标为：，纵坐标为：， 由点恰好位于轴上，且到轴的距离是2， 则当点在轴的负半轴上时： ， 解得：， ； 当点在轴的正半轴上时： ， 解得：， ； 综上所述，的值等于8或0． 36．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 【答案】或 【分析】由题意可得，，分两种情况：当点在上运动时；当点在上运动时；分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵三角形中，， ∴，， ∵动点C从点O出发，沿，三角形的面积等于三角形一半， ∴当点在上运动时，，， ∴， ∴，即此时点的坐标为； 当点在上运动时，设点到的距离为，则，， ∴， ∴，即点为的中点， ∴此时点的坐标为，即； 综上所述，点C的坐标为或． 题型10 点坐标规律探索 37．小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形，小球从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，当小球第2026次碰到长方形的边时，若不考虑阻力，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次求出点（i为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：因为点的坐标为， 根据点P的运动方式，结合反射角等于入射角可知， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， 由此可见，点P每反弹6次，点的坐标循环出现， 又因为余4， 所以点的坐标为． 38．如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，半圆，半圆，半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2026秒时，点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意易得半圆，半圆，半圆，半圆的周长都为，然后得出点走完半圆所需的时间为，此时点的坐标为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可知：半圆，半圆，半圆，半圆的周长都为， ∵点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点走完半圆所需的时间为，此时点的坐标为， ∵， ∴第2026秒时，点的坐标是，即为． 39．如图，点，点，点，点，按照这样的规律下去，点的坐标为___________，点的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据题意得： 、、、，……，由此发现；再发现、、、，……，则即可解答． 【详解】解：根据题意得：、、、，……， 由此发现：下标为偶数的点的坐标规律为， ∵， ∴，即； ∵、、、，……， ∴下标为奇数的点的坐标规律为， ∵， ∴点的坐标为，即． 40．如图，动点P在平面直角坐标系中按“→”所示方向跳动，第一次从跳到点，第二次跳到点，第三次跳到，第四次跳到，第五次跳到，第六次跳到．第七次跳到，第八次跳到，第九次跳到，…，按这样的跳动规律，点的坐标是______． 【答案】 【分析】先观察横坐标和纵坐标的规律：横坐标：的横坐标为，因此的横坐标为；纵坐标：当为偶数时纵坐标为0，当为奇数时，纵坐标为． 【详解】解：， 可得：的横坐标为， 因此的横坐标为：； 当为偶数时纵坐标为0，当为奇数时，列出各点的纵坐标： ，为， 观察奇数项：当为偶数时，纵坐标为正数；当为奇数时，纵坐标为负数， 则的纵坐标为； ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $