第七章 相交线与平行线单元练习2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 本单元卷聚焦“相交线与平行线”，通过10道选择、5道填空、5道解答题，以三角板摆放、共享单车、“中国天眼”等真实情境为载体，考查平行线性质与判定、角平分线、折叠等核心知识，落实几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|平行线性质（如第1题三角板角度计算）、角平分线（第5题）、折叠问题（第9题）|结合光的反射定律（第7题）、科技情境（第10题“中国天眼”），考查空间观念| |填空题|5题|平行线性质应用（第11题护眼灯角度）、动态折叠（第14题）|设置生活场景（第15题躺椅结构），培养量感与抽象能力| |解答题|5题|综合证明（第18题）、类比探究（第19题）、跨学科应用（第17题三角尺操作）|设计“问题情境-操作发现-综合应用”梯度（第17题），发展推理意识与创新意识|

第七章 相交线与平行线 一．选择题（共10小题） 1．将一副三角板按如图所示的方式摆放在一张长方形纸片上，则∠α的度数是（　　） A．10° B．15° C．30° D．45° 2．如图，AB∥CD，射线CE平分∠BCD，点F为CE的反向延长线上的一点，连接BF，且满足，若∠BFC＝α，∠ABF＝β，则α与β满足的关系式为（　　） A．α+β＝90° B．α+2β＝180° C． D．β＝4α 3．如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 4．如图，AB⊥BC，DE平分∠ADC交BC于点E，AE⊥DE，AB∥CD，M、N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①∠1+∠2＝90°；②∠AEB+∠ADC＝180°；③∠DAE＝∠1；④∠F＝135°．其中结论正确的有（　　） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．如图，AB∥CD，点E是CD上一点，BF平分∠ABD，BH平分∠EBD，∠FBH＝32°，则∠BED的度数是（　　） A．58° B．64° C．74° D．82° 6．为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图①是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠MAC＝56°，∠BAC＝53°．当AM∥BC时，∠BCD的度数为（　　） A．53° B．56° C．71° D．109° 7．如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于镜面，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角i等于反射角r，这就是光的反射定律．若入射角i为50°，反射光线DC与镜面OB平行，则两镜面的夹角∠AOB的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．25° 8．如图，CD是平面镜，AO为入射光线，OB为反射光线，根据物理学原理，法线ON⊥CD．小欣根据图中条件得到∠1+∠3＝90°且∠2+∠4＝90°，又因为反射角等于入射角即∠2＝∠1，所以推出∠3＝∠4．小欣推出“∠3＝∠4”这一步推理的依据是（　　） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 9．如图，将长方形纸片翻折，若∠1＝∠2，则∠1的度数为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 10．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面），入射波AO经过三次反射后沿O′A′水平射出，且OA∥O′A′，已知入射波AO与法线的夹角∠1＝25°，则∠A′O′F的度数为（　　） A．55° B．50° C．60° D．65° 二．填空题（共5小题） 11．书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为　 　 ． 12．将一把直尺与一块含有30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠3＝65°，则∠2＝　 　 ． 13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC的平分线交AB于点E，若AD＝2，AB＝3，则BE的长为 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，点D在AB上运动，点E是AC上一定点．将△ABC沿DE所在直线折叠，点A的对应点为点F，当EF∥BC时，∠BDF＝　 　 ． 15．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架DF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，若∠EON＝120°，则∠CDM的度数为　 　 °． 三．解答题（共5小题） 16．2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，∠GHN：∠FGE＝2：1，∠HGF＝140°，GE∥MN． （1）求∠GHM的度数； （2）若GH∥DE，∠ABC＝150°，∠BCE＝68°，∠GEC＝118°，求证：GH∥AB． 17．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB，CD和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺60°角的顶点G放在直线CD上，∠F＝90°，若∠1＝2∠2，则∠1＝　 　 °． （2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线AB，CD上，请用等式表示∠AEF与∠FGC之间满足的数量关系　 　 ．（不用证明） 【综合应用】 （3）在图2的基础上，小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PFQ＝60°，如图3，FM平分∠EFP交直线AB于点M，FN平分∠QFG交直线CD于点N．将含60°角的三角尺绕着点F转动，且使FG始终在∠PFQ的内部，请问∠AMF+∠CNF的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【学以致用】 （4）已知：直线AB∥CD，三角板EFH中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．三角板EFH如图4位置放置，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若PQ∥FH，且∠EFT＝∠ETF．探究∠Q与∠HFT之间的数量关系并说明理由． 18．如图1，AB∥CD，M，N为直线AB，CD上的点，EM和EN交于点E． （1）若∠EMB＝35°，∠END＝65°，则∠MEN的度数是　 　 ． （2）求证：∠MEN＝∠END﹣∠EMB． （3）如图2，MQ平分∠EMB，NQ平分∠END，若∠MEN＝α，试用含α的代数式表示∠MQN的度数． 19．已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点． （1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴①　 　 ∥CD． ∵MN∥AB， ∴②　 　 ＝∠MGA． ∵MN∥CD， ∴∠D＝③　 　 （④　 　 ）． ∴∠AGD＝∠AGM+∠AGM＝∠A+∠D． （2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由． （3）【应用拓展】如图3，点E与点A重合，AH平分∠GAB，且∠HDF＝22°，∠AFC＝72°，那么∠H的度数为 　 　 ． 20．如图，点O在直线AB上，∠BOD与∠COD互补，∠BOC＝n∠EOC． （1）若∠AOD＝24°，n＝3，求∠DOE的度数； （2）若DO⊥OE，求n的值； （3）若n＝4，设∠AOD＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示∠DOE的度数）． 第七章 相交线与平行线 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．将一副三角板按如图所示的方式摆放在一张长方形纸片上，则∠α的度数是（　　） A．10° B．15° C．30° D．45° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵∠NMF＝90°，∠MFE＝30°， ∴∠MEF＝60°． ∵AB∥CD， ∴∠ANM＝∠MEF＝60°． 又∵∠HNM＝45°， ∴∠α＝∠ANM﹣∠HNM＝60°﹣45°＝15°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 2．如图，AB∥CD，射线CE平分∠BCD，点F为CE的反向延长线上的一点，连接BF，且满足，若∠BFC＝α，∠ABF＝β，则α与β满足的关系式为（　　） A．α+β＝90° B．α+2β＝180° C． D．β＝4α 【考点】平行线的性质；角平分线的定义． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵∠ABF＝β，， ∴∠CBFβ． ∵∠BFC＝α， ∴∠BCE＝∠CBF+∠BFC． ∵射线CE平分∠BCD， ∴∠BCD＝2∠BCE＝2α+β． ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD， 则， 整理得，β＝4α． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟知平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 3．如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵所给三角形是等腰直角三角形， ∴∠4＝45°． ∵∠1＝60°， ∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°． ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝75°． 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 4．如图，AB⊥BC，DE平分∠ADC交BC于点E，AE⊥DE，AB∥CD，M、N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①∠1+∠2＝90°；②∠AEB+∠ADC＝180°；③∠DAE＝∠1；④∠F＝135°．其中结论正确的有（　　） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【考点】平行线的性质；角平分线的定义；垂线． 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】A 【分析】利用直角三角形的两个锐角互余，用到平角等于180°推导角相等，根据角平分线的定义得出角相等． 【解答】解：∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°， ∴∠1+∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠C+∠B＝180°， ∴∠C＝90°， ∴∠2+∠DEC＝90°， ∴∠AEB＝∠2， ∴∠1+∠2＝90°， 故①正确； ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠2， ∴∠ADE＝∠2＝∠AEB， ∵AB∥CD， ∵∠BAD+∠ADC＝180°， ∠BAD与AEB推不出相等， 故②错误； ∵∠AED＝90°， ∴∠DAE+∠ADE＝90°， ∵∠ADE＝∠2， ∴∠DAE+∠2＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠DAE＝∠1， 故③正确； ∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F， ∴∠MAF＝∠EAF＝∠1+∠FAD，∠NDF＝∠EDF＝∠2+∠FDA， ∵∠1+∠MAE+∠2+∠NDE＝360°， ∴∠1+2（∠1+∠FAD）+∠2+2（∠2+∠FDA）＝360°， ∴3（∠1+∠2）+2（∠FAD+∠FDA）＝360°， ∴∠FAD+∠FDA＝45°， ∴∠F＝180°﹣45°＝135°， 故④正确； 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，角平分线线的定义，三角形的内角定理，能够将灵活运用以上知识点是解题的关键． 5．如图，AB∥CD，点E是CD上一点，BF平分∠ABD，BH平分∠EBD，∠FBH＝32°，则∠BED的度数是（　　） A．58° B．64° C．74° D．82° 【考点】平行线的性质；角平分线的定义． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义进行计算即可． 【解答】解：∵BF平分∠ABD，BH平分∠EBD， ∴∠ABF＝∠DBF，∠EBH＝∠DBH． 则令∠ABF＝∠DBF＝α，∠EBH＝∠DBH＝β， ∵∠FBH＝32°， ∴α﹣β＝32°． ∵∠ABE＝∠ABD﹣∠EBD＝2α﹣2β， ∴∠ABE＝64°． ∵AB∥CD， ∴∠BED＝∠ABE＝64°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟知平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 6．为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图①是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠MAC＝56°，∠BAC＝53°．当AM∥BC时，∠BCD的度数为（　　） A．53° B．56° C．71° D．109° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：∵AB，CD与地面l平行， ∴AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°． ∵∠BAC＝53°， ∴∠ACD＝127°． ∵AM∥BC，∠MAC＝56°， ∴∠ACB＝∠MAC＝56°， ∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝127°﹣56°＝71°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 7．如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于镜面，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角i等于反射角r，这就是光的反射定律．若入射角i为50°，反射光线DC与镜面OB平行，则两镜面的夹角∠AOB的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．25° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：∵∠i＝50°， ∴∠r＝∠i＝50°， ∴∠ADC＝90°﹣∠r＝40°． ∵DC∥OB， ∴∠AOB＝∠ADC＝40°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 8．如图，CD是平面镜，AO为入射光线，OB为反射光线，根据物理学原理，法线ON⊥CD．小欣根据图中条件得到∠1+∠3＝90°且∠2+∠4＝90°，又因为反射角等于入射角即∠2＝∠1，所以推出∠3＝∠4．小欣推出“∠3＝∠4”这一步推理的依据是（　　） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【考点】垂线；余角和补角． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】B 【分析】由ON⊥CD，所以∠CON＝∠DON＝90°，即∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，又∠2＝∠1，根据等角的余角相等得∠3＝∠4． 【解答】解：由条件可知∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°， 又∵反射角等于入射角即∠2＝∠1， ∴∠3＝∠4， 所以这一步推理的依据是等角的余角相等， 故选：B． 【点评】本题考查了垂直定义，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 9．如图，将长方形纸片翻折，若∠1＝∠2，则∠1的度数为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【考点】平行线的性质；角的计算． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， 由翻折可知，∠3＝∠1+∠2． ∵∠1＝∠2， ∴∠3＝2∠1． ∵∠3+∠2＝180°， ∴2∠1+∠1＝180°， ∴∠1＝60°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质及角的计算，能根据题意得出关于∠1的等式是解题的关键． 10．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面），入射波AO经过三次反射后沿O′A′水平射出，且OA∥O′A′，已知入射波AO与法线的夹角∠1＝25°，则∠A′O′F的度数为（　　） A．55° B．50° C．60° D．65° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵∠1＝25°， ∴∠AOF＝2∠1＝50°． ∵EG⊥OA， ∴∠OFN＝90°﹣∠AOF＝40°， ∴∠O′FM＝∠OFN＝40°． ∵EG⊥O′A′， ∴∠A′O′F＝90°﹣∠O′FM＝50°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为　112°　 ． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】112°． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：分别过点D和点E作AB的平行线， ∵DH∥AB，EK∥AB，AB∥MN， ∴EK∥MN，DH∥EK， ∴∠KEF＝∠EFM，∠HDE＝∠DEK． ∵EF⊥MN， ∴∠KEF＝∠EFM＝90°． ∵∠DEF＝126°， ∴∠HDE＝∠DEK＝126°﹣90°＝36°． ∵DH∥AB， ∴∠BCD+∠CDH＝180°． ∵∠BCD＝104°， ∴∠CDH＝180°﹣104°＝76°， ∴∠CDE＝∠CDH+∠HDE＝76°+36°＝112°． 故答案为：112°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 12．将一把直尺与一块含有30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠3＝65°，则∠2＝　55°　 ． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】55°． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵直尺的对边平行，∠3＝65°， ∴∠4＝∠3＝65°． ∵∠1+∠4＝90°， ∴∠1＝90°﹣65°＝25°， ∴∠2＝∠1+30°＝25°+30°＝55°． 故答案为：55°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC的平分线交AB于点E，若AD＝2，AB＝3，则BE的长为 　1　 ． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】1． 【分析】根据平行线的性质及等角对等边得出AE＝AD＝2，再结合AB长即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵AB∥CD， ∴∠CDE＝∠AED． ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AE＝AD＝2． ∵AB＝3， ∴BE＝AB﹣AE＝3﹣2＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，点D在AB上运动，点E是AC上一定点．将△ABC沿DE所在直线折叠，点A的对应点为点F，当EF∥BC时，∠BDF＝　130°或50°　 ． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】130°或50°． 【分析】根据题意，画出示意图，再结合平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：当点F在AC下方时，如图所示， ∵EF∥BC， ∴∠CEF＝∠C＝90°． 由折叠可知，∠F＝∠A＝20°， ∴∠EDC＝∠EMF＝70°， ∴∠ADM＝70°﹣20°＝50°， ∴∠BDF＝180°﹣50°＝130°． 当点F在AC上方时， ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠C＝90°． 由折叠可知，∠AED＝∠FED＝45°， ∴∠ADE＝180°﹣20°﹣45°＝115°， ∴∠BDF＝2×115°﹣180°＝50°， 综上所述，∠BDF＝130°或50°． 故答案为：130°或50°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 15．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架DF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，若∠EON＝120°，则∠CDM的度数为　120　 °． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】120． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠EON+∠OGD＝180°． ∵DM∥OE， ∴∠OGD+∠CDM＝180°， ∴∠CDM＝∠EON． ∵∠EON＝120°， ∴∠CDM＝120°． 故答案为：120． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，∠GHN：∠FGE＝2：1，∠HGF＝140°，GE∥MN． （1）求∠GHM的度数； （2）若GH∥DE，∠ABC＝150°，∠BCE＝68°，∠GEC＝118°，求证：GH∥AB． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）100°； （2）如图，过点C作直线QC∥AB， ∵QC∥AB，∠ABC＝150°， ∴∠QCB＝180°﹣150°＝30°， ∴∠QCE＝∠BCE﹣∠QCB＝68°﹣30°＝38°， ∵GH∥DE， ∴∠DEG＝∠EGH＝100°， ∴∠DEC＝360°﹣∠DEG﹣∠GEC＝360°﹣100°﹣118°＝142°， ∵∠QCE+∠DEC＝38°+142°＝180°， ∴QC∥DE， 又∵QC∥AB，H∥DE， ∴GH∥AB． 【分析】（1）根据题意，设∠FGE＝α，∠GHN＝2α，利用GE∥MN，求出α＝40°，即可得到结果； （2）根据题意，作直线QC∥AB，求出∠QCE＝38°，利用GH∥DE，求得∠DEC＝142°，有∠QCE+∠DEC＝180°，证得结论． 【解答】（1）解：设∠FGE＝α，∠GHN＝2α， 则∠EGH＝∠HGF﹣∠FGE＝140°﹣α， ∵GE∥MN， ∴∠GHM＝∠EGH，∠EGH+∠GHN＝180°， ∴∠EGH+∠GHN＝140°﹣α+2α＝180°， 解得α＝40°， ∴∠GHM＝∠EGH＝140°﹣α＝140°﹣40°＝100°； （2）证明：如图，过点C作直线QC∥AB， ∵QC∥AB，∠ABC＝150°， ∴∠QCB＝180°﹣150°＝30°， ∴∠QCE＝∠BCE﹣∠QCB＝68°﹣30°＝38°， ∵GH∥DE， ∴∠DEG＝∠EGH＝100°， ∴∠DEC＝360°﹣∠DEG﹣∠GEC＝360°﹣100°﹣118°＝142°， ∵∠QCE+∠DEC＝38°+142°＝180°， ∴QC∥DE， 又∵QC∥AB，H∥DE， ∴GH∥AB． 【点评】本题考查了平行的判定和性质，角度的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 17．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB，CD和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺60°角的顶点G放在直线CD上，∠F＝90°，若∠1＝2∠2，则∠1＝　80　 °． （2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线AB，CD上，请用等式表示∠AEF与∠FGC之间满足的数量关系　∠AEF+∠FGC＝90°　 ．（不用证明） 【综合应用】 （3）在图2的基础上，小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PFQ＝60°，如图3，FM平分∠EFP交直线AB于点M，FN平分∠QFG交直线CD于点N．将含60°角的三角尺绕着点F转动，且使FG始终在∠PFQ的内部，请问∠AMF+∠CNF的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【学以致用】 （4）已知：直线AB∥CD，三角板EFH中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．三角板EFH如图4位置放置，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若PQ∥FH，且∠EFT＝∠ETF．探究∠Q与∠HFT之间的数量关系并说明理由． 【考点】平行线的性质；角平分线的定义． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）80； （2）∠AEF+∠FGC＝90°； （3）不变，∠AMF+∠CNF＝75°，理由如下：如图3， ∵FN、FM分别平分∠QFG、∠EFP， ∴∠QFG＝2∠3＝2∠4，∠EFP＝2∠1＝2∠2， 设∠3＝∠4＝α， ∵∠QFP＝60°， ∴∠PFN＝60°﹣α，∠PFG＝60°﹣2α， ∵∠EFG＝90°， ∴∠EFP＝2∠1＝∠EFG﹣∠PFG＝90°﹣（60°﹣2α）＝30°+2α， ∴∠1＝∠2＝15°+α， ∴∠MFN＝∠PFN+∠2＝（60°﹣α）+（15°+α）＝75°， 由②方法可得∠AMF+∠FNC＝∠MFN＝75°， 即∠AMF+∠CNF＝75°； （4）设∠AFE＝x，则∠BFH＝90°﹣x，∠EFB＝180°﹣x． ∵PQ//FH， ∴∠QPE＝∠H， ∵∠H＝60°， ∴∠QPE＝60°， ∵AB//CD， ∴∠AFE+∠CEF＝180°， ∴∠CEF＝180°﹣x， ∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH＝180°﹣x+30°＝210°﹣x， ∵EQ平分∠CEH， ∴∠QEH∠CEH＝105°x， ∵∠Q+∠QEH+∠QPE＝180°， ∴15°x+105°x+∠QPE＝180°， ∴∠Q＝15°x， ∴∠Q﹣∠HFT＝15°． 【分析】（1）利用平行线的性质和已知角度关系求解； （2）通过平行线的性质和直角三角形的性质找出角度关系； （3）借助角平分线的定义和前面得出的角度关系来判断∠AMF+∠CNF的值是否变化； （4）通过设未知数，利用平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理探究∠Q与∠HFT之间的数量关系． 【解答】解：（1）∵AB//CD， ∴∠2＝∠EGD（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1＝2∠2， ∵∠1＝2∠EGD， ∵∠FGE＝60°， ∴∠1+∠EGD＝180°﹣60°＝120°， ∴2∠EGD+∠EGD＝120°，即∠EGD＝40°， ∴∠1＝2∠EGD＝80°， 故答案为：80； （2）如图，∵AB//CD， ∴∠AEG+∠CGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵在Rt△EFG中，∠FEG+∠FGE＝90°（直角三角形两锐角互余）， ∴∠AEF+∠FGC＝180°﹣90°＝90°； 故答案为：∠AEF+∠FGC＝90°； （3）不变，∠AMF+∠CNF＝75°，理由如下：如图3， ， ∵FN、FM分别平分∠QFG、∠EFP， ∴∠QFG＝2∠3＝2∠4，∠EFP＝2∠1＝2∠2， 设∠3＝∠4＝α， ∵∠QFP＝60°， ∴∠PFN＝60°﹣α，∠PFG＝60°﹣2α， ∵∠EFG＝90°， ∴∠EFP＝2∠1＝∠EFG﹣∠PFG＝90°﹣（60°﹣2α）＝30°+2α， ∴∠1＝∠2＝15°+α， ∴∠MFN＝∠PFN+∠2＝（60°﹣α）+（15°+α）＝75°， 由②方法可得∠AMF+∠FNC＝∠MFN＝75°， 即∠AMF+∠CNF＝75°； （4）设∠AFE＝x，则∠BFH＝90°﹣x，∠EFB＝180°﹣x． ∵PQ//FH， ∴∠QPE＝∠H， ∵∠H＝60°， ∴∠QPE＝60°， ∵AB//CD， ∴∠AFE+∠CEF＝180°， ∴∠CEF＝180°﹣x， ∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH＝180°﹣x+30°＝210°﹣x， ∵EQ平分∠CEH， ∴∠QEH∠CEH＝105°x， ∵∠Q+∠QEH+∠QPE＝180°， ∴15°x+105°x+∠QPE＝180°， ∴∠Q＝15°x， ∴∠Q﹣∠HFT＝15°． 【点评】本题主要涉及平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练运用上述知识点求解． 18．如图1，AB∥CD，M，N为直线AB，CD上的点，EM和EN交于点E． （1）若∠EMB＝35°，∠END＝65°，则∠MEN的度数是　30°　 ． （2）求证：∠MEN＝∠END﹣∠EMB． （3）如图2，MQ平分∠EMB，NQ平分∠END，若∠MEN＝α，试用含α的代数式表示∠MQN的度数． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）30°； （2）∵AB∥CD， ∴∠EHB＝∠END． ∵∠MEN＝∠EHB﹣∠EMB， ∴∠MEN＝∠END﹣∠EMB； （3）． 【分析】（1）根据平行线的性质进行计算即可； （2）根据平行线的性质进行证明即可； （3）根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】（1）解：如图所示， ∵AB∥CD，∠END＝65°， ∴∠EHB＝∠END＝65°． 又∵∠EMB＝35°， ∴∠MEN＝∠EHB﹣∠EMB＝65°﹣35°＝30°． 故答案为：30°； （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠EHB＝∠END． ∵∠MEN＝∠EHB﹣∠EMB， ∴∠MEN＝∠END﹣∠EMB； （3）解：如图所示， ∵AB∥CD， ∴∠EGB＝∠END． ∵∠MEN＝∠EGB﹣∠EMB， ∴∠MEN＝∠END﹣∠EMB， 同理可得，∠MQN＝∠QND﹣∠QMB． ∵MQ平分∠EMB，NQ平分∠END， ∴∠QMB∠EMB，∠QND∠END， ∴∠MQN（∠END﹣∠EMB）∠MEN． ∵∠MEN＝α， ∴∠MQN． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 19．已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点． （1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴①MN ∥CD． ∵MN∥AB， ∴②　∠A ＝∠MGA． ∵MN∥CD， ∴∠D＝③　∠DGM （④　两直线平行，内错角相等　 ）． ∴∠AGD＝∠AGM+∠AGM＝∠A+∠D． （2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由． （3）【应用拓展】如图3，点E与点A重合，AH平分∠GAB，且∠HDF＝22°，∠AFC＝72°，那么∠H的度数为 　32°　 ． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等； （2）见解答； （3）32°． 【分析】（1）由MN∥AB，可得∠A＝∠AGM，由MN∥CD，可得∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D； （2）如图所示，过点G作直线MN∥AB，同理可得∠A＝∠AGM，∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D； （3）如图所示，利用平行线的性质求出∠GAB的值，再利用平行线线的性质和外角性质进行计算即可． 【解答】解：（1）过点G作直线MN∥AB， 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∵MN∥AB， ∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等）， ∵MN∥CD， ∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等）， ∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D． 故答案为：MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等． （2）如图所示，过点G作直线MN∥AB， 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD， ∵MN∥AB， ∴∠A＝∠AGM， ∵MN∥CD， ∴∠D＝∠DGM， ∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D． （3）如图所示， ∵∠AFC＝72°； ∴∠GAB＝180°﹣72°＝108°， ∵AH平分∠GAB， ∴∠HAB54°， ∵DC∥AB， ∴∠HQC＝54°， ∴∠H＝∠HQC﹣∠HDF＝54°﹣22°＝32°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质． 20．如图，点O在直线AB上，∠BOD与∠COD互补，∠BOC＝n∠EOC． （1）若∠AOD＝24°，n＝3，求∠DOE的度数； （2）若DO⊥OE，求n的值； （3）若n＝4，设∠AOD＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示∠DOE的度数）． 【考点】垂线；余角和补角． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）∠EOC＝68°； （2）n＝2； （3）． 【分析】（1）根据同角的补角相等可得∠AOD＝∠COD＝24°，即可算出∠AOC的度数，根据平角的性质可得∠BOC的度数，由n＝3，即可算出∠EOC的度数，再根据∠EOD＝∠COD+∠EOC代入计算即可得出答案； （2）设∠AOD＝x，根据同角的补角相等可得∠AOD＝∠COD＝x，即可算出∠AOC的度数，根据平角的性质可得∠BOC的度数，根据垂线的性质，可得∠DOE＝90°，即可算出∠COE＝90°﹣∠COD的度数，由∠BOC＝n∠EOC，代入计算即可算出n的值； （3）根据同角的补角相等可得∠AOD＝∠COD＝α，即可算出∠AOC关于α的表达式，根据平角的性质可得∠BOC关于α的表达式，由n＝4，即可得出∠BOC＝4∠EOC，代入计算即可得出∠EOC 关于α的表达式，再根据∠EOD＝∠COD+∠EOC代入计算即可得出答案． 【解答】解：（1）∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°， ∴∠AOD＝∠COD＝24°， ∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝48°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣48°＝132°， ∵n＝3， ∴∠BOC＝3∠EOC＝132°， ∴， ∠EOD＝∠COD+∠EOC＝24°+44°＝68°； （2）设∠AOD＝x， ∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°， ∴∠AOD＝∠COD＝x， ∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝x+x＝2x， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣2x， ∵DO⊥OE， ∴∠DOE＝90°， ∴∠COE＝90°﹣∠COD＝90°﹣x， ∵∠BOC＝n∠EOC， ∴180°﹣2x＝n（90°﹣x）， ∴n＝2； （3）∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°， ∴∠AOD＝∠COD＝α， ∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝α+α＝2α， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣2α， ∵n＝4， ∴∠BOC＝4∠EOC＝180°﹣2α， ∴45， ∴∠EOD＝∠COD+∠EOC＝4545． 【点评】本题主要考查了垂线的性质，余角和补角及角的计算，熟练掌握垂线的性质，余角和补角及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $