导数的应用：函数单调性问题训练-2026届高考数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦导数与函数单调性的关联，通过图象识别、区间求解、参数讨论等题型，系统提炼求导判断、构造函数、分类讨论等方法，形成从概念到应用的逻辑链条，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-4、填空14|导数几何意义、求导解不等式|导数正负与单调性关系→单调区间求解| |综合应用|单选5-10、多选11-13|构造函数、单调性比较大小|函数性质与导数结合→解决比较大小、不等式问题| |含参问题|解答16-19|分类讨论参数、恒成立转化|含参函数求导→分类讨论单调性→参数范围确定|

2026届高考数学三轮冲刺专题练： 导数的应用--函数单调性问题 一、单选题 1．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（    ） A． B． C． D．   2．函数，其中，则的单调增区间为（    ）． A． B． C． D． 3．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．  B．   C．     D．   5．已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 7．已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是 A． B． C． D． 9．下列函数在其定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 12．下列不等关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 13．已知，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14．函数的单调递减区间为 ． 15．设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ． 四、解答题 16． 已知函数的定义域为R，，且. (1)求的值 (2)若为一次函数，且在内单调递增，求的取值范围. 17．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调区间. 18．已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间与极值. 19．已知函数 (1)若其图象在点处的切线方程为，求，的值； (2)若1是函数的一个极值点，且函数在上单调递增，求实数的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C B D B A C D 题号 11 12 13 答案 AD ACD BC 1．A 【分析】利用f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，结合导数的几何意义判断即可. 【详解】由f(x)的图象可知，函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A. 故选：A. 2．B 【分析】先求函数的定义域，然后对函数求导，由导数大于零可求得函数的递增区间 【详解】定义域为， 由，得， 由，得或， 又函数的定义域是， 所以，即的单调增区间为. 故选：B． 3．C 【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断各选项中函数在区间上的单调性即可. 【详解】对于A，当时，函数在上单调递减，故A错误； 对于B，函数在不单调，故B错误； 对于C，函数，则， 因为， 所以， 所以， 故函数在上单调递增，故C正确； 对于D，函数，在单调递减，在单调递增，故D错误. 故选：C. 4．C 【分析】根据导函数的正负性与原函数的单调性的关系进行判断即可. 【详解】由的图象知，当时，为增函数，当时，为减函数，当时，，为增函数. 故选：C 5．B 【分析】求导，由题意将问题转换成有解，构造函数，由其单调性得到，求解即可. 【详解】求导可得， 由题意有解， 即有解， 即有解， 令， 因为，易知在单调递增， 此时，所以， 又，， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 故选：B. 6．D 【分析】先判断的图象关于直线对称，再利用导数判断当时的单调性，根据定义域和单调性列不等式组求解可得. 【详解】由得函数的定义域为， 由于， 所以的图象关于直线对称， ， 当时，单调递增，所以， 又，所以，单调递增， 所以，解得. 故选：D． 7．B 【分析】先求导后结合辅助角公式得到原函数为单调减函数，再对数和指数的运算求解即可； 【详解】因为，故， 其中，因此为减函数， 因为，故， 所以， 所以. 故选：B. 8．A 【详解】对于A,令,,则在R上单调递增,故具有M性质,故选A. 【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间． (2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若函数单调递增,则f′(x)≥0；若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解． 9．C 【分析】利用函数解析式直接确定单调性判断ABC；利用导数求出单调区间判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，该函数在其定义域上不单调，A不是； 对于B，函数的定义域为，当时，在上单调递减，B不是； 对于C，函数的定义域为，，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数的定义域为R，求导得，当时，，函数在上单调递减，D不是. 故选：C 10．D 【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性， 确定a范围； 由对数函数的单调性判断的单调性，确定b的范围，利用指数函数的单调性判断单调性， 确定c范围， 最终确定a，b，c的大小. 【详解】单调递增， 因为 且 且， 故， 令， 因为， 在均单调递增， 则在单调递增， 因为 且， 故， 即 ； 令， 因为， 在R上单调递减， 故单调递减， 因为 且， 则 ， 因此. 故选：D. 11．AD 【分析】先用偶函数的定义判断各选项，再通过举反例或利用导数判断其在上的单调性即可. 【详解】对于A，，定义域为，， 所以是偶函数，且在上单调递增，故A正确； 对于B，，定义域为，， 所以是偶函数，当时， 令得，即在上单调递减，故B不正确； 对于C，，定义域为，， 所以是偶函数，， 所以在上不单调递增，故C不正确； 对于D，，定义域为，， 所以是偶函数，当时，，恒成立， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：AD. 12．ACD 【分析】通过构造函数，借助导数研究单调性，代特殊值，即可比较大小. 【详解】对A，由三角函数线可知当时，， 令，可得，所以，故A对； 对B，构造函数，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以当且时，， 令，可得，即，故B错； 对C，因为当且时，，故， 所以当且时，， 令，得，即，故C对. 对D， 构造函数，， 则，， 所以在单调递增，故，即， 令，得，故D对. 故选：ACD. 13．BC 【分析】构造函数，，求导得到其单调性，进而判断出，进而得到，得到正确答案. 【详解】A选项，因为，所以， 令，， 则， 因为，所以恒成立， 故在上单调递减， 故， 则，故A错误； B选项，由A选项可知， ，故B正确； CD选项，由AB选项可知，，C正确，D错误. 故选：BC 【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中要比较出的大小关系，观察出三个式子的特征，构造出，，从而求出答案. . 14． 【分析】求导，令，求出不等式解集，得到答案. 【详解】由题意知， 令得或1，其中， 令得，所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 15． -1; . 【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围. 【详解】若函数为奇函数,则， 对任意的恒成立. 若函数是上的增函数,则恒成立,. 即实数的取值范围是 【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查. 16．(1)11 (2) 【分析】（1）利用赋值法即可求解； （2）利用待定系数法求，再利用导数研究单调性即可求解. 【详解】（1）因为，所以. （2）由为一次函数，设，由，， 所以， 所以，所以， 因为在内单调递增，所以在内恒成立， 所以在内恒成立， 所以，又在内恒有， 所以， 所以的取值范围为. 17．(1) (2)答案见详解 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导可得，分类讨论的符号以及与0的大小关系，利用导数判断原函数的单调区间. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. （2）由题意可知：的定义域为，且， （i）若，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； （ⅱ）若，令，解得或， ①当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； ②当，即时，则，可知在内单调递增； ③当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为. 18．(1)， (2)增区间为和，减区间为，极大值为，极小值为 【分析】（1）由题知及联立求解可得结果； （2）令求单调增区间，令求单调减区间，进而可得函数的极值. 【详解】（1）由题意，易知，得. ， 由，解得. （2）由（1）知，易知， 当变化时，，的变化情况如下表所示. 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 因此，函数在和上单调递增，在上单调递减. 当时，有极大值，且极大值为； 当时，有极小值，且极小值为. 19．(1)， (2) 【分析】（1）由题意，且，由此即可得解. （2）一方面：由题意，且至少有两个零点（否则单调递增没有极值点）；另一方面：由题意在上恒成立，分离变量即可；结合两方面即可得解. 【详解】（1）点在切线上， ，① ，，② 联立①②解得，. （2）依题意有，，， 且，； 又，， 则时，，即， 令，，求导得，所以单调递增， ； 又，所以的取值范围为. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $