精品解析：湖南株洲市第一中学等校2025-2026学年高一下学期五月质量检测数学试题

2026年上学期高一五月质量检测 数 学 温馨提示： 1.本试题卷共4页，共19道题，时间为120分钟，满分150分． 2.作答时，把答案转填涂在答题卡上，写在试题卷上的答案无效． 3.考试结束时，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 则. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】将不等式移项得，通分得，即， 等价于，解得，故C正确. 3. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ ， ∴ 原等式可化为 ， ∴ ， ∴. 5. 已知是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由已知得：． 6. 已知奇函数满足，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据可求出的周期，再结合可求出值，结合周期性可将转化到自变量在区间上的函数值，根据奇函数的性质及已知解析式可求解. 【详解】因为函数满足， 所以，即是以4为周期的函数. 由题意知奇函数的自变量可取0，所以. 又因为当时，，所以，解得， 所以当时，， 所以 . 7. 甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确甲、乙、丙的命中率与不命中率，再利用独立事件乘法公式，分别计算 “恰好击中两次” 的三种互斥情况的概率； 最后通过互斥事件加法原理，将三种情况的概率相加，最终得到总概率即可. 【详解】设甲击中为事件A，乙击中为事件B，丙击中为事件C， 甲、乙、丙三人轮流独立射击，命中率分别为： 甲：，不命中 ， 乙：，不命中 ， 丙：，不命中 ， 所以共有3种可能的情况： 甲、乙击中，丙未击中概率为： ， 甲、丙击中，乙未击中概率为： ， 乙、丙击中，甲未击中概率为： ， 将三种情况的概率相加： . 8. 已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长，利用几何法求出球的半径，最后利用球的表面积公式求解． 【详解】已知圆锥底面半径，体积为，设圆锥的高为，则 ，解得， 设圆锥母线长为，则， 设圆锥内切球半径为，则截面图如下： 则，，， ，即， ， 该内切球的表面积为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算公式，可判定A正确；根据共线向量的坐标表示，列出方程，可判定B正确；利用向量垂直的坐标表示，列出方程，可判定C正确；根据且与不共线，求得的范围，可判定D错误. 【详解】由向量， 对于A，由向量数量积的坐标运算，可得，所以A正确； 对于B，由，可得，解得，所以B正确； 对于C，由，可得，解得，所以C正确； 对于D，因为与的夹角为钝角，则向量满足且与不共线， 由，可得， 当与共线时，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为，所以D错误. 10. 在中，，，的面积为，则（ ） A. 外接圆的面积为 B. C. 是等边三角形 D. 的周长是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得，，再结合正弦定理逐项判断即可. 【详解】由三角形面积公式：， 代入得： ，解得， 由余弦定理，代入得： ， 结合得， 因此，得， 选项A： 由正弦定理（为外接圆半径）， 代入得： ，得，外接圆面积，A正确， 选项B： 由正弦定理，， 得，代入， ，B正确， 选项C： 若为等边三角形，则边长为3，面积为，矛盾，C错误， 选项D： 周长为，D正确. 11. 已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（ ） A. B. C. 当时， D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法判断AB，利用赋值法，以及不等式，判断C，根据函数单调性的定义，再结合赋值法和不等式判断D. 【详解】A选项，令，得，所以，A正确； B选项，令，得，，不恒为0，故B错误； C选项，令，得，当时，，，所以，所以，C正确； D选项，设任意，，且，令，， 则有，即， 由于，故有，，， 所以，即，故在上单调递减，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以 ， 因为，所以 ， 两式相加可得 ， 解得， 两式相减可得 ， 化简可得， 因为， 代入可得 ，解得. 13. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意将符合要求的个数据由小到大排列出来，再结合平均数公式求解即可. 【详解】将个数据由小到大进行排列，前个数依次为、、，要使得这个数据的平均数最大， 则后面两个数分别为、，即这个数据由小到大依次为、、、、， 所以这个点数的平均数的最大值为. 14. 圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求解. 【详解】设上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，以下底面圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则由已知有， 连接，因为，所以，所以， 所以， 即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积．请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求，的值； （2）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，，，…，，已知这个分数的平均数，若剔除其中的和两个分数，求剩余8个分数的平均数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图的性质构造关系式，根据已知条件列方程求出，进而求出； （2）根据已知样本数据确定分层抽样比例，列举出抽取总数及符合条件的事件数，求出相关概率； （3）根据题意，先求出名学生的分数总和，再剔除后求解平均数． 【小问1详解】 由频率直方图的性质得， ， 化简可得， 已知第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积，设样本容量为， 则，解得， 代入得，． 【小问2详解】 样本数据在组频率为：， 样本数据在组频率为：， 两组频数比为：，分层抽取6人， 则从组抽4人，记为，组抽2人，记为 从6人中选2人，总共抽法为： ， ，共计种； 两人来自不同小组的事件为： ，共计8种， 故概率为：． 【小问3详解】 已知这个分数的平均数，故总和为：， 剔除和后，剩余8个分数总和：， 故剩余8个分数的平均数为：． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围； （3）设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积，结合三角函数性质求解即可. （2）根据正弦定理、辅助角公式及正弦函数性质求解即可. （3）根据三角形面积公式得到，根据为中点得到，结合向量数量积的运算律得到，代入余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由题意， 又，所以． 又，所以或，所以. 【小问2详解】 因为，， 由正弦定理得：，则，． 易知， 所以． 因为为锐角三角形，所以，解得． 所以，所以，则． 所以的取值范围是． 【小问3详解】 由题意知，，所以． 因为为中点，所以， 两边平方得：， 代入并整理：， 由余弦定理：， 所以． 17. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用辅助角公式将函数化简，根据正弦函数的单调增区间列不等式求解； （2）先确定相位的取值范围，结合正弦函数的取值求值域； （3）化简方程得，根据正弦函数性质列不等式求解.. 【小问1详解】 由辅助角公式得， 令，解得， 所以函数的单调增区间为； 【小问2详解】 当时，， 由正弦函数性质得， 因此， 即函数的值域为； 【小问3详解】 由题意可得，即， 因为，则， 要使方程有3个不同的实数根， 由正弦函数性质可知，，解得， 所以实数的取值范围. 18. 现有两个含角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，.初始时，两三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线.现将两三角板绕点平行展开，得到四棱锥. （1）求证：平面平面； （2）设平面平面. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）最大值. 【解析】 【分析】（1）通过，确定，即可求证； （2）（ⅰ）通过平面，得到，即可求证；（ⅱ）作，，确定是二面角的平面角.设.得到，.再结合体积公式，结合三角函数性质即可求解. 【小问1详解】 由与平行且相等，得四边形为平行四边形， 所以为，的中点. 又由于，，所以，， 又因为，平面，，所以平面. 又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面，所以. 又因为平面，平面，所以平面. （ⅱ）作，，垂足分别为，， 因为，所以，， 所以是二面角的平面角. 因为，为的中点， 所以，设. 则，. 因为，，，平面， 所以平面，所以. 所以. 当且仅当，即二面角的大小为时，四棱锥的体积取得最大值. 19. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有．若函数的图象关于点对称，且当时，． （1）求的值； （2）设函数． ①求函数的对称中心； ②若命题“，，使得成立”是真命题，求实数m的范围． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）根据对称的充要条件，令即可求解； （2）①根据题意得到即可；②由命题“，，使得成立”是真命题可得在上的值域是在上的值域的子集.，根据二次函数图象对称轴在区间上的单调性情况，分别讨论在和上的值域，即可求得参数范围． 【小问1详解】 函数的图象关于点对称， 所以， 令，得； 【小问2详解】 ①， ，即满足， 所以函数的图象关于点对称； ②命题“，使得成立”是真命题， 又在上单调递增， 所以时，的值域为， 因函数的图象关于点对称，则， 当时，，则当时，， 则， 化简得. 命题“，，使得成立”是真命题, 即在上的值域是在上的值域的子集. 先考虑时，，其对称轴为直线， ①当时，在单调递增，，， 此时，需满足，解得，故得； ②当时，在单调递减，在单调递增， ，， 需满足，解得； ③当时，在单调递减， ，， 此时，需满足，解得，故得. 再分析时，，其对称轴为直线， ①当，即时，在单调递减， ，，此时， 需满足，解得，故得； ②当，即时，， ， 需满足，解得，结合，可得； ③当，即时，在单调递增， ，，此时， 需满足，解得，故. 综合函数在与的上的情况，可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高一五月质量检测 数 学 温馨提示： 1.本试题卷共4页，共19道题，时间为120分钟，满分150分． 2.作答时，把答案转填涂在答题卡上，写在试题卷上的答案无效． 3.考试结束时，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知奇函数满足，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 7. 甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是 10. 在中，，，的面积为，则（ ） A. 外接圆的面积为 B. C. 是等边三角形 D. 的周长是 11. 已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（ ） A. B. C. 当时， D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则________． 13. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 14. 圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积．请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求，的值； （2）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，，，…，，已知这个分数的平均数，若剔除其中的和两个分数，求剩余8个分数的平均数． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围； （3）设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 17. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围. 18. 现有两个含角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，.初始时，两三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线.现将两三角板绕点平行展开，得到四棱锥. （1）求证：平面平面； （2）设平面平面. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值. 19. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有．若函数的图象关于点对称，且当时，． （1）求的值； （2）设函数． ①求函数的对称中心； ②若命题“，，使得成立”是真命题，求实数m的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $