江苏省海门中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 聚焦数学核心素养，梯度设计合理，通过现实情境（如文峰塔测量）与空间几何（正四面体、长方体）考查直观想象与逻辑推理，综合题（如四棱锥探究、外心向量应用）凸显思维深度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数、立体几何、三角函数、解三角形|第4题测量问题体现应用意识，第7题正四面体夹角考查空间观念| |填空题|3题/15分|向量坐标、数量积、解三角形范围|第14题锐角三角形范围问题考查推理能力| |解答题|5题/77分|复数运算、三角形面积最值、立体几何证明与探究、外心综合|第18题四棱锥动态探究培养创新意识，第19题外心与向量结合凸显数学思维严谨性|

江苏省海门中学2025-2026学年度第二学期期中考试试卷 高一数学 命题人: 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。 1.已知,若,则( ) A. B. C. D. 2.已知∈R,则“”是“复数为纯虚数”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 3.如图,一个水平放置平面图形的直观图是边长为1的菱形,且 ,则原平面图形的面积为( ) A.1 B.2 C. D. 4.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度,在与塔底位于同一水平面上共线的,,三处进行测量,如图2.已知在处测得塔顶的仰角为,在处测得塔顶的仰角为,在处测得塔顶的仰角为,米,则文峰塔的高度( ) A.米 B.米 C.米 D.米 5.已知两条直线,和平面,则下列命题为真命题的是( ) A.若,,则 B.若,,则 C.若,,则 D.若,,则 6.已知,若,则在方向上的投影向量的坐标为( ) A. B. C. D. 7.在正四面体中,点,,分别为棱,,的中点,则异面直线,所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 8.已知的内角的对边分别为,,则的最大值为( ) A. B. C. D.3 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知复数,,且,下列说法正确的是( ) A.是纯虚数 B.是实数 C.是虚数 D.若,则是实数 10.在中,.则下列结论正确的有( ) A. B. C.的面积为3 D.的外接圆半径为 11.如图,在长方体,中,,,、、分别是,,的中点,则下列说法正确的是( ) A. B.平面 C.若点P在平面ABCD内,且平面GEF,则线段长度的最小值为 D.若点Q在平面ABCD内,且,则线段长度的最小值为 第二部分 (非选择题 共92分) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.在直角(OAB逆时针排列)中,O为坐标原点,A为直角顶点,其坐标为,若,则点B的坐标为_. 13.如图,等边的边长为1,点分别为的中点,连接并延长到点,使得,则_. 14.已知锐角的内角,,的对边分别为,,,若,则的取值范围是_. 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知复数为虚数单位),在复平面上对应的点在第四象限,且满足(为的共轭复数). (1)求实数的值; (2)若复数是关于的方程,且的一个复数根,求的值. 16.(15分)在中,角,,所对的边分别为,,,. (1)求角; (2)若外接圆的半径为,求面积的最大值. 17.(15分)已知函数. (1)求函数的最小正周期; (2)在中,若,求的最大值. 18.(17分)如图,四棱锥的底面是菱形,侧面是正三角形,是上一动点,是中点. (1)当是中点时,求证:∥平面; (2)若,求证:; (3)在(2)的条件下,是否存在点,使得?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. 19.(17分)在锐角中,,点O为的外心. (1)若,求的最大值; (2)若. ①求证:; ②求的取值范围.