专题07 五大类新定义题型-2026年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（全国通用）

专题07 五大类新定义题型-2026年高考数学大题秒杀技巧及专项训练 【题型1 数列新定义破解大法】 【题型2 集合新定义破解大法】 【题型3 导数新定义破解大法】 【题型4 三角函数新定义破解大法】 【题型5 平面向量新定义破解大法】 【题型1：数列新定义破解大法】 一、题型核心本质 数列新定义题，本质是给陌生规则+套数列基本性质，不超纲、只考迁移能力。核心逻辑：读懂新定义→翻译为等差/等比/递推关系→用常规数列公式求解。 二、常见新定义分类 1、新定义数列：和数列、差数列、积数列、倒数数列、分段数列、周期数列、隔项数列。 2、新定义运算：自定义两项运算、自定义前n项和、自定义最值/有界/收敛类定义。 3、新定义性质：单调、有界、恒成立、整除、整数项、有理项等约束型定义。 三、通用解题四步法（万能模板） 第一步：审题翻译 把题目文字型新定义，翻译成数学式子，圈出关键词：任意、存在、对n∈N*、前n项和、第n项、相邻项、隔项。 第二步：赋值找规律 优先赋值 n=1,2,3，写出前3项，找周期、找等差、找等比、找递推式。 第三步：转化常规数列 将新定义关系式，变形为： 等差：an+1-an=d 等比：=q 递推：an+1=f(an) 和项关系：Sn与an互化公式 第四步：套用公式求解 通项公式、前n项和公式、最值、单调性、不等式恒成立、参数范围，按常规数列题型解法收尾。 四、高频破题技巧 1、遇分段新定义：分奇偶讨论、分n范围写通项，分开求和。 2、遇周期新定义：算出前几项找周期T，再用n÷T求余数定位项。 3、遇和型新定义：牢记 优先化简。 4、遇整数/整除新定义：分离常数、因式分解、放缩夹逼求整数解。 5、遇恒成立新定义：转化为数列最值问题，求最大/最小项、单调性分析。 五、易错避坑要点 1、忽略 n\in N^*，n从1开始，不要默认从0开始。 2、分段数列不验证n=1是否符合通式。 3、新定义翻译不全，漏看“相邻、任意、存在”限定词。 4、周期数列算错周期长度，直接代n求值出错。 5、等比数列忘记验证首项不为0、公比不为0。 六、考场秒杀思路 看不懂新定义时：先代n=1,2,3写前三项，只要写出三项，80%能看出等差/等比/周期，再反向套定义验证，不用硬啃文字。 若数列（，，）满足，则称数列为k项数列，集合是由所有k项数列组成的集合，从集合中任意取出两个不同数列，记变量 (1)当时，求集合； (2)若，求随机变量X的分布列与数学期望； (3)求，其中且． 【答案】(1){0，0}{0，1}{1，0}{1，1} (2)分布列见解析， (3)（）， 【详解】（1）当时，有{0，0}{0，1}{1，0}{1，1}； （2）若，则中的数列有0，0，0；1，0，0；0，1，0；0，0，1；1，1，0；1，0，1：0，1，1；1，1，1； 从集合中任意取出两个不同数列，，， ∴X的取值有1，2，3，从8个数列中任选2个，共有种情况， 其中当时，若选择0，0，0，可从1，0，0；0，1，0；0，0，1任选1个，共有3种情况， 若选择1，1，1，可以从1，1，0；1，0，1；0，1，1任选1个，共有3种情况， 另外1，0，0和1，0，1；1，1，0两者之一满足要求， 0，1，0和1，1，0；0，1，1两者之一满足要求， 0，0，1和1，0，1；0，1，1两者之一满足要求， 共有种情况，故， 当时，0，0，0，和1，1，1满足要求，1，0，0和0，1，1满足要求， 0，1，0和1，0，1满足要求，0，0，1和1，1，0满足要求，共有4种情况， ∴， ∴，随机变量X的分布列： X 1 2 3 P 则随机变量X的数学期望为； （3）∵数列，是从集合中任意取出的两个数列， ∴数列，为k项数列，∴X的可能取值为：1，2，3，…，k， 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当（）时， 则数列，中有m项取值不同，有项取值相同， 从k项中选择m项，和在m项的某一项数字相同，其余项，两者均在同一位置数字不同， ∵，这个问题是组合问题， ∴所有的情况会重复1次，∴一共有种情况， ∴（）. 已知是公差不为0的无穷等差数列.若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质. (1)已知，，判断数列，是否具有性质； (2)若数列具有性质，证明：的各项均为整数； (3)若，求具有性质的数列的个数. 【答案】(1)数列具有性质；数列不具有性质 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1），，即，所以数列具有性质. ，令，则，不符合，则不具有性质. （2）设数列的公差为，因为数列具有性质，所以存在， 同理存在，两式相减得， 即，因为，所以.所以的各项均为整数. （3）由（2）可知，数列的各项均为整数，所以为整数. 假设为负整数，则为递减数列，所以中各项最大值为， 由题意，中存在某项，且，所以， 而数列中存在，则，与题意相矛盾，所以不是负整数，为正整数. 由得，， 所以， 所以为整数，即为的约数. 由为正整数，所以为的正约数， ，所以的正约数共有个，则，具有性质的数列的个数为. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，数列的前项和为； ①求； ②若恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②16 【详解】（1）点在函数的图象上， ，， 数列是“平方递推数列”， 因为， 对两边同时取对数得， 数列是以1为首项、2为公比的等比数列； （2）①由（1）知，所以， 则， . 两式相减可得， ； ②恒成立， 恒成立， 恒成立，恒成立， 又，当且仅当时，取到等号， ，即. 1．已知等比数列与等差数列中，．记集合，把集合中的元素按从小到大依次排列，构成数列． (1)求数列与的通项公式； (2)求证：； (3)在这50个数中，任取3个不同的数，当时，记成等差数列的概率为，求． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 因为，则，所以， 所以． （2）因为，即． 若，使，那么， 所以若，则， 因为，重复使用上述结论，即得． 同理，，即， 因为“”是数列的公差3的整数倍， 所以说明与，同时属于或同时不属于， 当时，显然，重复使用上述结论，即得． （3）记中的元素，从小到大排列得数列，则由（2）知， 先求中，在与之间的项数， 则得， 因为，所以在与之间的项数为， 所以在数列中的项数记为， 则， 显然递增，因为， 所以在的前150项中，有4项在中，有146项是中的项，的第151项到200项中，第176项是的第5项， 所以的第151项到200项中，第176项是的第5项，其余项从小到大依次是的第147项到第195项， 在的第147项到第195项中，取3项，从小到大排，成公差为的数列有47个，公差为的数列有45个，公差为的数列有43个，…，公差为的数列有1个， 所以． 2．已知数列是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项，等比数列的通项公式为（其中，且）. (1)求的前n项和； (2)设集合，对于的每一个非空子集X，设其最小元素为x，最大元素为y. （ⅰ）设为所有非空子集对应的之和，求证：； （ⅱ）设为所有非空子集对应的之和，且，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）由题意，设数列的公差为， 已知，是和的等比中项， 所以，因为，所以， 所以，所以. 所以，① ，② ①式减去②式（错位相减法）得： 因为，两边同除以得： . （2）（ⅰ）假设非空子集X的最小元素为x（），则元素x必属于X. 因为x是最小元素，所以X中的其他元素只能从这个元素中选取， 这样的子集X共有个. 因此，在的求和中，（即x本身）被累加了次， 所以：， 将直接代入(1)的结论中： ， ， 所以：命题得证. （ⅱ）对于任意一个最大元素为y（）的子集X，它必定包含y，由于此时y固定， 也是一个常数，提取公因式后，只需要对这些子集的（最小元素）求和， 设，其中Y是集合的任意子集（可以是空集）， ①若，则，此时最小元素，对应的项为， ②若，则X的最小元素就是Y的最小元素，即， 对于情况②，当Y取遍的所有非空子集时，其最小元素的总和， 恰好就是（ⅰ）中的. 因此，对于固定的最大元素y，所有对应子集的之和为：， 代入（ⅰ）的结论， 可得， 则， 因此，最大元素为y的所有子集，其的和为. 所以， 因为，所以， 所以， 整理得：. 3．对于有穷正数数列，若满足对任意的，都有（是常数，且），则称数列具有性质．对数列定义“分拆”将中的第项拆分为两项，并得到数列，其中，且；特别地，当时，；当时，．对有穷正数数列，令数列．若数列均具有性质，则称为数列的阶完美分拆数列． (1)若，判断以下数列是否为的1阶完美拆分数列（结论不要求证明）： ①②2，0.5，0.5． (2)当时，若为数列的1阶完美拆分数列，证明：数列中被拆分的一定是最大项； (3)若数列为数列的阶完美拆分数列，证明：的最大值为4． 【答案】(1)①是；②否. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）①是；②否. ① 数列1，1，1， 由拆分而来：将2拆为，满足， 对验证性质：任意两项，有，则 ，成立； 对验证性质：任意两项，有，则 ， 综上，①是； ② 数列 若由拆分，需将某一项拆为两项： 拆1：，得，但，不满足​； 拆2：，得，无法得到，故②不是 （2）不妨设． 假设取分拆，设， 则与矛盾． 所以拆分的项一定是数列中的最大项. （3）当时，的1阶完美拆分数列为1.44，1.2，1； 的2阶完美拆分数列为1.2，1，0.72，0.72； 的3阶完美拆分数列为1，0.72，0.72，0.6，0.6； 的4阶完美拆分数列为0.72，0.72，0.6，0.6，0.5，0.5． 所以数列存在4阶完美分拆数列． 下面证明对于任意数列，不存在5阶完美分拆数列． 假设数列的2阶完美拆分数列为， 不妨设． 由（2）知，为得到的3阶完美拆分数列，一定分拆 ，得到数列，其中，及． 若，则由，即及， 可得 若，有，与题设矛盾，不合题意． 此时，数列中的最大项无法再拆分，此时分拆结束． 于是，为得到4阶完美拆分数列，必须有， 此时，． 所以，拆分为，，得到数列， 其中及． 于是． 若是数列中的最大项， 因为，即，又， 于是，与假设矛盾． 所以不是此时数列的最大项． 若是数列中的最大项， 因为， 所以， 又， 所以，与假设矛盾． 所以不是此时数列的最大项． 所以是此时数列的最大项． 此时，应有，否则，， 于是， 与题设矛盾，不合题意，所以． 若，有， 与题设矛盾，不合题意． 此时，数列中的最大项无法再拆分，此时拆分结束． 因此，若数列存在阶完美拆分数列，则． 综上，的最大值为4. 4．在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①；②. 【详解】（1）因为，所以 ， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. 5．已知集合中元素的个数为. (1)若，，求. (2)若，均为等差数列且，，，证明：也为等差数列. (3)若，，且，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）若，，则，， 则满足的整数为，0，1，…，8，共有10个，故； （2）因为，，所以， 所以. 因为，均为等差数列，所以可设，， 则为常数， 故是以为首项，为公差的等差数列. （3）由，得，即， 则数列是为首项，公比为2的等比数列， 则，则. 当时，，，. 当时，，，. 当时，，因，所以，故大于的最小整数为， 又为整数，则. 当时，符合上式；当时，， 故 当时， ， 又，所以. 6．若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和，已知数列是以5为公比和的等比和数列，且，记． (1)求证：数列是周期数列，并指出其周期； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析，周期为2 (2)6 【详解】（1）由及可得， 由此可得递推关系，所以， 可得，即数列是周期数列，周期为2． （2），， 由（1）知， 周期为 2，所以， 所以． 7．已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”. (1)证明：数列是“方特数列”； (2)若数列是“方特数列”，求的取值范围； (3)证明：当时，数列是“方特数列”. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， ， ∴数列满足，即数列是“方特数列”. （2）当时，， ，满足条件； 当时，， ∵数列是“方特数列”， ∴，. ∴，∴且， 综上所述，当数列是“方特数列”时，的取值范围为. （3）当时，由（1）知满足条件， 当且时，， ， ∴， ∴， ， 设，∴， 当时，单调递增；当时，单调递减，∴， ∴， 综上所述，当时，数列是“方特数列”. 【题型2：集合新定义破解大法】 一、题型核心本质 集合新定义题，核心不是考偏难怪知识点，而是自定义集合运算、自定义集合关系、自定义新型集合，本质是：读懂规则、按定义办事、套集合基本性质，全程不脱离元素、子集、交集、并集、补集、包含、空集这些基础概念。 二、高考集合新定义三大常考类型 1、新定义集合运算：自定义两集合间加减、差集、对称差、积集、和集、封闭运算。 2、新定义集合关系：新定义相等、隔离、相邻、覆盖、相容、生成集、依附关系。 3、新定义特殊集合：封闭集、和谐集、完美集、亲和集、元集、具有某种整数/余数性质的限定集合。 三、通用万能解题四步法 第一步：直译定义，不脑补 严格按题干文字翻译成数学符号，不凭自己固有知识瞎延伸、不自创规则，题目怎么定义就怎么用。圈关键词：任意元素、存在元素、对所有、恒成立、非空、整数集、正整数、有限集、无限集。 第二步：列举枚举，找规律 遇到抽象新定义，优先列举有限元素，代入具体数、具体集合验证，把抽象定义具象化，快速排除错误选项、看清运算逻辑。 第三步：套用集合基础性质 牢牢用好核心基础： 元素互异性、确定性、无序性； 子集、真子集、空集性质； 交并补运算律； 若元素属于集合，满足集合一切定义条件。 第四步：逻辑推理+排除验证 选择题：特殊值代入、举反例排除； 填空题/解答题：按定义列式，用不等式、整数约束、分类讨论求解参数范围、元素个数、符合条件集合个数。 四、高频破题技巧 1、新定义运算一律先括号后运算，跟四则运算顺序一致，严格按题干规则计算。 2、遇封闭集类定义：任取集合内两个元素，按规则运算后结果仍在集合内，即满足封闭性。 3、遇整数型新定义：优先用奇偶分类、余数分类枚举验证。 4、遇子集个数问题：先求原集合元素个数，再用子集个数公式2n快速判断。 5、含参数集合新定义：分类讨论空集情况、参数分界点，不漏情况、不重复。 五、高频易错避坑清单 1、忽略元素互异性，算出相同元素不舍去。 2、漏掉空集特殊情况，子集、包含关系不讨论空集。 3、擅自篡改新定义规则，凭老知识代替题干定义。 4、分不清“任意”和“存在”，逻辑关系搞反。 5、有限集、无限集混淆，枚举时范围取错。 六、考场秒杀口诀 读懂定义不脑补， 枚举代入先铺路； 元素互异记清楚， 空集分类别疏忽； 任意存在辨逻辑， 举反排除最快步。 已知函数定义域为，对于实数，定义集合，. (1)若，求和； (2)给定实数，若满足对任意，均有，求的取值范围； (3)若集合满足：，则称和互为对称集.证明：“函数为偶函数”的充要条件是“对任意实数与互为对称集”. 【答案】(1)，或 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由在上单调递减，在上单调递增， 则时，，即， 而或. （2）因为对于任意，均有， 若，则，即若，则，所以， 由，则， 令，得，令，得或， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增， 又， 作出函数的图象， 由于对于任意，都有，则或， 所以的取值范围为. （3）若函数是偶函数， 则对任意，， 对任意，若，即且， 则， 由，得，而，则； 若，则且， 则， 由，得，而，则， 所以对任意实数与互为对称集，必要性成立； 若对任意实数与互为对称集，则， 而，， 由，等价于， 对任意，，则，则， 对任意，，则，则， 所以，则函数是偶函数，充分性成立. 综上所述，“函数为偶函数”的充要条件是“对任意实数与互为对称集”. 在一个圆周上依次写出（为奇数）个正实数，相邻两个数的乘积构成集合，且. (1)若，求集合； (2)当时， （i）求出满足条件的一个集合； （ⅱ）求证：对于满足条件的任何集合都是无理数. 【答案】(1) (2)（i）； （ⅱ）证明见解析 【详解】（1）由条件设且满足， 解得， 代入，经计算，均为这三个数的排列， 所以； （2））当时，记， （i）令，记， 由得 ， 要使得，则有，则，满足条件， 此时，；     （ⅱ）记！， 对于满足条件的，有， 注意到在中，素数7只出现3次，故， 否则，若，则有，则， 但中有偶数个7（可能有0个7），而中有奇数个7，矛盾， 又假设存在，使得， 则，矛盾， 所以均为无理数. 对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集．记符号表示集合中的元素个数．当时，设是集合中按从小到大排列的所有元素，记集合. (1)已知集合，若，求集合，并求出的值 (2)已知，记集合或． （i）当时，证明的充要条件是； （ii）若，求的所有可能取值． 【答案】(1)，； (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）因为，由， 所以， 所以且， 所以必有，所以，所以，所以. （2）（i）因为，可设，. 先证充分性：因为，所以且， 从而可以设，其中， 此时中的元素为，故， 再证必要性，设，，其中， 注意到和集中的最小元素为，最大元素为， 因为，所以中间三个元素可以是， 也可以是，它们是对应相等的， 所以有，， 即，故，得证， （ii）①若，由第（i）小问的分析知， 可以设，，其中， 此时中的元素为， 这与条件矛盾， ②取，其中， 容易验证此时中的元素为，符合条件， 所以可以取2， ③若，设， 其中， 结合知至少存在两个不同的正整数，使得， 不妨设是符合这一条件最小的正整数，是符合这一条件最大的正整数， 注意到， 这是中的个不同的元素， 根据的定义我们有，即， 当时，由的最小性知，即， 此时我们有， 当时，也有， 因此是中的元素，但与(*)式中的个元素均不相等， 同理，根据的定义有是中的元素，但与(*)式中的个元素均不相等， 因为，所以，此时，矛盾， 综上，的取值只能为2； 1．已知一元二次不等式对一切实数x都成立，设满足条件的的取值集合为. (1)求集合； (2)对于两非空集合，定义：，若，求. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意 因为时，不等式对一切实数x都成立， 则，解得． 所以． （2）对于，因为，所以或， 即或，所以， 又，由集合新定义知：或. 2．对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； (3)设为有限集合，证明：． 【答案】(1) (2)4 (3)证明过程见解析 【详解】（1）因为中的元素是要么只属于，要么只属于， 所以； （2）设，则，因为， 故符合条件的的个数为. （3）对任意元素，因为恰属于集合之一，不妨设且． 若，则；若，则． 故，从而． 因此，结论成立． 3．对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)21. 【详解】（1）， 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0， 故其“同形点”为. （2）的＂同形点＂的个数为．证明如下： 设，由题：取集合． 若为的＂同形点＂，应有，且． ①当时，若且，取为， 则与的交集元素个数为0， 此时为的＂同形点＂，共有个； ②当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ③当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ④当时，同理可得中除外，其余元素都是的＂同形点＂，共有个． 综上可得的＂同形点＂的个数为． （3）的最小值为21． 证明如下： 首先当时，，由对称性不妨设中元素个数不少于11， 对于，设的元素个数为， 若存在，因为，所以存在，有， 不妨设，则中至少一个是的＂同形点＂； 若恒成立，因为，所以存在， 有，因为， 所以存在，使得，不妨设，则为的＂同形点＂． 其次当时，不妨设； ①若，则，取可得其无＂同形点＂； ②若，则， 取， 可得其无＂同形点＂； 综上的最小值为21． 4．已知集合.对于，定义与的差为，；定义与之间的距离为. (1)若，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)证明：三个数中至少有一个是偶数. 【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析 【详解】（1），说明与只有个位置元素不同，全为，因此恰有1个位置为0，其余为， 则所有满足条件的为： ； （2）已知，， ，， 即和中恰好各有个分量为（其余为） 设的的位置集合为，的0的位置集合为,则， 则，而的最小值为， 因此的最大值为 （3）证明： 对任意位置，讨论三个差的和的奇偶性： 若全相同：三个差都为，和为偶数； 若两个相同一个不同：不妨设，则三个差为，和为，仍是偶数； 所有位置求和得：是偶数； 若三个数全为奇数，总和为奇数，与上述结论矛盾，因此三个数中至少有一个是偶数，得证. 5．已知集合，其中，若对于任意的，总有，则称集合具有性质．由中的元素构成两个相应的集合：其中是有序数对．集合和中的元素个数分别为和． (1)检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； (2)对任何具有性质的集合，证明：； (3)判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)不具有性质，具有性质，，. (2)证明见详解 (3)，证明见详解 【详解】（1）因为，所以不具有性质； 因为，，，所以具有性质； ，. （2）因为对于任意的，总有，所以，从而， 因为，，， 所以当时，和至多有一个成立， 所以集合中的元素个数最多为，即. （3），证明如下： ①设，则， 设，则，故， 从而，即对，总存在，使得，从而； ②设，则， 设，则，故， 从而，即对，总存在，使得，从而； 由①②可知. 6．已知集合，其中，，，，都是A的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数（i，，）. (1)若，，，，直接写出所有满足条件的集合； (2)若，且对任意，都有，求m的最大值； (3)若，（，2，，m）且对任意，都有，求m的最大值. 【答案】(1) (2)16 (3) 【详解】（1）因为，则和的元素个数均为1， 又因为，则， 若，，则或； 若，，则或； 综上或或或. （2）全集的所有子集可分为对互补子集，任意一对互补子集的交集为空，故每对至多选1个子集，因此； 取所有包含元素的子集，共个，满足任意两个交集非空，故的最大值为. （3）结论:， 令，集合符合题意. 证明如下： ①若中有一元集合，不妨设， 则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集， 所以除外的子集至多有个，故. ②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类: 或，和或， 其中互不相同，互不相同且均不为1，2. 若，则，有， 若，则由得每个集合中都恰包含中的1个元素（不是2)， 且互不相同， 因为中除2外至多还有2个元素，所以. 所以. ③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类： ， 其中. 若，则(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合)， 所以. 若，不妨设， 则由得每个集合中都或者有4、或者有5， 又中除1外无其它公共元素，所以. 所以. 综上，. 7．集合 满足下列条件，则被称为 “好集”. ① ，且对任意的 ，其中 且为整数; ②每个集合 中存在一个元素等于 中其他元素的和. 若集合 为 “好集”，我们定义集合 中最大的元素为集合 的一个主元， 所有的主元构成的集合称为 的 “主元子集”. (1)判断集合 是否为“好集”，若是“好集”，写出它的主元子集，若不是，说明理由. (2)设 、 为正整数，若集合 为“好集”. ( i ) 证明: ; (ii) 证明: .并写出等号成立时， 的一个“主元子集”. 【答案】(1)是“好集”，它的主元子集为 (2)( i ) 证明见解析；(ii) 证明见解析；答案见解析 【详解】（1）因为 ， 故它是“好集”，它的主元子集为 . （2）设集合被分拆为 个不相交的子集 ， ， ，满足题目的要求. ( i )因为在任何一个子集中，元素均不同，且其中总有一个主元， 所以，每个子集中均至少含有三个元素. 又集合中总共有个元素，则 . (ii) 集合 中所有元素之和为 ， 考虑每个子集中元素的和， 若为子集 的主元，则的所有元素和就是， 显然，所有子集的元素之和小于或等于    ， 最后一个不等式成立是因为 . 故 ， 下表为 时，满足题目要求的一个分拆. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6n-4 6n -5 6n-6 ... 5n-3 5n-5 ... 5n-4 5n-6 5n-8 ... ... ... 故 的一个主元子集为 。 【题型3：导数新定义破解大法】 一、题型核心本质 导数新定义题，不超课本导数基础，只是自定义新概念、新运算、新性质。 核心逻辑：把陌生文字定义翻译成函数、导数关系式，转化为单调性、极值最值、切线、不等式恒成立、零点、最值范围等常规导数题型，用常规导数套路解题。 二、高考导数新定义三大常考类型 1、新定义函数类：伴随函数、共生函数、对偶函数、凹凸函数、凸凹分界点、拐点类新定义。 2、新定义导数运算：自定义导函数组合、两点斜率新定义、平均变化率衍生新概念。 3、新定义性质类：类单调、类极值、类最值、有界性、渐近性、恒成立型新约束定义。 三、万能四步破题模板 第一步：直译定义，符号化 逐句拆解题干新定义，一字不脑补，把文字描述翻译成：函数解析式、一阶导、二阶导、不等式、等式关系。 圈关键词：任意、存在、定义域、区间、恒成立、恰好、唯一、有且仅有。 第二步：求导打底，基础先行 立刻写出：原函数、一阶导数、二阶导数，整理化简，找定义域、定义域间断点、特殊临界点。 第三步：转化常规导数模型 把新定义条件归类对接经典题型： 含导数不等式 ➜ 构造新函数，研究单调性 新定义极值/最值 ➜ 求导找驻点、判单调性、列表判极值 凹凸、拐点新定义 ➜ 用二阶导正负判断凹凸，二阶导变号点为拐点 恒成立、存在性 ➜ 转化为最值问题 切线类新定义 ➜ 切点式、切线方程联立求解 第四步：分类讨论+端点验证 含参数导数新定义：按定义域、导数零点、参数分界分类讨论； 务必验证区间端点、特殊点、定义域边界，避免漏解多解。 四、高频破题核心技巧 1、遇到凹凸新定义：直接锁定二阶导数，二阶导正为凹，二阶导负为凸。 2、遇到平均变化率、两点斜率新定义：优先构造差商形式，再联系导数几何意义。 3、遇到恒成立新定义：统一套路分离参数+求函数最值。 4、遇到多函数组合新定义：重新构造辅助函数，求导研究单调性是最快解法。 5、选择题新定义：特殊函数代入（一次、二次、指数、对数）举特例排除选项。 五、高频易错避坑要点 1、擅自曲解新定义规则，凭固有知识点代替题干定义，极易掉坑。 2、忽略函数定义域，求导后直接研究全体实数。 3、一阶导零点找对，但不判断单调性变化，误判极值与最值。 4、二阶导只算不分析正负，不会判凹凸与拐点。 5、含参数不分类讨论，漏掉参数临界取值情况。 六、考场秒杀口诀 导数新定义不用慌， 文字转式先译装； 一二求导打底桩， 构造函数判增减； 凹凸看二导正负， 恒成立求最值扛； 特例排除选填快， 分类讨论大题强。 已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”. (1)若是“强增函数”，求的取值范围； (2)已知，请判断的导数在上的单调性，并说明理由 (3)已知，，，.证明：. 参考结论：当时，. 【答案】(1) (2)在上单调递增；理由见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）设，则， 由题意可知在上恒成立， 故在上恒成立，即在上恒成立， 故，解得； （2），令， 则， 设，则， 则当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 故，故当且仅当时取等号， 设， 当在区间上单调递增， 当在区间上单调递减， 所以，故， 所以，即， 所以即在上单调递增； （3）令，则， 又单调递增，所以，则在上单调递增， 又当所以时，， 所以，即，所以， 所以. 若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”． (1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； (2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； (3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． 【答案】(1)和具有性质“”，理由见解析； (2)； (3)答案见解析. 【详解】（1）函数和在上具有性质“”. 理由如下： 因为和在上均为偶函数，且在上单调递增， 所以只需考虑的情况， 令，则， 所以在区间上单调递增，且，所以恒成立， 则，即， 则，再根据函数是偶函数， 即，， 所以函数和在上具有性质“”. （2），在区间单调递增，在上单调递增， 设，若函数和具有性质“”， 则，整理为 设，由以上可知，在区间上单调递增， 即， 当时，恒成立， 令，，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以； （3）由题意可知，存在，， ，又， 则，即， ，，设，， ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 设，，不妨设，，，且， 设， ， 所以在区间上单调递减，且，即， 即，即，则， 即，则，得，即证. 若函数的图象上存在三点，且，使得直线与的图象在点处的切线平行，则称为在区间上的“中值点”． (1)若函数在区间上的中值点为，证明：成等差数列． (2)已知函数，存在，使得． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）当时，记在区间上所有可能的中值点之和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）由题意知. 因为， 又， 所以，即， 所以成等差数列. （2）（i）， 设，则， 当时，单调递增，当时，单调递减. 故，且当时，，当时，. 若，则恒有，所以在上单调递减，不符合题意； 若，则在和上分别存在一个零点，记为， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增，当时，，即单调递减， 故存在，满足. 所以的取值范围是. （ii）因为，所以中值点满足， 由（i）知当时，即有两个零点， 所以在区间上所有可能的中值点即. 先证明： 由，得. 要证，即证. 设， 则. 设，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，，所以在上单调递减. 所以当时，，即. 因为，所以，即， 又，再结合在上单调递减， 可得，从而. 令，得， 所以. 1．有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为． (1)已知函数，求曲线在点处的曲率； (2)已知函数，求曲线的曲率的范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， ，故，， 由曲率公式得. （2）因为，所以， ，由曲率公式得， 故， 则， 令，令，函数化为， 令，则，函数化为， 对进行变形，得到， 令，函数化为， 此时，我们研究的范围即可，而， 当时，恒成立，故在上单调递增， 而，， 故，即，故. 2．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）因为，且在上连续，在内可导， 所以，由罗尔中值定理得，. （2）设，则. 当，即时，， 当，得，则在上单调递减， 当，得，则在上单调递增， 从而，故符合题意. 当时，即时，令，得或. 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减. 因为在上的最小值为，且，则，得； 当，即时，恒成立，则在上单调递增，故，不合题意； 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减， 从而，故，不合题意； 综上，a的取值范围为. 3．设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点. (1)判断曲线是否有拐点，并说明理由； (2)已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值. 【答案】(1)没有拐点，理由见解析 (2)单调递增区间为；单调递减区间为，极大值为2，极小值为. 【详解】（1）解：由函数，可得， 由，得，又由，得，所以曲线没有拐点. （2）解：由函数， 可得， 因为为曲线的一个拐点，所以， 所以，解得，经检验，当时，， 所以. 当或时，，则的单调递增区间为； 当时，，且不恒成立，则的单调递减区间为， 故当时，取得极大值，且极大值为； 当时，取得极小值，且极小值为. 4．帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：．注：已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数的值； (2)当时，试比较与的大小，并证明； (3)已知正项数列满足：，证明：． 【答案】(1)； (2)，证明见详解； (3)证明见详解. 【详解】（1）由题意，，， 则，， ， ， 又，， 所以，解得，， 所以； （2）当时，， 证明如下：由（1）得，，所以， 当时，，， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以， 即当时，，得证； （3）设，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 即，当且仅当时等号成立， 由题意，正项数列，，则，， 所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以， 即，所以， 又数列为正项数列，，所以， 又由（2）可得，所以， 又因为，所以，即， 所以，即， 所以，则，所以， 又，也符合上式，所以， 要证即证，即证， 又，所以， 又，所以，即，所以， 令，则， 所以单调递增，所以成立， 所以成立， 所以成立，所以成立，所以，得证. 综上所述，可得. 5．记函数与的复合函数为，其导数为 .由此，我们定义函数的一种“嵌套导数”运算：对于可导函数，定义其1阶嵌套导数 为 ；定义其k阶嵌套导数且递归地为 . 例如，.已知函数. (1)求和的表达式； (2)若，求证：对任意 恒成立； (3)设，方程在区间上有唯一实数解.记，试探究的极值点个数与的关系，并说明理由. 【答案】(1) ，; (2)证明见解析; (3)答案见解析. 【详解】（1）由，求导得 ，. 根据嵌套导数的定义，， 代入得：，对 求导， 得3阶嵌套导数：. （2）当时， ，， 用数学归纳法证明： 当时，，当时，，故； 当时，，故 ；当时，. 又对任意恒成立，且，故在上的最小值为0，且处取到. 假设当时，对任意恒成立， 则当时， ， 由归纳假设，单调递增，故，又，故. 当时，，故；当时,,，， 结合的单调性，得； 当时，. 所以对任意，恒成立. （3）由，，故等价于，无实根， 等价于，即，结合题意，故. ，求导得： 令，得或，即：，或. 分析的单调性：，故在上单调递减，在上单调递增， 最小值为：. 当，即时，方程无解，仅有1个解，故有1个极值点； 当，即时，方程有1个解，有2个解，故有2个极值点； 当，即时，方程有2个解，有3个解，故有3个极值点. 综上：当时，有1个极值点；当时，有2个极值点；当时，有3个极值点. 6．已知函数，． (1)当时， ①证明：时，； ②求函数的极值点个数； (2)两函数图象在公共点处的公切线称为“合一切线”．若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求、的值． 【答案】(1)①证明见解析；②一个. (2)， 【详解】（1）当时，， ①当时，则，当且仅当时，等号成立， 故函数在上为增函数， 故当时，，故原不等式得证； ②由题意可得， 所以，且. 当时，. 因为，，所以. 因为对任意恒成立， 所以当时，，所以是的唯一极值点. （2）由题意可得，则， 设曲线与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为、， 其斜率分别为、，则. 因为，所以，所以. 不妨设，则. 因为， 由“合一切线”的定义可知. 所以. 由“合一切线”的定义可知，所以. 当，，时，取，， 则，，，，符合题意. 所以，. 7．泰勒展开式在近似计算、函数性质研究中有广泛应用，它可将一个函数在某点附近用多项式逼近．若函数在包含的闭区间上具有n阶导数，在开区间上具有阶导数，则对上任意一点x，有，其中为泰勒公式的余项．（的n阶导数记为，其中为的导数，为的导数，为的导数．） (1)若，写出在处的泰勒展开式； (2)当时，判断第（1）问中与0的大小，并证明； (3)证明：对任意正整数n，有，其中，． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， ，则； ，则； ，则， 则在处的泰勒展开式为. （2）判断：，证明如下： 由（1）可得， 设， 则， 故在上单调递减，则， 即. （3）对于取对数得， 由（2）知， 由可得，， 当时，， 故， 令，则，所以， 又， 所以， 故，故. 【题型4：三角函数新定义破解大法】 一、题型核心本质 三角函数新定义，不考偏题怪知识点，只是自定义角、自定义三角运算、自定义三角关系式、自定义特殊三角图形与性质。 核心逻辑：严格按题干新规翻译符号，转化为同角三角关系、诱导公式、恒等变换、图象性质、解三角形常规模型，按三角基础套路求解即可。 二、高考三大常考类型 1、新定义角：新范围角、新象限角、衍生角、轮换角、对称角自定义。 2、新定义三角运算：自定义正弦、余弦、正切新式运算，两角合成、叠加、差商新规则。 3、新定义三角性质：新定义周期、对称、有界、等值、互补互余类新型约束关系。 三、万能四步破题法 第一步：直译定义，绝不脑补 严格逐字把文字定义翻译成数学表达式，不套用固有三角常识擅自延伸，题目怎么规定就怎么用。标记关键词：任意角、存在、恒成立、定义域、最小正周期、对称中心、对称轴。 第二步：赋值代入，具象化 优先代入特殊角：0°、30°、45°、60°、90°、180°，快速验证新定义运算规律，排除错误选项、摸清规则逻辑。 第三步：回归三角核心公式 锚定基础工具： 同角平方关系、商数关系、诱导公式、和差公式、二倍角、辅助角公式、周期与对称轴公式、正余弦定理。 把新定义式子往常规三角公式上变形化简。 第四步：划归常规题型求解 转化为：求值化简、求周期单调、对称轴对称中心、最值范围、解三角形、恒成立参数范围，按标准三角题型步骤作答。 四、高频破题实战技巧 1、新定义运算遵循先括号后运算，顺序严格遵从题干规则，不混用普通四则运算。 2、遇周期、对称新定义：直接套用 T=，正弦余弦对称轴、对称中心通用模板对照判断。 3、遇恒成立新定义：化简后求三角函数最值、值域，转化不等式恒成立求参数。 4、遇几何结合三角新定义：画三角形、坐标系，用正余弦定理+边角互化求解。 5、选填秒杀法：特殊角代入、举反例排除，不用复杂推导快速定答案。 五、高频易错避坑清单 1、私自更改题干新定义规则，凭旧三角知识代替题目规定，直接失分。 2、忽略角的范围限制，不约束象限、定义域，出现增根。 3、诱导公式符号判断出错，象限符号记混。 4、二倍角、辅助角化简不彻底，后续求周期、单调区间出错。 5、解三角形新定义题型，忘记大边对大角、内角和范围隐性约束。 六、考场秒杀口诀 三角新定义莫慌张， 直译规则不瞎想； 特殊代入找规律， 公式化简做桥梁； 周期对称套模板， 最值恒成立域扛； 选填特例快排除， 大题套路稳拿分。 定义二元函数，且同时满足：①；②两个条件． (1)求的值； (2)当时，比较和0的大小； (3)若为的极大值点，求的取值范围． 附：参考公式：           【答案】(1) (2) (3)． 【详解】（1）由题意知，， ； （2）由已知， 当时，， ， 所以 ， 当且仅当时，上式取得等号，但不可能成立， 当时，，不等式也成立， 所以当时，； （3）因为， 所以，注意到， ，注意到， 令， 则，注意到， 令， 则， 可知当时，， 则当时，为增函数，即为增函数， 若，即当时， 存在，使得当时，为增函数，即为增函数， 所以在区间上为增函数， 所以不是的极大值点，不符合题意，舍去， 若，即当时， 存在，使得当时，为减函数，即为减函数， 所以，在区间上，，函数单调递减， 在区间上，，函数单调递增， 所以，是的极大值点，符合题意， 综上所述，的取值范围为． 对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若，；，，且与具有关系，求的像； (3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)或或； (3)或， 【详解】（1）与不具有关系， 理由如下：时，，，所以， 则与不具有关系； （2）由题意可知 ， 所以， 又，所以， 解之得或或， 即的像为或或； （3）对于，则，所以， 即， 因为与具有关系， 所以要满足题意需，使得即可. 令， 令，则，设， ①若，即时，， 则， ②若，即时，， 则， ③若，即时，， 则或，显然无解， ④若，即时，， 则或，显然无解， 综上所述：或， 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． (1)设函数，试求的互生向量； (2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），所以． （2）依题意∴， 递增区间为， 取，则函数在上的严格递增区间为． 1．在单位圆上取一点，与圆心相连的线段、圆周及x轴非负半轴围成的扇形面积为s，扇形面积的2倍来定义圆角，即．对于一个确定的圆角，定义六种三角函数：（正弦），（余弦），（正切），（余切），（正割），（余割），此点的坐标为． 类比三角函数与单位圆，在单位等轴双曲线上取一点，与坐标原点相连的线段、双曲线及x轴非负半轴围成的图形面积为，定义双曲角，对于一个确定的双曲角t，定义六种双曲函数：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切，双曲余切，双曲正割，双曲余割.此点的坐标为．双曲函数可以用指数形式表示．对于双曲角t，有：，等． 点、所在曲线分别记为、． (1)描述曲线、的形态并写出、的标准方程； (2)过点作两条直线（不同于x轴）分别交和（y轴右侧部分）于点M、P，N、Q；线段MN、线段PQ与x轴的交点分别为C、D，O为坐标原点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：O、M、D、N四点共圆． 【答案】(1)曲线表示坐标原点为圆心，半径为的圆，其标准方程为；曲线Γ表示以坐标原点为中心，半实轴与半虚轴长均为的等轴双曲线，其标准方程为． (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）设根据，消去，得， 即的标准方程为，表示以坐标原点为圆心，半径为的圆； 设，则, 因， 则得的标准方程为， 曲线是以坐标原点为中心，半实轴与半虚轴长均为的等轴双曲线． （2）依题意，直线与的斜率均存在，分别设为， 则直线的方程为：，直线的方程为：， 联立方程，消去，整理得， 则，即， 得，， 所以点的坐标为， 同理点的坐标为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为． 令，得，所以点的坐标为， 同理联立方程，类似可得 ，，． （ⅰ）直线的斜率为， 同理直线的斜率为，所以， 所以； （ⅱ）设，由、、、四点共圆：可知： ， 又，而， 所以， 所以、、、四点共圆． 2．在单位圆上取一点，与圆心相连的线段、圆周及x轴非负半轴围成的扇形面积为s，扇形面积的2倍来定义圆角，即．对于一个确定的圆角，定义六种三角函数：（正弦），（余弦），（正切），（余切），（正割），（余割），此点的坐标为． 类比三角函数与单位圆，在单位等轴双曲线上取一点，与坐标原点相连的线段、双曲线及x轴非负半轴围成的图形面积为，定义双曲角，对于一个确定的双曲角t，定义六种双曲函数：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切，双曲余切，双曲正割，双曲余割.此点的坐标为．双曲函数可以用指数形式表示．对于双曲角t，有：，等． 点、所在曲线分别记为、． 描述曲线、的形态并写出、的标准方程； 【答案】曲线表示坐标原点为圆心，半径为的圆，其标准方程为；曲线Γ表示以坐标原点为中心，半实轴与半虚轴长均为的等轴双曲线的右支，其标准方程为． 【详解】设，则 由，可得， 即的标准方程为，表示以坐标原点为圆心，半径为的圆； 设，则， 因为， 所以，即的标准方程为， ， 曲线是以坐标原点为中心，半实轴与半虚轴长均为的等轴双曲线的右支． 3．对于定义在上的连续函数，若存在常数（），使得对任意的实数都成立，则称是阶数为的回旋函数. (1)试判断函数是否是一个阶数为-1的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数的值； (3)若回旋函数（）在上恰有2026个零点，求的值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以， 所以不恒成立，如， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． （2）设是阶数为t的回旋函数， 则对都成立， 则当时，，则； 则可变形为， 若为偶数，则对都成立，则，， 显然对都成立，； 若为奇数，则对都成立，则，， 显然； 综上所述，； （3）因为（）是回旋函数， 所以对任意的x都成立， 令，则， 若为奇数，则；若为偶数，则； 则，得， 则可变形为， 由（2）可知上式对任意的x都成立，故符合题意，故 所以， 令，解得， 因为（）在上恰有2026个零点， 则，得， 因为，所以，故. 4．意大利著名物理学家达·芬奇思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？可以用双曲函数来描述该形状，基本的双曲函数有：双曲正弦函数和双曲余弦函数. . (1)求的值； (2)求不等式：的解集； (3)若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)（ (3) 【详解】（1） ． （2）因为恒成立，故是奇函数． 又因为在上严格递增，在上严格递减， 故是上的严格增函数， 所以，即， 所以，解得， 即所求不等式的解集为； （3）因为的图象在区间上与轴有2个交点， 所以， 即在有2个实数根， 所以在有2个实数根， 令，易知在上单调递增，所以， 则， 令，， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与轴有2个交点， 所以，即. 5．设向量，函数，则称函数为向量的友好函数，称向量为函数的友好向量. (1)设函数求函数的友好向量； (2)若向量的友好函数在处取得最大值，求； (3)设向量的友好函数，方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以函数的友好向量为. （2）向量的友好函数为（其中）， 函数在处取得最大值，即， 所以， 则. （3）由题意，向量的友好函数， 方程为， 则方程有四个实数解， 所以有四个实数解， 令， ①当， ②当， 据此作出的图象： 由图可知，当时，函数与有四个交点，即实数的取值范围为. 6．均匀绳索在仅受其自身重力作用下形成的曲线可以用双曲函数来描述，其中最基本的双曲正弦函数和双曲余弦函数定义如下：双曲正弦函数，双曲余弦函数，（e为自然对数的底）.已知函数. (1)若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围； (2)求证：函数有且只有一个零点； (3)记函数的唯一零点为，证明：. 【答案】(1)或； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题设，令，且，即， 所以，且， 令，则在上单调递增，则， 所以在上有唯一零点， 当时，在上无零点，不满足题设， 当时，对于，， 若或，此时方程无实根，不满足题设， 若， 当，满足题意， 当，不满足题意， 若且，此时方程有两根，记为且， 当，则，若， 此时，满足题意， 当，则，此时不满足， 综上，或； （2）由的定义域为， 且时，时， 显然在定义域上连续，则至少有一个零点， 当，则，，故， 当，则，，故， 所以的零点必在，且在上单调递增， 当，则，在上单调递增， 则在上单调递增， 其中， 所以在上存在唯一零点， 当，则，显然，且，故上恒成立， 综上，有且只有一个零点，得证； （3）由题意，则， 要证，即证，即证， 即，即证， 而， 由（2）且，则，故， 所以，得证. 7．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图象，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维平面上有两个点 ，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为． (1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，若，求的值； (3)已知，，若，求、之间的曼哈顿距离． 【答案】(1)曼哈顿距离为，余弦距离为 (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以曼哈顿距离为：， 余弦相似度为： ， 所以余弦距离为. （2）因为， 所以， ， 由解得， 所以. （3）因为，， 所以. 因为，所以. 又， 所以， 由知，所以. 所以，所以. 所以. 因为， ， 所以. 所以. 【题型5：平面向量新定义破解大法】 一、题型核心本质 平面向量新定义题，不超课本向量基础，命题套路固定：自定义新向量运算、新向量关系、新向量距离、新夹角、新垂直平行规则、新特殊向量。 本质解题逻辑：严格照题干定义翻译成向量表达式→回归线性运算、坐标运算、数量积、模长、夹角常规公式→建模化简求值、求范围、判性质。 不自创规则、不凭老知识脑补，题目怎么定义就怎么算。 二、高考平面向量新定义六大必考类型 1、新定义向量运算：自定义加减、数乘、点积、叉积、混合运算、向量合成新法则。 2、新定义距离模长：新型向量距离、相对模、加权模、差模新定义。 3、新定义夹角关系：自定义夹角、类垂直、类平行、等角向量、共线新判定。 4、新定义位置关系：相伴向量、共轭向量、关联向量、等分向量、中线角分向量新定义。 5、新定义定值最值：满足新规则下向量模最值、数量积最值、参数范围。 6、新定义几何载体：结合三角形、四边形、圆，定义特殊点、特殊向量结构。 三、通用标准五步解题法（精细可直接套用） 第一步：逐字翻译，符号固化 把文字新定义一字不差翻译成向量符号/坐标式子。 重点抓关键词：任意向量、存在向量、对任意实数、共线、垂直、恒满足、有且仅有。 严禁自己脑补规则，题目给什么公式，就只用什么公式。 第二步：建系设点，坐标化落地 所有向量新定义，首选坐标法破题： 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，把新定义运算全部转化为代数式。 只要能坐标化，复杂新定义直接降维成代数计算，难度减半。 第三步：套用向量核心基础公式 常备必用工具： 1、线性运算：坐标运算 2、模长公式： 3、数量积：a·b=x1x2+y1y2=|a||b|cosθ 4、共线判定：x1y2-x2y1=0 5、垂直判定：a·b=0 6、夹角公式：cosθ=把新定义式子往以上公式代入、变形、化简。 第四步：赋值特值，找规律排错 选填题专用秒杀步骤： 取特殊向量：零向量、单位向量、坐标轴向量 (1,0),(0,1) 代入新定义，直接验证规则、举反例排除错误选项。 大题：取特殊位置向量，先猜结论，再严格证明。 第五步：代数化简+分类求最值/范围 转化为二次函数、不等式、恒成立问题： 1、模最值：平方展开是万能技巧； 2、数量积最值：配方、换元、利用二次函数值域； 3、含参数：分离参数、数形结合、几何意义（圆、直线轨迹）求解范围。 四、各类新定义专属精细解题套路 1、新定义向量运算类 解题套路： 严格按题干给的运算顺序，先括号后运算；全部转坐标，逐项展开计算，不混用常规点积规则，算出结果再验证共线、垂直、模长。 2、新定义距离/模长类 解题套路： 把新定义距离写成坐标表达式，平方去根号，转化为两点距离、圆方程结构，用几何意义求最值、取值范围。 3、新定义夹角、类垂直平行类 解题套路： 翻译出新数量积等式或比例关系，套cosθ公式； 类垂直就往“数量积为0”结构凑，类共线往坐标交叉相乘相等凑。 4、三角形、四边形载体向量新定义 解题套路： 优先建系，把顶点设坐标；用基底表示法（选一组不共线向量做基底），把所有向量用基底线性表示，再代入新定义化简。 5、向量恒成立、存在性新定义 解题套路： 转化为：表达式恒大于/小于某个值 → 求向量对应函数的最大值或最小值，端点、临界值单独验证。 五、考场实操核心技巧（具体可直接用） 1、向量新定义优先坐标化，能建系绝不硬扛几何推理。 2、凡求模最值，先平方， 万能变形。 3、遇到任意、恒成立 → 转函数最值；遇到存在 → 转函数值域有交点。 4、基底法适用几何图形，坐标法适用所有含运算、含参数新定义。 5、选填题不用严格推导，单位向量、零向量特例代入，30秒排除答案。 六、高频易错避坑要点 1、私自替换新定义运算规则，用课本点积代替题目自定义运算，直接做错。 2、向量模长不开平方、不配方，化简半途卡住。 3、共线垂直判定记混坐标公式，符号出错。 4、忽略向量夹角范围，求出余弦值不取舍角度。 5、几何载体中，不会用基底线性表示，只会硬设坐标浪费时间。 七、考场通用口诀 向量新定义不用愁， 翻译符号第一步； 能建坐标就建系， 特值代入排错优； 模长平方万能凑， 点积夹角套公式； 基底坐标双套路， 最值范围一眼求。 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)记向量的相伴函数为，求当且时，的值; (2)设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量; (3)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)和 (3)存在， 【详解】（1）由已知可得：， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 ， ， （2）， ， ， ， 所以，， ， 所以与共线的单位向量为和. （3）， 因为为的相伴特征向量， 所以，解得， 所以， 所以， ， 假设在的图象上是否存在一点，使得， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以， 令， 令， 所以， ， 当时，；当时，，， 所以， 因为， 所以当且仅当且时，成立， 此时，且，即点， 所以的图象上是存在一点，使得. 元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则． (1)设，解决下面问题： ①求； ②设与的夹角为，求； (2)对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以， ①， ②因为，，所以. （2）任取，，计算内积，设这些内积之和为， 则，设的第个分量之和为， 又因为，故，所以 又， 所以，即，所以. 我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对表示.平面向量又称为二维向量，一般地，n元有序实数组称为n维向量，它是二维向量的推广.类似二维向量，对于n维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度（模）等：设，，则；.已知向量满足，向量满足 (1)求的值； (2)若，其中. （i）求证：； （ii）当且时，证明：. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）依题意，，， 则， 于是， 两式相减得， 所以. （2）（i），依题意，， 设，，求导得， 函数在上单调递增，即当时，， 即，因此，， 所以. （ii）由（i）知， 且， 因此   ，即， 所以当且时，. 1．已知两个非零向量，的夹角为，定义与的外积分记为，其结果是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为与，均垂直；如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，. (1)求的值； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若为上一点，，求. 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】（1）在四棱锥中，底面为矩形，底面， 以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，得， ，， ， ， ， 化简得， 即，又，解得. （2）若为线段的中点，有， ，设平面的一个法向量为， ，令，则，即， 又，设直线与平面所成角为， 则. （3）为上一点，设，， 则，设，， ，又，， 则有，解得， 所以，， 又，则. 2．设两个非零向量，，，，将方向逆时针旋转到方向所成的角记为，定义伪叉积：，规定零向量与任意向量的伪叉积为零．已知对任意的，，及，满足：，． (1)设，，计算和； (2)设，，求证：； (3)如图，设、分别与椭圆交于A、B和D、E两点，且都过椭圆的左焦点F，M、N分别为AB、DE的中点，延长BD与EA交于G，求的面积的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）如下图所示：，， 由平面向量数量积的坐标运算得： ， 又为锐角，故， 结合图形可知，， ． （2）证法一：不妨设射线OA、OB分别为角、的终边，则，， 设，，则，， 则 故. 证法二：，，由平面向量数量积的坐标运算得： ， 故， 故，即证． （3），， （用几何方法得此结论可得分）， 若AB与x轴重合，则． 若AB与x轴不重合，设， 由． 设，则有， 故， ， 同理． ， 当时，， 当时，，当且仅当时等号成立． 故的面积的取值范围为． 3．对于平面向量，定义“变换”：， (1)若向量，，求； (2)求证：； (3)已知，，，，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3)证明见详解. 【详解】（1）因为向量，， 所以； （2）因为向量，， 所以， 所以； （3）因为，，，， 则， ， 故，所以， ， 所以. 4．给定正整数，按照一定顺序排列的向量记为向量序列，其中. 给出两个性质： ①，且中的向量互不相等； ②已知向量集合.记.对于中的任意两个向量，“” 的充要条件是“”. (1)当时，分别判断向量序列是否满足性质①；（结论无需证明） (2)（）当时，写出一个同时满足性质①和性质②的向量序列； （）当时，若向量不同时在向量序列中，且同时满足性质①和性质②，求证：的个数为偶数. 【答案】(1)不满足性质①，满足性质① (2)（）.（答案不唯一）（）证明见解析 【详解】（1）根据性质①，当时，向量序列首向量为，末向量为，且向量互不相等. 对于向量序列，其末向量不满足性质①，所以不满足性质①； 对于向量序列，其首向量为，末向量为，且向量互不相等，所以满足性质①. 综上，不满足性质①，满足性质①. （2）（）根据性质①，当时，向量序列首向量为，末向量为，，且向量互不相等. 根据性质②，当时，相邻向量差， 即相邻向量要么增加且不变，要么不变且根据前一向量增加或减小. 所以可写出向量序列，经验证，同时满足性质①和性质②. （）设向量序列. 因为满足性质②，所以或. 由性质①且可得， 根据已知条件，存在正整数，使得. 当时，可为或， 因为向量不同时在向量序列中， 所以，则末向量或， 所以或. 当时，可为或， 因为向量不同时在向量序列中， 所以，则末向量或， 所以或. 故当，且向量不同时在向量序列中使，向量序列成对出现. 综上，任何满足条件的序列，在其第一个坐标为4的向量确定后（为或），都有两种方式延伸至终点. 因此，所有满足条件的序列总数是所有可能的前缀路径（截止到第一个坐标为4的向量）数量的两倍，故总数为偶数.” 5．对于一组向量（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”. (1)设，若是向量组的“1向量”，求实数的取值范围； (2)若，则向量组是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由； (3)已知均是向量组的“1向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列且）满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值. 【答案】(1) (2)存在， (3)12144 【详解】（1）由题意，，. ， ， ，化简得：, 的范围是. （2）法1： ，， ，，，… 向量组以4为周期. ， ，不是该向量组的“1向量”； ，是该向量组的“1向量”； ，不是该向量组的“1向量”； ，不是该向量组的“1向量”； 存在“1向量”，“1向量”为. 法2：由题意可得， 因为， 所以向量组以4为周期， 若存在“1向量”，只需使， 又， 所以， 故只需使 ，即， 当时，符合要求， 故存在“1向量”，且“1向量”为； （3）由题意，，即， ， 同理，， 上述三式相加，得：， ， 又. ， 设，则依题意得， 得， 故， ， 所以， ， 当，即时，，， . 6．设维向量，，定义运算：. (1)当时，若且，，试比较与的大小； (2)已知，记且和均为的某一排列}. （ⅰ）求，； （ⅱ）若，求.（提示：.） 【答案】(1)； (2)（ⅰ），； （ⅱ）. 【详解】（1）由题设，所以； （2）（i）先求：设，，其中为的排列， 所以， 而可能取值有，故， 再求：设，，其中为的排列， 当，，可能取值有，则可能值为； 当，，可能取值有，则可能值为； 当，，可能取值有，则可能值为； 当，，可能取值有，则可能值为； 综上，； （ⅱ）由（1），若存在，，则不妨交换，则的值会变大， 设， ，则最小； ，则最大； 所以的元素均属于集合， 设表示集合且的元素个数，即（注意表示集合的元素个数）， 下证：当时，由上知， 考虑及：由中最小元素为，最大元素为，即中的元素均在中， 设，，其中为的任一排列， 所以可能取值为，即恰好没有覆盖到集合中的个元素， 当，，其中为的任一排列， 所以可能取值为，即恰好没有覆盖到集合中的个元素， 当时，， 即， 故不覆盖集合的元素至多有个，故， 又，所以， 所以. 7．在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和． (1)求点的坐标； (2)设，求数列的前项和； (3)若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根． 【答案】(1)， (2) (3)和 【详解】（1）因为点列的特征根为和， 所以点列的特征方程为， 所以， 则，即， 所以， 所以的坐标为， 由， 得，即， 所以， 所以的坐标为； （2）由（1）知， ， 所以； （3）因为， 所以， 所以， 设， 则， ， ， 设， 则①， ②， 由①②得，即， 将代入②得， 因为是公差为的等差数列，且各项都为正整数， 所以， 又，所以，得， 又， 所以点列的特征方程为，特征根为和. 学科网（北京）股份有限公司2 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 五大类新定义题型-2026年高考数学大题秒杀技巧及专项训练 【题型1 数列新定义破解大法】 【题型2 集合新定义破解大法】 【题型3 导数新定义破解大法】 【题型4 三角函数新定义破解大法】 【题型5 平面向量新定义破解大法】 【题型1：数列新定义破解大法】 一、题型核心本质 数列新定义题，本质是给陌生规则+套数列基本性质，不超纲、只考迁移能力。核心逻辑：读懂新定义→翻译为等差/等比/递推关系→用常规数列公式求解。 二、常见新定义分类 1、新定义数列：和数列、差数列、积数列、倒数数列、分段数列、周期数列、隔项数列。 2、新定义运算：自定义两项运算、自定义前n项和、自定义最值/有界/收敛类定义。 3、新定义性质：单调、有界、恒成立、整除、整数项、有理项等约束型定义。 三、通用解题四步法（万能模板） 第一步：审题翻译 把题目文字型新定义，翻译成数学式子，圈出关键词：任意、存在、对n∈N*、前n项和、第n项、相邻项、隔项。 第二步：赋值找规律 优先赋值 n=1,2,3，写出前3项，找周期、找等差、找等比、找递推式。 第三步：转化常规数列 将新定义关系式，变形为： 等差：an+1-an=d 等比：=q 递推：an+1=f(an) 和项关系：Sn与an互化公式 第四步：套用公式求解 通项公式、前n项和公式、最值、单调性、不等式恒成立、参数范围，按常规数列题型解法收尾。 四、高频破题技巧 1、遇分段新定义：分奇偶讨论、分n范围写通项，分开求和。 2、遇周期新定义：算出前几项找周期T，再用n÷T求余数定位项。 3、遇和型新定义：牢记 优先化简。 4、遇整数/整除新定义：分离常数、因式分解、放缩夹逼求整数解。 5、遇恒成立新定义：转化为数列最值问题，求最大/最小项、单调性分析。 五、易错避坑要点 1、忽略 n\in N^*，n从1开始，不要默认从0开始。 2、分段数列不验证n=1是否符合通式。 3、新定义翻译不全，漏看“相邻、任意、存在”限定词。 4、周期数列算错周期长度，直接代n求值出错。 5、等比数列忘记验证首项不为0、公比不为0。 六、考场秒杀思路 看不懂新定义时：先代n=1,2,3写前三项，只要写出三项，80%能看出等差/等比/周期，再反向套定义验证，不用硬啃文字。 若数列（，，）满足，则称数列为k项数列，集合是由所有k项数列组成的集合，从集合中任意取出两个不同数列，记变量 (1)当时，求集合； (2)若，求随机变量X的分布列与数学期望； (3)求，其中且． 已知是公差不为0的无穷等差数列.若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质. (1)已知，，判断数列，是否具有性质； (2)若数列具有性质，证明：的各项均为整数； (3)若，求具有性质的数列的个数. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，数列的前项和为； ①求； ②若恒成立，求实数的最大值. 1．已知等比数列与等差数列中，．记集合，把集合中的元素按从小到大依次排列，构成数列． (1)求数列与的通项公式； (2)求证：； (3)在这50个数中，任取3个不同的数，当时，记成等差数列的概率为，求． 2．已知数列是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项，等比数列的通项公式为（其中，且）. (1)求的前n项和； (2)设集合，对于的每一个非空子集X，设其最小元素为x，最大元素为y. （ⅰ）设为所有非空子集对应的之和，求证：； （ⅱ）设为所有非空子集对应的之和，且，求数列的通项公式. 3．对于有穷正数数列，若满足对任意的，都有（是常数，且），则称数列具有性质．对数列定义“分拆”将中的第项拆分为两项，并得到数列，其中，且；特别地，当时，；当时，．对有穷正数数列，令数列．若数列均具有性质，则称为数列的阶完美分拆数列． (1)若，判断以下数列是否为的1阶完美拆分数列（结论不要求证明）： ①②2，0.5，0.5． (2)当时，若为数列的1阶完美拆分数列，证明：数列中被拆分的一定是最大项； (3)若数列为数列的阶完美拆分数列，证明：的最大值为4． 4．在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 5．已知集合中元素的个数为. (1)若，，求. (2)若，均为等差数列且，，，证明：也为等差数列. (3)若，，且，求数列的前项和. 6．若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和，已知数列是以5为公比和的等比和数列，且，记． (1)求证：数列是周期数列，并指出其周期； (2)求的值． 7．已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”. (1)证明：数列是“方特数列”； (2)若数列是“方特数列”，求的取值范围； (3)证明：当时，数列是“方特数列”. 【题型2：集合新定义破解大法】 一、题型核心本质 集合新定义题，核心不是考偏难怪知识点，而是自定义集合运算、自定义集合关系、自定义新型集合，本质是：读懂规则、按定义办事、套集合基本性质，全程不脱离元素、子集、交集、并集、补集、包含、空集这些基础概念。 二、高考集合新定义三大常考类型 1、新定义集合运算：自定义两集合间加减、差集、对称差、积集、和集、封闭运算。 2、新定义集合关系：新定义相等、隔离、相邻、覆盖、相容、生成集、依附关系。 3、新定义特殊集合：封闭集、和谐集、完美集、亲和集、元集、具有某种整数/余数性质的限定集合。 三、通用万能解题四步法 第一步：直译定义，不脑补 严格按题干文字翻译成数学符号，不凭自己固有知识瞎延伸、不自创规则，题目怎么定义就怎么用。圈关键词：任意元素、存在元素、对所有、恒成立、非空、整数集、正整数、有限集、无限集。 第二步：列举枚举，找规律 遇到抽象新定义，优先列举有限元素，代入具体数、具体集合验证，把抽象定义具象化，快速排除错误选项、看清运算逻辑。 第三步：套用集合基础性质 牢牢用好核心基础： 元素互异性、确定性、无序性； 子集、真子集、空集性质； 交并补运算律； 若元素属于集合，满足集合一切定义条件。 第四步：逻辑推理+排除验证 选择题：特殊值代入、举反例排除； 填空题/解答题：按定义列式，用不等式、整数约束、分类讨论求解参数范围、元素个数、符合条件集合个数。 四、高频破题技巧 1、新定义运算一律先括号后运算，跟四则运算顺序一致，严格按题干规则计算。 2、遇封闭集类定义：任取集合内两个元素，按规则运算后结果仍在集合内，即满足封闭性。 3、遇整数型新定义：优先用奇偶分类、余数分类枚举验证。 4、遇子集个数问题：先求原集合元素个数，再用子集个数公式2n快速判断。 5、含参数集合新定义：分类讨论空集情况、参数分界点，不漏情况、不重复。 五、高频易错避坑清单 1、忽略元素互异性，算出相同元素不舍去。 2、漏掉空集特殊情况，子集、包含关系不讨论空集。 3、擅自篡改新定义规则，凭老知识代替题干定义。 4、分不清“任意”和“存在”，逻辑关系搞反。 5、有限集、无限集混淆，枚举时范围取错。 六、考场秒杀口诀 读懂定义不脑补， 枚举代入先铺路； 元素互异记清楚， 空集分类别疏忽； 任意存在辨逻辑， 举反排除最快步。 已知函数定义域为，对于实数，定义集合，. (1)若，求和； (2)给定实数，若满足对任意，均有，求的取值范围； (3)若集合满足：，则称和互为对称集.证明：“函数为偶函数”的充要条件是“对任意实数与互为对称集”. 在一个圆周上依次写出（为奇数）个正实数，相邻两个数的乘积构成集合，且. (1)若，求集合； (2)当时， （i）求出满足条件的一个集合； （ⅱ）求证：对于满足条件的任何集合都是无理数. 对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集．记符号表示集合中的元素个数．当时，设是集合中按从小到大排列的所有元素，记集合. (1)已知集合，若，求集合，并求出的值 (2)已知，记集合或． （i）当时，证明的充要条件是； （ii）若，求的所有可能取值． 1．已知一元二次不等式对一切实数x都成立，设满足条件的的取值集合为. (1)求集合； (2)对于两非空集合，定义：，若，求. 2．对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； (3)设为有限集合，证明：． 3．对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 4．已知集合.对于，定义与的差为，；定义与之间的距离为. (1)若，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)证明：三个数中至少有一个是偶数. 5．已知集合，其中，若对于任意的，总有，则称集合具有性质．由中的元素构成两个相应的集合：其中是有序数对．集合和中的元素个数分别为和． (1)检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； (2)对任何具有性质的集合，证明：； (3)判断和的大小关系，并证明你的结论． 6．已知集合，其中，，，，都是A的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数（i，，）. (1)若，，，，直接写出所有满足条件的集合； (2)若，且对任意，都有，求m的最大值； (3)若，（，2，，m）且对任意，都有，求m的最大值. 7．集合 满足下列条件，则被称为 “好集”. ① ，且对任意的 ，其中 且为整数; ②每个集合 中存在一个元素等于 中其他元素的和. 若集合 为 “好集”，我们定义集合 中最大的元素为集合 的一个主元， 所有的主元构成的集合称为 的 “主元子集”. (1)判断集合 是否为“好集”，若是“好集”，写出它的主元子集，若不是，说明理由. (2)设 、 为正整数，若集合 为“好集”. ( i ) 证明: ; (ii) 证明: .并写出等号成立时， 的一个“主元子集”. 【题型3：导数新定义破解大法】 一、题型核心本质 导数新定义题，不超课本导数基础，只是自定义新概念、新运算、新性质。 核心逻辑：把陌生文字定义翻译成函数、导数关系式，转化为单调性、极值最值、切线、不等式恒成立、零点、最值范围等常规导数题型，用常规导数套路解题。 二、高考导数新定义三大常考类型 1、新定义函数类：伴随函数、共生函数、对偶函数、凹凸函数、凸凹分界点、拐点类新定义。 2、新定义导数运算：自定义导函数组合、两点斜率新定义、平均变化率衍生新概念。 3、新定义性质类：类单调、类极值、类最值、有界性、渐近性、恒成立型新约束定义。 三、万能四步破题模板 第一步：直译定义，符号化 逐句拆解题干新定义，一字不脑补，把文字描述翻译成：函数解析式、一阶导、二阶导、不等式、等式关系。 圈关键词：任意、存在、定义域、区间、恒成立、恰好、唯一、有且仅有。 第二步：求导打底，基础先行 立刻写出：原函数、一阶导数、二阶导数，整理化简，找定义域、定义域间断点、特殊临界点。 第三步：转化常规导数模型 把新定义条件归类对接经典题型： 含导数不等式 ➜ 构造新函数，研究单调性 新定义极值/最值 ➜ 求导找驻点、判单调性、列表判极值 凹凸、拐点新定义 ➜ 用二阶导正负判断凹凸，二阶导变号点为拐点 恒成立、存在性 ➜ 转化为最值问题 切线类新定义 ➜ 切点式、切线方程联立求解 第四步：分类讨论+端点验证 含参数导数新定义：按定义域、导数零点、参数分界分类讨论； 务必验证区间端点、特殊点、定义域边界，避免漏解多解。 四、高频破题核心技巧 1、遇到凹凸新定义：直接锁定二阶导数，二阶导正为凹，二阶导负为凸。 2、遇到平均变化率、两点斜率新定义：优先构造差商形式，再联系导数几何意义。 3、遇到恒成立新定义：统一套路分离参数+求函数最值。 4、遇到多函数组合新定义：重新构造辅助函数，求导研究单调性是最快解法。 5、选择题新定义：特殊函数代入（一次、二次、指数、对数）举特例排除选项。 五、高频易错避坑要点 1、擅自曲解新定义规则，凭固有知识点代替题干定义，极易掉坑。 2、忽略函数定义域，求导后直接研究全体实数。 3、一阶导零点找对，但不判断单调性变化，误判极值与最值。 4、二阶导只算不分析正负，不会判凹凸与拐点。 5、含参数不分类讨论，漏掉参数临界取值情况。 六、考场秒杀口诀 导数新定义不用慌， 文字转式先译装； 一二求导打底桩， 构造函数判增减； 凹凸看二导正负， 恒成立求最值扛； 特例排除选填快， 分类讨论大题强。 已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”. (1)若是“强增函数”，求的取值范围； (2)已知，请判断的导数在上的单调性，并说明理由 (3)已知，，，.证明：. 参考结论：当时，. 若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”． (1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； (2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； (3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． 若函数的图象上存在三点，且，使得直线与的图象在点处的切线平行，则称为在区间上的“中值点”． (1)若函数在区间上的中值点为，证明：成等差数列． (2)已知函数，存在，使得． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）当时，记在区间上所有可能的中值点之和为，证明：． 1．有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为． (1)已知函数，求曲线在点处的曲率； (2)已知函数，求曲线的曲率的范围． 2．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 3．设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点. (1)判断曲线是否有拐点，并说明理由； (2)已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值. 4．帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：．注：已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数的值； (2)当时，试比较与的大小，并证明； (3)已知正项数列满足：，证明：． 5．记函数与的复合函数为，其导数为 .由此，我们定义函数的一种“嵌套导数”运算：对于可导函数，定义其1阶嵌套导数 为 ；定义其k阶嵌套导数且递归地为 . 例如，.已知函数. (1)求和的表达式； (2)若，求证：对任意 恒成立； (3)设，方程在区间上有唯一实数解.记，试探究的极值点个数与的关系，并说明理由. 6．已知函数，． (1)当时， ①证明：时，； ②求函数的极值点个数； (2)两函数图象在公共点处的公切线称为“合一切线”．若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求、的值． 7．泰勒展开式在近似计算、函数性质研究中有广泛应用，它可将一个函数在某点附近用多项式逼近．若函数在包含的闭区间上具有n阶导数，在开区间上具有阶导数，则对上任意一点x，有，其中为泰勒公式的余项．（的n阶导数记为，其中为的导数，为的导数，为的导数．） (1)若，写出在处的泰勒展开式； (2)当时，判断第（1）问中与0的大小，并证明； (3)证明：对任意正整数n，有，其中，． 【题型4：三角函数新定义破解大法】 一、题型核心本质 三角函数新定义，不考偏题怪知识点，只是自定义角、自定义三角运算、自定义三角关系式、自定义特殊三角图形与性质。 核心逻辑：严格按题干新规翻译符号，转化为同角三角关系、诱导公式、恒等变换、图象性质、解三角形常规模型，按三角基础套路求解即可。 二、高考三大常考类型 1、新定义角：新范围角、新象限角、衍生角、轮换角、对称角自定义。 2、新定义三角运算：自定义正弦、余弦、正切新式运算，两角合成、叠加、差商新规则。 3、新定义三角性质：新定义周期、对称、有界、等值、互补互余类新型约束关系。 三、万能四步破题法 第一步：直译定义，绝不脑补 严格逐字把文字定义翻译成数学表达式，不套用固有三角常识擅自延伸，题目怎么规定就怎么用。标记关键词：任意角、存在、恒成立、定义域、最小正周期、对称中心、对称轴。 第二步：赋值代入，具象化 优先代入特殊角：0°、30°、45°、60°、90°、180°，快速验证新定义运算规律，排除错误选项、摸清规则逻辑。 第三步：回归三角核心公式 锚定基础工具： 同角平方关系、商数关系、诱导公式、和差公式、二倍角、辅助角公式、周期与对称轴公式、正余弦定理。 把新定义式子往常规三角公式上变形化简。 第四步：划归常规题型求解 转化为：求值化简、求周期单调、对称轴对称中心、最值范围、解三角形、恒成立参数范围，按标准三角题型步骤作答。 四、高频破题实战技巧 1、新定义运算遵循先括号后运算，顺序严格遵从题干规则，不混用普通四则运算。 2、遇周期、对称新定义：直接套用 T=，正弦余弦对称轴、对称中心通用模板对照判断。 3、遇恒成立新定义：化简后求三角函数最值、值域，转化不等式恒成立求参数。 4、遇几何结合三角新定义：画三角形、坐标系，用正余弦定理+边角互化求解。 5、选填秒杀法：特殊角代入、举反例排除，不用复杂推导快速定答案。 五、高频易错避坑清单 1、私自更改题干新定义规则，凭旧三角知识代替题目规定，直接失分。 2、忽略角的范围限制，不约束象限、定义域，出现增根。 3、诱导公式符号判断出错，象限符号记混。 4、二倍角、辅助角化简不彻底，后续求周期、单调区间出错。 5、解三角形新定义题型，忘记大边对大角、内角和范围隐性约束。 六、考场秒杀口诀 三角新定义莫慌张， 直译规则不瞎想； 特殊代入找规律， 公式化简做桥梁； 周期对称套模板， 最值恒成立域扛； 选填特例快排除， 大题套路稳拿分。 定义二元函数，且同时满足：①；②两个条件． (1)求的值； (2)当时，比较和0的大小； (3)若为的极大值点，求的取值范围． 附：参考公式：           对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若，；，，且与具有关系，求的像； (3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． (1)设函数，试求的互生向量； (2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间． 1．