恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题、利用导数证明不等式、双变量问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦导数应用五大核心模块，以典例变式构建从基础到综合的解题逻辑链，培养逻辑推理与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |恒成立求参数|3例+3变式|含单调性讨论、最值分析|基于导数研究函数性质，通过分离参数或构造函数转化为最值问题| |能成立求参数|3例+3变式|存在性条件下参数范围|依托函数极值与值域，建立参数与函数值的存在性关系| |零点问题|3例+3变式|零点个数判断、范围求解|结合导数分析函数单调性与极值，构建函数图像与零点关系模型| |证明不等式|3例+3变式|直接证明、不等关系比较|通过构造辅助函数，利用导数判断单调性或求最值实现证明| |双变量问题|3例+3变式|极值点偏移、零点关系证明|通过变量代换或构造差函数，将双变量问题转化为单变量函数分析|

恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题、利用导数证明不等式、双变量问题专项训练 恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题、利用导数证明不等式、双变量问题专项训练 考点目录 利用导数研究恒成立求参数问题 利用导数研究能成立求参数问题 利用导数研究零点问题 利用导数证明不等式 利用导数研究双变量问题 考点一 利用导数研究恒成立求参数问题 例1．（25-26高三上·北京西城·月考）已知函数. (1)当时，求的极值点； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围. 例2．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 例3．（25-26高三上·天津东丽·月考）已知函数， (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：恒成立； (3)当时，恒成立，求实数a的取值范围. 变式1．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 变式2．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）． (1)证明：当时，； (2)证明：在区间内存在唯一的极值点，且满足； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值． 变式3．（2026·广东东莞·三模）已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 考点二 利用导数研究能成立求参数问题 例1．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 例2．（2026·山东滨州·二模）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 例3．（2026·辽宁大连·三模）函数，，为自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在实数x，满足，求实数a的取值范围； 变式1．（2026·安徽安庆·二模）设. (1)解不等式; (2)设，若存在，使得，求实数的取值范围. 变式2．（2026·山西临汾·二模）已知函数的一个极值点是． (1)讨论的单调性； (2)设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 变式3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)若函数在上单调递增，且，求角的值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 考点三 利用导数研究零点问题 例1．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：对恒成立； (3)若在区间上有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，． (1)讨论函数的零点个数； (2)证明：当，时，． 参考数据： 例3．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数. (1)若，求函数在区间的最大值； (2)设函数，若对任意，恒成立，求的取值范围； (3)设函数，求在区间上的零点个数，并说明理由. 变式1．（2026·上海·模拟预测）已知函数（）. (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 变式2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数， ，其中且． (1)当时，讨论函数的单调性和极值； (2)证明：函数存在零点的充要条件是函数存在零点； (3)当时，讨论函数的零点个数． 变式3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，若函数在上存在两个零点，求实数的取值范围. 考点四 利用导数证明不等式 例1．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）（1）求证：当时，； （2）利用（1）的结论，比较，，的大小. 例2．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时， （i）若，求证：； （ii）记，求证：. 例3．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知函数 (1)若有两个极值点，求实数a的取值范围； (2)已知，当时，恒成立，求整数a的最小值； (3)证明：． 变式1．（2026·天津·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 变式2．（2026·广东佛山·模拟预测）已知． (1)若曲线在点处的切线方程为，求，的值； (2)若恒成立，且在处取等号，试证明； (3)证明：． 变式3．（2026·四川眉山·模拟预测）已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 考点五 利用导数研究双变量问题 例1．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）已知函数有四个不同零点且． (1)求的取值范围； (2)证明：； (3)证明：． 例2．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数的最大值为1． (1)求； (2)若，且，证明：． 例3．（2026·山东济宁·三模）设函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若函数存在零点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）设为的极值点，证明：． 变式1．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数，． (1)当时，求证：； (2)若在上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数有两个极值点，证明：． 变式2．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数. (1)若在处的切线的斜率为1，求的值； (2)若，，求的取值范围； (3)若有3个零点，，，且，证明：. 变式3．（2026·湖南岳阳·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个不同的极值点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题、利用导数证明不等式、双变量问题专项训练 恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题、利用导数证明不等式、双变量问题专项训练 考点目录 利用导数研究恒成立求参数问题 利用导数研究能成立求参数问题 利用导数研究零点问题 利用导数证明不等式 利用导数研究双变量问题 考点一 利用导数研究恒成立求参数问题 例1．（25-26高三上·北京西城·月考）已知函数. (1)当时，求的极值点； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)极小值点为，极大值点为0 (2) 【分析】（1）对求导，得到，令，得到或，进而得到函数的单调性，再求解极值点即可； （2）根据条件，将问题转化成，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）由题意得， 当时，令，得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则函数的极小值点为，极大值点为0. （2）由，得到， 因为，所以，则， 令，则， 当时，，即在区间上单调递增， 当时，，即在区间上单调递减，所以， 得到，所以，故的取值范围为． 例2．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】（1）求导，分，两种情况讨论求解即可； （2）令，求导，分，两种情况，根据函数单调性与求解即可. 【详解】（1）．   当时，恒成立，故函数在单调递增；   当时，令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增； （2）令，，， ，，． 令，， 而在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，时，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故由可知，时，与在恒成立矛盾；   综上，实数的取值范围是． 例3．（25-26高三上·天津东丽·月考）已知函数， (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：恒成立； (3)当时，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据导数与单调性的关系分类讨论即可. （2）代入化简得，令，根据导数与单调性、最值的关系证明即可. （3）当时，恒成立等价于恒成立，即恒成立，构造函数，结合导数与单调性及零点判断求解即可. 【详解】（1）的定义域为. . 其中，则，故只需讨论的符号. 当时，，则，在上单调递增. 当时，令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，. . 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在处取得最小值，， 因此，即，所以. （3）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值，为. 若使恒成立，只需恒成立，即恒成立即可. 又，即恒成立. 令，则， 故在上单调递减，且， 所以. 故实数的取值范围为. 变式1．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 变式2．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）． (1)证明：当时，； (2)证明：在区间内存在唯一的极值点，且满足； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）构造函数，通过连续求导分析得到其在上单调递增，从而，则原不等式得证； （2）对进行求导得到其单调递增，且在区间两端异号，可知在内存在唯一零点，从而在内存在唯一极值点，再利用证明不等关系； （3）构造函数，则恒成立，利用导数方法求的最小值，再求的最大值即可. 【详解】（1）设， 要证明当时，，只需证明当时，， 因为，设， 则，现证明两个重要的表达式， 设，当时有， ，所以，又， 可得，所以， 即单调递增，从而有，即， 故在上单调递增，，原不等式成立. （2），设， 则， 当时，，所以，在上单调递增， 当时，，又 ，则在内存在唯一的零点使得， 于是可知在内存在唯一的极值点，且有， 因为在内，所以即. （3）设， 则不等式恒成立， ，设，则， 由（1）中分析可知当时， 当时，，所以，所以单调递增， 当时，， 当时，， 故在内存在唯一的零点使得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，取最小值，最小值为， 且，即 故， 即， 由已知， 所以， 设， 得 ， 由（1） 对所有恒成立， 当时，，单调递增； 当时， ，单调递减； 故在处取最大值， 即 的最大值为. 变式3．（2026·广东东莞·三模）已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解， （2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】（1），曲线在点处的切线方程为， 则，则 （2）当时，依题意有对于任意恒成立，则， 设， 设， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则. 考点二 利用导数研究能成立求参数问题 例1．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值为2，极大值为． (2) 【分析】（1）求导得到导数零点，判断单调性，确定极值点并计算极值; （2）求导得出是函数在上的最大值点，将问题转化为最大值不小于并解不等式即可. 【详解】（1）依题意，． 令，解得或． 故当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以的极小值为，极大值为． （2）依题意，．因为， 令，解得，当时，，单调递增， 当时，单调递减． 故当时，取得极大值，也是最大值， 则，即，整理得，解得， 故实数的取值范围为． 例2．（2026·山东滨州·二模）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数求得函数，结合题意可得成立，令，求导，根据导数计算即可求解. 【详解】（1）若，则，， 则，， 所以过点的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数有最小值，即， 若存在，使，则成立， 即，即， 令， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有最小值，即， 所以在区间恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 因为， 所以当 时， 成立，故的取值范围为. 例3．（2026·辽宁大连·三模）函数，，为自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在实数x，满足，求实数a的取值范围； 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2) 【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性，进而求解单调区间； （2）利用极限思想和构造函数，结合导数分类讨论，进而确定的极小值点，再建立 关于极小值点的二次不等式求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 令，则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，因此：时，， 时，. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由可知， ①当时 若，由于， 当时， ，而. 故存在使得. 若，，取 ，，满足题意. ②：当时，令，则，时，， 故在递增，且最小值为， 由，方程在上有唯一实根， 使得，则为的最小值点. 根据题意需满足： ， 代入： ， 则 ，整理得 ， 解得：或. 由，得：当 时，. 当 时，. 综上所述，的取值范围是. 变式1．（2026·安徽安庆·二模）设. (1)解不等式; (2)设，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，则， 故， 即，解得， 故原不等式的解集为. （2）因， 由，可得为奇函数. 又，因，，则 故在上单调递增. 故存在使得等价于存在使得， 等价于存在使得， 即存在使得， 因，， 则当时，取得最小值，故得. 故实数的取值范围是. 变式2．（2026·山西临汾·二模）已知函数的一个极值点是． (1)讨论的单调性； (2)设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当，函数在上单调递增，在和上单调递减；当，函数在上单调递增，在和上单调递减． (2) 【分析】（1）求导，结合已知极值点得出关系，再利用导数分类讨论，分析函数单调性； （2）结合（1）的结论利用单调性分析函数在区间内的最值，分析的单调性和最值，结合已知不等式构造不等式组求解． 【详解】（1）（）， ， 函数的一个极值点是， ，即，则有， 则（）， 当时，，函数在上单调递减， 此时函数没有极值点，不符合题意，所以， （，）， ①当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； 综上：当，函数在上单调递增， 在和上单调递减； 当，函数在上单调递增， 在和上单调递减． （2）由（1）知，，且， 在单调递增，在单调递减， 又，， 在上的最大值为， 最小值为， 又时函数在单调递增， 在上的最大值为，最小值为， 存在，使得成立， 即存在，使得成立， 则， 又，解得， 实数的取值范围为． 变式3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)若函数在上单调递增，且，求角的值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)0 (2)． 【分析】（1）根据函数在上单调递增得到在上恒成立，进而得到，结合已知条件得到，求解即可. （2）分离参数将原问题转化为，使得成立；构造函数，，进一步转化为，；根据导数与最值的关系求解即可. 【详解】（1）对求导得， 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 又当时，，所以在上恒成立，即． 因为，，所以． 又，所以． （2）当时，，则， 若，使得，即，使得成立， 也即，使得成立. 令，，则需，即可. ， 令，，则. 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以， 因此. 故实数的取值范围是． 考点三 利用导数研究零点问题 例1．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：对恒成立； (3)若在区间上有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当时，利用导数分析可知函数在上为增函数，即可得出，即可证得结论成立； （3）分、两种情况讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数， 对任意的，，所以函数在上为增函数， 所以， 故时，对恒成立. （3）由（2）可知，当时，在上为增函数， 对任意的，，不符合题意； 当时，，， 令，其中，则， 令可得， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 令，其中，则， 令，则，即函数在上为增函数， 所以，即函数， 即对任意的，， 故存在，使得， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，，故存在，使得， 此时函数在上有且只有一个零点. 综上所述，实数的取值范围是. 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，． (1)讨论函数的零点个数； (2)证明：当，时，． 参考数据： 【答案】(1)①当时，方程无实根，无零点；　　 ②当时，方程有唯一实根，有1个零点；　　 ③当时，方程有两个不同实根，有2个零点；　　 ④当时，方程有唯一实根，有1个零点． (2)证明见解析 【分析】（1）讨论的单调性，再结合最低点与0的关系分析零点个数即可. （2）先证明，再利用 得到，进而证明. 【详解】（1）令，则函数的零点等价于方程的实数根．    令，得． 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增．         又时，且小于0；时，；时，．　　 ①当时，方程无实根，无零点；　　 ②当时，方程有唯一实根，有1个零点；　　 ③当时，方程有两个不同实根，有2个零点；　　 ④当时，方程有唯一实根，有1个零点． （2）当，时，即证： 由（1） ，得， 所以只需证：　　 设 ①当时， 　　 由（1）知， 此时 　　 ②当时， 令，则，在上单调递增， 故 　　 ，所以在上单调递增．　　 所以 . 综上，当，时，． 例3．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数. (1)若，求函数在区间的最大值； (2)设函数，若对任意，恒成立，求的取值范围； (3)设函数，求在区间上的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)零点个数为2，理由见解析 【分析】（1）代入，求导判断函数在区间上的单调性，进而求得最大值. （2）化简，将恒成立问题转化为参数与函数最值的大小关系，构造函数求最小值即可得到的取值范围. （3）化简消去参数，将零点问题转化为两个函数图象的交点问题，结合函数值域、单调性分析交点个数即可. 【详解】（1）当时， ，定义域为. ∵ 当时，，，， ∴ ，即在上单调递减， ∴ . （2）由题意得， ∵ 对任意 ，恒成立，即恒成立， ∵ ，∴ 对任意 恒成立. 令，则. 令，得 ，即. ∵ ， ∴ ，对应极值点为. 当时，， ，故，单调递减； 当时， ，，故，单调递增. ∴ 是的第一个极小值点，且. 对于其余极小值点 ，，而，故对应的. 当 时，其余区间，对应的. ∴ 在 上的最小值为，故. （3）零点个数为2，理由如下： 由题意，得，. 令，得. ①当时，，单调递增，， 所以单调递减，所以. ②当时，，，则在区间上必定存在，使得. 因为在上单调递减， 所以当时，，单调递增，； 当时，，单调递减，. 因为，，所以在区间上必定存在，使得， 即当时，，单调递增，； 当时，，单调递减，. ③当时，单调递减，单调递减，则单调递减. 因为，， 所以必定存在零点，使得. ④当时，因为，所以， 所以在上，不存在零点. 综上所述，在上存在两个零点. 变式1．（2026·上海·模拟预测）已知函数（）. (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）代入已知参数后求导并因式分解，通过分析导函数的正负符号变化，直接确定函数的单调区间与极值； （2）对原函数带参求导并提取公因式，以参数的符号及极值点分布情况进行分类讨论，结合极值正负与端点极限，利用零点存在性定理确定符合条件的范围. 【详解】（1）当时，，定义域为. 求导：. 令，解得（舍去，因）. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 极大值为，无极小值. （2），， ①当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 此图像恒在轴下方，没有零点，故不符合题意， ②当时，因为，所以恒成立， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 若即，其最大值小于0，无零点，不符合题意， 若即，其最大值为，此时有且仅有这一个零点，符合题意， 若即，其最大值大于0， 由于时，时， 由零点存在性定理，函数在和上各有一个零点，共两个零点，不合题意. ③当时，令，解得， ，时，因为二次项系数，所以， ③-①当即时，此时，在上单调递增， 且当时，时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点，符合题意， ③-②当即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此是极大值点，，说明在恒负，没有零点， 在上，单调递增，且时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点，共有1个零点，符合题意， ③-③当即时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此是极小值点，是极大值点，， 且时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点， ， 因为，所以，从而，且， 所以极大值，则在上没有零点， 则此时仅有1个零点，符合题意. 即当时符合题意， 综上，的取值范围是. 变式2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数， ，其中且． (1)当时，讨论函数的单调性和极值； (2)证明：函数存在零点的充要条件是函数存在零点； (3)当时，讨论函数的零点个数． 【答案】(1)在 单调递减，在 单调递增；极小值为 1 ，无极大值； (2)证明见解析 (3)零点个数为1 【分析】（1）根据导数研究函数的单调性和极值即可； （2）通过必要性和充分性讨论，结合函数存在零点进行化简证明即可； （3）对进行求导，根据零点存在定理，以及函数取极限的思想即可求出函数的零点个数. 【详解】（1）当 时， ，定义域为， ，令 ，解得 ， 当 时， ，即 ，因此 在 上单调递减， 当 时， ，即 ，因此 在 上单调递增； 所以 在 处取得极小值，极小值为：，无极大值. （2）必要性：若存在零点，则存在 ，使得 ，即 ， 等式两边取以为底的对数，得 ，又，故，整理得： 0 ， 即 ，因此 存在零点 . 充分性：若 存在零点，则存在 ，使得 ，即 ， 等式两边取为底的指数，得 ，令 ，则 ， 即： 因此 ，即 存在零点. 综上，函数 存在零点的充要条件是函数 存在零点，得证. （3） ，其定义域为 ，其中且，， 因为 ，所以 ，则 在 上单调递增， 当 时，， ，所以 ；当 时，0 ，所以 ； 因此，存在 ，使得 ，即 ，整理得 ； 当 时，单调递减；当 时， 单调递增， 所以在 处取得最小值 ，， 因为 ，且当 0 时， ， 所以 ；当 时， ，所以 ； 根据零点存在定理，因为 在 上单调递减，在 上单调递增， 且 在 0 和 时分别趋近于和， 所以有且仅有一个零点. 变式3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，若函数在上存在两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求，再求，，然后根据导数的几何意义求切线方程即可； （2）根据题意可知存在，使，参变分离得，令函数，再利用导数结合交点个数求参数范围即可． 【详解】（1）解：由题意，，则， . ∴曲线在点处的切线方程为， 即； （2）解：由题意，. 在上存在两个零点， ∴存在，使， 即. 令函数，则直线与函数的图象有两个交点. ， 由，得. 当时，；当时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，则. ∵当时，；当时，， ∴当时，直线与函数的图象有两个不同交点， ∴实数的取值范围是． 考点四 利用导数证明不等式 例1．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）（1）求证：当时，； （2）利用（1）的结论，比较，，的大小. 【答案】（1）证明见下详解；（2） 【分析】（1）分别构造两个函数，利用导数研究函数的单调性，即可对两个不等式作出证明； （2）利用（1）的结论，估计三角函数值并比较大小即可. 【详解】（1）解：设，，则， 又，所以单调递增，即， 所以在单调递增，因此，所以； 再设，，则， ，由，则， 所以， 则单调递减，所以，因此在单调递减， 则，所以，即， 因此，当时，； （2）由（1）知当时，， 取，则， ， 又，所以， 因此. 例2．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时， （i）若，求证：； （ii）记，求证：. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据题意，将问题转化为，进而求函数的最小值即可求得答案； （2）（i）构造函数，进而在上单调递增即可证明结论； （ii）令，进而得.再结合（i）的证明过程中得到的不等式得，，进而得到即可证明；再结合（i）证明过程中得到的不等式和结论得，最后结合等比数列求和即可证明结论. 【详解】（1）已知，即， 因为，， 所以，即，， 令， 则 ， 令，，则， 所以在上单调递减，，即， 所以，当时，，，，单调递减； 当时，，，，单调递增； 所以，当时，取得最小值， 所以，即的取值范围为. （2）（i）当时，， 证明：当，，即，， 令，， 令，， 所以， 令，，则恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即，， 所以，，证毕. （ii）由，令，则， 所以 ， 下面先证明， 由（i）知在上恒成立，即在上恒成立， 所以，当时，， 又因为，故当时，，，， 所以，即， 所以， 所以，证毕； 再证明：， 由（i）知和在上恒成立， 所以，当时，，即 ，， 所以 所以 所以 ，证毕. 综上，. 例3．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知函数 (1)若有两个极值点，求实数a的取值范围； (2)已知，当时，恒成立，求整数a的最小值； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出导数，将问题转化为导函数有两个变号零点即可求解； （2）按照和分类讨论，当时，参变分离，构造函数，利用导数研究的最大值即可求解； （3）由（2）可知，恒成立，即恒成立，取， 可得，化简可得，利用累加法即可求解. 【详解】（1）由题意可知：，令， 的解为， 时，，单调递减， 时，，单调递增， ， 有两个极值，且，，，， ，，经检验符合题意； （2）在时恒成立，即恒成立， 当时, ，此时，符合题意， 当时，转化为恒成立， 设，则 则， 设，，， 当时，，为增函数， ，即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，，综上， 又，且，则； （3）由（2）可知，当时，当必有恒成立， 即恒成立，取， 可得， 两边同时乘以n，可得， 则必有， … ， ， 累加可得，① 再取，可得，则必有， ， … ，， 累加可得，② ①②可得，证毕． 变式1．（2026·天津·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析； (3)证明过程见解析 【分析】（1）求导，得到，由导函数几何意义得到切线方程； （2）即证，构造函数，求定义域，得到函数单调性，从而得到不等式； （3）在（2）基础上，得到，求和得到不等式. 【详解】（1）由题可知， ，则， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）要证明，即证， 即证， 令，定义域为，显然， 则，其中， 当时，令，则， 其中，，故， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增， 所以恒成立，从而，当时，等号成立； （3）由（2）知，当时，， 即，当时，， 故， 故 变式2．（2026·广东佛山·模拟预测）已知． (1)若曲线在点处的切线方程为，求，的值； (2)若恒成立，且在处取等号，试证明； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）曲线在点处的切线方程为可知，切线斜率为0，切点为,再通过求导，计算出，的值； （2）先对使恒成立中的值进行讨论得到，再通过分离变量转化为证明，再构造函数，由题意可知，通过函数单调性证明为的最大值点，再通过函数单调性证明. （3）先证明当时， 进而得到 ， 再由得，即，最后利用不等式累加证得不等式. 【详解】（1）若曲线在点处的切线方程为，则 由可得 . （2）恒成立即恒成立，那么， 由， 可得，由可得 即证,设，则 由题意可知, 设，由于，故的符号与一致， 则， 所以，单调递减， 又因为, 所以 存在，使, 在上，；在上， 即,在上成立，在上成立， 处取最大值， 即，所以，. （3）设， 那么 ，故函数在上单调递增， 所以，即，， 由 令得 ，即， 那么 累加，得 ， 即 , 故，证毕. 变式3．（2026·四川眉山·模拟预测）已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式，进而可求解； （2）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式得到，进而构造函数，求导，确定单调性即可求解； （3）由（2）将问题转换成恒成立，再构造函数，求导确定最值即可. 【详解】（1）当时，，设为与的一个公共点，， 所以， 则，即切点， 所以与在公共点处的切线方程为. （2）设为与的一个公共点， ， 由②得 ，所以 ，即， 将代入①，， 所以，所以. 令，所以， 当时，在区间单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 所以，所以 且， 所以当且仅当时取“”，所以 . （3）由（2）知，. 要证时，，即证， 即证对恒成立. 令，得， 当时，在上单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 故函数在时取最小值， ， 所以， 所以对恒成立. 故当时，成立. 考点五 利用导数研究双变量问题 例1．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）已知函数有四个不同零点且． (1)求的取值范围； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）化简解析式得出是偶函数，利用偶函数性质将问题转化为在上有2个零点，结合单调性得出最小值，进而解出的取值范围； （2）将问题转化为，这是典型的极值点偏移问题，利用构造辅助函数的方法证明双零点的和大于极值点两倍即可； （3）利用切线放缩对两个零点分别作上界和下届估计，通过代数变形直接得到待证明的不等式. 【详解】（1） ，定义域为，且， 所以函数是偶函数，只需保证时，有2个不同零点即可满足函数总共4个不同零点. 当时， ，， 时，，所以函数在上单调递减， 时，，所以函数在上单调递增， 当且时，，时，， 所以，要使时，有2个不同零点，所以， 所以, 所以的取值范围为. （2）由（1）可知是偶函数，由偶函数性质，四个零点满足，且 ， 要证 ，等价于证明：， 只需证明 ， 其中 是时 的两个根， 构造辅助函数： ， 当时，，所以在上单调递减， 又，因此对任意有，即 又，故， 且，，因为 在上单调递增， 因此，即，代入得 所以. （3）令，则，其中 ，， 在处对作切线放缩：， 切线方程为：， 令， 所以， 所以 ， 令， ，所以 在 上严格单调递增，因此 是 的唯一解， 当 时， ；当 时，， 于是 在 上递减，在 上递增，故 ， 等号仅当 时成立， 所以对任意 ，有，等号仅在处成立， 代入解得， 在处对作切线放缩：， 切线方程为：， 同理可证对任意 ，有 等号仅在处成立，代入解得 所以 所以 等号仅当时成立，此时，函数零点唯一对应，等号成立条件为单点情况，严格小于关系成立，得证. 例2．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数的最大值为1． (1)求； (2)若，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分析函数单调性，找到最大值点代入计算即可； （2）先建立的等式，令，将用和表示，代入等式转化为关于的表达式，得到关于的函数，对其求导分析单调性，证明该函数在时的取值大于. 【详解】（1）由题意得的定义域为，，   当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以是的极大值点，也是最大值点，   故 ，即 ，解得． （2）由（1）得，则， 即． 令，则，且，所以，所以 ，故，   所以． 令 ，   则．   令 ，， 则 ，   所以在区间上单调递增，所以当时， ，即， 所以在区间上单调递增， 所以，故． 例3．（2026·山东济宁·三模）设函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若函数存在零点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）设为的极值点，证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）（i）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在定义域上的单调性，可得，即可解得实数的取值范围； （ii）要证，只需证，即证，根据可得，即证，构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，证明出即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 故所求切线的方程为，即. （2）（i）因为，该函数的定义域为，且， ， 当时，则对任意的，，，则， 此时函数在上单调递增，则函数在上有且只有一个零点，不符合题意； 当时，令，则， 所以函数在上单调递增， 当时，；当时，. 所以存在唯一的，使得， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，由题意可知，函数在上单调递增， 故当时，，此时函数不存在正零点； 当时，由题意可知函数在上单调递减，在上单调递增， 则，当时，. 故存在，使得，符合题意， 此时函数在上单调递减，只需，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （ii）由（i）可知，且函数在上为增函数， 要证，只需证，即证， 又因为，则， 即证，即证， 构造函数，其中， 则 ， 令，其中， 则， 因为，则，， 所以，故函数在上为增函数， 当时，，所以，故函数在上为增函数， 因为，则，故. 变式1．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数，． (1)当时，求证：； (2)若在上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数有两个极值点，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)． (3)证明见解析 【分析】（1）直接将所要证明的不等式转化为，构造函数，再用导数求函数的最小值可得； （2）将函数有两个零点转化为方程有两个根，再构造函数，用导数判断函数单调性及极值，再数形结合判断与的图象有两个交点可得； （3）根据函数有两个极值点可得，再令，进而可得，从而将所证明不等式转化为，再令，用导数判断函数在单调性，进而可得所证不等式. 【详解】（1）由，得．要证，只需证． 令，则． 当时，，则单调递减；当时，，则单调递增. 所以函数在取得极小值也是最小值，因此， 所以，即，因此． （2）若，在上单调递增，因为在上有两个零点，所以. 由得，令，则， 所以，，时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 有极大值，也就是最大值为， 又，无限趋近时，无限趋近于0， 所以在上有两个零点时，，解得， 故的取值范围是． （3）因为有两个极值点， 所以，有两个实数根， 所以，，可得， 设，将代入，得， 所以， 所以要证，只需证，，即． 设，则． 令，则， 所以在上为增函数． 又，所以时，，在上为增函数． 所以，即成立， 所以成立． 变式2．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数. (1)若在处的切线的斜率为1，求的值； (2)若，，求的取值范围； (3)若有3个零点，，，且，证明：. 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义可得，然后求即可； （2）求导，令，根据导数可知在上单调递减，再分、两种情况讨论求解． （3）易知时，最多有个零点，再证时，有三个零点，再得到，结合基本不等式即可证明． 【详解】（1）定义域为， ， 因为在处的切线的斜率为， 所以， 解得； （2）由(1)知， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，， 则当时，，即， 所以在上单调递增，那么，满足题意， 当时，，， 所以存在，使得， 当时，，即， 所以在上单调递减，那么，不满足题意， 所以，的取值范围是； （3）由(2)知，当时，在上单调递增，最多有个零点，不符合题意， 当时，，，， 令，， ，即， 所以存在，，使得，即， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递减； 当时，单调递增。 又，所以有个零点，且， 又，即， ， ，即， ． 变式3．（2026·湖南岳阳·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个不同的极值点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明． 【答案】(1)单调递增区间为． (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求导可得，根据，确定的符号，进而判断原函数的单调性； （2）（ⅰ）由是方程的两根，构造函数，利用直线与的图像有两个交点，利用导数求出范围； （ⅱ）设，由（ⅰ）得，由已知得，令，得，即证．通过构造函数，利用函数的导数证明对恒成立即可. 【详解】（1）当时，，定义域为．求导得． 令则 令得 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 即恒成立． 因此，在上单调递增，单调递增区间为． （2）（ⅰ），若有两个不同的极值点，则方程有两个不同的实数根． 显然不是根，故可化为． 设，则． 当时，单调递减，且； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 又时时，故在上从减至e，在上从e增至． 因此，当时，直线与的图像有两个交点，分别位于和，对应两个不同的极值点（且）． 当时有一个交点，当时无交点， 当时有一个交点． 故实数的取值范围是． （ⅱ）不妨设，由（ⅰ）得，，，即，两边取对数得． 令，则，代入得，解得． 于是． 要证，即证，等价于． 设，则． 令，则， 故在上单调递增，且，所以，即． 因此在上单调递增，又，故对恒成立． 从而原不等式成立，即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $