精品解析：河北省保定市莲池区河北保定师范附属学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

保师附校2025-2026年度第二学期期中质量监测 八年级数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷时，将答案用黑色水笔直接写在答题卡相应位置上． 3．本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟． 一、单选题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 1. 下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. －18x4y3＝－6x2y2·3x2y B. (a＋2)(a－2)＝a2－4 C. x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 D. a2－8a＋16＝(a－4)2 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（ ） A. 或 B. C. D. 或 5. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 每一个内角都小于 B. 每一个内角都大于 C. 有一个内角大于 D. 有一个内角小于 6. 如图，在中，，将绕点旋转到的位置，使得，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接交于点E，已知，则的周长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（　　） A. 1 B. C. D. 2 10. 若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. －4≤a＜－2 B. －3＜a≤－2 C. －3≤a≤－2 D. －3≤a＜－2 11. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 12. 如图，在三角形中，．将三角形沿所在直线向右平移，所得图形对应为三角形，若要使成立，则平移的距离是（ ） A. 6 B. 9 C. 6或12 D. 9或12 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. “x的7倍减去1是正数”用不等式表示为_____． 14. 若一个正多边形的内角和为，则该正多边形一个外角的度数为___________． 15. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是______． 16. 如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，⋯，则正方形铁片连续旋转20次后，点的坐标为______ 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 因式分解： （1） （2） （3） （4）先因式分解再求值：，其中，． 18. （1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）的面积为　　 ； （2）将向右平移6个单位长度得到，请画出； （3）画出关于点O的中心对称图形； （4）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为　　 ． 20. 某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． （1）求证：加固后的是等腰三角形； （2）经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 21. ［阅读材料］：把代数式通过配方等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． （1）［类比应用］：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； （3）仿照例2的步骤，求的最小值； （4）若，则______． 22. 如图，直角坐标系中，O为原点，已知点、，点M，N在线段BO上，．将沿x轴向左平移个单位长度，得到． （1）当时，点D的坐标为________，点E的坐标为________； （2）已知四边形的面积为36，求a的值． （3）在（2）的条件下，连接，则四边形周长的最小值是________． 23. （哪吒2魔童闹海）票房大卖，周边玩偶热销．甲、乙两个玩偶专卖店以同样的价格出售相同款式的哪吒玩偶，并且又各自推出不同的优惠方案： 专卖店 优惠条件 甲 购物花费优惠10% 乙 累计购物超过100元后，超出100元的部分按八所以收费 （1）设顾客累计购物花费元，若在甲商场购物，则实际花______元；若在乙商场购物，则实际花费______元；（均用含的式子表示，均化为最简形式） （2）在什么情况下，顾客到乙专卖店购买哪吒玩偶更优惠？请说明理由． （3）甲玩偶专卖店打算要花费1000元购进哪吒、敖丙两款玩偶共60个，已知哪吒玩偶进价18元/个、敖丙玩偶进价15元/个，问最多可以购进哪吒玩偶多少个? 24. 阅读情境： 在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化”问题． 如图1，，其中，，此时，点C与点E重合， 操作探究1 （1）小凡将图1中的两个全等的和的按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，直接写出线段与线段的数量关系是 ． 操作探究2 （2）小彬将图1中的绕点A按逆时针方向旋转角度，然后分别延长，，它们相交于点F． 如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答： ①当 °时，．（直接回答即可） ②时，直接写出线段的长为 ； 操作探究3 （3）小颖将图1中的绕点A按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答： ①如图4，当时，线段的长为多少？并说明理由； ②当旋转到点F是边的中点时，直接写出线段的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保师附校2025-2026年度第二学期期中质量监测 八年级数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷时，将答案用黑色水笔直接写在答题卡相应位置上． 3．本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟． 一、单选题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 1. 下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解∶A．是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. －18x4y3＝－6x2y2·3x2y B. (a＋2)(a－2)＝a2－4 C. x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 D. a2－8a＋16＝(a－4)2 【答案】D 【解析】 【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定． 【详解】解：A、左边不是多项式，故A错误； B、是多项式乘法，不是因式分解，故B错误； C、右边不是积的形式，故C错误； D、符合因式分解的定义，正确． 故选：D． 【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解． 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质． 根据不等式的三条基本性质逐一判断选项即可得到结果． 不等式的基本性质为∶ 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)， 不等号方向不变； 不等式两边乘(或除以)同一个正数， 不等号方向不变； 不等式两边乘(或除以)同一个负数， 不等号方向改变． 【详解】解：∵ ， ∴ 不等式两边同时加5， 不等号方向不变， 可得 ， 选项A正确； 不等式两边同时乘正数2， 不等号方向不变， 可得 ， 选项B错误； 不等式两边同时除以正数3， 不等号方向不变， 可得 ， 选项C错误； 不等式两边同时乘负数， 不等号方向改变， 可得 ， 选项D错误． 4. 若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是的边是底边时，腰长为，三边为，，，等腰三角形成立； 当长是的边是腰时，底边长是：，而，不满足三角形的三边关系． 故底边长是： 故选：C． 5. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 每一个内角都小于 B. 每一个内角都大于 C. 有一个内角大于 D. 有一个内角小于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反证法的解题步骤，反证法证明命题时，首先要假设原结论不成立，即假设结论的反面成立，明确这一规则即可解答． 【详解】解：∵反证法证明命题，第一步需假设命题结论的反面成立. 原命题的结论为“三角形中至少有一个内角大于或等于”， 该结论的反面是“三角形中每一个内角都小于”， ∴应假设这个三角形中每一个内角都小于． 6. 如图，在中，，将绕点旋转到的位置，使得，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质：先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，即可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的运用，理解数量关系，正确列不等式是关键． 根据题意可得，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于，由此列式即可． 【详解】解：小明家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，设小明同学跑步时间为，出家门时是，早上前要到达班级，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于， ∴， 故选：C ． 8. 如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接交于点E，已知，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键． 解：由作图可知，，直线为线段的垂直平分线，则，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 9. 如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】∵∠A=30°，∠C=90°， ∴∠CBD=60°． ∵将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合， ∴∠A=∠DBE=∠EBC=30°． ∵∠EBC=∠DBE，∠BCE=∠BDE=90°，BE=BE， ∴△BCE≌△BDE． ∴CE=DE． ∵AC=6，∠A=30°， ∴BC=AC×tan30°=2． ∵∠CBE=30°． ∴CE= BC×tan30°=2．即DE=2． 故选D． 考点：1．勾股定理2．解直角三角形 10. 若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. －4≤a＜－2 B. －3＜a≤－2 C. －3≤a≤－2 D. －3≤a＜－2 【答案】D 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可解答． 【详解】解： 由①得， 由②得， 因不等式组有3个整数解 故选：D． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，掌握相关知识是解题关键． 11. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质．掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得出，，， 过点作于点D，如图， ∴， ∴， ∴． 故选C． 12. 如图，在三角形中，．将三角形沿所在直线向右平移，所得图形对应为三角形，若要使成立，则平移的距离是（ ） A. 6 B. 9 C. 6或12 D. 9或12 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，则，然后分点E在线段上和点E在线段的延长线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：根据平移的性质可得， ∵， ∴， 又∵， ∴当点E在线段上时，， 当点E在线段的延长线上时，有， 解得：， ∴， ∴平移的距离是或， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，正确分类讨论是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. “x的7倍减去1是正数”用不等式表示为_____． 【答案】7x﹣1＞0． 【解析】 【分析】首先表示“x的7倍"为7x，再表示“减去1”为7x-1，最后表示“是正数"为7x-1>0. 【详解】解：“x的7倍减去1是正数”用不等式表示为7x﹣1＞0， 故答案为7x﹣1＞0． 【点睛】本题主要考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式. 14. 若一个正多边形的内角和为，则该正多边形一个外角的度数为___________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和和外角和综合，设这个正多边形的边数为n，根据正多边形内角和计算公式可得，解方程求出边数，再根据正多边形外角和为360度即可求出答案． 【详解】解；设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数为9， ∴该正多边形一个外角的度数为， 故答案为：． 15. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数形结合思想，一次函数与一元一次不等式：根据两条直线的交点求不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为函数和的图象交于点，则的解集是，即可作答． 【详解】解：∵因为函数和的图象交于点， 则的解集是， 即不等式的解集是， 故答案为： 16. 如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，⋯，则正方形铁片连续旋转20次后，点的坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】首先求出～的坐标，探究总结规律后，利用规律求解． 【详解】解：如图，作轴于，作轴于， 由题意，得，，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 同理：第二次，第三次，第四次，第五次， … 发现点P的位置4次一个循环， ∵， 的纵坐标与相同为3，横坐标为， ∴正方形铁片连续旋转20次后，点的坐标为. 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 因式分解： （1） （2） （3） （4）先因式分解再求值：，其中，． 【答案】（1） （2） （3） （4）因式分解结果为，值为 【解析】 【分析】本题考查因式分解的基本方法，整体解题思路为：先观察式子，若有公因式先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式继续分解到不能分解为止；第（4）小题先完成因式分解得到最简结果，再代入已知数值计算即可．用到的知识点为提公因式法、平方差公式、完全平方公式． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 把， 代入得：原式 18. （1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得， 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）的面积为　　 ； （2）将向右平移6个单位长度得到，请画出； （3）画出关于点O的中心对称图形； （4）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为　　 ． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）利用长方形的面积减去3个直角三角形的面积即可求解； （2）分别确定A，B，C平移后的对应点，再顺次连接即可； （3）分别确定旋转后的对应点，再顺次连接即可； （4）利用旋转的性质，分别连接两组对应点的连线，从而可得答案． 【小问1详解】 解：， ∴的面积为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，即为所求； 【小问4详解】 解：根据图形可知：对应点的连线交于点 ∴旋转中心的坐标为： 故答案为：． 20. 某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． （1）求证：加固后的是等腰三角形； （2）经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 【答案】（1）见解析 （2）原始支撑段的长度是8米 【解析】 【分析】（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【小问1详解】 证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； 【小问2详解】 解：连接， ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 21. ［阅读材料］：把代数式通过配方等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． （1）［类比应用］：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； （3）仿照例2的步骤，求的最小值； （4）若，则______． 【答案】（1） 9 （2） （3） 最小值为6 （4） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式求解； （2）先凑成局部完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将变形为完全平方加有理数的形式即可； （4）利用完全平方公式将变形为，求出x和y即可． 【小问1详解】 解：， 故横线上添加9； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：； 由于，所以， 即的最小值为6； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 22. 如图，直角坐标系中，O为原点，已知点、，点M，N在线段BO上，．将沿x轴向左平移个单位长度，得到． （1）当时，点D的坐标为________，点E的坐标为________； （2）已知四边形的面积为36，求a的值． （3）在（2）的条件下，连接，则四边形周长的最小值是________． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移写出坐标即可； （2）利用，再列方程求解； （3）设关于轴对称点为，点向下平移1个单位，得到，再根据，结合勾股定理即可得到最小值． 【小问1详解】 解：点沿x轴向左平移5个单位长度得到， 点沿x轴向左平移5个单位长度得到； 【小问2详解】 解：根据题意，，， ， 又四边形为长方形， ， ， 解得； 【小问3详解】 解：设关于轴对称点为，再点向下平移1个单位，得到， 则，，，， 又，且， 四边形为平行四边形， ，则， ， 又，， 四边形周长， 则四边形周长的最小值是． 23. （哪吒2魔童闹海）票房大卖，周边玩偶热销．甲、乙两个玩偶专卖店以同样的价格出售相同款式的哪吒玩偶，并且又各自推出不同的优惠方案： 专卖店 优惠条件 甲 购物花费优惠10% 乙 累计购物超过100元后，超出100元的部分按八所以收费 （1）设顾客累计购物花费元，若在甲商场购物，则实际花______元；若在乙商场购物，则实际花费______元；（均用含的式子表示，均化为最简形式） （2）在什么情况下，顾客到乙专卖店购买哪吒玩偶更优惠？请说明理由． （3）甲玩偶专卖店打算要花费1000元购进哪吒、敖丙两款玩偶共60个，已知哪吒玩偶进价18元/个、敖丙玩偶进价15元/个，问最多可以购进哪吒玩偶多少个? 【答案】（1）； （2）当元时，顾客到乙专卖店购买哪吒玩偶更优惠 （3）33个 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式，一元一次不等式的应用， 对于（1），根据甲商场购物的花费乘以，再根据乙商场实际花费为100加上乘以可得关系式，再整理； 对于（2），根据题意可知，再求出解集即可； 对于（3），设购进哪吒玩偶个，则购进敖丙玩偶（）个，根据题意列出不等式，求出解集即可． 【小问1详解】 解：甲商场购物，实际花；乙商场购物，实际花费． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：， ， ∴当元时，顾客到乙专卖店购买哪吒玩偶更优惠； 【小问3详解】 解：设购进哪吒玩偶个，则购进敖丙玩偶（）个，根据题意，得 ， 解得， ∵为正整数， ∴最多为33． 答：最多可以购进哪吒玩偶33个． 24. 阅读情境： 在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化”问题． 如图1，，其中，，此时，点C与点E重合， 操作探究1 （1）小凡将图1中的两个全等的和的按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，直接写出线段与线段的数量关系是 ． 操作探究2 （2）小彬将图1中的绕点A按逆时针方向旋转角度，然后分别延长，，它们相交于点F． 如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答： ①当 °时，．（直接回答即可） ②时，直接写出线段的长为 ； 操作探究3 （3）小颖将图1中的绕点A按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答： ①如图4，当时，线段的长为多少？并说明理由； ②当旋转到点F是边的中点时，直接写出线段的长为 ． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据证明即可解决问题； （2）①根据平行线的判定定理即可解决问题； ②作于点，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （3）①连接，证明是等边三角形，利用勾股定理求出即可解决问题； ②如图5中，连接，交于点．首先证明，再证明，利用面积法求出即可解决问题． 【详解】（1）解：， 如图2中， ，，， ， ； （2）①解：∵， ， 当时，． 故答案为：； ②解：如图3中，作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）①解：如图4中，连接． ，， 是等边三角形， ，， ， ； ②解：如图5中，连接，交于点． ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． ，， 垂直平分线段， ， 在中，，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $