上海市松江二中2025-2026学年第二学期5月学情调研高二数学试卷

松江二中2025学年第二学期5月学情调研 高二数学参考答案 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1． 2． 3．7 4．36 5．1 6． 7． 8．0.445 9． 10． 11． 12． 二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑． 13．C 14．A 15．B 16．C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 【详解】（1）， 所以， 2分 当时，， 2分 ， 2分 （2），， 1分 ①若，则，解得； 2分 ②若，要使，则应满足． ，即，解之得， 4分 综上所述，所求实数a的取值范围是． 1分 18．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 【详解】（1）如下图所示，连接，则O是的中点，E是的中点， ，平面，平面，平面， 2分 又F是的中点，，平面，平面，平面 2分 又，平面，平面，∴平面平面； 2分 （2）以B为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系如图， 则有，，，，， 1分 由于平面，直线与平面距离就是E点到平面的距离， 1分 设直线与平面法向量的夹角为， ，，， 设平面的一个法向量为， 则有，即， 令，则，，， 4分 点E到平面的距离为． 2分 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 【详解】（1）作原假设：购买手机与顾客的性别无关，取， ， 2分 因为，所以否定原假设，即有95%的把握认为购买手机与顾客的性别有关． 2分 （2） 4分 （3）法1：X可取值0，100，200，300，400，600， 1分 而，， ，， ， 3分 故X的分布为， 1分 期望． 1分 法2：设第j次抽中奖金为（），由题设可得的分布为， 从而，而，相互独立，故． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 【详解】（1）， ，， 所以焦距为2，离心率是 4分 （2）由l平行于时，可设直线l：，与椭圆联立后得到 ，，， 2分 由可知，， 结合韦达定理，解得， 3分 所以直线方程为或， 1分 （3）假设存在点满足题意， 当直线l斜率存在时，直线与直线的斜率也存在，且 1分 设方程为，与：联立得：， 设，，由韦达定理得，， 2分 所以， 所以，， 所以 3分 当直线l斜率不存在时，直线与直线的倾斜角都是，所以它们的倾斜角互补，满足题意 1分 综上，存在定点，使得直线与直线的倾斜角总互补． 1分 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 【详解】（1）设是的关联函数， 对于，，当时，， 1分 因为，所以， 2分 所以的关联函数为； 1分 （2）因为是其自身的一个关联函数． 对于，，当时，， 即，有， 所以函数在上严格增， 2分 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以，， 1分 设，则， 则时，在上严格减 时，在上严格增， 所以，即， 所以m的取值范围为． ·3分 （3）先证明必要性：“是关联，且是关联”“是关联”． 由已知条件可得，，，， 又因为是关联的，所以，且，总有成立， 若，则，所以， 即，则， 所以是关联； 3分 再证明充分性：“是关联”“是关联，且是关联”． 因为是关联，所以任取，都有成立， 即满足，都有， 下面用反证法证明：， 若，则， 这与满足，都有相矛盾， 若，这与满足，都有相矛盾， 所以成立，即是关联， 2分 再证明是关联， 任取，则存在，使得，， 因为，所以， 即，所以是关联， 综上所述：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 3分 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江二中2025学年第二学期5月学情调研 高二数学 2026.5 考生注意： 1．试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括三部分，第一部分为填空题，第二部分为选择题，第三部分为解答题． 3．答题前，务必在答题纸上填写考号、姓名、班级．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合，，则_______． 2．曲线在点处的切线斜率为_______． 3．等差数列的前n项和为，，且，则_______． 4．将序号分别为1，2，3，4的4张参观券全部分给3人，每人至少1张，则不同的分法种数是_______． 5．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为_______． 6．已知，，且，则的最小值为_______． 7．为了增强法治观念，甲、乙两位老师在A，B，C，D，E，F共6所学校中各自选1所学校开展普法讲座．在甲、乙分别选择了2所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择A学校开展讲座的概率为_______． 8．扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，守门员也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且守门员即使方向判断正确，也有的可能性扑不到球．假设每次点球，守门员的表现，罚点球的球员的表现都是独立的，不考虑其它因素，在一次5轮点球大战中，守门员至少扑到1个点球的概率为_______（答案精确到0.001）． 9．采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大． 10．已知、是双曲线：（，）的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为3，则=_______． 11．已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则a的最小值为_______． 12．对数集中的元素先按照从小到大的顺序排列得到，，，…，定义为其“交替和”，数集的所有非空子集的交替和的和为“交替总和”．已知，，则的交替总和为_______． 二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑． 13．给出下列4个命题： ①若事件A和事件B互斥，则； ②数据2，3，6，7，8，10，11，13的第70百分位数为10； ③已知y关于x的回归方程为，则样本点的离差为-0.7； ④若随机变量X的方差为，则． 其中正确命题的序号为（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 14．“”是“”的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 15．已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（ ） A． B． C．9 D． 16．已知定义在上的函数，的导数满足，给出两个命题： ①对任意，，都有； ②若的值域为，，，则对任意都有． 则下列判断正确的是（ ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 18．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在四棱台中，底面是正方形，且侧棱底面，，O，E，F分别是，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求直线到平面的距离． 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如下表． 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 （1）根据表中数据，判断是否有95%的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由； （2）从这110位男性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买手机的概率（精确到0.01）； （3）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励300元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量X的数学期望． 参考公式及数据：①，其中． ②，，，． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知椭圆：，动直线l与椭圆交于A、B两点． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）设，O为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线l的方程； （3）若动直线l经过点，则Y轴上是否存在定点Q（不同于点P），使得直线与直线的倾斜角总互补？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知定义域均为D的函数，，S是的非空子集．若对任意，，当时，总有则称是的一个“S关联函数”． （1）求的所有关联函数； （2）若是其自身的一个关联函数，求实数m的取值范围； （3）若函数是其自身的关联函数，证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 学科网（北京）股份有限公司 $