在单位圆上取一点，与圆心相连的线段、圆周及x轴非负半轴围成的扇形面积为s，扇形面积的2倍来定义圆角，即．对于一个确定的圆角，定义六种三角函数：（正弦），（余弦），（正切），（余切），（正割），（余割），此点的坐标为． 类比三角函数与单位圆，在单位等轴双曲线上取一点，与坐标原点相连的线段、双曲线及x轴非负半轴围成的图形面积为，定义双曲角，对于一个确定的双曲角t，定义六种双曲函数：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切，双曲余切，双曲正割，双曲余割.此点的坐标为．双曲函数可以用指数形式表示．对于双曲角t，有：，等． 点、所在曲线分别记为、． (1)描述曲线、的形态并写出、的标准方程； (2)过点作两条直线（不同于x轴）分别交和（y轴右侧部分）于点M、P，N、Q；线段MN、线段PQ与x轴的交点分别为C、D，O为坐标原点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：O、M、D、N四点共圆． 2．在单位圆上取一点，与圆心相连的线段、圆周及x轴非负半轴围成的扇形面积为s，扇形面积的2倍来定义圆角，即．对于一个确定的圆角，定义六种三角函数：（正弦），（余弦），（正切），（余切），（正割），（余割），此点的坐标为． 类比三角函数与单位圆，在单位等轴双曲线上取一点，与坐标原点相连的线段、双曲线及x轴非负半轴围成的图形面积为，定义双曲角，对于一个确定的双曲角t，定义六种双曲函数：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切，双曲余切，双曲正割，双曲余割.此点的坐标为．双曲函数可以用指数形式表示．对于双曲角t，有：，等． 点、所在曲线分别记为、． 描述曲线、的形态并写出、的标准方程； 3．对于定义在上的连续函数，若存在常数（），使得对任意的实数都成立，则称是阶数为的回旋函数. (1)试判断函数是否是一个阶数为-1的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数的值； (3)若回旋函数（）在上恰有2026个零点，求的值. 4．意大利著名物理学家达·芬奇思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？可以用双曲函数来描述该形状，基本的双曲函数有：双曲正弦函数和双曲余弦函数. . (1)求的值； (2)求不等式：的解集； (3)若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围. 5．设向量，函数，则称函数为向量的友好函数，称向量为函数的友好向量. (1)设函数求函数的友好向量； (2)若向量的友好函数在处取得最大值，求； (3)设向量的友好函数，方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围. 6．均匀绳索在仅受其自身重力作用下形成的曲线可以用双曲函数来描述，其中最基本的双曲正弦函数和双曲余弦函数定义如下：双曲正弦函数，双曲余弦函数，（e为自然对数的底）.已知函数. (1)若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围； (2)求证：函数有且只有一个零点； (3)记函数的唯一零点为，证明：. 7．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图象，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维平面上有两个点 ，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为． (1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，若，求的值； (3)已知，，若，求、之间的曼哈顿距离． 【题型5：平面向量新定义破解大法】 一、题型核心本质 平面向量新定义题，不超课本向量基础，命题套路固定：自定义新向量运算、新向量关系、新向量距离、新夹角、新垂直平行规则、新特殊向量。 本质解题逻辑：严格照题干定义翻译成向量表达式→回归线性运算、坐标运算、数量积、模长、夹角常规公式→建模化简求值、求范围、判性质。 不自创规则、不凭老知识脑补，题目怎么定义就怎么算。 二、高考平面向量新定义六大必考类型 1、新定义向量运算：自定义加减、数乘、点积、叉积、混合运算、向量合成新法则。 2、新定义距离模长：新型向量距离、相对模、加权模、差模新定义。 3、新定义夹角关系：自定义夹角、类垂直、类平行、等角向量、共线新判定。 4、新定义位置关系：相伴向量、共轭向量、关联向量、等分向量、中线角分向量新定义。 5、新定义定值最值：满足新规则下向量模最值、数量积最值、参数范围。 6、新定义几何载体：结合三角形、四边形、圆，定义特殊点、特殊向量结构。 三、通用标准五步解题法（精细可直接套用） 第一步：逐字翻译，符号固化 把文字新定义一字不差翻译成向量符号/坐标式子。 重点抓关键词：任意向量、存在向量、对任意实数、共线、垂直、恒满足、有且仅有。 严禁自己脑补规则，题目给什么公式，就只用什么公式。 第二步：建系设点，坐标化落地 所有向量新定义，首选坐标法破题： 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，把新定义运算全部转化为代数式。 只要能坐标化，复杂新定义直接降维成代数计算，难度减半。 第三步：套用向量核心基础公式 常备必用工具： 1、线性运算：坐标运算 2、模长公式： 3、数量积：a·b=x1x2+y1y2=|a||b|cosθ 4、共线判定：x1y2-x2y1=0 5、垂直判定：a·b=0 6、夹角公式：cosθ=把新定义式子往以上公式代入、变形、化简。 第四步：赋值特值，找规律排错 选填题专用秒杀步骤： 取特殊向量：零向量、单位向量、坐标轴向量 (1,0),(0,1) 代入新定义，直接验证规则、举反例排除错误选项。 大题：取特殊位置向量，先猜结论，再严格证明。 第五步：代数化简+分类求最值/范围 转化为二次函数、不等式、恒成立问题： 1、模最值：平方展开是万能技巧； 2、数量积最值：配方、换元、利用二次函数值域； 3、含参数：分离参数、数形结合、几何意义（圆、直线轨迹）求解范围。 四、各类新定义专属精细解题套路 1、新定义向量运算类 解题套路： 严格按题干给的运算顺序，先括号后运算；全部转坐标，逐项展开计算，不混用常规点积规则，算出结果再验证共线、垂直、模长。 2、新定义距离/模长类 解题套路： 把新定义距离写成坐标表达式，平方去根号，转化为两点距离、圆方程结构，用几何意义求最值、取值范围。 3、新定义夹角、类垂直平行类 解题套路： 翻译出新数量积等式或比例关系，套cosθ公式； 类垂直就往“数量积为0”结构凑，类共线往坐标交叉相乘相等凑。 4、三角形、四边形载体向量新定义 解题套路： 优先建系，把顶点设坐标；用基底表示法（选一组不共线向量做基底），把所有向量用基底线性表示，再代入新定义化简。 5、向量恒成立、存在性新定义 解题套路： 转化为：表达式恒大于/小于某个值 → 求向量对应函数的最大值或最小值，端点、临界值单独验证。 五、考场实操核心技巧（具体可直接用） 1、向量新定义优先坐标化，能建系绝不硬扛几何推理。 2、凡求模最值，先平方， 万能变形。 3、遇到任意、恒成立 → 转函数最值；遇到存在 → 转函数值域有交点。 4、基底法适用几何图形，坐标法适用所有含运算、含参数新定义。 5、选填题不用严格推导，单位向量、零向量特例代入，30秒排除答案。 六、高频易错避坑要点 1、私自替换新定义运算规则，用课本点积代替题目自定义运算，直接做错。 2、向量模长不开平方、不配方，化简半途卡住。 3、共线垂直判定记混坐标公式，符号出错。 4、忽略向量夹角范围，求出余弦值不取舍角度。 5、几何载体中，不会用基底线性表示，只会硬设坐标浪费时间。 七、考场通用口诀 向量新定义不用愁， 翻译符号第一步； 能建坐标就建系， 特值代入排错优； 模长平方万能凑， 点积夹角套公式； 基底坐标双套路， 最值范围一眼求。 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)记向量的相伴函数为，求当且时，的值; (2)设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量; (3)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由. 元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则． (1)设，解决下面问题： ①求； ②设与的夹角为，求； (2)对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：． 我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对表示.平面向量又称为二维向量，一般地，n元有序实数组称为n维向量，它是二维向量的推广.类似二维向量，对于n维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度（模）等：设，，则；.已知向量满足，向量满足 (1)求的值； (2)若，其中. （i）求证：； （ii）当且时，证明：. 1．已知两个非零向量，的夹角为，定义与的外积分记为，其结果是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为与，均垂直；如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，. (1)求的值； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若为上一点，，求. 2．设两个非零向量，，，，将方向逆时针旋转到方向所成的角记为，定义伪叉积：，规定零向量与任意向量的伪叉积为零．已知对任意的，，及，满足：，． (1)设，，计算和； (2)设，，求证：； (3)如图，设、分别与椭圆交于A、B和D、E两点，且都过椭圆的左焦点F，M、N分别为AB、DE的中点，延长BD与EA交于G，求的面积的取值范围． 3．对于平面向量，定义“变换”：， (1)若向量，，求； (2)求证：； (3)已知，，，，求证：． 4．给定正整数，按照一定顺序排列的向量记为向量序列，其中. 给出两个性质： ①，且中的向量互不相等； ②已知向量集合.记.对于中的任意两个向量，“” 的充要条件是“”. (1)当时，分别判断向量序列是否满足性质①；（结论无需证明） (2)（）当时，写出一个同时满足性质①和性质②的向量序列； （）当时，若向量不同时在向量序列中，且同时满足性质①和性质②，求证：的个数为偶数. 5．对于一组向量（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”. (1)设，若是向量组的“1向量”，求实数的取值范围； (2)若，则向量组是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由； (3)已知均是向量组的“1向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列且）满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值. 6．设维向量，，定义运算：. (1)当时，若且，，试比较与的大小； (2)已知，记且和均为的某一排列}. （ⅰ）求，； （ⅱ）若，求.（提示：.） 7．在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和． (1)求点的坐标； (2)设，求数列的前项和； (3)若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根． 17 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $