山东省济南市2025-2026学年下学期八年级数学期末复习卷

**基本信息** 山东省济南市八年级下学期期末复习卷，以AI技术应用图案等时代情境引入，覆盖几何图形、方程不等式等核心知识，通过基础巩固与综合探究题分层考查数学眼光、思维及语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|中心对称图形、不等式性质、方程根|结合AI应用图案考查图形性质，体现数学观察现实世界| |填空题|5/20|二次根式化简、配方法、相似三角形|通过反比例函数面积问题考查模型意识，强化数学语言表达| |解答题|7/90|菱形证明、图形变换、正方形综合探究|第22题以“问题情境-实践探究-拓展应用”结构，融合勾股定理与相似三角形，突出数学思维的逻辑性与创新应用|

山东省济南市 2025--2026学年八年级数学下学期期末复习卷 一、单选题（每小题4分，共40分） 1．随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 4．若是关于x的方程的一个根，则m的值是（   ） A． B．1 C． D．3 5．如图，在中，点D，E分别是，的中点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．关于的方程有增根，则的值是（　　） A． B．1 C． D．3 7．如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，那么的长等于（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，将绕顶点A按顺时针方向旋转得到，当首次经过点D时，旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图1，在正方形中，M是正方形内部一点，连接，，动点P从点A出发，沿匀速运动，到达点B后停止．设点P运动的路程为x，，若y与x的函数图象如图2所示，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．已知，，则的值为________． 12．已知方程．可以配方成的形式，那么a的值为________． 13．如图，在中，点D、E分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的值为_____． 14．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接，若的面积是5，则k的值为_____． 15．如图，中，，D为的中点，点F是边上一点，且，连接并延长，交延长线于点E，若，则的长为______． 三、解答题（共90分） 16．计算 (1)因式分解：； (2)解方程： 17．解不等式组，并写出它的所有正整数解． 18．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)把向上平移5个单位长度得（A，B，C的对应点分别是，，），请画出； (2)以点O为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（A，B，C的对应点分别是，，）； (3)连接与，求的面积； 20．如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 21．已知：如图，在正方形中，点P在上，，，垂足分别为E、F，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，求的长； (3)若点Q是上的一动点，求周长的最小值． 22．【问题情境】 在综合实践课上，老师给出如下问题： 如图1，在中，，，，点D在边上，，连接． （1）求的长； 【实践探究】 （2）如图2，过点C作，且，连接．判断的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，善于思考的小明同学发现，过点A作，垂足为H，交于点N，并求出了的长．请你完整地完成小明的解答过程： ①求证：； ②求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省济南市 2025--2026学年八年级数学下学期期末复习卷》参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查不等式的基本性质．根据不等式两边加减同一个数或乘除同一个正数不等号方向不变，乘除同一个负数不等号方向改变，逐项判断即可． 【详解】解：A． 若，两边同时减2，得，故不成立，错误； B． 若，两边同时除以正数4，得，故不成立，错误； C． 若，两边同时乘以负数，不等号方向改变，得，故不成立，错误； D． 若，两边同时加1，得，成立，正确． 故选D． 3．D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据．依次移项、合并同类项，求出不等式的解集，然后再进行判断，即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， 解集表示在数轴上，如图所示： 故选：D． 4．C 【分析】本题考查一元二次方程的根，将代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】将代入方程，得：， 化简得：， 即：， 解得：， 因此m的值为， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，三角形内角和定理． 先证明是的中位线，得到，进而得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵在中，点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了分式方程增根问题．依次去分母、去括号、移项、合并同类项，将分式方程转化为整式方程解得，根据分式方程的增根是去分母后得到的整式方程的根，且使原方程分母为零，得到，即可求出m的值． 【详解】解：， 将方程两边同乘，去分母得：， 解得：， 关于的方程有增根， ， ， ， 解得：， 故选：D． 7．A 【分析】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 由图示可知为公共边，若想用 判定证明 和 全等，必须添加． 【详解】解：∵， ， ∵， A．，符合两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项符合题意； B．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意；     C．，运用的是全等三角形的判定定理，不符合两个直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； D．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意； 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线垂直且平分其所在线段；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．先根据线段垂直平分线的性质得到，再利用三角形的周长定义得到，然后利用等线段代换得到，从而可求出的长． 【详解】解：的垂直平分线交于点，交于点， ， 的周长等于， ， ， 即， ． 故选：A． 9．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角． 根据平行四边形的性质得到，由旋转的性质得到，，根据等边对等角得到，即可求出旋转角的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵绕顶点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 10．D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 由题意可知，，当时，证明，可知M在对角线上，即，作交于N，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，当时，P在段上，可知 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即M在对角线上， 如图，当时，P在段上，可知 ， 如图，作交于N， ∵M在对角线上， ∴， 即， ∵， ∴ ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， 故选：D 11．13 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值．先求出． ，再根据进行求解即可． 【详解】解：，， ． ． ． 12．5 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键，用配方法将一元二次方程配方即可求的a的值． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 13． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方．由，，根据相似三角形的判定得到，根据相似的性质得，然后把三角形面积代入计算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， ∴， ∵的面积为9，四边形的面积为16， ∴的面积， ∴，而， ∴． 故答案为． 14． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义等知识点，正确作出辅助线、构造三角形并求得三角形的面积是解题的关键． 如图，连接，线段交y轴于点D，再根据反比例函数k值的几何意义以及面积的和差可得，然后根据反比例函数k值的几何意义以及图象所在的象限即可解答． 【详解】解：如图，连接，线段交y轴于点D， ∵点A在双曲线上， ∴ ∵轴， ∴， ∴， ∵，且反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，取中点H，连接，过F作于点M，由中位线定理可得，，，则有，，所以，，则，，从而得到，又，，得出，，，代入得到，然后通过直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：中，为的中点，， 如图，取中点H，连接，过F作于点M， ∴为的中位线， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 16．(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，因式分解，熟练掌握解方程及因式分解的方法是解题的关键． （1）提公因式后再利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原方程去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 17．，它的所有正整数解为1， 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为， 它的所有正整数解为1， 18．(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了作图——平移作图、旋转作图，割补法求面积，掌握平移和旋转的性质是解题关键． （1）根据平移的性质作图即可；     （2）根据旋转的性质作图即可； （3）利用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：． 20．见解析 【分析】利用平行四边形的性质得到边平行且相等的关系，进而推出三角形全等，从而证明线段相等．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对边平行以及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 21．(1)矩形；理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）由正方形的性质及，，得，则四边形是矩形； （2）连接，则垂直平分，因为，所以， （3）连接，可证明，则，则，求得，由，据此求解即可． 【详解】（1）解：四边形为矩形， 理由：∵四边形是正方形，，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：连接，则垂直平分， ∵， ∴， ∴的长是； （3）解：连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】此题重点考查正方形性质、矩形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 22．（1）；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）①证明见解析；② 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质等，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解； （2）依次证明，，根据相似三角形对应边成比例求出，再证，可得是等腰直角三角形． （3）①过点D作，垂足为点M，则，推出，得到，求得，即可求解；②证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ，， ， ， ， ，， ， ， ，， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）证明：①过点D作，垂足为点M，则， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ； ②解：，由（2）可知， ，； ， ， 由（2）可知是等腰直角三角形，又， ， ， 又， ， ， 由（2）可知， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $