2026届高考数学三轮冲刺考点：导数的应用--恒成立问题专项训练

**基本信息** 聚焦导数应用中恒成立问题，通过19道典例系统整合构造函数、参变分离、必要性探路等方法，形成“求导-判单调-求最值”的逻辑链条，培养数学推理与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |恒成立问题求解|19道|构造差函数、参变分离、二阶导数分析、必要性探路、分类讨论参数|以导数几何意义为基础，通过函数单调性推导最值，将恒成立问题转化为最值问题，体现“性质-运算-应用”的知识生成关系|

2026届高考数学三轮冲刺高频考点： 导数的应用--恒成立问题 1．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求实数a的取值范围． 2．已知函数（为自然对数的底数）.若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 3．已知定义在上的函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 4．函数，．，要使成立，求实数m的取值范围． 5．已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)若对一切的，恒成立，求实数的取值范围． 6．已知函数，.当时，恒成立，求实数的取值范围. 7．已知函数．若对任意成立，求实数a的值. 8．已知函数.当时，恒成立，求a的取值范围. 9．已知函数在处的切线与直线垂直.若对任意恒成立，求实数的值. 10．若时，的图象恒在的图象上方，求a的取值范围. 11．已知函数（其中）若时，，求实数的取值范围. 12．已知函数，其中.当时，恒成立，求实数的值. 13．设函数.是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 14．已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 15．已知函数f(x)= ln(a x)+bx在点（1，f(1)）处的切线是y=0； (I)求函数f(x)的极值； (II)当恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数) 16．已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 17．设函数． （1）证明：在单调递减，在单调递增； （2）若对于任意，都有，求m的取值范围． 18．已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数.若对，有，求的取值范围. 19．已知函数.若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 参考答案 1．(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意知，的定义域为， ， ①当时，恒成立， 所以在上单调递增； ②当时，若，若， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，，即， 所以，令，则． 令， 则， 令，则，所以当时，； 当时，， 所以即在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，； 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即实数a的取值范围为． 2． 【分析】构造差函数，利用二阶导数，分和讨论即可得解. 【详解】当时，恒成立，即在上恒成立， 设，则， 令，则. ①当时，因为，则， 可知在上单调递减，则， 所以在上单调递减， 所以，即恒成立，所以满足题意； ②当时，令，解得：， 当时，，则单调递增， 此时，则在上单调递增，所以， 即当时，，即不恒成立，可知不合题意. 综上所述，. 3．(1)答案见解析 (2)． 【详解】（1）， 当时，． 在上，单调递减； 在上，单调递增． （2）函数的导数为． ①若，则在上，恒成立，单调递增，因此，不符合题意； ②若，令得，当时，，当时，，因此在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以只需即可，即，解得，； ③若，则在上，恒成立，单调递减，因此，符合题意．综上所述，实数a的取值范围是． 4．． 【分析】先构造函数，将题目条件等价于；再分别利用导数判断函数和的单调性，求出最值，得出，求解即可. 【详解】因为，即，设， 则题目条件等价于． 因为，当时，， 所以在上单调递增， 所以当时，． 因为， 所以. 因为当时，，，， 所以在上恒成立， 则在上单调递增. 所以当时，． 则，解得： 故实数m的取值范围是． 5．(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求导后，利用的正负即可得到函数的单调区间； （2）参变分离，构造函数，然后利用导数求其最大值即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为， 所以对一切的，恒成立， 即恒成立， 可得，即， 令，其中， 则， 则当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，则，解得， 所以的取值范围为. 6． 【分析】由必要性说明，再验证充分性成立即可求解. 【详解】设， 只需在时恒成立即可， 又，且， 所以要使当时，， 必须满足，即. 下面证明时满足题意： ①当时，由，， 令， 求导得，令， 求导得，所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，，即； ②当时，， 令，，则， 所以在上单调递增， 又，当时，， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时，， 所以当时，不恒成立. 综上所述，实数的取值范围是. 7． 【分析】设，利用导数证明．设，则，所以命题等价于对任意，都有，然后从两方面求解并验证满足条件. 【详解】设，，则， 从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增， 这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设， 则. 当时，的取值范围是， 所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有， 则对，有， 取，得，故. 再取，得， 所以. 另一方面，若，则对任意都有， 满足条件. 综合以上两个方面，知a的值是2. 8． 【分析】将不等式恒成立问题转化为对任意的恒成立，首先得到不等式恒成立的必要条件，然后再证明充分性，通过构造新函数，根据新函数的导数判断其单调性，分情况讨论即可得解. 【详解】， 则时，恒成立， 等价于时，恒成立； 令，则， 注意到，则，对恒成立的一个必要条件为， 下面证明也是所涉恒成立的充分条件， 令，则， 即在上单调递增， 当时，注意到，， 结合在上单调递增，则使， 则， 则在上单调递减，则当时，，这与题意不符； 当时，，则，则在上单调递增， 又，则时，； 综上可知，当，恒成立时，； 9． 【分析】由必要性得，再验证充分性即可求解. 【详解】构建，则， 由题意可知：对任意恒成立，且， 则，解得， 若，则， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即对任意恒成立， 且对任意恒成立， 可知对任意恒成立，所以符合题意； 综上所述：. 10． 【分析】分离参数，由必要性有，再验证充分性成立即可. 【详解】因为时，的图象恒在的图象上方， 即恒成立，等价于恒成立， 当时，有， 下证：即证，恒成立， 令， 当时，， 当时，， 设，则， 此时在有两个不同的解， 且当或时，， 当时，， 故在上为减函数，在，上为增函数， 而， 故当时，，当时，， 当时，， 故在上为增函数，在为减函数，在为增函数， 而，故时，恒成立， 综上. 11． 【分析】由必要性得，再验证充分性成立即可求解. 【详解】由，， 则，得. 下面验证充分性： ①当时，，，， 单调递增，， 单调递增，，成立； ②当时，当，， 单调递减，， 单调递减，，与条件矛盾，不成立； 综上所述：. 12． 【分析】由必要性得，然后说明不符合要求，符合要求即可得解. 【详解】当时，恒成立， 当时，， 即， 整理得，由于，故， 当时，对求导得， 令，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故， 若取，则，不合要求， 当时，， ， 当时，恒成立， 故. 13．存在， 【分析】由必要性得，再验证充分性成立即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，. 若关于的不等式在上恒成立，且， 则，解得， 若，当时，， 可知在上为减函数，则在上恒成立， 综上所述：的取值范围是. 14．(1)答案见解析. (2) 【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可; （2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可. 【详解】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当. 15．(1) 的极大值为，无极小值； (2) . 【详解】分析：（1）先根据导数几何意义得解得b,再根据得a，根据导函数零点确定单调区间，根据单调区间确定极值，（2）先化简不等式为，再分别求左右两个函数最值得左边最小值与右边最大值同时取到，则不等式转化为，解得实数m的取值范围. 详解： （1）因为，所以 因为点处的切线是，所以，且 所以，即 所以，所以在上递增，在上递减， 所以的极大值为，无极小值 （2）当恒成立时,由（1）， 即恒成立， 设，则，， 又因为，所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，； 在上单调递增，在上单调递减，. 所以均在处取得最值，所以要使恒成立， 只需，即 解得，又，所以实数的取值范围是. 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 16．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 17．（1）在单调递减，在单调递增；（2）. 【详解】（Ⅰ）． 若，则当时，，；当时，，． 若，则当时，，；当时，，． 所以，在单调递减，在单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是． 考点：导数的综合应用． 18． 【分析】即对都成立，由恒成立必要条件可得，通过导数证明满足题意即可完成证明. 【详解】若对，有，转化为， 即对都成立； 设，， 因为，所以要使， 必须满足，即，所以； 下面证明时满足题意： 因为，，所以， 只需要证明即可， 设， 所以，且，， 先研究当时，设，， 因为函数、在上均为单调递减， 则在内单调递减， 又因为，， 所以，使得， 且当时，；当时，， 此时在内单调递增，在内单调递减， 又，，故对任意的，， 则在内单调递增，所以， 综上，当时，，即得，所以得证， 故所求为. 19． 【分析】根据题意，令，得令，， . 对的取值进行分类讨论，即可得出的取值范围. 【详解】令，， 则. 若对任意，恒成立，则. 令，， . ①当时，. 设，则，令，解得， 则当时，恒成立，单调递减， 当时，恒成立，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 所以，当时，恒成立，即. 在上恒成立，且不恒为0. 在上单调递增. ， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. ，符合题意. ②当时，.当时，，，所以； 当时，，，所以； 在上单调递增. ， .∴存在，使得. 当时，，则在上单调递减； ，则在上单调递减； ，则在上单调递减； 故当时，，不合题意. ③当时，. 若，由②知在上单调递增. 则存在，使得，且当时，，在上单调递增； 若，由②知在上单调递增. 当时，，单调递增. 当时，函数在上单调递增. 当时，，在上单调递减， ，在上单调递增. 故时，，不合题意. 综上所述，存在，使得任意，都有恒成立. 实数的取值范围为. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $