专题01 二次根式 7大高频考点（期末真题汇编，山东专用）八年级数学下学期

**基本信息** 二次根式专题试题汇编，覆盖7大高频考点，精选山东多地期末真题，注重基础巩固与实际应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|丰富|二次根式涵义、性质应用、乘除运算等|结合数轴、几何图形考查性质应用，如已知点在第三象限化简根式| |填空题|丰富|取值范围、化简求值|设置代数式有意义的条件，如含分母的二次根式取值范围| |解答题|丰富|混合运算、实际应用|融入均值不等式解决最值问题，如对角线垂直四边形风筝竹条长度计算|

专题01 二次根式 7大高频考点概览 考点01二次根式的涵义 考点02二次根式的性质应用 考点03二次根式的乘除运算 考点04 最简、同类二次根式 考点05 二次根式混合运算 考点06 二次根式化简求值 考点07 二次根式应用 ( 二次根式的涵义 )一、单选题 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意； D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）若有意义，则的值可以是（   ） A． B．0 C．4 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识点，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可，熟记二次根式的被开方数是非负数是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则的值可以是7， 故选：． 3．（24-25八年级下·山东滨州·期末）要使根式在实数范围内有意义，则必须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数是非负数，可得：，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得：． 故选：A． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件．解题的关键是明确二次根式被开方数非负、分式分母不为0，并综合这两个条件确定 x 的取值范围． 根据二次根式有意义的条件，列出，求出；根据分式有意义的条件，得出；综合两个条件，确定x的最终取值范围并选择对应选项． 【详解】对于二次根式，被开方数必须是非负数，即，解得． 对于分式，分母不能为0，即． 结合以上两个条件，已包含（因为），所以x的取值范围是． 故选：B． 二、填空题 5．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减法，结合已知条件求得的值是解题的关键．利用二次根式有意义的条件求得的值，然后求得的值，将其代入原式计算即可． 【详解】解：已知， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·山东淄博·期末）代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【详解】解：依题意有且， 解得. 故答案为： 7．（24-25八年级下·山东聊城·期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知，则__________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值， 先根据二次根式有意义的条件可得，即可得出y，则此题可解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 所以． 故答案为：8． ( 考点0 2 二次根式的性质应用 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知点在第三象限内，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，点的坐标，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据各象限内点的坐标特征易得，，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：点在第三象限内， ，， ， 故选D． 2．（24-25八年级下·山东淄博·期末）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 逐一分析各选项的化简过程，判断其正确性即可． 【详解】解：A、，原化简结果错误，故此选项不符合题意； B、，原化简过程错误，故此选项不符合题意； C、，原化简结果错误，故此选项不符合题意； D、，化简正确，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如果，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的性质，根据二次根式与绝对值的性质，分析等式成立的条件． 【详解】由题意，， ∴， 解得 故选B． 4．（24-25八年级下·山东日照·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B．b C． D． 【答案】A 【分析】此题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简．先根据数轴求得，，再根据二次根式的性质化简解答即可． 【详解】解：由图可知：，且， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、二次根式的性质以及有理数乘法法则的应用，解题的关键是根据已知条件求出、的值． 先根据绝对值和二次根式性质求出、可能的值，再依据确定、的具体取值，最后计算． 【详解】解：由题意可得：，． ，这表示和异号， 又， ，结合，则． 把代入，可得． 故选：A． 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知，则（   ） A．2025 B． C． D．5050 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质，正确掌握二次根式的意义和性质是解题的关键．根据二次根式的被开方数非负性，确定x的值，进而求出y的值，代入所求表达式即可求解． 【详解】解：由和的被开方数非负性，得， 解得：， 将代入原方程，得， ， 将和代入，得， 故选：B． 7．（24-25八年级下·山东烟台·期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质．先判断，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． 故选A． 二、填空题 8．（24-25八年级下·山东威海·期末）若，则化简的结果是______． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则成立的条件得出且，即可求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：若， 则且， 解得， ∴ ， 故答案为：5． 9．（24-25八年级下·山东临沂·期末）若，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． ( 考点0 3 二次根式的乘除运算 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东德州·期末）若某矩形的长为、宽为，则这个矩形面积的值在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小．先利用二次根式的乘法法则求矩形的面积，然后利用夹逼法估算无理数的大小，即可得出矩形面积的取值范围． 【详解】解：矩形的面积， ， ， 矩形面积的值在3与4之间， 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法或除法运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．直接利用二次根式的乘法或除法运算法则依次计算进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、无意义，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 3．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，幂的运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法法则和幂的运算是解决问题的关键． 先根据积的乘方运算，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）定义运算：．例如．若，则a的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查求平方根、二次根式的乘法，理解题干中的运算定义是解答的关键．根据题干中运算定义得到，进而得到，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，由得 ∴ 解得 故答案为： 5．（24-25八年级上·山东济南·期末）计算______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，根据二次根式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 6．（24-25八年级下·山东东营·期末）计算：______． 【答案】2 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法法则计算，得到答案． 【详解】解： 故答案为：2． 7．（24-25八年级下·山东淄博·期末）计算的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可． 【详解】解：原式 ． ( 考点0 4 最简、同类二次根式 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东滨州·期末）下列二次根式中，已化为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的判断，解题的关键是掌握最简二次根式满足的两个条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此依次对各选项进行分析即可． 【详解】解：A．，其中因数能开方，故此选项不符合题意； B．被开方数的因数不全是整数，故此选项不符合题意； C．该二次根式是最简二次根式，故此选项符合题意； D．被开方数的因数不全是整数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东滨州·期末）下列根式中属最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：，不是最简二次根式； B：，被开方数是质数，无平方因数，且不含分母，是最简二次根式； C：，不是最简二次根式； D：，不是最简二次根式； 故选：B． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 最简二次根式需满足：①被开方数不含分母；②分母不含根号；③被开方数不含能开方的因数．需逐项验证化简过程是否符合要求．根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】选项A：原式化简应为，错误； 选项B：正确化简为，而选项B结果为，数值明显不符，错误； 选项C：分母含根号，未有理化，正确形式应为，错误； 选项D：将化为分数，再有理化分母：，符合最简二次根式要求，正确； 故选：D． 4．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的知识．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式；据此判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； B、分母含有根号，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选；C． 5．（24-25八年级下·山东济南·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解题关键是利用二次根式的性质化简． 根据最简二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，逐一分析选项即可． 【详解】解：，不是最简二次根式，故A不符合； ，不是最简二次根式，故B不符合； ，不是最简二次根式，故C不符合； 不能化简，它是最简二次根式，故D符合， 故选：D． 6．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 7．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）下列二次根式中可以与进行合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】A、，不能与合并，不符合题意； B、，能与合并，符合题意； C、，不能与合并，不符合题意； D、，不能与合并，不符合题意； 故选：B 8．（24-25八年级下·山东威海·期末）下列各式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：由， 、与是同类二次根式，符合题意； 、与不是同类二次根式，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不符合题意； 、不与是同类二次根式，不符合题意； 故选：． 9．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，然后由同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 、当时，与是同类二次根式，符合题意； 、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：． 二、解答题 10．（24-25八年级下·山东德州·期末）【阅读理解】 例：； ． 根据阅读解决以下问题： (1)已知，，化简a，b． (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)14 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式、完全平方公式的应用，解的关键是能正确进行分母有理化、灵活运用乘法公式简化计算． （1）根据平方差公式将分子和分母都乘以相同的根式，即可求出答案； （2）先化简得出，然后整体代入即可计算； 【详解】（1）解： ， ． （2）解：原式， 当，时， 原式， ， ， ． ( 考点0 5 二次根式混合运算 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东济宁·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法对A、B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断． 【详解】解：A、与不属于同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B、与不属于同类二次根式，不能合并，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、与不属于同类二次根式，不能合并，故D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的乘法及减法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 逐一验证各选项的二次根式运算是否正确，依据二次根式的化简及运算法则进行判断． 【详解】解：选项A：， 化简得，则左边为，右边，显然，故选项A错误，不符合题意； 选项B：， 根据二次根式乘法法则，，与右边相等，故选项B正确，符合题意； 选项C：， 合并同类项得，而右边为2，显然，故选项C错误，不符合题意； 选项D：， 化简，则左边为，右边为，显然，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期末）下列各式中，化简正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简及运算，根据二次根式的性质化简及二次根式的运算法则逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：，但原式结果为，错误； 选项B：，错误； 选项C： 无法合并为（因），错误； 选项D：，正确． 故选：D． 二、填空题 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）照如图所示的操作步骤，若输入x的值为，则输出的值为____． 【答案】/ 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 将代入程序框图，然后利用二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】若输入x的值为， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25八年级下·山东淄博·期末）（1）计算：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）求出的值，将代数式转化为，整体代入法进行求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， ． 6．（24-25八年级下·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算加减，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简以及完全平方公式展开，再运算除法，最后运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（24-25八年级下·山东泰安·期末）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）先化简，再合并即可； （2）先进行乘方和乘法运算，再合并即可； （3）利用平方差公式，乘方，零指数幂，负整数指数幂的法则进行计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 8．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的除法、乘法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 9．（24-25八年级下·山东临沂·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 先算乘除，化为最简二次根式，再合并即可； 先算算术平方根和完全平方，再去括号算加减． 【详解】（1）， ， ； （2）， ， ， 10．（24-25八年级下·山东滨州·期末）计算：． 【答案】0 【分析】根据二次根式混合运算计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． ( 考点0 6 二次根式化简求值 ) 一、填空题 1．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若，则代数式的值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值、二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用配方法可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：8． 2．（24-25八年级下·山东聊城·期末）若，则代数式的值为 _____． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先求出和的值，再将代数式变形为，最后将数值代入求出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴ , 故答案为：2． 3．（24-25八年级下·山东滨州·期末）当时，代数式_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 将原式变形为，再把a的值代入代数式中计算即可． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为______． 【答案】10 【分析】本题考查非负性，二次根式的运算，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10 二、解答题 5．（24-25八年级下·山东临沂·期末）计算： (1) (2)已知，，求的值． 【答案】(1)9 (2)21 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，二次根式的混合运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先整理，再把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ∴． 6．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2) (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)6 (3)20 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式，准确计算． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和二次根式性质进行计算即可； （3）先将代数式变形为，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ． 7．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 8．（24-25八年级下·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查二次根式的化简求值，灵活运用二次根式的性质进行解题是关键． （1）先进行二次根式的乘除法运算，然后再进行减法运算即可； （2）将利用完全平方公式进行变形，得到，然后代入进行计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）由可得， 则， ， 即， ∴． ( 考点0 7 考点01 二次根式应用 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东德州·期末）【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： 小明同学要做一个面积为，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线的竹条至少要多长？ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，分式的乘法，理解题意是解题的关键．根据风筝的面积为，得到，再根据题中公式即可解答． 【详解】解：四边形的面积 ； ∴， 根据题意可得：， ∴用来做对角线的竹条至少要长． 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查二次根式混合运算的运用，先由题中正方形的面积得到各个正方形的边长，再表示出两个空白图形的长与宽即可得到空白部分的面积为，运用二次根式混合运算法则计算即可得到答案．熟记二次根式性质、二次根式乘法及加减运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 面积为10的正方形边长为、面积为12的正方形边长为、面积为3的正方形边长为， 空白的长为，宽为；空白的长为，宽为； 空白部分的面积为， 故选：A． 二、填空题 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为18和8的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查二次根式的运算及应用，由两张正方形纸片面积分别为和，则两张正方形纸片边长分别为和，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和， ∴两张正方形纸片边长分别为和， ∴剩余部分的面积， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 三、解答题 5．（24-25八年级下·山东济南·期末）【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 【答案】(1)6；3； (2)；； (3)10； 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、配方法的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为6，进而可以判断得解； （2）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为，进而可以判断得解； （3）依据题意，由米，则米，则篱笆的总长度，又，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为40，最后可以判断得解． 【详解】（1）由题意，当时，， ，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：6； （2）由题意，当时， ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：； （3）由题意，米，则米， 篱笆的总长度 ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 答：当这个矩形花园的宽为米时，所用的篱笆的总长度最短，最短为米． 故答案为：； 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)2240元 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，长方形绿地的周长为： ， 答：长方形绿地的周长为； （2）解： ， ， 答：铺地砖需要花费2240元． 7．（25-26八年级上·山东济南·期中）【阅读材料】 如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”． 【材料应用】 如图，在中，，，． (1)____________； (2)求的面积； (3)过点作，垂足为，求线段的长． 【答案】(1)12 (2) (3)2 【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形的面积，勾股定理，也考查了阅读理解能力． （1）利用阅读材料，把数值代入公式中即可计算出的值； （2）根据海伦——秦九韶公式计算的面积； （3）利用面积法求的长，再根据勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：，，， ． 故答案为：12． （2），，， ． （3）， ． ． 在中，，， ． 8．（25-26八年级上·山东济南·期中）观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，猜想： (1)__________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：_____； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）根据已知等式的规律可得结论； （2）根据已知等式的规律可得结论； （3）先将化为，再根据已知等式的规律可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）解：； 故答案为：； （3）解：原式 ． 9．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图1，土楼是中国传统的大型夯土民居建筑．图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环已知大圆和小圆的面积分别为和，求圆环的宽度（取3.14、结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，正确化简计算是解题的关键． 根据圆的面积公式分别表示两个圆的半径，再由大圆半径减去小圆半径即为圆环宽度． 【详解】解：由题意得， 答：圆环的宽度为． 10．（24-25八年级下·山东聊城·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_______． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平方根的定义及正方形边长与平方根的应用，二次根式的运算，负整数指数幂． （1）根据正方形图形得到的面积即可得到边长； （2）根据题意，并结合（1）方法分析，再画出图形即可； （3）根据得到，，代入，进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由图形可得， ， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，取格点、、、，再顺次连接， ∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边长为， 则正方形即为所作． （3）解：∵， ∴， ∵是的整数部分，是的小数部分， ∴，， ∴． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 7大高频考点概览 考点01二次根式的涵义 考点02二次根式的性质应用 考点03二次根式的乘除运算 考点04 最简、同类二次根式 考点05 二次根式混合运算 考点06 二次根式化简求值 考点07 二次根式应用 ( 二次根式的涵义 )一、单选题 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）若有意义，则的值可以是（   ） A． B．0 C．4 D．7 3．（24-25八年级下·山东滨州·期末）要使根式在实数范围内有意义，则必须满足（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知，则的值为______． 6．（24-25八年级下·山东淄博·期末）代数式有意义，则x的取值范围是______． 7．（24-25八年级下·山东聊城·期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ． 8．（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知，则__________． ( 考点0 2 二次根式的性质应用 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知点在第三象限内，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东淄博·期末）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如果，则（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东日照·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B．b C． D． 5．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D．2 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知，则（   ） A．2025 B． C． D．5050 7．（24-25八年级下·山东烟台·期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25八年级下·山东威海·期末）若，则化简的结果是______． 9．（24-25八年级下·山东临沂·期末）若，则的取值范围是_______． ( 考点0 3 二次根式的乘除运算 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东德州·期末）若某矩形的长为、宽为，则这个矩形面积的值在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 2．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算的结果为______． 4．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）定义运算：．例如．若，则a的值是_____． 5．（24-25八年级上·山东济南·期末）计算______． 6．（24-25八年级下·山东东营·期末）计算：______． 7．（24-25八年级下·山东淄博·期末）计算的结果是______． 三、解答题 8．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算：． ( 考点0 4 最简、同类二次根式 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东滨州·期末）下列二次根式中，已化为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东滨州·期末）下列根式中属最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山东济南·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）下列二次根式中可以与进行合并的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·山东威海·期末）下列各式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 10．（24-25八年级下·山东德州·期末）【阅读理解】 例：； ． 根据阅读解决以下问题： (1)已知，，化简a，b． (2)求的值． ( 考点0 5 二次根式混合运算 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东济宁·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期末）下列各式中，化简正确的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）照如图所示的操作步骤，若输入x的值为，则输出的值为____． 三、解答题 5．（24-25八年级下·山东淄博·期末）（1）计算：； （2）已知，，求的值． 6．（24-25八年级下·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． 7．（24-25八年级下·山东泰安·期末）计算 (1)； (2)； (3)． 8．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 9．（24-25八年级下·山东临沂·期末）计算： (1)； (2) 10．（24-25八年级下·山东滨州·期末）计算：． ( 考点0 6 二次根式化简求值 ) 一、填空题 1．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若，则代数式的值为___________． 2．（24-25八年级下·山东聊城·期末）若，则代数式的值为 _____． 3．（24-25八年级下·山东滨州·期末）当时，代数式_____． 4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为______． 二、解答题 5．（24-25八年级下·山东临沂·期末）计算： (1) (2)已知，，求的值． 6．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2) (3)已知，求代数式的值． 7．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 8．（24-25八年级下·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． ( 考点0 7 考点01 二次根式应用 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东德州·期末）【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： 小明同学要做一个面积为，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线的竹条至少要多长？ A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D．8 二、填空题 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为18和8的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为__________． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）比较大小： ______ （填 、或） 三、解答题 5．（24-25八年级下·山东济南·期末）【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 7．（25-26八年级上·山东济南·期中）【阅读材料】 如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”． 【材料应用】 如图，在中，，，． (1)____________； (2)求的面积； (3)过点作，垂足为，求线段的长． 8．（25-26八年级上·山东济南·期中）观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，猜想： (1)__________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：_____； (3)利用上述规律计算：． 9．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图1，土楼是中国传统的大型夯土民居建筑．图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环已知大圆和小圆的面积分别为和，求圆环的宽度（取3.14、结果保留根号） 10．（24-25八年级下·山东聊城·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_______． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的整数部分，是的小数部分，求的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $