精品解析：湖北咸宁市崇阳县大集中学一分校2026春期中考试数学试题

大集中学一分校2026春期中考试 数 学 试 题 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，利用被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ， ∴． 2. 探究勾股定理的思路是：先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质．从等腰直角三角形到一般直角三角形的研究过程中主要体现的数学思想是（ ） A. 从特殊到一般思想 B. 从一般到特殊思想 C. 方程思想 D. 归纳思想 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了探究勾股定理的思路，掌握从特殊到一般的数学思想是解题的关键． 【详解】解：∵先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质． ∴这种研究思路主要体现的数学思想是从特殊到一般． 故选：A． 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除规则，逐一判断各选项计算是否正确即可． 【详解】解：A、3是有理数，是无理数，两者不是同类二次根式，不能合并，故本选项计算错误； B、，故本选项计算正确； C、，故本选项计算正确； D、，故本选项计算正确． 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 菱形的两条对角线互相垂直平分 D. 顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定和性质，三角形中位线定理，根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质及判定条件逐一判断，即可作答． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项是正确的，不符合题意； B、对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），故该选项是错误的，符合题意； C、菱形的两条对角线互相垂直平分，故该选项是正确的，不符合题意； D、顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，故该选项是正确的，不符合题意； 故选：B 5. 下列条件中，能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 根据直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用进行判定即可． 【详解】解：A、设， ∵， ∴，能判定是直角三角形，符合题意； B、∵， ∴，不能判定是直角三角形，不符合题意； C、，不能判定是直角三角形，不符合题意； D、∵，即， ∴不能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：A ． 6. 如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口O出发，海天号轮船以20海里/时的速度向南偏东方向航行，顺艺号轮船向南偏西方向航行，已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航行（ ） A. 15海里 B. 16海里 C. 17海里 D. 18海里 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴顺艺号轮船平每小时航行：（海里） 故选：A． 7. 如图，在中，，，为的中位线，过点作，交于点，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，平行线的判定与性质，由为的中位线得，，，，证明四边形是平行四边形，故有，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵为的中位线， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形的周长， ∴， 故选：． 8. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正五边形的一个内角的度数，再根据等边对等角，进而求出的度数即可． 【详解】解：根据正五边形的性质得，， ∵， ∴． 9. 已知化简的结果是一个整数，则正整数a的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的化简等知识，灵活应用二次根式的乘法法则化简是解题关键．先化简，再根据结果是正整数，即可求出a的最小值． 【详解】解：，且的结果是一个整数， 是一个整数， 是平方数， 正整数a的最小值是6， 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的定义，基本作图，熟练掌握以上知识点是关键．连接，可证，得到，再根据勾股定理得到，由线段和差得到，在中，利用勾股定理建立方程求出即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 由作图步骤可知，是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，即． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 如图，小康将两根木条，的中点O重叠，并用钉子固定，使，可以绕着点O转动，无论木条怎么转动，以点A，B，C，D为顶点的四边形是______． 【答案】平行四边形 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得解． 【详解】解：根据题意得出，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上，，则点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、平面直角坐标系的坐标特征及含角的直角三角形性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 先由菱形的性质得到，与互相平分，求出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，与互相平分． ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∵点C在x轴正半轴上， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 13. 对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二次根式的加减运算，先根据新定义列式，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 14. 已知一个直角三角形的周长为，斜边上的中线长为2，那么这个直角三角形的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用直角三角形的性质得出斜边长，进而得出两直角边的和，可求出两直角边的积，则可求出直角三角形的面积． 【详解】解：直角三角形斜边上的中线长为2， 直角三角形斜边长为4， 直角三角形的周长是， 两直角边长和为， 设两直角边为，， ， ， ． ∴直角三角形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15. 如图，在正方形中，，对角线，相交于点，点，分别是，上的两个动点，，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得到是等腰直角三角形，由勾股定理得，当时，取最小值，即取得最小值，再由等腰三角形的性质以及直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：在正方形中，对角线、交于点O， ，，， ∵， ∴ 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 当时，取最小值，即取得最小值， ，， ， ∴ 线段的最小值为． 三、 解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减法即可求解； （2）根据乘法分配律，再根据二次根式的乘法，最后根据二次根式的加减法即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减乘除的混合运算，熟练掌握二次根式的化简，加减，乘除法运算法则是解题的关键． 17. 已知，，求： （1）的值． （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的变形计算，平方差公式，二次根式的混合运算． （1）将字母的值代入，即可求解． （2）先计算，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ 18. 由若干个大小相同且边长为1的小正方形组成的方格中： （1）如图①，作直线； （2）在图②中画出一个面积为10的正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定： （1）根据网格的特点进行作图即可； （2）根据弦图的特点，用四个全等的直角三角形（两直角边的产分别为1和3）进行构造弦图即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 19. 如图，在四边形中，已知．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）运用直接证明即可； （2）由得，则，再证四边形是平行四边形，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：在与中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 20. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． 【小问2详解】 ∵，．， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 21. 如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，平分，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长是5 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，由，证得四边形是平行四边形，再根据，即可证得平行四边形是矩形； （2）根据角的关系得到，从而推出，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平行四边形是矩形，， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴的长是5． 22. 如图，在中，，点是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结，． （1）求的长； （2）若． ①证明四边形是菱形； ②若，求四边形的周长． 【答案】（1） （2）①见解析；②10 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明得到即可求解； （2）①先证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形的判定可证的结论； ②根据平行四边形的性质和菱形的性质证明是等边三角形，进而得到可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是平行四边形，, ∴,，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 23. 如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． （1）_______．______（用含t的代数式表示）； （2）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； （3）在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，当时，四边形是矩形，理由见解析 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）可求，，从而得到答案； （2）四边形是矩形，从而可得，可求解； （3）可求，，从而可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ∵， ∴ 故答案为：， 【小问2详解】 解：存在， 在四边形中：，， 当时，四边形是矩形， 解得：， 当时，四边形是矩形； 【小问3详解】 解：不存在， 如图，过点D作，垂足为E， 则四边形为矩形， ，， 由题意得： ，， ，，， ， 当时，，， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 四边形不可能为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定方法及性质、勾股定理等知识，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 24. 问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． （1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； （2）探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； （3）拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1），且，证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是构造三角形从而使用中位线定理、作构造直角三角形． （1）证，得出，，再证即可； （2）连并延长交于G，求出长，再根据中位线的性质求出即可； （3）过点B作于点H，根据勾股定理求出，，即可． 【小问1详解】 解：，且， 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段和的关系为：，且； 【小问2详解】 解：连接并延长交于G，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵正方形的边长为4，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，过点B作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大集中学一分校2026春期中考试 数 学 试 题 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 探究勾股定理的思路是：先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质．从等腰直角三角形到一般直角三角形的研究过程中主要体现的数学思想是（ ） A. 从特殊到一般思想 B. 从一般到特殊思想 C. 方程思想 D. 归纳思想 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 菱形的两条对角线互相垂直平分 D. 顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 5. 下列条件中，能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 6. 如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口O出发，海天号轮船以20海里/时的速度向南偏东方向航行，顺艺号轮船向南偏西方向航行，已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航行（ ） A. 15海里 B. 16海里 C. 17海里 D. 18海里 7. 如图，在中，，，为的中位线，过点作，交于点，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知化简的结果是一个整数，则正整数a的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 10. 如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 如图，小康将两根木条，的中点O重叠，并用钉子固定，使，可以绕着点O转动，无论木条怎么转动，以点A，B，C，D为顶点的四边形是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上，，则点的坐标是_________． 13. 对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算______． 14. 已知一个直角三角形的周长为，斜边上的中线长为2，那么这个直角三角形的面积是__________． 15. 如图，在正方形中，，对角线，相交于点，点，分别是，上的两个动点，，则线段的最小值为________． 三、 解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，，求： （1）的值． （2）的值． 18. 由若干个大小相同且边长为1的小正方形组成的方格中： （1）如图①，作直线； （2）在图②中画出一个面积为10的正方形． 19. 如图，在四边形中，已知．求证： （1）； （2）． 20. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 21. 如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，平分，求的长． 22. 如图，在中，，点是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结，． （1）求的长； （2）若． ①证明四边形是菱形； ②若，求四边形的周长． 23. 如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． （1）_______．______（用含t的代数式表示）； （2）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； （3）在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 24. 问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． （1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； （2）探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； （3）拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $