2026届高考数学三轮冲刺考点：导数的应用--公切线问题专项训练

**基本信息** 聚焦导数几何意义，以公切线问题为载体，构建“设切点-求斜率-列方程-解方程”的系统性解题方法，强化逻辑推理与数学抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求解|单选8题/填空6题|设切点→求导得斜率→列方程求参数|导数几何意义→切线方程→方程思想| |综合应用|多选3题/解答2题|构造函数→分析单调性→判断解的个数|函数性质→方程解的个数→逻辑推理|

2026届高考数学三轮冲刺高频考点： 导数的应用--公切线问题 一、单选题 1．函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．曲线与的公切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 3．已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，，若过点的直线与曲线和均相切，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 5．已知，则与的公切线有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 6．若直线与函数和的图象分别相切于点，则（    ） A．2 B． C． D． 7．函数与函数公切线的纵截距为（    ） A．1或0 B．-1或0 C．1或 D．-1或 8．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，，，是和的图象的两个交点，则下列说法正确的是（     ） A．若函数，则在上单调递增，在上单调递减 B．实数的取值范围是 C．曲线与曲线始终有两条公切线 D．直线的斜率大于4 11．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，解决相关的问题，已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若函数存在两个零点，且，则 C．若恒成立，则 D．当时，与存在两条公切线 三、填空题 12．与曲线和都相切的直线l的方程为 . 13．已知函数，，存在直线过点与曲线和都相切，则 ． 14．已知曲线与曲线交于点，直线与曲线切于点，与曲线切于点，则的面积为 . 15．曲线与曲线的公切线方程为 ． 16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 17．曲线与曲线的公切线方程为 . 四、解答题 18．已知函数，.证明：和的图象有两条公切线. 19．已知函数，.求证：直线既是曲线的切线，也是曲线的切线. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C C C B B ABD ACD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】设切点P的横坐标为（），先根据导数几何意义列方程组，可得，再根据导数求其单调性，根据单调性确定其解，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】由，， 则，， 设切点P的横坐标为（），则根据题意可得， 得，即， 设，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以方程有唯一解， 所以切点P坐标为，切线斜率， 则切线方程为. 故选：D. 2．A 【分析】根据导数的几何意义分别求的切线，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，切线斜率为， 可得切线方程为，即； 因为，则， 设切点坐标为，切线斜率为， 可得切线方程为，即； 由题意可得：，解得， 所以公切线的斜率为. 故选：A. 3．C 【分析】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，利用导数求出曲线在处的切线方程，以及曲线在处的切线方程，根据两切线重合可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出、的值，即可得解. 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为， 对函数求导得，对函数求导得， 则曲线在处的切线方程为，即， 曲线在处的切线方程为， 即， 所以，解得， 故，，所以． 故选：C． 4．C 【分析】设出切点，求导，根据点斜式求解切线的方程，即可根据公切线得，构造函数，求导即可得解. 【详解】设直线与图象相切的切点为， 由，则切线斜率为， 切线方程为，即， 又，且，即， 所以过点与曲线相切的直线方程为， 联立解得，所以， 设, 当单调递增，当单调递减，所以，故，当且仅当时取等号， 故由得，所以. 故选：C 5．C 【分析】函数已知，可设切点表达切线方程，公切线满足两函数的切线斜率和截距分别相等，则公切线的数量可转化为满足条件的方程组的解的个数或者符合条件的切点个数的求解即可. 【详解】根据题意，设直线l与相切于点，与相切于点， 对于，有，则直线l的斜率， 则直线l的方程为，即， 对于，有，则直线l的斜率，则直线l的方程为，即， 则 可得，即或， 则切线方程为或，故与的公切线有2条． 故选：C. 6．C 【分析】先设切点，再求导函数得出点斜式即切线方程，结合公切线列方程求解得出点，最后应用两点间距离求解. 【详解】设，， 因为，， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 因为直线是两函数图象的公切线，所以， 由①可得，代入②得， 因为，所以，所以，， 所以. 故选：C． 7．B 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为，, 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以公切线的纵截距为或. 故选：B. 【点睛】本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率. 8．B 【分析】先利用导数分段求导，设两点坐标结合导数的几何意义求切线方程，分类讨论得出切线重合的条件等式，消元转化为方程有根问题，利用导数研究单调性计算参数范围即可. 【详解】当时，的导数为， 当时，的导数为， 设，为该函数图象上的两点，且， 当，或时，，故， 当时，函数在点处的切线方程为； 当时，函数在点处的切线方程为． 两直线重合的充要条件是①，②， 由①及，得， 由①②，令，则， 且，记， 则其导数为，易知在恒成立， 则函数在为减函数， ∴，. ∴实数a的取值范围是． 故选：B． 9．ABD 【分析】首先设出两个函数在两点处的切线，利用待定系数法将用表示，再构造函数解决函数最值即可． 【详解】设切线与两曲线与的切点分别为，， 由，得，由，得， 则两切线方程分别为与， 化简得， 又两条切线为同一条，可得，得， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，∴ 所以实数的取值可能是1，，． 故选：ABD. 10．ACD 【分析】首先判断的取值范围.对于A先求即可求单调区间，进而判断，对于B由得，令，利用导数研究单调性即可判断，对于C设曲线和曲线的公切线与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用公切线即可求解，对于D斜率，由得，即，又得，即，令，得，设，利用导数研究单调性即可求解. 【详解】若，则，无交点，故， 对于A：，，（） 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减，故A正确； 对于B：由，由上知在上单调递增，在上单调递减，，，故，故B错误； 对于C：设曲线和曲线的公切线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，， 故点处的切线为， 故点处的切线为，则有， 设，，故在上单调递增，在上单调递减，又，故当时，对应的此时有两解， 即满足条件的公切线有两条，故C正确； 对于D选项，斜率， 由于， 若，设，代入上式有， 即只需要证明当时，成立即可，设，， 故在上单调递增，，证毕，即D正确. 故选：ACD 11．ACD 【分析】对于当时，首先，再利用指对的切线放缩可得；对于B，根据函数的零点，结合图像分析可得，解不等式即可判断；对于C，由恒成立，可得与存在公共零点，然后可解的值；对于D，利用公切线的求解方式，建立方程组，然后判断解得个数即可. 【详解】选项A：当时，，当且仅当时取等号， 又，当且仅当时取等号，，故A正确； 选项B：存在两个零点且， 与的图象有两个交点， 结合图象可知，，即，故B错误； 选项C：恒成立， 又与在定义域内单调递增， 与存在公共零点， 且，故C正确； 选项D：设曲线的切点为，则切线斜率为， ∴切线方程为，即． 设曲线的切点为， ，∴切线斜率为，切线方程为， 即．由题意得，解得， 则，即， 设，则， 设，则， 则由得得， 则在上单调递减，在上单调递增， ，， 则由零点存在性定理可知，使得，即， 又因为当时，，则，则由得； 得，则在上单调递减，在上单调递增， 则， ， 则由零点存在性定理可知，在和上分别存在一个零点， 则方程存在两个根，和存在两条公切线，故D正确； 故选：ACD． 12． 【分析】设出切点，根据点斜式求解直线方程，即可得，进而求解，代入即可求解. 【详解】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点， 又，，且，. 曲线在点处的切线方程为， 曲线在点处的切线方程为. 故解得，， 故 故，故直线的方程为. 故答案为：. 13． 【分析】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的几何意义表示出切线方程，根据切线过点，求出，即可求出切线方程，再得到方程组，即可求出. 【详解】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点， 由，则，则，则切线为， 又切线过点，所以，即，所以， 所以切线方程为，由，则， 则，解得. 故答案为： 14． 【分析】联立方程可得，设切点，求导，可根据点斜式求解处的切线方程为，与二次函数联立，根据判别式为0可得，,以及切线方程，即可根据点点距离以及点到直线距离公式求解. 【详解】联立与可得，故，因此, 设，对求导可得， 故处的切线方程为，即， 联立与可得，由于相切，故，解得，且， 因此，,切线的方程为， 因此,点到直线的距离为， 故面积为， 故答案为： 15．（或） 【分析】设公切线为，与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的几何意义得到，，结合，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到，即可求解. 【详解】设，的公切线为， 且与曲线相切于点，与曲线相切于点， 由，得，则，即①． 由，得，则，即②． 易得，即③，将②③代入①，可得， 令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，则， 所以，， 故曲线与曲线的公切线方程为，即， 故答案为：（或） 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设出公切线，与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的何意义得到，，进则得到，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，得到，进而可求出，即可求解. 16．2 【分析】设出两切点和点，求导，利用导数几何意义得到，表达出上点处的切线方程，代入点坐标，得到方程，联立得到，，求出. 【详解】设上点处的切线和在点处的切线相同， ，， 故，故， 上点处的切线方程为， 显然在切线上，故， 即，即， 解得， 故. 故答案为：2 17． 【分析】设两个函数的切点，求导，根据点斜式分别求解切线方程，进而得，构造函数，求导得函数单调性，进而求解方程的根得解. 【详解】设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 易知公切线的斜率存在，对求导得， 可得公切线的斜率， 所以公切线方程为，即①. 对求导得， 所以公切线方程为， 即②. 由①②得所以， 令，，所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以， 所以公切线方程为，即. 故答案为： 18．证明见解析 【分析】设直线为函数和的图象的公切线，设直线切函数于点，切函数于点，利用导数的几何意义可得出关于的方程，解方程组即可得证. 【详解】设直线为函数和的图象的公切线， 设直线切函数于点，切函数于点， 因为，则，所以， 切线方程为，即， 因为，则，所以， 切线方程为，即， 所以，消去可得， 解得或， 所以和的图象有两条公切线. 19．证明见解析 【分析】根据导数的几何意义求切线方程，从而得证. 【详解】证明：由题意得，令，解得，则 所以当函数的切线方程斜率为1时切点坐标为， 所以切线方程为，整理得， 所以是曲线的切线； ，令，解得，则， 所以当函数的切线方程斜率为1时切点坐标为， 所以切线方程为，整理得， 所以是曲线的切线， 综上可得，直线既是曲线的切线，也是曲线的切线. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $