2026届高考数学三轮冲刺考点：导数的应用--不等式问题专项训练

**基本信息** 以导数工具为核心，通过构造函数、单调性分析、参数分离等系统方法解决不等式问题，强化数学思维与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|13题|构造辅助函数（如f(x)e^x、f(x)/x）、奇偶性应用、分离参数|导数性质→函数单调性→不等式转化，形成"构造-求导-判断-应用"逻辑链| |解答题|6题|数学归纳法、凹凸反转、数列单调性证明|从具体函数到抽象不等式，结合数列、切线等综合场景，体现知识迁移与应用意识|

2026届高考数学三轮冲刺高频考点： 导数的应用--不等式问题 一、单选题 1．已知定义在上的函数的导函数为，若对任意x，都有，且为奇函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 2．已知函数，对任意的，满足，是的导数，则下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 3．若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，若在上恒成立，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 二、多选题 6．以下不等式成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题 7．设函数在上存在导函数，对于任意的实数x，有，当时，，若，则实数m的取值范围是 ． 8．已知函数的定义域为，是的导函数，，若对任意的，有，则不等式的解集是 ． 9．已知定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为 ． 10．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是 ． 11．设定义域为的函数的导函数为，对任意的有恒成立，且在上成立.若，则实数的取值范围为 . 12．若实数m，n，当时，恒有成立，则实数a的最小值为 ． 13．函数满足恒成立，则的取值范围是 . 四、解答题 14．已知，点在的图象上，过点的切线交轴于点，． (1)求与的关系式； (2)求证：数列单调递减； (3)求证：； (4)求证：； (5)求． 15．已知函数． (1)若为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围； (2)当时，求函数的最大值； (3)当，且时，求证：． 16．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 17．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)函数在上恒成立，求最小的整数a． 18．设函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求的值； (2)当时恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：. 19．已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A C B B ABC 1．B 【分析】设，，结合已知利用导数法得函数在上为减函数，结合奇函数性质得，即可求解. 【详解】设，，则， 且，所以函数在上为减函数． 又为奇函数，则有，所以． 当时，， 故不等式的解集是． 故选：B 2．A 【分析】令，利用导数研究单调性，利用单调性逐个选项比较大小即可. 【详解】令，则， 由得，当时，， 即在上单调递增， 对于A，由，则，所以， 即，可知A正确； 对于B，由，则，所以， 即，可知B错误； 对于C，由，则，所以，即，可知C错误； 对于D，由，则，所以，即，可知D错误. 故选：A 3．C 【详解】试题分析：令，则，因此，所以选C. 考点：利用导数研究不等式 【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 4．B 【分析】先分离参数，再构造函数，利用导函数确定函数单调性，从而得到函数最值，进而得出答案. 【详解】由题意可转化为恒成立， 令函数为偶函数， 故考虑时，， 令， 即在上单调递增， 则，则在上单调递增， 在上单调递减，故， 故， 故选：B. 5．B 【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误. 法2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性；对于A，构造，判断得，进而取推得不恒成立；对于B，证明所在区间同时证得后续结论；对于C，记，取推得不恒成立；对于D，构造，判断得，进而取推得不恒成立. 【详解】法1：因为，故， 对于A ，若，可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立， 由数学归纳法可得成立. 而， ，，故，故， 故为减数列，注意 故，结合， 所以，故，故， 若存在常数，使得恒成立，则， 故，故，故恒成立仅对部分成立， 故A不成立. 对于B，若可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立即 由数学归纳法可得成立. 而， ，，故，故，故为增数列， 若，则恒成立，故B正确. 对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立即 由数学归纳法可得成立. 而，故，故为减数列， 又，结合可得：，所以， 若，若存在常数，使得恒成立， 则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误. 对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立 由数学归纳法可得成立. 而，故，故为增数列， 又，结合可得：，所以， 若存在常数，使得恒成立，则， 故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误. 故选：B. 法2：因为， 令，则， 令，得或； 令，得； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 令，则，即，解得或或， 注意到，， 所以结合的单调性可知在和上，在和上， 对于A，因为，则， 当时，，，则， 假设当时，， 当时，，则， 综上：，即， 因为在上，所以，则为递减数列， 因为， 令，则， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故， 所以在上单调递增，故， 故，即， 假设存在常数，使得恒成立， 取，其中，且， 因为，所以， 上式相加得，， 则，与恒成立矛盾，故A错误； 对于B，因为， 当时，，， 假设当时，， 当时，因为，所以，则， 所以， 又当时，，即， 假设当时，， 当时，因为，所以，则， 所以， 综上：， 因为在上，所以，所以为递增数列， 此时，取，满足题意，故B正确； 对于C，因为，则， 注意到当时，，， 猜想当时，， 当与时，与满足， 假设当时，， 当时，所以， 综上：， 易知，则，故， 所以， 因为在上，所以，则为递减数列， 假设存在常数，使得恒成立， 记，取，其中， 则， 故，所以，即， 所以，故不恒成立，故C错误； 对于D，因为， 当时，，则， 假设当时，， 当时，，则， 综上：， 因为在上，所以，所以为递增数列， 因为， 令，则， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，故， 所以， 故，即， 假设存在常数，使得恒成立， 取，其中，且， 因为，所以， 上式相加得，， 则，与恒成立矛盾，故D错误. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立. 6．ABC 【分析】A选项，令，，，，求导，求出函数单调性，得到，，得到A正确；B选项，在A选项基础上，得到时，，，B正确；C选项，令，，求导得到函数单调递增，且，从而得到C正确，D选项，令，，求导得到函数单调性和值域，结合的单调性和取值范围，得到两函数图象，数形结合得到D错误. 【详解】A选项，令，， 则恒成立，故在上单调递增， 则， 令，， 则，故在上单调递增， 故， 所以，即，A正确； B选项，由A选项知，时，单调递增，单调递减， 则， 所以，即，B正确； C选项，令，， 则， ，，， 又在上恒成立， 故在恒成立， 故在上单调递增， 又，故，即当时，，C正确； D选项，令，，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 其中，， 在上单调递增，在上单调递减， 且，， 画出两函数图象如下： 时，不满足， 存在，使得当时，，即，D错误. 故选：ABC 【点睛】很多时候，我们需要证明，但不代表就要证明，因为大多数情况，的零点解不出来，设隐零点是一种方法，也可尝试凹凸反转，如要证明，可把拆分为两个函数，放在不等式的两边，即要证明，只要证明，凹凸反转的关键是如何分离出两个函数，通常考虑指数函数与对数函数分离，构造两个单峰函数，进行求解. 7． 【分析】根据已知等式和不等式构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性进行求解即可. 【详解】设，则， 为奇函数，． 当时，，所以在上是减函数． 因为， 即，所以，从而． 故答案为： 8． 【分析】将所求不等式转化为，通过研究的单调性，结合，即可得到不等式解集. 【详解】设，则， 设，则，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 得， 因而，单调递减，又， 依题意，所求为，可得解集为. 故答案为：. 9． 【分析】根据给定条件，构造函数并借助导数确定单调性，进而求解不等式. 【详解】由，得，则， 设，则为上的增函数， ，． 由，得，即， 因此，得，即，又，解得， 所以所求解集为. 故答案为： 10．/ 【分析】参变分离，将问题转化为函数最值问题，利用导数研究单调性，结合换元法可解. 【详解】因为分别是定义域为的偶函数和奇函数，且①， 所以，即②， 联立①②解得，， 因为在上都为增函数， 所以在上单调递增，， 故不等式 令，因为当时，，单调递增， 所以， 又， 所以， 因为在上都为增函数，所以在上单调递增， 所以，所以，即实数的最大值是. 故答案为: 【点睛】本题为不等式恒成立问题，先根据奇偶性求出解析式，然后参变分离，利用换元法化简，结合单调性求解即可. 11． 【分析】构建，结合题意分析的奇偶性和单调性，由题意可得原不等式化为，根据奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】设，可知的定义域为， 因为，即， 则， 则函数为偶函数， 当时，，可知函数在单调递增， 由偶函数性质可得函数在单调递减， 因为，可得， 即，可得，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题意构建函数，分析其奇偶性和单调性，进而解不等式. 12．1 【分析】分析得到，构造函数，则需要单调递增，求导，得到只需对任意的，．令，求导，得到其单调性，，故只需，即． 【详解】． 又， 则． 令，则需要单调递增， 即， 从而只需对任意的，． 令，， 则，单调递减，故， 所以只需，即． 故答案为：1 13． 【分析】构造函数，利用函数的单调性求解即可. 【详解】，设，在上单调递增， ， 令，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，又， 则的取值范围为： 故答案为： 14．(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)证明见解析 (5) 【分析】（1）求得切线方程，由切线过点，可得，结合已知可得结论； （2）由（1）可得，进而可证，可得结论； （3）计算可得，进而可得结论； （4）由（3）可得，进而计算可得结论； （5）由（4）可得，求极限即可. 【详解】（1）由，可得，所以， 所以过点的切线的方程为， 又切线过点，所以，又， 消得． （2）由（1）知，则， 所以，所以数列单调递减． （3）， 所以． （4）， 即， 所以． （5）由（4）知， 从而． 15．(1)． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用函数的导函数与单调性的关系，分类讨论进行求解即可； （2）利用函数的导函数与单调性的关系，结合函数最值的定义进行求解即可； （3）根据所求证不等式的形式，通过构造新函数、结合（2）的结论进行运算证明即可. 【详解】（1），． 若在上是增函数，则， 即在恒成立，而，故． 若在上是减函数， 则，即在恒成立， 而，故这样的m不存在． 经检验，当时，对恒成立，所以． （2）当时，，则． 当时，，为增函数； 当时，，为减函数． 故在时取得最大值，最大值为． （3）当时，令， 则， 在上总有，即在上单调递增， 所以当时，， 即． 令， 由（2）知在上单调递减， 所以当时，， 即． 综上，得证． 16．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 17．(1)单调增区间为，，单调减区间为 (2) 【分析】（1）对求导，得到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （2）利用（1）中结果，求出在区间上最大值，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 因为恒成立，由，得到或，由，得到， 所以函数的单调增区间为，，减区间为. （2）由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，显然有，所以在区间上最大值为， 又函数在上恒成立，所以，得到最小的整数. 18．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）求出导函数，并设，求得，由于 ，因此根据，以及分类讨论是否恒成 立，从而得参数范围； （3）由（2）不等式变形得，再用代后变形及放缩得，然后令后相加可证． 【详解】（1）， 由题意曲线在点处的切线方程为， 则，解得； （2），， ，令（），则， 当，即时，，即是上的增函数， 因此， 是增函数，所以，不合题意，舍去； 当即时，，即是上的减函数， 所以， 所以是上的减函数，从而恒成立， 当即时，， 时，，在单调递增， 时，，在单调递减， 又，所以时，恒成立，即恒成立， 此时在上单调递增，因此，与题意不合，舍去， 综上． （3）由（2）知时，，即，从而， 所以，又， 所以， 此不等式中分别令得 ，，，， 将这个不等式相加得. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于第（3）小题，关键是利用（2）中不等式变形及不等式的性质得出，然后分别令后相加得证． 19．（1）（2） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）［方法一］：通性通法 ,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即． 所以a的取值范围为． ［方法三］：换元同构 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法四］： 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． 【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法； 方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解； 方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出； 方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $