精品解析：2026年山东东阿县初中学业水平考试数学模拟试题(一)

山东省二〇二六年初中学业水平考试 数学模拟试题（一） 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； C中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意． 3. 2026年1月16日，由烟台海阳东方航天港总装出厂的谷神星一号海射型遥七运载火箭在日照近海海域成功发射，将天启星座06组卫星送入预定轨道，彰显了我国航天科技的蓬勃发展．火箭主体结构上半部分可简化为如图所示的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：俯视图是从物体正上方观察物体得到的视图： 该几何体简化为同底同轴的圆柱+圆锥，下方是圆柱，上方是圆锥，二者底面直径相等、中心轴重合：从正上方看，圆柱和圆锥的外轮廓是等大的圆形；圆锥的顶点在圆心位置，因此圆心处会呈现点． 所以俯视图为带中心投影点的圆，A选项符合要求． 4. 据预测，2025年山东省生产总值为103197亿元，按不变价格计算，比上年增长5.5%，成为全国第三个过10万亿元省份．“103197亿”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，其中，n为整数，解题关键是正确确定a和n的值．首先将“103197亿”转换为数字形式． 【详解】解：， ． 5. 已知，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确． 6. 低碳生活，绿色同行，为倡导绿色低碳理念、推进旧物回收利用，某社区环保小队积极开展志愿服务活动．环保小队有甲、乙、丙3名宣传员，现从中选派2人，分别负责低碳知识宣讲、旧物回收引导两项不同的工作，且每人被选派的机会均等，则甲、乙两人同时被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出树状图，列出所有等可能的情况数，找出符合题意的情况数，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： ∴一共有6种等可能的情况，其中甲、乙两人同时被选中的情况有2种， ∴甲、乙两人同时被选中的概率为． 7. 《九章算术》是中国古代数学专著，其中有一道关于古代驿站送信的题目，大意是：一份文件需要紧急送往600里远的城市，若用慢马，所需时间比规定时间多2天；若用快马，所需时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马、快马的速度分别是多少？若设慢马的速度为x里/天，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天，根据规定时间相等可得方程． 【详解】解：设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天， 根据题意，得． 8. 古语有“君子无故，玉不去身”，玉在中国的文明史上有着特殊的地位，其具有仁、智、义、礼、乐、忠、信、天、地、德、道等君子的品节．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其雕刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则废料（即图2中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得到为直径，再利用勾股定理求出的长，然后根据圆和扇形面积公式可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图2，连接， 由题意，，， ∴为圆O的直径，则， ∵， ∴， ∴废料（即图2中阴影部分）的面积为． 9. 如图，分别过反比例函数图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，与相交于点，且．若梯形的面积为2，则下列坐标表示的点，在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，由，可得，可得，即反比例函数解析式为，再验证点的坐标即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， A、当时，，则点在反比例函数的图象上，故选项符合题意； B、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； C、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； D、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意． 10. 篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格数据和二次函数的性质逐项判断可得答案． 【详解】解：①根据表格数据，当时，，即发球机出球口离地面竖直高度为，故①正确； ②根据表格数据，当和时，， ∴该抛物线的对称轴为直线， 由题意，该抛物线的开口向下， ∴当时，y取得最大值， 即当篮球飞行水平距离为时，达到最大高度，故②错误； ③根据表格数据，当时，， 故当篮球飞行水平距离为时，篮球离地面竖直高度为，未落地，故③错误； ④设该抛物线的解析式为， 将时，，时，代入， 得，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴当时，，满足， 小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球，故④正确， 综上，正确的是①④，共2个． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出使二次根式有意义的的一个值：_________． 【答案】0（满足即可） 【解析】 【分析】要使二次根式有意义，被开方数应大于等于0，代入条件得到，只要x是满足的任意实数均可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数， 解不等式得， 取（满足的任意实数均可）． 12. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可，最终分解至不能再分解为止． 【详解】解：． 13. 在平面直角坐标系中，把直线上的点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点．若点依然在直线上，则与的关系是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先设出直线上点的坐标，根据坐标平移规律得到平移后点的坐标，再将点坐标代入直线解析式，整理即可得到与的关系． 【详解】解：设点的坐标为，因为点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，根据坐标平移规律，横坐标右移加，纵坐标下移减，可得点的坐标为， 因为点依然在直线上，将代入得：， 去括号得：， 移项整理得：． 14. 在平面直角坐标系中，动点从原点出发，按图中的逆时针方向不断地移动，已知，，，，，，，，…，那么点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先观察点的下标与坐标规律，可发现下标除以4存在周期规律：下标除以4余 0，点在第一象限，纵坐标为1；下标除以4余1，点在轴正半轴；下标除以4余2，点在轴负半轴；下标除以4余3，点在轴负半轴．因此先判断的余数，确定点所在位置，再推导横坐标规律． 【详解】解：先整理已知点下标与位置： ，，，， ，，，，… ，余数为2， 在轴负半轴上，纵坐标为0， 观察轴负半轴上的点：，，，… 可得：下标为时，横坐标为， 对：，解得， 横坐标：， 的坐标为． 15. 如图，在矩形中，，为的中点，连接并延长与的延长线相交于点，与相交于点，且．为上一点，点关于的对称点落在上．下列结论正确的是_____． ①连接，，则四边形为平行四边形；②；③；④． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质得到， ，，根据平行四边形的判定可判断①； ，则，，证明，利用相似三角形的性质可得，，由可得，进而求得，可判断②；推导出，，利用比例性质可判断③；利用折叠性质和勾股定理求得可判断④，进而可得答案． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形， ∴，，，即， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，，又， ∴四边形是平行四边形，故①正确； 设，则，， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∴，故②正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； 由折叠性质得，，， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 解得，故④错误， 综上，结论正确的是①②③． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，再进行实数运算即可； （2）先根据分式的混合运算法则化简原式，再代入x值计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 当时，原式． 17. 已知：如图，在中，，，． （1）用直尺和圆规作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作图步骤）； （2）在（1）的条件下，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线的步骤画图即可； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理求出，即，进而可求解． 【小问1详解】 解：线段的垂直平分线如图所示： 【小问2详解】 解：连接， ∵垂直平分， ∴，设， 在中，，，， 由勾股定理得，解得， 故， ∴． 18. 乒乓球作为中国国球，是承载民族荣耀、推动全民健身、兼具外交与文化符号意义的核心体育运动．在2026年中国大满贯备战期间，教练统计了主力队员甲与乙各12场训练赛的积分，用于评估训练稳定性并制定激励方案，相关信息如下： 【收集数据】 甲队员积分（单位：分）：148，158，160，155，165，155，152，155，160，162，152，168 乙队员积分（单位：分）：145，164，149，153，156，150，158，160，153，161，147，166 【整理数据】 积分分组 甲队员 1 2 3 2 乙队员 3 3 2 3 1 【描述数据】 【分析数据】 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 157.5 155 30.75 乙 155.17 154.5 42.14 （1）补全频数分布直方图； （2）填空：________，________； （3）教练规定单场积分不低于155分为“优秀表现”，请分别计算两位队员的优秀表现率，并比较谁的表现更突出． 【答案】（1）见解析 （2）156.5，153 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先求得a值，再补全统计图即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）求出两位队员的表现率，再比较大小即可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，， 补全频数分布直方图如图所示： 【小问2详解】 解：将甲队员的积分从小到大排列：148，152，152，155，155，155，158，160，160，162， 165，168， 第6个和第7个数据为155和158， ∴中位数； 乙队员的积分中，数据153出现了两次，出现次数最多， ∴众数； 【小问3详解】 解：甲队员的优秀表现率为， 乙队员的优秀表现率为， ∵， ∴甲队员表现更突出． 19. “兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象． （1）①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式． （2）某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？ （3）某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？ 【答案】（1）18； （2）节省30元 （3）该经销商本次采购大蒜 【解析】 【分析】（1）①根据图象可得答案；②根据图象，当时，与之间满足一次函数关系，利用待定系数法求解即可； （2）先分别求出原价花费和实际花费，再比较大小即可得答案； （3）将代入求得x值即可． 【小问1详解】 解：①根据图象，当时，， ∴原价为（元）； ②根据图象，当时，与之间满足一次函数关系， 设时，与之间的函数关系式为， 将，代入，得，解得， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，原价花费：（元）； 实际花费：（元）； ∴（元）， 答：该餐馆比按原价购买节省30元； 【小问3详解】 解：， 当时，由解得． 答：该经销商本次采购大蒜． 20. 【项目背景】 人脸识别系统是基于计算机视觉与深度学习，对人脸特征检测、提取、对比的AI生物识别系统，在运输出行、办理业务时能够兼顾安全、便捷与效率．某测试小组针对一款人脸识别抓拍设备开展性能测试． 【建立模型】 （1）如图1，将电子抓拍摄像机位安置在竖直高度为（线段）的墙壁上，测试人员甲眼睛到地面的距离为（线段），他抬头看摄像头的仰角，求此时测试人员甲到抓拍摄像机的水平距离． 【模拟应用】 （2）摄像机抓拍采集处理人脸信息需时间为，人正常平均步行速度在之间，摄像头拍摄角在之间．如图2，若要完成对身高的测试人员甲完成抓拍，摄像头至少要放在竖直高度为多少米的墙壁上？（备用数据：，；；，，．精确到） 【答案】（1）水平距离约为 （2）摄像头至少放在竖直高度为的墙壁上 【解析】 【分析】（1）过C作于E，利用锐角三角函数求解即可； （2）如图2，过C作于E，设摄像头高度为，利用锐角三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：过C作于E，则， 在中，， 解得， 答：水平距离约为． 【小问2详解】 解：如图2，过C作于E， 设摄像头高度为，， 在中，，， ∴，当x最小，最大时，h的值最小， ∵人脸信息处理需时间为，人正常平均步行速度在之间， ∴， ∵摄像头拍摄角在之间，随的增大而增大， ∴当时，最大， ∴的最小值为， 答：摄像头至少放在竖直高度为的墙壁上． 21. 如图，为的直径，直线与相切于点，交的延长线于点，过点作，垂足为． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若，，求的长度． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解； （2）设半径为R，，，则有，连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而可得，最后根据勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：是等腰三角形，理由如下： 连接， 切于E， ， ∴． ， ． ， ， ， ， ∴为等腰三角形． 【小问2详解】 解：设半径为R，，． 在中，， ∴． 连接，如图所示： 为直径， ． ∴， ∵切于E， ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴, ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负根舍去）． 22. 已知抛物线（，为常数，）的对称轴为直线． （1）若抛物线经过，求函数的解析式及抛物线的顶点坐标． （2）若该抛物线开口向下，当时，抛物线的最高点为，纵坐标为5，最低点为，求点和点的坐标． （3）已知直线上有两点，，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1）函数解析式为，顶点坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后把点代入抛物线解析式进行求解即可； （2）由（1）可知：抛物线的解析式为，由题意易得当时，有最大值，然后得出抛物线的解析式，进而问题可求解； （3）由题意易得，然后可得抛物线不过点，进而可分和进行分类求解即可． 【小问1详解】 解：由抛物线（，为常数，）的对称轴为直线，可得：，即， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线经过， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为， 配方得：， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：抛物线的解析式为，由题意得：当时，有最大值， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵，且， ∴根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大，可知：当时，有最小值，即为， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得： 把代入直线得：；把代入直线得：， ∴， 把代入抛物线得：， ∴抛物线的图象始终过点，所以抛物线不过点， ①当抛物线开口向上时，即， ∴当抛物线过点时，则有，解得：， ∴抛物线不过点， 此时抛物线与直线始终有一个交点； ②当抛物线开口向下时，即， ∴当抛物线过点时，则有，解得：， 要使抛物线与线段恰有一个公共点，则需满足， ∴； 综上所述：的取值范围为或． 23. 在矩形中，，，为矩形对角线，为上一个动点，过作交于点，交于点． （1）如图1，若点与点重合时，求的值； （2）如图2，将四边形沿对折，使点与点重合，点落在处，猜想四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，在的运动过程中，某一刻沿对折刚好与重合，求的值； （4）如图4，连接，，求线段的最小值． 【答案】（1） （2）四边形是菱形．理由见解析 （3）2 （4）20 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和余角性质证明，则，利用正切定义得到，进而代值求解即可； （2）由折叠性质得，，，再利用矩形的性质和平行线的性质证明，然后利用等角对等边得到，则，根据菱形的判定可得结论； （3）先利用勾股定理求得，再利用折叠性质得到，，，在中，利用勾股定理求得，然后利用正切定义求解即可； （4）在上取，连接，则四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，结合（1）中结论和勾股定理求得，则要使最小，只需最小即可．作，，连接，，则四边形是平行四边形，进而可得，当H、E、B共线时取等号，此时最小，最小值为的长，进而解直角三角形求得即可解答． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是菱形． 理由：由折叠性质得，，， ∵四边形是矩形 ， ∴， ∴， ∴，则， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：在矩形中，，，为矩形对角线， ∴， 由折叠性质得，，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 解得， ∴； 【小问4详解】 解：如图，在上取，连接， ∵即， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴，则， ∴，要使最小，只需最小即可， 作，，连接，，则四边形是平行四边形， ∴， ∴，当H、E、B共线时取等号，此时最小，最小值为的长， 过H作于Q，交于P，过E作于K， 则四边形、四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴，则， ∴，又， ∴， ∵， ∴，此时点P和点重合， ∴， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省二〇二六年初中学业水平考试 数学模拟试题（一） 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年1月16日，由烟台海阳东方航天港总装出厂的谷神星一号海射型遥七运载火箭在日照近海海域成功发射，将天启星座06组卫星送入预定轨道，彰显了我国航天科技的蓬勃发展．火箭主体结构上半部分可简化为如图所示的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 据预测，2025年山东省生产总值为103197亿元，按不变价格计算，比上年增长5.5%，成为全国第三个过10万亿元省份．“103197亿”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 低碳生活，绿色同行，为倡导绿色低碳理念、推进旧物回收利用，某社区环保小队积极开展志愿服务活动．环保小队有甲、乙、丙3名宣传员，现从中选派2人，分别负责低碳知识宣讲、旧物回收引导两项不同的工作，且每人被选派的机会均等，则甲、乙两人同时被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是中国古代数学专著，其中有一道关于古代驿站送信的题目，大意是：一份文件需要紧急送往600里远的城市，若用慢马，所需时间比规定时间多2天；若用快马，所需时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马、快马的速度分别是多少？若设慢马的速度为x里/天，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 古语有“君子无故，玉不去身”，玉在中国的文明史上有着特殊的地位，其具有仁、智、义、礼、乐、忠、信、天、地、德、道等君子的品节．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其雕刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则废料（即图2中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，分别过反比例函数图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，与相交于点，且．若梯形的面积为2，则下列坐标表示的点，在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 10. 篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出使二次根式有意义的的一个值：_________． 12. 分解因式：_________． 13. 在平面直角坐标系中，把直线上的点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点．若点依然在直线上，则与的关系是_________． 14. 在平面直角坐标系中，动点从原点出发，按图中的逆时针方向不断地移动，已知，，，，，，，，…，那么点的坐标为___________． 15. 如图，在矩形中，，为的中点，连接并延长与的延长线相交于点，与相交于点，且．为上一点，点关于的对称点落在上．下列结论正确的是_____． ①连接，，则四边形为平行四边形；②；③；④． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 已知：如图，在中，，，． （1）用直尺和圆规作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作图步骤）； （2）在（1）的条件下，求的面积． 18. 乒乓球作为中国国球，是承载民族荣耀、推动全民健身、兼具外交与文化符号意义的核心体育运动．在2026年中国大满贯备战期间，教练统计了主力队员甲与乙各12场训练赛的积分，用于评估训练稳定性并制定激励方案，相关信息如下： 【收集数据】 甲队员积分（单位：分）：148，158，160，155，165，155，152，155，160，162，152，168 乙队员积分（单位：分）：145，164，149，153，156，150，158，160，153，161，147，166 【整理数据】 积分分组 甲队员 1 2 3 2 乙队员 3 3 2 3 1 【描述数据】 【分析数据】 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 157.5 155 30.75 乙 155.17 154.5 42.14 （1）补全频数分布直方图； （2）填空：________，________； （3）教练规定单场积分不低于155分为“优秀表现”，请分别计算两位队员的优秀表现率，并比较谁的表现更突出． 19. “兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象． （1）①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式． （2）某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？ （3）某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？ 20. 【项目背景】 人脸识别系统是基于计算机视觉与深度学习，对人脸特征检测、提取、对比的AI生物识别系统，在运输出行、办理业务时能够兼顾安全、便捷与效率．某测试小组针对一款人脸识别抓拍设备开展性能测试． 【建立模型】 （1）如图1，将电子抓拍摄像机位安置在竖直高度为（线段）的墙壁上，测试人员甲眼睛到地面的距离为（线段），他抬头看摄像头的仰角，求此时测试人员甲到抓拍摄像机的水平距离． 【模拟应用】 （2）摄像机抓拍采集处理人脸信息需时间为，人正常平均步行速度在之间，摄像头拍摄角在之间．如图2，若要完成对身高的测试人员甲完成抓拍，摄像头至少要放在竖直高度为多少米的墙壁上？（备用数据：，；；，，．精确到） 21. 如图，为的直径，直线与相切于点，交的延长线于点，过点作，垂足为． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若，，求的长度． 22. 已知抛物线（，为常数，）的对称轴为直线． （1）若抛物线经过，求函数的解析式及抛物线的顶点坐标． （2）若该抛物线开口向下，当时，抛物线的最高点为，纵坐标为5，最低点为，求点和点的坐标． （3）已知直线上有两点，，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 23. 在矩形中，，，为矩形对角线，为上一个动点，过作交于点，交于点． （1）如图1，若点与点重合时，求的值； （2）如图2，将四边形沿对折，使点与点重合，点落在处，猜想四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，在的运动过程中，某一刻沿对折刚好与重合，求的值； （4）如图4，连接，，求线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $