2026届高考数学三轮冲刺题型专题练：集合与常用逻辑用语

**基本信息** 聚焦集合运算与逻辑推理，通过基础巩固、条件判断及新定义问题构建从概念到创新应用的完整训练体系，强化数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合运算|单选1-3、填空12-15|列举法/元素特征分析|从集合基本定义到交并补运算，结合数集、点集深化概念理解| |逻辑用语|单选4-7、9-10、填空16|定义法/反例验证|命题否定规则→充分必要条件推导→跨知识点（数列、向量）条件判断| |新定义问题|单选8、填空11、解答17-18|概念转化/构造法|集合新定义（规范数集、完美向量集）→抽象问题具象化→逻辑证明与模型构建|

2026届高考数学三轮冲刺经典题型专题练： 集合与常用逻辑用语 一、单选题 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 9．已知向量，，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．命题“，”的否定是（    ） A．“，” B．“，” C．“，” D．“，” 二、填空题 11．已知平面内点集，A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合，. 给出以下四个结论： ①若，则； ②若为奇数，则； ③若为偶数，则； ④若，则. 其中所有正确结论的序号是 . 12．已知集合，，则集合的元素个数为 ． 13．已知，集合．则集合中所有元素之和为 ． 14．设为虚数单位．若集合，，且，则 ． 15．已知集合，，若．则m的取值范围是 ． 16．已知命题：，，则为 ． 三、解答题 17．已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数. (1)若，直接写出所有满足条件的集合； (2)若，且对任意，都有，求的最大值； (3)若且对任意，都有，求的最大值. 18．定义两个n维向量，的数量积（），，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由n维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集. (1)求2的完美3维向量集： (2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由： (3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和. 参考答案 1．A 对于可得：      xy -1 1 -1 -2 0 1 0 2 可得集合； 对于可得：      xy -1 1 -1 0 2 1 -2 0 可得集合，所以， 则成立，不成立，， 所以A正确，B、C、D错误. 2．B 由题意知，， 又， 所以. 3．C 集合， ，，. 4．C 设等差数列的公差为， 由得：，， ， ，即，充分性成立； 由得：，，即， ， 即，必要性成立； “”是“”的充分必要条件. 5．A 当成等比数列时，， 所以，当且仅当时等号成立， 又，所以，所以，充分性满足； 当时，， 而当时，为最长的边，不满足成等比数列，必要性不满足. 则“成等比数列”是的充分不必要条件. 6．B 不妨设，此时满足， 但不满足，充分性不成立， 两边平方得，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故，解得，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 7．B 因为，， 当时，为非负的偶数，所以，，则， B对，ACD都错. 8．C 集合中，，则， 即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集； 集合，， ， 即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集. 9．A 向量，， 若与共线，则.解得或， 所以“”是“与共线”的充分不必要条件， 10．D 根据全称量词命题的否定可知， 命题“，”的否定是“，”. 11．①②④ 由于A中任意两个不同点之间的距离都不相等，故所有个向量两两不相等. 这表明对任意的，当且仅当，有. 将其转换为更通俗的语言就是：对于点，当且仅当是集合里除了以外的点中到的距离最短的点. 因为A中任意两个不同点之间的距离都不相等，设是最小的距离，则， 若或为第二小的距离，则余下的个点至多只能对应个元素， 则至多个元素，； 当是第二小的距离时，则， 若n为奇数时，与上面推导相同，至少会存在一个点不属于M,所以； 所以①②正确，③错误； 对于④，假设，. 由于， 故两两不同，且对每个，点都是中除外到距离最短的点. 特别地，都是到各自的距离最短（不包括其本身）的点. 不妨设，并记为点， 则是到各自的距离最短（不包括其本身）的点. 对两个不同点，记直线的倾斜角为. 假设存在使得，不妨设， 则，这与是到的距离最短（不包括本身）的点矛盾. 所以两两不相等，不妨设. 由于，，故，， 所以. 故，同理. 而对，有或， 故. 所以，这意味着，矛盾. 这表明假设不成立，所以，④正确. 故答案为：①②④ 12．2 当时，，2，4，分别为,均不能满足， 当时，时可满足， 时，，时，均不满足， 当时，可满足，时，，时，均不满足， 所以，故集合的元素有2个， 故答案为：2 13．5 由题意，得， 则集合中所有元素之和为. 故答案为：5 14． 由集合，，因为， 当时，此时，方程组无解； 当时，此时，解得， 综上可得，实数的值为. 故答案为：. 15． 因为，所以，故， 所以且， 所以，解得. 故答案为：. 16． 由特称命题的否定为全称命题可得为. 故答案为： 17．(1)或或或 (2) (3) （1）因为，则和的元素个数均为1， 又因为，则， 若，，则或； 若，，则或； 综上或或或. （2）集合共有32个不同的子集， 将其两两配对成16组， 使得，则不能同时被选中为子集，故. 选择的16个含有元素1的子集:，符合题意. 综上，. （3）结论:，令，集合符合题意. 证明如下： ①若中有一元集合，不妨设，则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集， 所以除外的子集至多有个，故. ②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类: 或，和或， 其中互不相同，互不相同且均不为1，2. 若，则，有 若，则由得每个集合中都恰包含中的1个元素（不是2)，且互不相同， 因为中除2外至多还有2个元素，所以. 所以. ③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类： ，其中. 若，则(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合)， 所以. 若，不妨设，则由得每个集合中都或者有4、或者有5， 又中除1外无其它公共元素，所以. 所以. 综上，. 18．(1)； (2)不存在完美4维向量集，理由见解析； (3)证明见解析. （1）由题意知，集合A中含有3个3维向量元素（）， 因为，所以每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0. 又，所以，，， 所以2的完美3维向量集为. （2）依题意，完美4维向量集B含有4个4维向量元素（），， （i）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； （ii）当时，，不满足条件③，舍去； （iii）当时，， 因为，故与至多有一个为集合B中元素， 同理：与至多有一个为集合B中元素，与至多有一个为集合B中元素， 故集合B中的元素个数小于4，不满足条件①，舍去； （iv）当时，，不满足条件③，舍去； （v）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 综上所述，不存在完美4维向量集. （3）依题意，T的完美n维向量集C含有n个n维元素（）， 因为，所以每个元素中有T个分量为1，其余分量为0， 所以， 由（2）知，故， 假设存在k，使得，不妨设. （i）当时，如下图， 由条件③知，或（）， 此时，与（*）矛盾，不合题意. （ii）当时，如下图， 记（）， 不妨设，，， 下面研究的前个分量中所有含1的个数. 一方面，考虑中任意两个向量的数量积为1， 故（）中至多有1个1， 故的前个分量中， 所有含1的个数至多有个1（**）. 另一方面，考虑（）， 故的前个分量中， 含有个1，与（**）矛盾，不合题意. 故对任意且，，由（*）可得. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $